P O L I T E C N I C O Potencia de exponente entero Potencia de exponente natural. CAPÍTULO 4: POTENCIACIÓN EN R

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1 Potecició e R Fctoreo Mtemátic º Año Cód. 0- P r o f. M r í d e l L u j á M r t í e z P r o f. V e r ó i c F i l o t t i P r o f. J u C r l o s B u e Dpto. de Mtemátic

2 CAPÍTULO : POTENCIACIÓN EN R. Poteci de epoete etero. -. Poteci de epoete turl. Defiimos l potecició de bse rel y epoete turl myor que uo de l siguiete mer:... fctores ; R N Epresió que leemos: poteci de bse y epoete Además se coviee que: Ejemplos: PROBLEMAS Como multiplicció Como potecició Leemos. Meos tres l cudrdo Meos u medio l cubo ) Resuelve.. ) e) 6 f) 9 g) 7 7 h) Meos uo l curt Ríz cudrd de dos l cubo P O L I T E C N I C O

3 Potecició - Fctoreo Mtemátic ) Epres como multiplicció cd u de ls siguietes potecis: ) 6 e) f) g) i) k). m) y y h) 0 j) m l) ) b b ) Complet cd eucido ) El resultdo de tod poteci de bse y epoete turl es... El resultdo de tod poteci de bse (-) y epoete turl pr es... El resultdo de tod poteci de bse (-) y epoete turl impr es... Propieddes. ) L potecició de bse rel y epoete turl es distributiv respecto de l multiplicció. E símbolos: Si,b se tiee que: b b R y N P O L I T E C N I C O

4 Demostrció: Teiedo e cuet l defiició propuest result: Si > fctores fct. fct. () () () () b. b.. b.... b. b.. b.... b (... ).( b. b... b () Defiició de potecició. () Propiedd socitiv de l multiplicció. () Propiedd comuttiv y socitiv de l multiplicció. Si = Result imedito que: Luego, cocluimos que: Ejemplos:. b. b. b b b.. 0, 0, L potecició de bse rel y epoete turl es distributiv respecto de l divisió, co el divisor distito de cero. E símbolos: Si, b R, b 0 y N etoces se tiee que: b b P O L I T E C N I C O

5 Potecició - Fctoreo Mtemátic Demostrció Si > () Defiició de potecició. () Propiedd socitiv de l multiplicció. () Producto de cocietes de úmeros reles fctores fctores () ()() () b b b b b.b...b b fctores c. c ; b 0; d 0. b d b. d Si = L demostrció es imedit, pues: b b b Hemos probdo que: N y b 0 ; b b Ejemplos:. ) L poteci, de epoete turl de otr poteci es l poteci de l mism bse cuyo epoete es l multiplicció de los epoetes de ls potecis dds. E símbolos: Si, b R y, m N. etoces: m m P O L I T E C N I C O

6 Demostrció: Si > y m > m fctores m fctores fct. fct. fct. m () () ().... (.... )(.... )... (.... ) m sumdos....m fctores () () m. () Defiició de potecició. () Propiedd socitiv de l multiplicció. () Defiició de multiplicció de turles. Si = o m= Se debe cosiderr tres opcioes: m. m = m. m =. = m = Ejemplos:. ) 0, ( 0,). ( 0,) 0 P O L I T E C N I C O

7 Potecició - Fctoreo Mtemátic L multiplicció de potecis de igul bse, de epoete turl, es otr poteci de l mism bse cuyo epoete es l sum de los epoetes ddos. E símbolos: Si, b R y, m N etoces:. m m Demostrció: Si > y m > fctores m fctores +m fctores () () () m m. (.... ).(.... ).... () Defiició de potecició. () Propiedd socitiv de l multiplicció. Cosidermos como ejemplo =. Si o m so igules m fctores (+m) fctores..(..... ) m m Luego result que:. m m Ejemplos: 6 6 ) ( ) 9 7 Resumiedo ls propieddes vists result: Si, br y N etoces: o b b o, b 0 b b m. o o. m m m 6 P O L I T E C N I C O

8 PROBLEMAS ) Relcio cd epresió de l primer colum co l equivlete de l segud colum. b b 8 b 9 9 b b b b 9b ) Por qué si 0 y N? 6) Sbiedo que:, b z, c z, ecuetr l epresió resultte e fució de y de z, utilizdo ls propieddes coocids: ). b b c b c 7) Resuelve ls siguietes epresioes, idicdo l o ls propieddes de l potecició que utilizs e cd cso. ) e) f) P O L I T E C N I C O 7

9 Potecició - Fctoreo Mtemátic 8) Descubre lgus regulriddes que se d e l potecició. 6 8 Cuál es el sigo del úmero obteido cudo el epoete de l poteci u úmero pr? Clcul: ; ; ; ; ; Clcul: ; ; ; ; ; ; Cuál es el sigo del úmero obteido cudo el epoete de l poteci es u úmero impr? Elbor u coclusió respecto l sigo de los resultdos de u poteci de u úmero rel segú l pridd del epoete. Por lo visto teriormete, demuestr cotiució ls siguietes propieddes de l potecició: Tod poteci de epoete turl pr es o egtiv. E símbolos: Si R, N y es pr, etoces 0 Tod poteci de epoete turl impr es u úmero del mismo sigo que el de l bse E símbolos: Si R 0, N es impr Not: Si 0, N es impr 0 8 P O L I T E C N I C O

10 9) Resuelve plicdo propieddes ) y y h) b b y Sugereci: i) b c y y y e) y Es coveiete epresr lguos úmeros como producto de fctores primos. Por ejemplo: 7 =. j) c g g k) l) ( 0.) y ( ) y f) y y m) g) 7 ) 6 b b 0) Escribe P o N e cd cudrdito segú el resultdo se positivo o egtivo siedo m > 0. m 7 m m m m ( m ) N; m ( m ) m P O L I T E C N I C O 9

11 Potecició - Fctoreo Mtemátic - Poteci de epoete etero Nos propoemos ecotrr hor u propiedd referete l cociete de potecis de igul bse. Es decir : m co 0 Estudiremos tl cociete tediedo ls distits posibiliddes de m y y supoiedo que m y so turles myores que. Así, pltedo e form literl, result: Si m >, es: mfctores (m-) fctores m = =... Si m < es: fctores m- Desfío: De quí e delte, omitiremos l demostrció pr el cso e que los epoetes se igules por ser triviles. m fctores m... = = = -m fctores (-m) fctores Si m =, es: m () = () Defiició de poteci de epoete turl. () Simplificció. () 0 Teer distits epresioes pr el cociete de potecis de l mism bse, o os result coveiete. Nos propoemos uificr todos los csos. Etoces: 0 P O L I T E C N I C O

12 Pr el cso e el que m > result que el cociete de ls potecis de igul bse es u poteci de l mism bse cuyo epoete es l rest etre los epoetes del dividedo y el divisor. m m - = Pr el cso e el que m < : Si defiimos Result - m - m co 0 y N m - m (m) m Pr el cso e el que m = : m Si defiimos 0 co 0 y N Result Observció: m 0 m 0 0 o está defiido Hemos logrdo u sol epresió pr el cociete de potecis de igul bse culesquier se los epoetes turles. Est es: m m dode m N y 0. Coloquilmete epresmos: El cociete de potecis de igul bse, de epoete turl, es otr poteci de l mism bse cuyo epoete es l difereci de los epoetes ddos. P O L I T E C N I C O

13 Potecició - Fctoreo Mtemátic Como hemos visto, l defiició de poteci se h ido mplido. Defiició de l poteci de bse rel y epoete etero : fctores..., N, 0, 0 0 ; Z 0 Te cotmos que, ls propieddes que coocís pr potecis de epoete turl tmbié se verific pr potecis de epoete etero. Es decir, si y m Z etoces:. b. b b b m.. m m m co b 0 m m co 0 co 0 P O L I T E C N I C O

14 PROBLEMAS ) Por qué co N y 0? Ejemplific. ) Escribe como poteci de epoete positivo y resuelve: ) e) g) i) f) h) j) k) l) m) ) ) Resuelve ) - = - - = (-) - = = = = ) Resuelve ls siguietes ecucioes: ) e) Not: E lo sucesivo supodremos que ls vribles sume los vlores que permite que ls diverss epresioes pued estr defiids. P O L I T E C N I C O

15 Potecició - Fctoreo Mtemátic ) Epres cd eucido e leguje simbólico siedo p y q o ulos; luego hll su vlor umérico pr p = - y q = -. ) el triplo del cudrdo del úmero p. el cubo de l difereci etre el recíproco de p y el opuesto de q. el opuesto de l sum de los cudrdos de p y q. el cudrdo de l sum de p y el recíproco de q. e) l difereci etre los cubos del opuesto de p y el recíproco de q. f) el cociete etre el cudrdo del cosecutivo de p y l tercer prte de q. g) el cubo de l difereci etre p y q, e ese orde. 6) Resuelve, plicdo ls propieddes de l potecició, cudo se posible epresdo el resultdo fil co epoetes positivos: ) 6 7) Resuelve hst llegr l míim epresió, idicdo el resultdo fil co epoetes positivos. ) 0 b 7 c d e) f) 6 8) Resuelve y escribe el resultdo si utilizr epoetes egtivos: ).. : 0, b 0, b b P O L I T E C N I C O

16 e) f) g) ( ) 0 h) i) ( b ) ( ) : ( b ) ( b ) : ( b : ( b 9) Resuelve y simplific ls siguietes epresioes, de modo que el resultdo se eprese co epoetes positivos: ) : e) 6 f). g) b h) b m m y y i). y j) ( ) ( ) k) p. p p l) ( ) 0) Fctore todo lo posible ) e) g) i) 8 9 y y 0 y y 6y 7 b b 7b b b y y f) b b h) y y y j) b.c bd P O L I T E C N I C O

17 Potecició - Fctoreo Mtemátic ) Idic, e cd prtdo, los vlores que podrí sumir ls vribles pr que esté defiids ls siguietes epresioes e el cojuto de los úmeros reles: ) y e) f) 6 ) Verddero o Flso? Justific tu respuest. ) ( ). y 0 0 ) Resuelve ls siguietes opercioes plicdo ls propieddes que correspod: ) m : m mp : mp 0 8 m p q 8 m p q e) f) m 8 0 g) h) 8 0 b c i) b c 6 P O L I T E C N I C O

18 ) Determi el vlor de e cd eucido: ) g) h) 6 y y. i) 0, y ( ) j) 6.( 7 ) : : 0 7 e) 0, f) 0, 9 k) l) 8 9 PRODUCTOS ESPECIALES El cudrdo de l sum E cpítulos teriores hbímos probdo geométric y líticmete que: siedo Q0 e y Q 0. Se puede probr que el cudrdo de l sum tmbié es válido si R e y R. Es decir: y y y El cudrdo de u sum es igul l cudrdo del primer térmio más el doble producto del primer térmio por el segudo más el cudrdo del segudo térmio. A est epresió se l deomi Triomio Cudrdo Perfecto P O L I T E C N I C O 7

19 Potecició - Fctoreo Mtemátic PROBLEMAS ) Trsform e sum: ) 7 7 6) Demuestr los siguietes teorems válidos pr, y R. 7) Resuelve : ) ) y y y y y y y y y y 6 y y y y 8) Complet de modo que l epresió se u triomio cudrdo perfecto y luego fctorélo ) b y P O L I T E C N I C O

20 9) Fctore los triomios cudrdos perfectos ) 9 Respuest: Cudo se quiere lizr si l sum de tres térmios es el cudrdo de l sum de otros dos, hbrá que observr si eiste e ell dos térmios que se cudrdos y u tercero, el doble producto de l bse de esos cudrdos, siedo éste el úico térmio que puede estr precedido por el sigo meos. o tmbié 9. ( ). ( ) 9 El resultdo o h vrido, pues los vlores bsolutos de l sum de los dos térmios que so bses de los cudrdos so igules. b b Respuest: b b ( ( ( b ) o tmbié b b (( ) ( ( ) (b ) El resultdo o h vrido pues b b 9 e) f) g) h) 0,09 0,0 0, i) P O L I T E C N I C O 9

21 Potecició - Fctoreo Mtemátic CUBO DE UNA SUMA. Demostrremos que: ( b b b Etoces: () Defiició de poteci () Propiedd Asocitiv de l multiplicció () Propiedd distributiv de l multiplicció co respecto l sum () Sum de térmios semejtes Coloquilmete result: El cubo de u sum es igul l cubo del primer térmio, más el triple producto del primer térmio l cudrdo por el segudo, más el triple del primer térmio por el cudrdo del segudo más el cubo del segudo térmio. A est epresió se l deomi Cutriomio Cubo Perfecto El cubo de biomio se puede iterpretr geométricmete como el cálculo del volume de u cubo de rist (. 0 P O L I T E C N I C O

22 PROBLEMAS 0) Aplic lo demostrdo e los siguietes cubos de l sum: ) y ) Demuestr los siguietes teorems válidos pr ) y y y y y y y y y y y y, y R : ) Resuelve : ) y 6 y ) Escribe V (verddero) o F (flso) segú correspod justificdo sólo ls flss: ) ( ) 8 6 ( ) ( ) ( ) e) ( ) P O L I T E C N I C O

23 Potecició - Fctoreo Mtemátic ) Fctore cudo l epresió se cutriomio cubo perfecto ) Respuest: ( 7).( ) b 8 b b e) 8 f) g) ( ) EL PRODUCTO DE UNA SUMA POR SU DIFERENCIA. Trbjemos pr ecotrr u epresió que clcule fácilmete el producto de u sum por u difereci de igules térmios, esto es e símbolos: Demostrremos que: Result: b b b b b b b b 0b b () () () () () Propiedd distributiv de l multiplicció respecto de l sum y de l rest. () Propiedd comuttiv de l multiplicció. c c c R () 0 ; () Por ser 0 el elemeto eutro de l sum de reles. P O L I T E C N I C O

24 Coloquilmete: El producto de u sum por u difereci de igules térmios es igul u Difereci de Cudrdo Iterpretció geométric: PROBLEMAS ) Resuelve ls siguietes multipliccioes de sums por diferecis: ) b b y y e) 6 6 6) Fctore ls diferecis de cudrdos ) 9 b 0, y 6 e) 6 y 9 P O L I T E C N I C O

25 Potecició - Fctoreo Mtemátic 7) Verific ls siguietes igulddes ) b b b b 0 0 b b b e) f) g) ( ( (7 b 9 ( y) ( y) y ( y ) ( ) ( ) ( ) ( y) ( y) ( y) ( y ) y( y) 8) Ecotrr dos úmeros tles que su sum se 0 y l difereci de sus cudrdos se 0. 9) L sum de los cudrdos de dos úmeros es 70 y l difereci etre los cudrdos de esos mismos úmeros es 7. Hll esos úmeros. 0) Fctore ls siguietes epresioes lgebrics: Fctor Comú por Grupos ) y y E est epresió, ecepto scdo u fctor comú umérico, o se puede trsformr e producto co l sol plicció de l propiedd distributiv. Pero si se plic l propiedd socitiv e l sum (si es ecesrio primermete se plic l propiedd comuttiv e l sum) grupdo los térmios coveietemete se puede etrer veces, otros fctores comues como se idic cotiució c+ bc+ d+ bd =(c + b + (d + b =c (+ + d (+ = (+.(c+ Propiedd socitiv E l epresió propuest result: Propiedd Distributiv Propiedd Distributiv y y y y y y Notemos que puede eistir más de u form pr grupr térmios P O L I T E C N I C O

26 y y i) y y 6 c bc dbd j) y y z z k) 6b y 8yb b e) l) b b b f) y by b b m) y 7 y 8 g) y y ) y b by h) y y 0 o) p p b bp ) Fctore todo lo posible (Fctoreos combidos) ) 6 Respuest Debido que este último poliomio serí u triomio cudrdo perfecto si o fuese que dos de los tres térmios está precedidos por el sigo meos se puede logrr u trsformció coveiete por plicció combid de propieddes vists tl como se idic cotiució. 6 pero 6 6 es u difereci de cudrdos, etoces: 0 0 y y e) b b b b b 8 f) g) h) i) 6 y y y j) y y k) 8y l) 6 b b m) 9 9 y 6 6y y 6 ) 0 0 o) 0y y P O L I T E C N I C O

27 Potecició - Fctoreo Mtemátic p) y y q) r) 0 b b s) y y y y y 9 t) u) v) y y w) y y y ) 8 6 ) Determi el cojuto solució de ls siguietes ecucioes, teiedo e cuet l codició de ulció del producto ), e) ( 8 6).( ) 0 f) ( ).( 0,) 0 ) Simplific si es posible (supoemos que los vlores que puede sumir ls vribles so tles que ls epresioes quede siempre defiids) - y b ) ( y ) y y y ( ) ( ) e) f ) g) y -b h) y-. z t ( y)( y) b b b : i) j) k) b - z t. y y 0 0b 0b 6 P O L I T E C N I C O

28 Notció cietífic. Pr resolver problems los cietíficos debe relizr, más de u vez, tediosos cálculos como el que te mostrmos: Por supuesto, como estás pesdo, se yud co clculdors o computdors. Pero, vemos qué sucede si itetmos resolver osotros este producto utilizdo u clculdor cietífic. Puls, pr ello, ls tecls que os permite obteer el producto pltedo Qué observs e el visor de tu clculdor?.. L clculdor h utilizdo u form de escritur llmd otció cietífic. 7, úmero etre poteci y 0 de 0 que cosiste e escribir u úmero como el producto de u úmero etre y 0 por u poteci eter de 0. Así, so ejemplos del uso de este tipo de escritur ls siguietes epresioes: =, =, No sólo este tipo de escritur es útil pr escribir úmeros grdes. Los cietíficos tmbié ecesit, veces, trbjr co úmeros muy pequeños como lo es, por ejemplo, el resultdo de l operció. 0,: Qué os iform l clculdor e este cso l efectur co ell este cálculo? Pulsemos uevmete ls tecls que permite obteer el cociete que buscmos. Qué observs e el visor?... Qué idic, e este cso, ests epresioes? P O L I T E C N I C O 7

29 Potecició - Fctoreo Mtemátic Epres que el úmero buscdo es: El -07 que prece e el visor os idic que debemos correr l com 7 lugres l izquierd, =,00009 = 0, = L otció cietífic os provee u form de simplificr l escritur. Además o es sólo útil pr epresr resultdos de opercioes, es ú más útil cudo epresmos los úmeros co los que opermos, y se e el cálculo mul, e el metl o e el cálculo mecizdo E geerl cocluimos: U úmero se epres e otció cietífic cudo se lo escribe como el producto etre u úmero myor que uo y meor que 0 y u poteci de bse 0 co epoete etero. PROBLEMAS. ) Epres cd úmero si empler potecis ) ) Epres e otció cietífic ) , , , e) f) 0, 0 g) ) Epres los siguietes úmeros si utilizr otció cietífic ) -,.0, ,.0-8,8.0 - e),8.0 f), ) Sbiedo que el micrómetro es l milésim prte del milímetro, escribe e otció cietífic, microes epresdos e metro 8) L estrell Alf Ceturo está u distci de l Tierr de proimdmete, ños luz. Epres es distci sbiedo que l luz recorre.0 km por segudo (u ño 6, dís proimdmete) 8 P O L I T E C N I C O

30 Respuests ) )- - - e) f) - g) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6) ( 6) ( 6) e) ( ) ( ) ( ) f) ( ) g) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h) i) ( ) j) ( ) ( ) ( ) ( ) k) l) m m m mmm m) ( y) ( y) ( y) ( y) ( y) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b b b b 9 h) 9 ) ) - ) A crgo del lumo ) Demostrció crgo del lumo 6) ) z z ) ) 8 6 e) 7 8) A crgo del lumo 9) ) 6 y 6 y y 6 y e) y 8 f) y g) 7 h) 7 b i) b 0 c 8 j) k) g l) y m) 9 6 ) b P O L I T E C N I C O 9

31 Potecició - Fctoreo Mtemátic ) 0) N N P N P N ) A crgo del lumo ) ) ) 6 ; - 6 ; 6 e) 8 - f)- 8 ; -; - g) h) 9 i)6 j)- k) 9 l) m) 6 ) ) ) ) -6 e)- ) p Sol : p q Sol : e) p 9 Sol : f) q 8 g) p q Sol : p q Sol : 7 p q p q 9 Sol : Sol :0 6) ) 6 7-7) ) 8 b c d e) 7 f) 6 8) ) 7 6 b 66 8 b 6 e) f) 9 g) h) 7 b 0 c 9) ) e) f) 0 P O L I T E C N I C O

32 g) j) b h) 9 m k) p p i) l) 0) 6 ) b y y o y y y. y e) y y f) b. b g) 7 b 9 9 y. y h) i) 7 7 j) b. c d ) ) ; R 0 y R 0 e) R ;, R R f) R ; ) )Flso Verddero Flso ) ) g) m q m 7 e) 79 f) h) i) m p m 096 b 6 c 0 ) ) 6 e) f) 7 g) h) i) j) k), l) - P O L I T E C N I C O

33 Potecició - Fctoreo Mtemátic ) ) ) A crgo del lumo 7) 6 ) y y 6 6 y y y y y 8 y 6 6 y 6 8) ) 6 y y y b b b 9) ) resuelto resuelto f) g) h). 0. e) 0 i) 0) ) ) A crgo del lumo 8 y 6 y y 8 ) ) y y y 6 08 y 8 y 8 ) ) Flso, pues Verddero Flso, pues o es el cudrdo de u biomio. y 6 P O L I T E C N I C O

34 Verddero e) Flso, pues f) Verddero ) ) b No es u cutriomio cubo perfecto. e) f) g) ) ) 9 9 9b y e) 6 6) ) b. b y y y.. e) y 6. y 6 7) A crgo del lumo 8) y 9 9) y 7; - y 7; y 7; - y 7 0) ) Resuelto y. b. c d. e). b f) y. b g). y h) y. i) j). y y z. k) y. b l). b m) y. 7 ) b. y o) p. b P O L I T E C N I C O

35 Potecició - Fctoreo Mtemátic ) ) Resuelto f) b b y g) h) i) y e) b b j) y k) 9 y 9 y o) y l) 6bb b p) 7 y 7 y y m) y q) ) r) b b b s) y y w) 9 y t) u) ) v) y y ) ) 9 0 ; ; 9 ; ; 0 ;; e) ; ; f) 0 ; ; 6 ) ) 7 g) h) i) b t z z t j) y k) b e) f) y y ) ) ) ) 0, 0, 0,70 0,8 0 e),6 0 f), 0 g),87 0 6) ) , , e)8.000 f)0, ), microes =, 0 - mm =, m =, 0-6 m 8) 0 Km ,, =, 0 Km 7 9 P O L I T E C N I C O

36 BIBLIOGRAFÍA *PREM 8 (Buschizzo,Ctteo,Gozlez,Hirische,Filiputti,Lgre *Mtemátic Activ II(Msco,Ctteo,Hirische) * Mtemátic 8 de Juli Seveso y otros.serie Vértice. Editoril Kpeluz * Mtemátic 9 de Juli Seveso y otros. Serie Vértice. Editoril Kpeluz *Álgebr Itermedi de Alle R. Agel (Set Edició). Editoril Perso *Cuderillo de fctoreo. Cod 06-. Deprtmeto de Mtemátic del IPS. Recursos pedgógicos P O L I T E C N I C O