Funciones Poliarmónicas y una Conjetura de. W. Hayman y B. Korenblum. Hermann Render. (Universidad de La Rioja)

Transcripción

1 Funciones Poliarmónicas y una Conjetura de W. Hayman y B. Korenblum Hermann Render (Universidad de La Rioja) 1

2 Sea Ω un conjunto abierto en R d. Una función f : Ω C es poliarmónica de grado k si k f (x) = 0 para todos x Ω, donde k es el k-ésimo iterado del operador de Laplace = 2 x x 2. d Para k = 1, f se llama armónica. Ejemplo: la función f definida por f (x) = x 2 := x x 2 d es biarmónica pero no armónica. El principio del módulo máximo no es válido para funciones poliarmónicas: la función biarmónica g (x) = x 2 1 es cero para x = 1, por tanto, g no alcanza el máximo en la esfera unidad S d 1 := { x R d : x = 1 }.

3 El siguiente teorema es muy importante en la teoría de funciones poliarmónicas: Teorema 1. (Almansi 1899): Sea Ω un conjunto abierto y convexo en R d y f : Ω C una función poliarmónica de grado k. Entonces existen funciones armónicas h 0,..., h k 1 : Ω C tales que f (x) = h 0 (x) + x 2 h 1 (x) x 2k 2 h k 1 (x). Las funciones poliarmónicas son importantes en varias áreas de matemáticas: en la teoría de elasticidad, en la teoría de las funciones radiales básicas, en la teoría de polisplines.

4 1. Teoría de elasticidad: Sea Ω un dominio en R 2 que representa una placa delgada (thin plate) con frontera rigida. Sean q (x) = el peso en el punto x Ω, w (x) = el desplazamiemento en el punto x Ω. Entonces w (x) satisface la ecuación biarmónica 2 w (x) = q (x), con las condiciones de frontera w (x) = 0 y w (x) = 0 para x Ω, n donde n es la derivada normal exterior. Literatura: V. Maz ya, T. Shaposhnikova: Jacques Hadamard, A universal mathematician, AMS, 1998, p. 432.

5 2. Funciones radiales básicas: Sea ϕ una función de una variable y sea x = el módulo de x R d. Entonces x x2 d ϕ ( x ) se llama una función radial basica. Se consideran cuestiones de interpolación y aproximación con funciones de la forma n λ j ϕ ( x x j ) + p m (x), j=1 donde p m (x) es un polinomio de grado m = m(ϕ). Por ejemplo, para d = 2 la función es el thin plate spline. ϕ (x) = x 2 log x Más general, para 2k d 1 se consideran soluciones fundamentales de k, definidos por ϕ d (x) = x 2k d ϕ d (x) = x 2k d log x para d impar, para d par. Literatura: W.R. Madych, S.A. Nelson, Polyharmonic Cardinal Splines, J. Approx. Theory 60 (1990), M. Buhmann, Radial Basis Functions : Theory and Implementations, Cambridge, H. Wendland, Scattered Data Approximation, Cambridge 2005.

6 3. En la teoría de los polisplines: Una función f : R d C es un polispline cardinal de orden k en franjas si f C ( 2k 2 R d) y f es poliarmónica de orden k en cada franja abierta U j = (j, j + 1) R d 1, j Z, es decir que k f (x) = 0 para todos x U j, j Z. Literatura: O. Kounchev, Multivariate Polysplines. Applications to Numerical and Wavelet Analysis, Academic Press O. Kounchev, H. Render, Wavelet Analysis of cardinal L-- splines and Construction of multivariate Prewavelets, Vanderbilt Univ. Press 2002, O. Kounchev, H. Render, The Approximation order of Polysplines, Proc. AMS. 132 (2004), O. Kounchev, H. Render, Cardinal interpolation with polysplines on annuli, JAT 137 (2005), O. Kounchev, H. Render, Polyharmonic splines on grids Z az n and their limits, Math. Comp. 74 (2005), O. Kounchev, H. Render, Convergence of polyharmonic splines on semi-regular grids Z az n for a 0, aparecer en Numer. Alg.

7 La conjetura de Hayman y Korenblum El siguiente teorema se encuentra en W. Hayman, B. Korenblum, Representation and Uniqueness Theorems for polyharmonic functions, J. D Analyse Math. 60 (1993), Teorema 2. Sea f : R d C una función poliarmónica de grado k que se anula sobre k esferas distintas S m := { x R d : x x m = r m }. para m = 1,..., k. Entonces f 0. Para ilustrar el teorema, consideramos el caso d = 1: entonces f : R C es poliarmónica de grado k si y soló si d 2k f (t) = 0, dt2k es decir, f (t) es un polinomio de grado 2p 1. Una bola en R es un intervalo [a m, b m ], y una esfera es la frontera de una bola, así Conclusión: distintos ceros es igual 0. S m = {a m, b m }. un polinomio de grado 2p 1 que tiene 2p Conjetura: Se pueden sustituir las esferas por elipsoides.

8 Teorema 3. (Render, 2005) Sea f : R d C una función poliarmónica de grado k que se anula sobre k elipsoides distintos E m = { x R d : ψ m (x) = 0 } para m = 1,..., k. Entonces f 0. Sea P un polinomio, entonces existen polinomios homogéneos P 0,..., P 2k tales que P (x) = P 0 (x) + P 1 (x) P 2k (x) y P 2k 0. El polinomio P 2k se llama la parte principal. Recordamos que P j (x) es homogéneo de grado j si P j (rx) = r j P j (x) x R d, r > 0. Definición. existe C > 0 tal que Un polinomio P (x) de grado 2k es elíptico si CP 2k (x) x 2k para todos x R d. Demostración de Teorema 3: Los polinomios ψ 1,..., ψ m que determinen los elipsoides tienen grado 2 y son elípticos. Es facil ver que los polinomios ψ j son también irreducibles, y que ψ j cψ m para j m.

9 Consideramos el caso que f es un polinomio. Sabemos que f (ξ) = 0 para ξ { x R d : ψ j (x) = 0 } Ω. Un teorema en la geometría real-algebraica (ver J. Bochnak, M. Coste, M.-F. Roy, Real Algebraic Geometry, Springer, Berlin 1998) muestra que f = ψ j f j, cuando ψ j tales que cambia de signo, que significa que existen x y ψ j (x) < 0 < ψ j (y). Iterando obtenemos un polinomio q tal que f = ψ 1...ψ k q. Entonces 0 = k f = k (ψ 1...ψ k q). Es sufficiente probar: el operador q k (ψ 1...ψ k q) es inyectivo! Obsérvese que el polynomio ψ := ψ 1...ψ k tiene grado 2k.

10 Teorema 4. (Render) Sea ψ un polinomio elíptico de grado 2k. Entonces el operador F ψ (q) := k (ψq) es una biyección sobre el espacio C [x 1,..., x d ] de todos los polinomios en el mismo. Presentamos ahora una solución de la conjetura de Hayman y Korenblum para hipersuperficies. Teorema 5. (Render) Sea ψ R [x 1,..., x d ] un polinomio elíptico de grado 2k de la forma ψ = ψ 1...ψ r tales que ψ 1,..., ψ r son irreducibles y ψ j cψ k para j k. Además, sean U 1,..., U r conjuntos arbiertos tales que el polinomio ψ j cambia de signo sobre U j, j = 1,..., r. Si f es un polinomio poliarmónico de orden k tal que f(ξ) = 0 para ξ E j := {x U j : ψ j (x) = 0} para j = 1,..., r, entonces f 0.

11 La clase A(B R ) Hemos presentado una solución de la conjetura de Hayman y Korenblum por el caso que f es un polinomio. Podemos generalizar los resultados para funciones f en la siguiente clase: Definición: Sea A(B R ) la clase de funciones real-analíticas sobre B R = {x R d : x < R}, (R [0, ]) cuyas series homogéneas de Taylor convergen uniformemente y absolutamente sobre cada subconjunto compacto de B R. Entonces podemos escribir f (x) = m=0 f m (x) con polinomios homogéneos f m de grado m. Teorema 6. (Render) Sea ψ un polinomio elíptico de grado 2k. Entonces existe R > 0 tal que el operador F ψ : A (B R ) A (B R ), F ψ (q) := k (ψq) para q A (B R ) es un biyección.

12 Notamos que Teorema 6 implica el siguiente: Teorema 7. Para cada función f A (B R ) existen funciones q, r A (B R ) únicos que satisfacen la descomposición (1) f = ψq + r, donde k r = 0. Efectivamente, la ecuación (1) implica que k f = k (ψq) = F ψ (q). Ahora definimos q := F 1 ψ ( k f ), r := f ψq. Entonces F ψ (q) = k f, es decir k (ψq) = k f y por tanto k r = k f k (ψq) = 0. Teorema 8. Sea ψ un polinomio elíptico de grado 2k. Entonces para cada f A(B R ) existe r A(B R ) único tal que k (r) = 0 y r(ξ) = f(ξ) para todo ξ ψ 1 (0). Dem. Sea r A(B R ) la solución de la ecuación (1). Obviamente tenemos r(ξ) = f(ξ) para ξ ψ 1 (0).

13 La conjetura de Khavinson-Shapiro Recordamos el problema de Dirichlet: Sea Ω un dominio en R d con una frontera Ω. El problema de Dirichlet consiste en encontrar para cada f C ( Ω) una función u f C ( Ω ) tal que u f (ξ) = f (ξ) para todos ξ Ω u f es armónica en Ω. Teorema 9. Sea Ω un elipsoide. Si p es un polinomio entonces la solución u del problema de Dirichlet para p Ω es un polinomio. Conjetura de H.S. Shapiro y D. Khanvison: Suponga que Ω un dominio en R d que para cada polinomio p la solución del problema de Dirichlet para p Ω es un polinomio (armónico). Entonces Ω es un elipsoide. Cuestión más general: Supongamos que Ω es un dominio en R d y f : R d C una función. Describir las singularidades de la solución u f del problema de Dirichlet en términos de las singularidades de f y del domino Ω. Literatura D. Khavinson, H.S. Shapiro, Dirichlet s problem when the data is an entire function, Bull. London Math. Soc. 24 (1992), P.J. Davis, The Schwarz function and its Applications, 1974.

14 Teorema 10. Sea ψ R [x 1,..., x d ] un polinomio elíptico de grado 2k de la forma ψ = ψ 1...ψ r tal que ψ 1,..., ψ r son irreducibles y ψ j cψ k para j k. Sea Ω un dominio en R d y suponga que para cada j = 1,..., r existe un conjunto abierto U j tal que { y R d : ψ j (y) = 0 } U j Ω y ψ j cambia de signo sobre U j para j = 1,..., r. Si deg ψ > 2, entonces la solución del problema de Dirichlet para x 2 no es un polinomio (más general: no es una función entera). Dem. Suponga que existe un polinomio armónico u tal que u (x) = x 2 sobre Ω. Entonces x 2 u es cero sobre {x U j : ψ j (x) = 0} para cada j = 1,..., r. Como en la demostración del Teorema 3 se concluye que (2) x 2 u = ψq para un q. Como k = deg ψ > 2 sabemos que k (ψq) = k ( x 2 u) = 0. Por el Teorema 4, q = 0 y (2) implica que x 2 = u. Como x 2 no es armónico obtenemos una contradicción.

15 Definamos dos productos escalares para polinomios f, g f, g rf := f (x) g (x)e x R d f, g S d 1 := f (θ) g (θ)dθ. S d 1 Para polinomios homogéneos f, g de grado m f y m g es claro que 2 dx f, g rf = 0 r m f +m g +d 1 e r2 dr f, g S d 1. Teorema 11. (Brelot-Chouqet 1948) Sea f un polinomio homogéneo de grado m. Entonces f es armónico si y soló si f, g S d 1 = 0 polinomio g, deg g < m. Teorema 12. (Render) Sea f un polinomio homogéneo de grado m, y k N 0 con 2 (k 1) m. Entonces f es poliarmónico de grado k si y soló f, g S d 1 = 0 polinomio g, deg g + 2 (k 1) < m.

16 Teorema 13. Sea P un polinomio elíptico de grado 2k. Entonces el operador F (q) := k (P q) es una biyección sobre C [x 1,..., x d ]. Dem: Sea P 2k la parte principal de P. Sea q un polinomio tal que F k (q) := k (P 2k q) = 0. Por Teorema 12, P 2k q, g rf = 0 para todos polinomios g con deg g < deg (P 2k q) 2 (k 1) = deg q + 2. Tomamos g := q y obtenemos 0 = P 2k q, q = R d q (x) 2 P 2k (x) e x 2 dx. Como P 2k 0, esto implica que q = 0. De donde F k es una inyección, y también es fácil ver que F k es una biyección sobre el espacio de los polinomios homogéneos de grado N. Finalmente se puede mostrar que esto implica que F es una biyección.