Automá ca. Capítulo6.LugardelasRaíces. JoséRamónLlataGarcía EstherGonzálezSarabia DámasoFernándezPérez CarlosToreFerero MaríaSandraRoblaGómez

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1 Autoáca Capítulo6.LugardelasRaíces JoséRaóLlataGarcía EstherGozálezSarabia DáasoFerádezPérez CarlosToreFerero MaríaSadraRoblaGóez DepartaetodeTecologíaElectróica eigeieríadesisteasyautoáca

2 Lugar de las Raíces 6 Lugar de las Raíces 6.. INTRODUCCIÓN E capítulos ateriores se ha coprobado coo el coportaieto del sistea, tato e cuato a estabilidad coo e régie trasitorio y estático, depede de la posició que ocupa las raíces de la ecuació característica (polos del sistea). De esta fora, las técicas de cotrol de sisteas pretede odificar la posició de estas raíces a otras posicioes para las cuales la respuesta del sistea sea la deseada. Esto se puede hacer, por eeplo y de la fora ás siple, ediate la variació de alguos de los paráetros de la fució de trasferecia de lazo abierto. Así, el lugar de las raíces es ua técica que perite coocer la posició que ocupa las raíces de la ecuació característica, sobre el plao copleo s, a edida que se varía alguo de los paráetros de la fució de trasferecia de lazo abierto. Noralete, el paráetro a variar es la gaacia estacioaria del sistea (lo que se cooce coo "Lugar de las raíces") auque tabié es posible observar la posició de estas raíces cuado varía u polo o cero de la fució de trasferecia de lazo abierto (lo que se deoia coo "Cotoro de las raíces").

3 Probleas de Igeiería de Sisteas: Sisteas Cotiuos. Coceptos básicos. 6.. CONDICIONES MÓDULO-ARGUMENTO Supoiedo u sistea de cotrol e lazo cerrado, tal coo el de la figura siguiete: R) Y) K G) H) La ecuació característica se puede expresar coo: Co lo cual: K G) H) 0 K G) H) - Si se separa e ódulo y argueto puede establecerse dos codicioes: Dode: q= 0,,, 3,... G)H) G)H) 80 (q ) Estas so las codicioes de ódulo y argueto de la ecuació característica de lazo cerrado. Si ebargo, es tabié iteresate ver cóo queda estas codicioes e fució de los valores de u paráetro K que aparece ultiplicado a G) (cotrol proporcioal). Cosiderado que el paráetro K aparece coo factor ultiplicador: zi) z) z)... z) i K 0 K 0 p) p)... p ) p ) Si esta expresió uevaete se separa e ódulo y argueto se obtiee: Aplicado la codició del argueto: G)H) K i z ) i 0 p ) 80(q ) Depediedo de que el valor de K sea positivo o egativo se obtiee dos expresioes: si k>0 la fase de K es 0º luego la expresió queda: F) i z ) i si k<0 la fase de K es 80º luego la expresió queda: F) i z ) i p ) 80(q ) p ) q 80

4 Lugar de las Raíces La codició de ódulo o va a verse afectada por el valor de K si se cosidera icluido e la G). Por tato, las codicioes de ódulo y argueto quedará: G)H) G)H) 80(q ) si K0 G)H) 80(q) si K0 Dode: q= 0,,, 3,... De esta fora se tiee que los polos de la fució de trasferecia de lazo cerrado debe cuplir estas dos codicioes. Por tato si se va variado el valor del paráetro K, los putos que cuple las codicioes de ódulo y argueto será los polos de lazo cerrado del sistea. El lugar de las raíces represeta la posició de los polos de lazo cerrado del sistea para cada valor del paráetro K. Es decir, es el lugar geoétrico de las raíces del deoiador de la fució de trasferecia de lazo cerrado. De esta fora se puede ver gráficaete cual sería la posició de dichos polos de lazo cerrado al variar el valor de la gaacia K o la posició de los polos y ceros de lazo abierto. Coociedo los putos dode se sitúa los polos de lazo cerrado puede coocerse la fora de la respuesta del sistea (especificacioes teporales) PROCEDIMIENTO DE CONSTRUCCIÓN ) Ecuació característica: KG)H) 0 Es ecesario que el paráetro de iterés K aparezca coo factor ultiplicador, e la fora: z) z)... z) K 0 p ) p )... p ) ) Putos de coiezo y fi del lugar. Cosiderado la codició odular de la fora: z G)H) K p ) z )... z ) p )... p ) ) K Para el puto de coiezo del lugar de las raíces, K=0 se tiee que G)H), esto ocurre cuado el valor de s es igual a uo de los polos de la fució de trasferecia de lazo abierto, luego los putos de coiezo so los polos de lazo abierto. 3

5 Probleas de Igeiería de Sisteas: Sisteas Cotiuos. Coceptos básicos. Para el puto de fializació del lugar de las raíces, K= se tiee que G)H) 0, esto ocurre cuado el valor de s es igual a uo de los ceros de la fució de trasferecia de lazo abierto, luego los putos de fializació so los ceros de lazo abierto. Por tato: Coieza e los polos de la FTLA, F). Fializa e los ceros de la FTLA, F). 3) Núero de raas del lugar de las raíces: Coo se acaba de aalizar, el lugar de las raíces coieza e cada uo de los polos de lazo abierto, luego coo cada raa represeta el lugar geoétrico de uo de los polos de lazo cerrado, etoces el úero de raas será igual al úero de polos de la FTLA. 4) Lugar de las raíces e el ee real. Si se aplica el criterio del argueto a u puto sobre el ee real se tiee: - La sua de los águlos que forará co cada par de polos o ceros copleos cougados de lazo abierto será siepre de 360º luego sobre el criterio del argueto tiee efecto ulo. - Los polos y ceros de lazo abierto situados a la izquierda del puto cosiderado tiee águlo cero. - Los polos y ceros situados a la derecha cotribuye tedrá u águlo de 80º cada uo. Por tato para saber si existe lugar sobre el ee real sólo ifluye los polos y ceros situados a la derecha de puto del ee real aalizado. Si el úero de polos y ceros de lazo abierto es ipar, su sua será u úero ipar de veces 80º y perteecerá al lugar directo. Si el úero de polos y ceros de lazo abierto es par su sua será u úero par de veces 80º y por tato perteecerá al lugar iverso. - Para el lugar directo, K>0, existirá lugar e u puto si éste tiee situados a su derecha u úero ipar de ceros y polos. - Para el lugar iverso, K<0: existirá lugar e u puto si este tiee situados a su derecha u úero par de ceros y polos. 5) Sietría del lugar de las raíces. Si existe polos copleos cougados éstos siepre so siétricos co respecto al ee real, por tato todo el lugar de las raíces será siétrico respecto del ee real. 6) Asítotas del lugar de las raíces. Cuado el úero de polos de lazo abierto es ayor que el úero de ceros de lazo abierto, las raas que o teria e igú cero, tiede asitóticaete a ifiito. Para calcular el águlo de la asítota se cosidera u puto de ella uy leao de los polos y ceros de lazo cerrado. De esa aera los águlos que tiee los polos y ceros de lazo 4

6 Lugar de las Raíces abierto respecto a ese puto se puede cosiderar todos iguales. Aplicado el criterio del argueto, dode a la sua de los águlos de los polos se resta la sua de los águlos de los ceros, si todos los águlos se cosidera iguales quedará solaete los águlos de la diferecia etre el úero de polos y ceros: G)H) 80(q ) ( ) a 80(q ) Y despeado el valor del águlo: a 80(q ) Por tato los águlos vedrá dados por la expresió: a 80(q ) para k > 0 a 80(q) para k < 0 dode: q= 0,,, 3,... a 7) Itersecció de asítotas co ee real (cetroide) Todas las asítotas cortará al ee real e el cetroide que es ua especie de cetro de gravedad de los polos y ceros. Para el lugar directo e iverso: 0 polos de F) ceros de F) 8) Águlos de salida de los polos y llegada a los ceros. Se puede calcular aplicado el criterio del argueto a u puto uy próxio al polo o cero del que se quiere calcular el águlo. Si está uy próxios, la diferecia etre el águlo obteido para el puto y el águlo del polo o cero a calcular será prácticaete ula. Dos ecuacioes. ceros ceros polos 80(q ) polos 80(q) Para K > 0 Para K 0 5

7 Probleas de Igeiería de Sisteas: Sisteas Cotiuos. Coceptos básicos. 9) Putos de dispersió y cofluecia de raas e el ee real. U puto de dispersió existe cuado aparece lugar de las raíces e el ee real etre dos polos de lazo abierto, e este caso de cada polo ace ua raa que se separa del ee real e el puto de dispersió. Y será de cofluecia cuado el lugar e el ee real esté etre dos ceros de lazo abierto, e este caso al puto de cofluecia llega dos raas que se dirigirá por el ee real cada ua a uo de los ceros. Por tato los putos de desprediieto y cofluecia correspode a raíces últiples de la ecuació característica. Si el lugar e el ee real está liitado por u polo y u cero de lazo abierto, o existirá puto de dispersió i cofluecia ya que la raa coieza e el polo y teria e el cero. Coo el lugar de las raíces es siétrico, los putos de dispersió y cofluecia debe aparecer e el ee real. Existe dos étodos: a) Por derivada e igualació a cero: Solució directa para ecuacioes de hasta tercer orde. Pasos: b) Por iteració: - Despear K= - /G). - Derivar K respecto a s. - Igualar a cero y calcular las raíces. Para el caso de F) sea ayor de tercer orde la resolució por el prier étodo colleva calcular las raíces de u polioio ayor de tercer grado. Ua alterativa e esos casos es aplicar el étodo de iteració. La forula a utilizar es la siguiete: Pasos: i a pi a z - El paráetro a toa el valor edio de la raa e el ee real. - Este valor de a se poe e todas las fraccioes eos e las correspodietes a los polos o ceros que liita el lugar e el ee real a estudiar. - Se calcula a y se vuelve a eter e la expresió aterior, recalculado hasta obteer ua fidelidad suficiete. Para el caso de polos copleos cougados de la fora la fora siguiete: (a ) (a ) P,, se puede poer de 6

8 Lugar de las Raíces 0) Itersecció del lugar de las raíces co el ee iagiario. Los putos de corte co el ee iagiario correspode co el valor de gaacia K que lleva al sistea de lazo cerrado al líite de estabilidad. Esto se puede obteer ediate el criterio de estabilidad de Routh: Platear la tabla de Routh cosiderado el paráetro K y calcular su valor para que aparezca ua fila de ceros. Etrado e la ecuació auxiliar que se obtiee de la fila aterior de la tabla de Routh se obtiee los putos de corte. ) Cálculo de K e cualquier puto. Para ello basta co aplicar el criterio del ódulo al puto del lugar de las raíces s k dode se desea coocer el valor de K. ) Sua de raíces. K i k k p ) z ) La sua de las raíces es costate e igual al coeficiete del tério s-, cabiado de sigo, de la ecuació característica, cuado el coeficiete de s es la uidad. i 6.4. CANCELACIÓN DE LOS POLOS DE G(S) CON LOS CEROS DE H(S) Si G) cotiee polos idéticos a ceros de H), al obteer la fució de trasferecia de lazo abierto se cacelará y o se tedrá e cueta a la hora de dibuar el lugar de las raíces. Si ebargo ese polo que se ha cacelado es u polo de la fució de trasferecia de lazo cerrado del sistea. Por lo tato para obteer el total de los polos de lazo cerrado se ha de añadir dicho polo a los obteidos ediate el lugar de las raíces. Eeplo: c) G) ; a) b) H) a) d) G)H) c) b) d) c) G) a) b) M) KG)H) c) b) d) c) d) a) b) d) c) 7

9 Probleas de Igeiería de Sisteas: Sisteas Cotiuos. Coceptos básicos CONTORNO DE LAS RAÍCES Para el cálculo del lugar de las raíces se cosideraba la variació de u factor de gaacia K icluido e la cadea directa del sistea. E estas codicioes el lugar de las raíces os idica la posició de los polos de lazo cerrado del sistea cuado se varía el valor de dicho paráetro K de 0 a. Pero puede ser iteresate ver tabié la posició de polos de lazo cerrado del sistea cuado es otro paráetro del sistea el que varía. E este caso a la represetació se le deoia Cotoro de las raíces. Para su represetació se ha de obteer coo deoiador de la fució de trasferecia de lazo cerrado, es decir, coo su ecuació característica, ua expresió siilar a la del lugar de las raíces pero dode el paráetro a odificar quede coo factor coú ultiplicado a los térios de la cadea abierta de la ecuació característica resultate. Por eeplo, cosiderar cóo afecta la variació de la posició de u polo de la realietació a los polos de lazo cerrado del sistea: Eeplo: Sea G) y s a H) s b La fució de trasferecia de lazo cerrado del sistea será: G) s a s b M) G)H) a) b) s a) b) s b as bs ab Para ver el efecto de variacioes de posició e el polo e s=-b de la realietació. s b s b M) s as s a Ec. Característica: b 0 s as b a) s a b s as s as Dibuado el lugar de las raíces co esta ecuació característica se puede aalizar la posició de los polos de lazo cerrado de M) para variacioes del paráetro b. Si ahora se desea ver el efecto de variacioes de posició e el polo e s=-a de G). s b s b M) s bs s b Ec. Característica: a 0 s bs a b) s b a s bs s bs Dibuado el lugar de las raíces co esta ecuació característica se puede aalizar la posició de los polos de lazo cerrado de M) para variacioes del paráetro a. 8

10 Lugar de las Raíces 6.6. REGLAS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL LUGAR DE LAS RAÍCES ( ) Ecuació característica. K s z )( s z )...( s z ) 0 ( sp )( sp )...( sp ) ) Núero de raas. 3) Putos de iicio y fi. 4) Lugar e ee real 5) Sietría. Igual al úero de polos de la FTLA, F) Coieza e los polos de F). Fializa e los ceros de F). Directo: si a la dcha. tiee u úero ipar de polos y ceros. Iverso: si a la dcha. tiee u úero par de polos y ceros. El lugar directo y el iverso so siétricos respecto al ee real. 6) Asítotas. Directo : Iverso: a a 80(q ) p - z 80(q) p - z 7) Cetróide: 0 8) Agulos de salida y llegada a los polos y ceros copleos cougados. Directo: Iverso: polos de F) p-z ceros de F) Agulos de ceros Agulos de polos 80(k ) Agulos de ceros Agulos de polos 80(k) 9) Llegada y salida del ee real. 0) Itersecció co ee Iagiario ) Cálculo de K. ) Sua de raíces. Método : -Despear K. -Derivar. - Igualar a cero y ver raíces. Método : ; ia pi a z ( a ) Copleos: ( a ) - Routh. - Filas igual a cero. - Ver K. - Fila auxiliares ver puto. K i k k p ) z ) i s k es el puto del plao s dode se desea calcular K. La sua de las raíces es costate e igual al coeficiete del tério s-, cabiado de sigo, de la ecuació característica, cuado el coeficiete de s es la uidad 9

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