UNIDAD 2 ELEMENTOS BASICOS DE TRIGONOMETRÍA.

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1 UNIDAD 2 ELEMENTOS BASICOS DE TRIGONOMETRÍA

2 ELEMENTOS BASICOS DE TRIGONOMETRÍA. Introducción. La trigonometría es el área de las matemáticas que se encarga de calcular los elementos de los triángulos. Para esto se dedica a estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. En esta área intervienen diversos campos de las matemáticas en las que se necesita trabajar con precisión. La trigonometría, de todas formas, cuenta con una amplia variedad de aplicaciones. Permite, por ejemplo, medir las distancias entre dos ubicaciones o cuerpos celestes a partir de técnicas de triangulación.

3 La trigonometría también se aplica en los sistemas de navegación satelital entre muchas otras importantes y necesarias aplicaciones que han permitido desarrollar tecnología, maquinas o equipos. Para resolver un triángulo, se deben tener en cuenta el conocimiento de diferentes conceptos, entre ellos, el poder saber calcular medidas de lados y ángulos para que a partir de la información conocida se determina la que se solicita. Para Poder resolver triángulos se puede partir de la clasificación de los triángulos, según sus lados o según sus ángulos. En relación a la primera agrupación, según sus lados, pueden ser isósceles, equiláteros o escalenos, y en relación a la segunda agrupación, pueden ser rectángulos, acutángulos u obtusángulos. Asimismo cada triangulo tiene puntos y líneas que son de gran utilidad para su solución, como por ejemplo su altura, sus bisectrices, sus mediatrices, sus medianas. En relación a sus puntos notables de un triángulo son: Circuncentro Incentro Baricentro Ortocentro Un estudio y repaso a mayor a detalle es conveniente hacerlo para recordar los conceptos y aplicarlos correctamente. Ahora bien, para proceder a resolver los triángulos es preciso tener en cuenta que entre los lados de los triangulo se pueden establecer relaciones de magnitud para ir progresivamente en el conocimiento de la demás información. Cuando se dice que se ha resuelto un triángulo es porque se conocen de él sus tres lados y sus tres ángulos.

4 En primer lugar vamos a definir las relaciones que se establecen entre los lados de un triángulo. Iniciaremos con el triángulo rectángulo, el cual tiene como ya es de tu conocimiento un ángulo recto, y los lados se conocen como catetos, que son los que forman el ángulo de 90 grados, y su hipotenusa que es el lado de mayor longitud. Pues bien, en relación a un triángulo, como es sabido la suma de sus tres ángulos es 180 grados por lo que si se trata de un triángulo rectángulo entonces uno de ellos ya mide 90 grados, de manera que entre los otros dos restantes miden los otros 90 grados. Así por ejemplo en la figura siguiente se observa que los lados están definidos con letras minúsculas, y los ángulos con letras mayúsculas. Un asunto muy importante es que sepas identificar el ángulo de 90 grados, en este caso es sencillo hacerlo porque uno de los catetos es la recta horizontal y el otro es vertical por lo que se forma de manera evidente un ángulo recto. Es decir: el Cateto a y cateto b forman el ángulo C que es el de 90 grados La suma de los ángulos A y B es 90 grados, que sumados al ángulo C en total dan 180 grados. Un punto importante es saber el valor de los ángulos A y B, ahí es donde inicia la definición de lo que se conoce como funciones trigonométricas o razones trigonométricas. RAZONES TRIGONOMETRICAS.

5 Consideremos un circulo unitario, es decir de radio = 1, luego sobre este tracemos una semirrecta OX a partir del centro, y una segunda semirrecta OY perpendicular a la primera la cual tiene en común el primer punto de la semirrecta OX; de la misma forma trazamos las semirrectas OX y OY como se muestra en la figura. Se forma de esta manera un círculo al cual llamaremos unitario y que contiene una división de 4 partes cada una de las cuales se llama cuadrante. Si se gira la semirrecta OX tomando como centro el punto O, en el sentido contrario de las manecillas del reloj, se forman los ángulos considerados positivos. Como puede verse, al estar dividida la circunferencia de 360 grados en el sistema sexagesimal, entonces el primer cuadrante está formado desde o a 90 grados, el segundo desde 90 grados hasta 180 grados, el tercero desde 180 hasta 270 grados y el cuarto cuadrante hasta completar los 360 grados. Así se forma un plano cartesiano, el cual se forma de las semirrectas XX y YY. La semirrecta XX se conoce como eje de las abscisas y la semirrecta YY se llama eje de las ordenadas.

6 Ahora bien para definir las razones trigonométricas procedemos de la siguiente manera. Tracemos una semirrecta OA en el primer cuadrante tomando como inicio el centro de la circunferencia. Esta semirrecta forma con el eje de las abscisas un ángulo que llamaremos alfa α. Luego trazamos una semirrecta perpendicular al eje de las abscisas desde A hasta cortar este mismo eje en el punto B, lo cual puede observarse en la figura siguiente. Así se forma un triángulo rectángulo OAB

7 Una vez definido este triángulo unitario, cuya hipotenusa es la recta OA que mide una unidad es decir lo mismo que el radio podemos relacionar las magnitudes de los lados de dicho triangulo. Estas relaciones llamadas propiamente razones trigonométricas se forman a partir de los cocientes de los lados de dicho triangulo según las siguientes definiciones. Para el ángulo α: Seno: es el cociente de la semirecta AB entre la semirecta OA. También se puede definir como cateto opuesto entre la hipotenusa. Es decir: Sen α = AB OA Coseno :es el cociente de la semirrecta OB y la semirrecta OA. También se puede definir como el cateto adyacente entre la hipotenusa. Es decir: Cos α = OB OA Tangente: es el cociente de la semirrecta AB y la semirrecta OB, también se puede definir como el cateto opuesto entre el cateto adyacente. Es decir: Tang α= AB

8 OB Cotangente; es el cociente de la semirrecta OB y la semirrecta AB. Se puede definir también como el cateto adyacente entre el cateto opuesto, es decir a la inversa de la tangente, esto es: Cot α = AB OB Secante: es el cociente de la semirrecta OA y la semirrecta OB, se define también como la hipotenusa entre el cateto adyacente, es decir a la inversa del coseno, esto es: Sec α = OA OB Cosecante: es el cociente de la semirrecta OA y la semirrecta AB, se define también como la hipotenusa entre el cateto opuesto, es decir a la inversa del seno, esto es: Ccs α = OA AB Estas 6 razones trigonométricas del ángulo α son de utilidad para calcular valores de ángulos. De hecho a partir de la información que se tenga de las longitudes de un triángulo y complementariamente con el Teorema de Pitágoras, es que se obtiene los valores de los tres lados y los tres ángulos de un triángulo. De manera similar es que se pueden obtener las 6 razones trigonométricas para el ángulo ψ que se muestra en la figura siguiente.

9 Con el resultado de cada una de estas divisiones, y por medio del uso de unas tablas de valores de cada una de las funciones, es que se pueden definir los valores de cualquiera de los ángulos para un triángulo cualquiera, Traslademos ahora estos conceptos de razones trigonométricas para ponerlos en práctica. Ejemplo 1. Dado el siguiente triangulo de la figura determina las 6 funciones trigonométricas para cada ángulo y los valores de los ángulos A Y B solicitados.

10 Como punto importante a considerar es identificar cual es el cateto opuesto al ángulo considerado y cuál es el cateto adyacente, lo cual permitirá tener los resultados correctos. Como se puede observar, los valores de los 3 lados son conocidos, adicionalmente estos lados tienen las mismas letras que los ángulos correspondientes, por ello se facilita la solución quedando:

11 Recuerda que se han aplicado los siguiente conceptos para cada ángulo: seno = cateto opuesto / hipotenusa Coseno= cateto adyacente/ hipotenusa Tangente = cateto opuesto / cateto adyacente. Ahora bien, en cuanto a los ángulos A y B se pueden obtener por medio de una tabla o calculadora con cualquiera de las funciones de la siguiente forma, Para el ángulo A Con la función seno: Angulo cuyo seno es 4/5 = o O bien por medio de la función coseno: ángulo cuyo coseno es 3/5 = o Se puede comprobar con la función tangente : ángulo cuya tangente es 4/3= o ahora para el ángulo B Se puede calcular con cualquiera de las tres funciones: Con la función seno: Angulo cuyo seno es 3/5 = o

12 o bien por medio de la función coseno: ángulo cuyo coseno es 4/5 = o se puede comprobar con la función tangente : ángulo cuya tangente es 3/4= o Como se puede observar, los ángulos A y B se han determinado usando las relaciones entre los lados del triángulo; Y se comprueba que la suma de los dos ángulos A y B resultan 90 grados que sumados con el ángulo C que es recto da en total los 180 grados. Gráficamente también se puede comprobar los resultados obtenidos con el software geogebra, lo cual se muestra en la siguiente figura. EJERCICIOS PARA RESOLVER. A continuación se proponen algunos ejemplos para contestar, se sugiere que primero identifiques el ángulo recto, y la hipotenusa, para proceder con las relaciones entre los lados. Ejercicio de práctica No. 1. DETERMINA LAS 6 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA LOS ANGULOS F y G Y EL VALOR DE DICHOS ANGULOS DEL SIGUIENTE TRIANGULO Y COMPRUEBA GRAFICAMENTE CON EL SOFTWARE GEOGEBRA.

13 Ejercicio de práctica No. 2. DETERMINA LAS 6 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA LOS ANGULOS K y M Y EL VALOR DE CADA ANGULO DEL SIGUIENTE TRIANGULO Y COMPRUEBA GRAFICAMENTE CON EL SOFTWARE GEOGEBRA. EJERCICIO DE PRÁCTICA.

14 Con el fin de que obtengas mayor destreza en el cálculo de las razones trigonométricas, determina las 6 razones de cada ángulo de la siguiente figura, Como el polígono no tiene dimensiones en sus lados, solo deja indicado los lados que se relacionan en cada razón. Por ejemplo para el ángulo P: Sen P = QR / PQ En cuanto a la solución completa de un triángulo rectángulo, en ocasiones, no solo se trata de calcular ángulos sino también lados, por lo que es necesario usar algunos otros conceptos como por ejemplo el teorema de Pitágoras. Para ello procederemos a realizar algunos ejemplos de práctica y de repaso. IDENTIFICACION DE LADOS EN UN TRIANGULO RECTANGULO. Considera la siguiente imagen, observa como el triángulo es el mismo, sin embargo el aspecto importante es que identifiques correctamente que el ángulo recto siempre conserva la misma posición, es decir, se forma por los dos catetos.

15 Vamos a nombrar y determinar valores a los lados del triángulo como se muestra en la imagen siguiente. Con dicha información, determina el valor de los ángulos y lado que falta. La solución la podemos empezar determinando que se conoce el ángulo F que es de 90 grados, luego como se conoce un cateto y la hipotenusa, se puede usar el teorema de Pitágoras para determinar el lado que falta, considerando que el teorema para este caso lo aplicamos como sigue:

16 e 2 + d 2 = f 2, es decir la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Y como se desconoce uno de los catetos, despejamos para determinar su valor quedando: d 2 = f 2 - e 2 y sacando raíz cuadrada tenemos: Como ahora ya se conocen los valores de los tres lados, entonces se puede usar cualquiera de las funciones trigonométricas para determinar los valores de los angulos D y E. Usaremos la función seno para el angulo D: Sen D = cateto opuesto / hipotenusa Sen D = d/ f = 8/ 10 Sen D = 0.8. y el angulo cuyo seno es 0.8 es igual a: Para calcular el valor del otro ángulo puede realizarse una resta para completar los 90 grados, sin embargo usaremos otra función trigonométrica. Usaremos la función tangente: Tang E = cateto opuesto / cateto adyacente

17 Tang E = 6/ 8 = 0.75 Y el angulo cuya tangente es 0.75 equivale a , y asi tenemos los valores de los tres lados y los tres angulos como se puede comprobar en la figura. Ejemplos propuestos para practicar. 1.- En el siguiente triangulo el ángulo de 90 grados es el Angulo M. Determina las 6 funciones trigonométricas de los ángulos N y P.

18 2.- En la siguiente figura el ángulo de 90 grados es el ángulo G. determina las 6 funciones trigonométricas para los ángulos F y H. 3.- En la siguiente figura el ángulo de 90 grados es el ángulo D, determina las 6 funciones trigonométricas para los ángulos E y B 4.- De los siguientes triángulos elige 2 de ellos; determina la letra que le corresponde al ángulo recto, así como las 6 funciones trigonométricas de los 2 ángulos agudos.

19 EJEMPLOS DE APLICACIÓN. A continuación se muestran algunos ejemplos prácticos donde se aplican los conceptos explicados anteriormente de funciones trigonométricas y teorema de Pitágoras. A). la figura que se muestra a continuación representa un trabajador de la compañía de luz que realiza una actividad de mantenimiento. Calcula el valor de la altura h a la que se encuentra la escalera del suelo, sabiendo que dicha escalera se encuentra a 1.5 metros de la base del poste, y que dicha escalera tiene una longitud de 4 metros. También determina el valor de los ángulos A y B.

20 Solución. En primer lugar se sabe que la distancia AC = 1.5 metros, y el ángulo recto es C, como la longitud AB que es la hipotenusa = 4 metros, entonces tenemos el siguiente triangulo: (AC) 2 + h 2 = (AB) 2 es decir: podemos calcular por medio del teorema de Pitágoras el valor de la altura quedando: Despejando la altura que es la que se va a calcular resulta:

21 Luego como ya se conocen los tres lados se puede usar cualquiera de las 3 funciones trigonométricas. Lo haremos con la función coseno: Cos A = Cateto adyacente / hipotenusa Cos = AC / AB Cos A = 1.5/ 4 Cos A = y el ángulo cuyo coseno es corresponde a: En cuanto al ángulo B Tenemos; usando por ejemplo la tangente: Tang B = Cateto opuesto / cateto adyacente Tang B = 1.5/3.7 Tang B = Y el ángulo cuya tangente es o.475 corresponde a 22 0 que se comprueba ya que sumando los angulos A y B resulta 90 grados. B) la siguiente figura representa la estructura de un techo. Calcule la longitud PM sabiendo que la longitud NP=2.5 metros y la longitud MN = 2 metros, y también calcula el valor de los ángulos M y P.

22 Solución. Se observa que se tiene un triángulo rectángulo cuyo ángulo de 90 grados es N, luego el valor que se solicita es la hipotenusa, de manera que al aplicar el teorema de Pitagoras resulta: PM 2 = NP 2 + MN 2 de donde el valor de PM es:

23 Ahora sabiendo el valor de los tres lados se puede determinar los ángulos. El ángulo P se obtiene: Sen P = cateto opuesto / hipotenusa Sen P = 2/ 3.2 Sen P = y el ángulo cuyo seno es corresponde a en cuanto al ángulo M: Tang M = cateto opuesto/ cateto adyacente tang M = 2.5/ 2 tang M = 1.25 Y el ángulo cuyo coseno es 1.25 corresponde Diseño. Juan Adolfo Alvarez Mtz.