Valores y medias. Las propiedades genéticas de una población pueden expresarse en términos de frecuencias alélicas y genotípicas
|
|
- Isabel Valenzuela Fernández
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Vlores y medis Componentes del fenotipo Medi de l poblción Efecto medio de un gen Vlor mejornte o mérito genético Desvición dominnte Intercción epistátic Bibliogrfí: Flconer. Cp. 7 Nichols. Cp. 14 Vlores y Medis Ls propieddes genétics de un poblción pueden expresrse en términos de frecuencis lélics y genotípics Vmos ver l relción que existe entre ls frecuencis lélics y genotípics por un ldo, y ls diferencis cuntittivs que exhiben los crcteres cuntittivos por otro Pr ello introducimos un nuevo concepto que es el de vlor, que se expres en ls misms uniddes métrics con ls que se mide el crácter: cm, gr, litros. 1
2 Vlor fenotípico de un individuo Es el vlor observdo cundo se mide el crácter en ese individuo Se debe en prte los genes y en prte tods ls circunstncis no genétics El genotipo y el mbiente son, por definición, los únicos determinntes del vlor fenotípico Componentes del vlor fenotípico P = vlor fenotípico G = vlor genotípico E = desvición mbientl P = G + E E ~ N ( 0, σ 2 E ) P ~ N ( G ~ N ( G, σ 2 G ) P, σ 2 G+ σ 2 E ) P = G El vlor fenotípico medio es igul l vlor genotípico medio 2
3 G ~ N ( G, σ 2 G ) E ~ N ( 0, σ 2 E ) P ~ N ( P, σ 2 G+ σ 2 E ) P = G + E Este modelo supone que G y E son vribles independientes y que sus efectos son exclusivmente ditivos, es decir, no existe intercción entre ells Si G y E no son independientes, es decir, si entre ells existier lgún tipo de correlción, por ejemplo, si los mejores genotipos se les proporcion un mejor trto o, en generl, un mejor mbiente: P = G + E + 2cov(G,E) y si l cción de G y E no es exclusivmente ditiv, sino que puede existir lgún tipo de intercción entre mbs vribles: P = G + E + I GE Acción ditiv de G y E (no intercción) 1 2 Ambiente Ambiente Ambiente Ambiente Fenotipo Fenotipo Ambiente 1 2 Ambiente 3
4 y si l cción de G y E no es exclusivmente ditivo, sino que puede existir lgún tipo de intercción entre mbs vribles: P = G + E + I GE Dos tipos de intercción entre G y E 1 2 Ambiente Ambiente 2 6,8 7,8 1 2 Ambiente Ambiente Fenotipo ,8 6,8 1 Fenotipo Ambiente 1 2 Ambiente Modelo de genétic cuntittiv 4
5 Suponemos un poblción en equilibrio Hrdy-Weinberg A(p) (q) A (p) pq (q) pq P 2 Medi G G G μ G = μ + G = μ + G = μ + μ = M+ d= M+ = M+ M = G μ = G - μ = G - μ = M = d M = M G G = - d G G = d + = G [(G + G )/2] G 2G +G = - 2d d = G [(G + G )/2] M = μ -[(G + G )/2] 5
6 Modelo de genétic cuntittiv Suponemos que podemos medir el vlor genotípico medio l poder identificr los individuos que son portdores de cd uno de los tres genotipos (en l práctic esto nunc será sí) = M+ d= M+ = M+ Modelo ditivo (d=0) d 6
7 + 0 d + 0 7
8 + d d + d d 8
9 G = μ + G = μ + G = μ + Medi de l poblción Orugs Moscs Totl nº de nimles nº de pts 42 6 Clculr el número medio de pts en el conjunto de nimles Medi= (75 x x 6)/100 = 33 Orugs Moscs Totl nº de nimles frecuenci 0,75 1 nº de pts 42 6 Medi,75 x 42 + x 6 = 33 G = μ + G = μ + G = μ + Orugs Moscs Totl nº de nimles frecuenci 0,75 1 nº de pts 42 6 Medi,75 x 42 + x 6 = 33 Vlores desvidos de l medi = = 27 Sum de ls desviciones de l medi: 0,75 x 9 + x ( 27) 9
10 Medi G = μ + G = μ + G = μ + μ = M+ d= M+ = M+ M Medi (μ) de l poblción = (μ + ) + (μ + ) + (μ + ) = μ + + μ + + μ + = μ ( + + ) = 1 L sum de ls desviciones de l medi es d M= + d+ ( ) = ( ) + d = (p q) + d ( ) = (p + q)(p q) =(p q) + 2dpq Contribución de los homocigotos Contribución de los heterocigotos 10
11 G = μ + G = μ + G = μ + Efecto medio de un gen (lelo) Un individuo ps su descendenci lelos y no genotipos, por lo que el comportmiento de un individuo como reproductor depende de los lelos que trnsmit su descendientes. Pr l vlorción de dicho comportmiento necesitmos poder medir el efecto de los lelos, lo que se denomin efecto medio de un gen (lelo).. Es l desvición medi, con respecto l medi de l poblción, de los individuos que recibieron dicho lelo de un progenitor (y el otro lelo proviene l zr de l poblción) Medi G = μ + G = μ + G = μ + μ d M Si signmos l lelo A el vlor y l lelo el vlor α α = - α Estos vlores reciben el nombre de vlores génicos (ditivos), son l contribución de cd uno de los genes (lelos), están expresdos como desvición respecto l medi Vlor génico (o ditivo) μ A + 2 μ A + μ A + 2α μ A Vlor génico (o ditivo) desvido de l medi 2 2α 0 11
12 Medi G = μ + G = μ + G = μ + μ d M Si signmos l lelo A el vlor y l lelo el vlor α α = - α M = medi de l poblción rel M = (p q) + 2dpq = M 1 -M M 1 = medi de l poblción hipotétic en l que todos los genes tienen por lo menos un lelo A, y el otro puede ser A o A Frec(A) = p A Vlor genotípico p Medi G = μ + G = μ + G = μ + μ d M Si signmos l lelo A el vlor y l lelo el vlor α α = - α M = medi de l poblción rel M = (p q) + 2dpq = M 1 -M M 1 = medi de l poblción hipotétic en l que todos los genes tienen por lo menos un lelo A, y el otro puede ser A o A Frec(A) = p A Frec() = q M 1 =p + dq Vlor genotípico p = p + dq - M d q 12
13 Medi G = μ + G = μ + G = μ + μ d M Si signmos l lelo A el vlor y l lelo el vlor α α = - α M = medi de l poblción rel M = (p q) + 2dpq α = M 2 -M M 2 = medi de l poblción hipotétic en l que todos los genes tienen por lo menos un lelo, y el otro puede ser A o Frec() = q A Frec(A) = p Vlor genotípico - q d p M 2 =q + dp α = q + dp - M Medi G = μ + G = μ + G = μ + μ d M Si signmos l lelo A el vlor y l lelo el vlor α α = - α = p + dq - M = p +dq [(p q) + 2dpq] = p +dq p + q - 2dpq = q[d + 2dp] = q[ + d(1 2p)] = q[ + d(q - p)] (1 2p) = 1 p p = q p α = q + dp - M = -p[ + d(q - p)] α = - α = [ + d(q - p)] 13
14 Medi G = μ + G = μ + G = μ + μ Vlor génico (o ditivo) μ A + 2 μ A + μ A + 2α μ A Vlor génico (o ditivo) desvido de l medi 2 2α 0 Puesto que l sum de ls desviciones de l medi es 0: + + (2 ) + ( ) + (2α ) p + qα Ejemplo f(a),5 0,5 G = μ + = 30 G = μ + = 24 G = μ + = 6 μ = *30 + 0,5*24 + *6 = 21 M h = (G + G )/2 = (30 + 6)/2 = 18 M = = 3 0,5 G = μ + = 30 G = μ + = 24 G = μ + = 6 = G μ = M = G - μ = d M = G - μ = M Vlor genotípico desvido de l medi =30 18 = 12 =30 21 = 9 d =24 18 = 6 = = 3 = 6 18= 12 = 6 21 = 15 M = (p q) + d = 12 (0,5 0,5) + 2 x 0,5 x 0,5 x 6 = 3 14
15 f(a),5 Vlor genotípico desvido de l medi G = μ + = 30 =30 18 = 12 =30 21 = 9 G = μ + = 24 d =24 18 = 6 = = 3 G = μ + = 6 = 6 18= 12 = 6 21 = 15 Vlor génico (o ditivo) 2 2α 0,5 Medi μ M 0 0 L cuestión es como estimr el efecto de sustitución α G = μ + G = μ + G = μ + Vlor génico (o ditivo) 2 2α dominnci Desviciones de l Hciendo mínimo ls desviciones l cudrdo: Q = ( 2 ) 2 + ( α ) 2 + ( 2 α ) 2 δq/δ δq/δα = p + q α = p + q α = - α 15
16 Hciendo mínimo ls desviciones l cudrdo: Q = ( 2 ) 2 + ( α ) 2 + ( 2 α ) 2 δq/δ [4 ( 2 ) + 4pq( α )] δq/δα [4pq( α ) 4 ( 2α )] Teniendo en cuent que: (2 ) + ( ) + (2α ) 2 p+ q q= p + q p + qα p p+ 2α q= p+ q = p + q α = p + q Prueb de que: (2 ) + ( ) + (2α ) Es igul : p + qα (2 ) + ( ) + (2α )= ( + pq) ( + pq) = p + qα p(p + q)=p q(q + p)=q 16
17 = p + q α = p + q α = - α = G μ = G - μ = G - μ = M = d M = M M= (p q) + 2dpq = p + q = p( M) + q(d M) = p + dq M α = p + q = p(d M) + q( M) = q +dp M = q [ + d(q p)] α = p [ + d(q p)] Como: α = α = + d(q p) = q α α = p α 0,5 G = μ + = 30 G = μ + = 24 G = μ + = 6 Vlor genotípico desvido de l medi =30 21 = 9 = = 3 = 6 21 = 15 Vlor génico o ditivo M+ 2 M+ M+ 2α = p + q = *9 + *3 = 6 α = p + q α = *3 + *(-15) = -6 α = - α = 6 (-6) = 12 Vlor génico o ditivo desvido de l medi 2 = 12 2α =
18 0,5 G = μ + = 30 G = μ + = 24 G = μ + = 6 Vlor genotípico desvido de l medi =30 21 = 9 = = 3 = 6 21 = 15 Vlor génico o ditivo μ + 2 μ + μ + 2α Vlor génico o ditivo desvido de l medi 2 = 12 2α = 12 Vlor reproductivo, vlor mejornte, mérito genético o vlor ditivo de un reproductor (A) Es el vlor de un individuo juzgdo por el vlor medio de su progenie Se define como el doble de l medi de los hijos desvid de l medi de l poblción: A = 2(M hijos M poblción ) Vlor reproductivo, vlor mejornte, mérito genético o vlor ditivo de un reproductor (A) Es el vlor de un individuo juzgdo por el vlor medio de su progenie Se define como el doble de l medi de los hijos desvid de l medi de l poblción: A = 2(M hijos M poblción ) M hijos M poblción Es l medi de un conjunto de individuos cuyo pdre es del que quiero hllr el vlor mejornte Es l medi del conjunto de individuos que pertenecen l mism poblción que l del pdre del que quiero hllr el vlor mejornte 18
19 Supongmos que queremos estimr el mérito genético de un individuo L mitd de los hijos tendrán un lelo A, y l otr mitd el lelo L medi de los hijos que hn recibido el lelo A es M 1 (vist ntes), mientrs que l medi de los hijos que hn recibido el lelo es M 2 M 1 + M 2 Por lo tnto, l medi de los hijos de este reproductor es = 2 M 1 y M 2 son ls medis de dos poblciones hipotétics A = 2(M hijos M poblción ) = 2 [ M 1 + M M ] = M1 + M2 2M = = (M 1 M) + (M 2 M) α El mérito genético de un individuo = 2 (M 1 M) = 2 y el mérito genético de un individuo = 2 (M 2 M) = 2α 19
20 0,5 G = μ + = 30 G = μ + = 24 G = μ + = 6 Vlor genotípico desvido de l medi =30 21 = 9 = = 3 = 6 21 = 15 Vlor génico o ditivo μ + 2 μ + μ + 2α Vlor génico o ditivo desvido de l medi 2 = 12 2α = 12 El vlor ditivo, mérito genético o vlor mejornte de un individuo no es necesrimente igul su vlor genotípico 0,5 G = μ + = 30 G = μ + = 24 G = μ + = 6 Vlor genotípico desvido de l medi =30 21 = 9 = = 3 = 6 21 = 15 Vlor génico o ditivo μ + 2 μ + μ + 2α Vlor génico o ditivo desvido de l medi 2 = 12 2α = 12 El vlor ditivo, mérito genético o vlor mejornte de un heterocigoto es exctmente el punto medio entre los vlores mejorntes de los dos homocigotos correspondientes 20
21 0,5 G = μ + = 30 G = μ + = 24 G = μ + = 6 Vlor genotípico desvido de l medi =30 21 = 9 = = 3 = 6 21 = 15 Vlor génico o ditivo μ + 2 μ + μ + 2α Vlor génico o ditivo desvido de l medi 2 = 12 2α = 12 El vlor ditivo o vlor mejornte de un individuo es directmente proporcionl l número de lelos fvorbles que posee 12 y = b X 0-12 α b = α En el cso de n loci El vlor reproductivo (= vlor ditivo o mérito genético) de un individuo pr un crácter, será l sum de los efectos medios de los lelos que lleve en los n loci de ese crácter: n 2 ΣΣα ij i=1 j=1 Siendo: i = locus j = lelo dentro de locus n = número de loci 2 = número de lelos por locus Ejemplo: 2 loci, cd uno con dos lelos, el mérito genético de un individuo Bb será: α 11 + α 12 + α 21 + α 22 21
22 Dominnci (Desvición de l dominnci) D = G - A M= (p q) + 2dpq α = + d(q p) Vlor genotípico de, (), desvido de l medi (M): G = M = [(p q) + 2dpq] = p+q 2dpq = (1 p + q) 2dpq = = 2q 2dpq = 2q( dp) = G Desvición dominnte de : Vlor ditivo de = + = 2qα D = G A = G 2qα = 2q( dp) 2q[ + d(q p)] = = 2q 2qpd 2q[ + dq dp] = 2q 2qpd 2q 2 d + 2dpq = = 2 d = D 0,5 G = μ + = 30 G = μ + = 24 G = μ + = 6 Vlor genotípico desvido de l medi =30 21 = 9 = = 3 = 6 21 = 15 Vlor génico o ditivo desvido de l medi 2 = 12 2α = 12 Desvición del modelo ditivo o dominnci 9 12= = 3 15 ( 12) = 3 Desvición del vlor genotípico respecto vlor medio de los homocigotos ((30 + 6)/2 = 18) 30 18= = = 12 Si el modelo fuer ditivo Desvición del modelo ditivo d 22
23 Resumen Vlores genotípicos, ditivos y de dominnci pr el cso de un locus con dos lelos μ =(p q) + 2dpq α = + d(q p) Vlor genotípico desvido de l medi 2q( pd) (q p) + d(1 ) 2p( + qd) Vlor génico o ditivo desvido de l medi 2qα (q p) α 2pα Desvición del modelo ditivo o dominnci 2d 2dpq 2d 23
Introducción a la Genética Cuantitativa Javier Cañón jcanon@vet.ucm.es
Introducción a la Javier Cañón jcanon@vet.ucm.es La genética cuantitativa tiene por objeto el estudio de los caracteres cuantitativos. En este contexto, se entiende por carácter cuantitativo aquel que
Más detallesUna magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente.
Etueri Clses Prticulres Online Tem 4. Proporcionlidd Mgnitudes Un mgnitud es culquier propiedd que se puede medir numéricmente. Ejemplos: longitud, cpcidd de un recipiente, peso, Rzón L rzón es el cociente
Más detallesDIVERSIFICACIÓN CURRICULAR
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Se llmn ecuciones igulddes en ls que precen número y letrs (incógnits) relciondos medinte operciones mtemátics. Por ejemplo: - y = + Son ecuciones con un incógnit cundo prece un
Más detallesEcuaciones de Segundo Grado II
Alumno: Fech:. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II Ecuciones de Segundo Grdo II Nturlez de Ríces depende = b - 4c Discriminnte si Propieddes de ls Ríces sum b x x producto c x. x Formción de l Ecución se debe
Más detallesINSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,
Más detallesGrado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.
Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág. 1 PÁGINA 70 EJERCICIOS Áres y perímetros de figurs sencills Hll el áre y el perímetro de ls figurs coloreds de los siguientes ejercicios: 1 ) b) 3 m 3 m 1,8 m 4 m 6 m ) S3 m3 m9 m b) S 6m 1,8 m 5,4
Más detallesAX = B. X es la matriz columna de las variables:
ÁLGEBR MTRICIL PRO. MRIEL SRMIENTO SESIÓN 9: METODO DE ELIMINCIÓN GUSSIN En est sesión, resolvemos sistems de ecuciones lineles de orden x y x. Pr ello escribimos el sistem en término de mtrices, por ejemplo:
Más detallesClasificación de las enf. genéticas. Cromosómicas Monogénicas - Mendelianas - Con modos de herencia no tradicional Multifactoriales
Clsificción de ls enf. genétics Cromosómics Monogénics - Mendelins - Con modos de herenci no trdicionl Multifctoriles Herenci Monogénic Herenci Autosómic: Dominnte Codominnte Recesiv Herenci ligd l X:
Más detallesINFORME DE LA PRÁCTICA nº 2: LA RUEDA DE MAXWELL. Fernando Hueso González. Carlos Huertas Barra. (1º Fís.), L1, 21-XI-07 - 0 -
INFORME DE LA PRÁCTICA nº : LA RUEDA DE MAXWELL Fernndo Hueso González. Crlos Huerts Brr. (1º Fís.), L1, 1-XI-7 - - RESUMEN L práctic de l rued de Mxwell consiste en medir el tiempo que trd en descender
Más detalles10.- Teoremas de Adición.
Trigonometrí 10.- Teorems de Adición. Rzones trigonométrics de los ángulos A + B y A B. Hy que tener cuiddo de no confundir l rzón trigonométric de l sum de dos ángulos, con l sum de dos rzones trigonométrics.
Más detallesMODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL
MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO EDUARDO PÉREZ RODRÍGUEZ Deprtmento de Economí Aplicd Universidd de Grnd. INTRODUCCIÓN Se supone que el Sr. Corto dispone de
Más detallesTema 5. Trigonometría y geometría del plano
1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene
Más detallesColegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS 3º ESO VERANO 2015
Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS º ESO VERANO º. Amplific ls siguientes frcciones pr que tods tengn denomindor b c d º. Cuál de ls siguientes frcciones es un frcción mplificd
Más detallesPROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA
PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA Rzón entre dos números Siempre que hblemos de Rzón entre dos números nos estremos refiriendo l cociente (el resultdo de dividirlos) entre ellos. Entonces: Rzón entre
Más detalles7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,
Más detalles1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de
Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo
Más detalles3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m
LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener
Más detallesFactorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica
Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel
Más detallesTEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1
TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz
Más detallesLos números racionales:
El número rel MATEMÁTICAS I 1 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 1.1. El conjunto de los números reles. Como y sbes los números nturles surgen de l necesidd de contr, expresr medids, pr
Más detallesEl conjunto de los números naturales tiene las siguientes características
CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que
Más detallesIntegrales impropias
Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección
Más detallesMATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A
MTRICES. Determinr l mtriz trnspuest de cd un de ls siguientes;,, C 8. Efectú l siguiente operción con mtrices y clcul. Sen 8, y C determinr: ) t C ) (-C) t t c) -C( t -) d) - t -(C). Dds ls siguientes
Más detallesCUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES...
Más detalles1. Cuales son los números naturales?
Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l
Más detallesFUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS LA FUNCIÓN EXPONENCIAL. Introducción Siempre que hy un proceso que evolucione de modo que el umento (o disminución) en un pequeño intervlo de tiempo, se proporcionl
Más detallesTEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes
Más detallesLa hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.
Más detallesCurso ON LINE Tema 5. x + y + z = 5 1200x + 600y = 2000 + m z 1200x = 3 m z
Curso ON LINE Tem 5 Un gente inmobilirio puede relir tipos de operciones: vent de un piso nuevo, vent de un piso usdo lquiler. Por l vent de cd piso nuevo recibe un prim de. Si l operción es l vent de
Más detallesO(0, 0) verifican que. Por tanto,
Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O
Más detallesPOTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES
www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición
Más detallesX obtener las relaciones que deben
odelo. Ejercicio. Clificción áxi puntos ) ( punto) Dd l triz y l triz t z y x X otener ls relciones que deen cuplir x, y, z, t pr que l triz X verifique X X. ) (, puntos) Dr un ejeplo de l triz X distint
Más detallesMATRICES DE NÚMEROS REALES
MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m
Más detallesTABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS L.C. y Mtro. Frncisco Jvier Cruz Ariz L.C. y Mtro. Frncisco Jvier Cruz Ariz TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Un mner de simplificr los dtos es usr un tbl de frecuenci
Más detallesEL MODELO Drosophila. Drosophila
Curso Orgnizción, Función y vriilidd del Genom Eucriot 2010 Módulo II. Introducción l orgnizción del genom eucriot medinte estrtegis genétic de mpeo TEORICO: Recominción y Mpeo genético en Drosophil melnogster
Más detallesA a. Fig. 1 Homocigosis y heterocigosis.
III) L informción celulr 11) Herenci genétic 11) L HERENCI GENÉTIC CONCEPTO DE GENÉTIC Definiremos l genétic como l prte de l iologí que se ocup del estudio de l herenci iológic, intentndo explicr los
Más detallesaccés a la universitat dels majors de 25 anys MATEMÀTIQUES UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS
Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 25 ns Unidd de cceso cceso l universidd de los mores de 25 ños UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS ÍNDICE 1. Introducción 2. Potencis funciones eponenciles 3. Función
Más detallesUNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3
UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID EJERCICIOS PUS MTEMÁTICS II (DESDE EL CURSO 78 L ) ÁLGEBR: TEMS (Los ejercicios de selectividd resueltos los podéis encontrr en l págin web clsesdepooco) http://wwwclsesdepooco/docuents/es_serch
Más detallesIES CINCO VILLAS TEMA 8 ALGEBRA Página 1
SOLUCIONES MÍNIMOS CURSO º ESO TEMA 8 ALGEBRA Ejercicio nº.- Epres de form lgeric los siguientes enuncidos mtemáticos: ) El triple de sumr siete un número, n. El número siguiente l número nturl. c) El
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES
Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión
Más detallesEl Teorema Fundamental del Cálculo
del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su
Más detallesTema 4: Integrales Impropias
Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO
PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este
Más detallesPROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00
Más detallesDesarrollos para planteamientos de ecuaciones de primer grado
1) Hllr un número tl que su triple menos 5 se igul su doble más 2. 5= 2 + 2 2= 2+ 5 = 7 2) El triple de un número es igul l quíntuplo del mismo menos 20. Cuál es este número? = 5 20 20 = 5 20 = 2 = 10
Más detallesUNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS CUADRILÁTEROS
u r s o : Mtemátic Mteril N 13 GUÍ TÓRIO PRÁTI Nº 11 UNI: GOMTRÍ POLÍGONOS URILÁTROS POLÍGONOS FINIIÓN: Un polígono es un figur pln, cerrd, limitd por trzos llmdos ldos y que se intersectn sólo en sus
Más detallesHl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2a} 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES
4.1 DEFINICION. Un hipérol es el conjunto de todos los puntos del plno euclideno R~ tles que que l diferenci de sus distncis dos puntos fijos es en vlor soluto un constnte. Así, si F, y F, son dos puntos
Más detallesCASO PRÁCTICO SOBRE COMBINACIONES DE NEGOCIOS ENTRE EMRPESAS DEL GRUPO. Las combinaciones de negocios se regulan en dos normas del PGC:
CASO PRÁCTICO SOBRE COMBINACIONES DE NEGOCIOS ENTRE EMRPESAS DEL GRUPO. Gregorio Lbtut Serer http://gregorio-lbtut.blogspot.com.es/ Universidd de Vlenci. Ls combinciones de negocios se reguln en dos norms
Más detalles3.- Matrices y determinantes.
3.- Mtrices y determinntes. 3.. Definición de mtriz, notción y orden. Se define un mtriz de orden m x n, un reunión de m x n elementos colocdos en m fils y n columns. Cd elemento que form l mtriz se denot
Más detallesPROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito
Más detallesResolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.
Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por
Más detallesRR Homocigótico Rojo BB Homocigótico Blanco RB Heterocigótico Rosa
www.clseslcrt.com 1 Tem 14.- Genétic L genétic es l prte de l iologí que se ocup del estudio de l herenci biológic, intentndo explicr los mecnismos y circunstncis medinte los cules se rige l trnsmisión
Más detallesCONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES
Digrms en Bloques Un sistem de control puede constr de ciert cntidd de componentes. Pr mostrr ls funciones que reliz cd componente se costumr usr representciones esquemátics denominds Digrm en Bloques.
Más detallesCAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS
CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9
Más detalles11 Perímetros y áreas de figuras planas
86464 _ 0371-0384.qxd 1//07 09:4 Págin 371 Perímetros y áres de figurs plns INTRODUCCIÓN En est unidd repsmos ls uniddes de longitud y superficie. Se introducen tmbién lguns uniddes de medid del sistem
Más detalles3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus
Más detallesModelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función
Más detallesAplicaciones de la derivada (II)
UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre
Más detallesBLOQUE III Geometría
LOQUE III Geometrí 7. Semejnz y trigonometrí 8. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometrí nlític 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Thles Si un person que mide 1,70 m proyect un sombr de 3,40
Más detallesTEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde
Más detallesUNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS CUADRILÁTEROS
u r s o : Mtemátic Mteril N 13 UÍ TÓRIO PRÁTI Nº 11 UNI: OMTRÍ POLÍONOS URILÁTROS POLÍONOS INIIÓN: Un polígono es un figur pln, cerrd, limitd por trzos llmdos ldos y que se intersectn sólo en sus puntos
Más detallesMáximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3
Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números nturles y es el número más grnde que divide tnto como. se denot mcd,. Lists: (tl vez, el más intuitivo, pero el menos eficiente) Encontrr mcd
Más detallesA a. Fig. 1 Homocigosis y heterocigosis.
III) L informción celulr 10) Herenci genétic 10) L HERENCI GENÉTIC CONCEPTO DE GENÉTIC Definiremos l genétic como l prte de l iologí que se ocup del estudio de l herenci iológic, intentndo explicr los
Más detallesEl conjunto de los números reales se forma mediante la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales.
El conjunto de los números reles (R) El conjunto de los números reles se form medinte l unión del conjunto de los números rcionles y el conjunto de los números irrcionles. Propieddes del conjunto R R =
Más detallesACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112
FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio
Más detallesTEMA VI: ACIDOS Y BASES
www.selectividd-cgrnd.com TEMA VI: ACIDOS Y BASES 1.- El ácido clorocético (ClCH COOH) en concentrción 0,01M y 5 C se encuentr disocido en 1%. Clculr: ) L constnte de disocición de dicho ácido. b) El ph
Más detallesEjercicios de optimización
Ejercicios de optimizción 1. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0, cuál es el de áre máxim? Función mximizr: A yh Relcionr vribles: Estudimos l función: h h y x h x y x y 0 x 0y 0 y 0 0y
Más detallesIntegral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida
Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de
Más detalles5. Integral y Aplicaciones
Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I. ACTIVIDADES PARA EL VERANO.
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I ACTIVIDADES PARA EL VERANO MATEMÁTICAS º BHCS IES EL BOHÍO EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APOYO ª EVALUACIÓN - Eectúe Sol -9/ - Eectúe 9 7 8 6 Sol - Eectúe 8
Más detallesDINÁMICA Y LAS LEYES DE NEWTON
DINÁMICA Y LAS LEYES DE NEWTON EXPERIENCIA N 7 Un propiedd de los cuerpos mteriles es su ms inercil. L fuerz es otro concepto nuevo, útil cundo se trt de describir ls intercciones entre cuerpos mteriles.
Más detalles1.- Simplificar las siguientes fracciones: h) 28/36 i) 84/126 j) 54/96 k) 510/850 l) 980/140
ACTIVITATS DE N ESO PER A ESTIU ACTIVIDADES CON NÚMEROS ENTEROS º ESO. Reliz ls siguientes operciones. + + + d + + b + + 6 e + 6 c + f 6 + + + 6. Reliz ls siguientes operciones. ( + + ( + + ( + d + ( +
Más detallesMATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.
DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun?
Más detallesTRABAJO PRACTICO No 7. MEDICION de DISTORSION EN AMPLIFICADORES DE AUDIO
TRBJO PRCTICO No 7 MEDICION de DISTORSION EN MPLIFICDORES DE UDIO INTRODUCCION TEORIC: L distorsión es un efecto por el cul un señl pur (de un únic frecuenci) se modific preciendo componentes de frecuencis
Más detallesTEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,
Más detallesUNGS - Elementos de Matemática Práctica 7 Matriz insumo producto
UNGS - Elementos de Mtemátic Práctic 7 Mtriz insumo producto El economist W. Leontief es el utor del modelo o l tbl de insumo producto. Est tbl refle l interrelción entre distintos sectores de l economí
Más detallesLos Números Racionales
Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =
Más detallesTEMA 3: PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES.
TEM : PROPORCIONLIDD Y PORCENTJES.. Conceptos de Rzón y Proporción. Se define l RZÓN entre dos números como l frcción que se form con ellos. Es decir l rzón entre y es:, con 0. De quí que ls frcciones
Más detallesJUNIO 2001. Considérese el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
JUNIO INSTRUCCIONS: l emen resent dos ociones B; el lumno deberá elegir un de ells contestr rondmente los cutro ejercicios de que const dich oción en h. min. OPCIÓN jercicio. ( Puntución máim: untos) Considérese
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág Págin 56 PRACTICA Escribe los seis primeros términos de ls siguientes sucesiones: ) Cd término se obtiene sumndo l nterior El primero es 8 b) El primer término es 6 Los demás se obtienen multiplicndo
Más detallesMATEMÁTICAS III (Carrera de Economía) OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES ( )
MATEMÁTICAS III (Crrer de Economí) OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES ( http://www.geocities.com/jls ) El propósito centrl de l economí como cienci es el estudio de l signción óptim de los recursos escsos.
Más detallesLos números enteros y racionales
Los números enteros y rcionles Objetivos En est quincen prenderás : Representr y ordenr números enteros Operr con números enteros Aplicr los conceptos reltivos los números enteros en problems reles Reconocer
Más detallesEspacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.
UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN
Más detallesTEMA 3. Instrumentos contables
TEMA 3 Instrumentos contbles 1 EMPRESA (PATRIMONIO) HECHO CONTABLE ACTIVIDADES CONTABLES BÁSICAS: Instrumentos contbles ASIENTOS LIBRO DIARIO INVENTARIO FÍSICO Control CUENTAS LIBRO MAYOR IDENTIFICACIÓN
Más detalles1. Indicar el lenguaje aceptado por los siguientes autómatas :
Universidd Rey Jun Crlos Grdo en Ingenierí de Computdores Máquins Secuenciles, Autómts y Lengujes Hoj de Prolems: Autómts Finitos Determinists Nivel del ejercicio : ( ) ásico, ( ) medio, ( ) vnzdo.. Indicr
Más detallesIntegral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple
Integrl de un función rel Tem 08: Integrles Múltiples Jun Igncio Del Vlle Gmbo Sede de Guncste Universidd de Cost ic Ciclo I - 2014 Ls integrles definids clculn el áre bjo un curv y = f (x) pr un región
Más detalles2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR
1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid
Más detallesINTEGRACIÓN. CÁLCULO DE
Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo
Más detalles2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.
. Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto
Más detallesTEMA 7: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS
TEMA 7: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS. POTENCIAS L epresión n se llm potenci de bse y eponente n: Si n es un número nturl: n =, n veces. 0 =, = n m n n m = y = n Ejercicios: º)
Más detallesMATRICES. En forma simplificada A = ( a ij ) nxm y se le denomina
MTRICES Mtrices de números reles. Definimos mtriz rel de elementos pertenecientes R y de dimensión n fils por m columns, quel conjunto de números reles escritos de l form siguiente: n n mtriz nxm m m nm
Más detallesZ := Z {0} a partir de este nuevo conjunto construimos el producto cartesiano
Cpítulo 4 Números Rcionles. Luego de construir los Números Nturles, se presentron ciertos problems como Cuál es el resultdo de 3 menos 5?, pr poder encontrr un solución se creó prtir de N el conjunto de
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3
Más detallesCorriente eléctrica. 1. Corriente eléctrica: Intensidad y densidad de corriente. 2. Ley de Ohm. Resistencia. Conductividad eléctrica.
Corriente eléctric 1. Corriente eléctric: ntensidd y densidd de corriente. 2. Ley de Ohm. Resistenci. Conductividd eléctric. 3. Potenci disipd en un conductor. Ley de Joule. Fuerz electromotriz. BBLOGRAFÍA:.
Más detallesAplicaciones del cálculo integral
Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:
Más detallesTema 2 CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
Tem CCUTOS DE COENTE CONTNU Lección : esistenci eléctric..- esistenci. Definición, representción y modelo mtemático..- Fuentes de corriente continu: tensión e intensidd...- Fuentes reles..- Conversión
Más detallesAplicaciones de la integral
5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág. 1 PÁGIN 13 EJERCICIOS Operciones con ángulos y tiempos 1 Efectú ls siguientes operciones: ) 7 31' 15" 43 4' 57" b) 163 15' 43" 96 37' 51" c) (37 4' 19") 4 d) (143 11' 56") : 11 ) 7 31' 15" 43 4' 57"
Más detalles