1º BACH SISTEMA DIÉDRICO I PUNTO, RECTA Y PLANO. PERTENENCIAS.

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1 1º BACH SISTEMA DIÉDRICO I PUNTO, RECTA Y PLANO. PERTENENCIAS.

2 SISTEMA DIÉDRICO: REPRESENTACIÓN DEL PUNTO El punto se representa por dos proyecciones que están siempre alineadas en una perpendicular a la L.T. Se llama COTA a la distancia del punto al P.H. y ALEJAMENTO a la distancia al P.V. Nomenclatura: Para nombrar los puntos en el espacio utilizaremos letras mayúsculas: A,B,C.. La proyección vertical A2 o A y la proyección horizontal A1 o A. Coordenadas: Las coordenadas o distancias a los planos de proyección se dan entre paréntesis después de la letra: A(x, y, z) X = lateralidad Y = alejamiento Z = cota Las proyecciones serán positivas o negativas, según el cuadrante donde se encuentren los puntos: PUNTOS SITUADOS EN 1º,2º,3º Y 4º CUADRANTE: A (20,20,25) B (15,-30,10) C (5,-25,-15) D (10,10,-15) ANA BALLESTER JIMÉNEZ 2

3 PUNTOS SITUADOS EN LOS PLANOS DE PROYECCIÓN : P.V. y P.H. Siempre tienen cota o alejamiento 0. A(20,0,25) B(30,25,0) C(15,-20,0) D(5,0,-30) PUNTOS SITUADOS EN LOS PLANOS BISECTORES La cota y el alejamiento son iguales, solo cambia la + o según el cuadrante. A(30,10,10) B(20,-25,25) C(10,-15,-15) D(5,30,-30) ANA BALLESTER JIMÉNEZ 3

4 PUNTOS SITUADOS EN LOS OCTANTES Se diferencian por tener el alejamiento o la cota mayor una que otra, según cada caso. A(x,, ) B(x,, ) C(x,, ) D(x,, ) EJERCICIO: Determinar las proyecciones de los siguientes puntos e indicar en qué cuadrante está cada uno. Tomar como origen el margen izquierdo de la hoja: Punto A, está en el tercer cuadrante, se encuentra en el primer bisector y tiene 30 mm de alejamiento. (x=40). Punto B(60,30,-40) Punto C, está en el segundo cuadrante, se encuentra en el segundo bisector y tiene 20 mm de cota. (x=80). Punto D, están en la parte posterior del plano horizontal y tiene 50 mm e alejamiento. (x=100). Punto E(120,15,40) Punto F(140,-15,40) ANA BALLESTER JIMÉNEZ 4

5 SISTEMA DIÉDRICO: REPRESENTACIÓN DE LA RECTA. Una recta tiene dos proyecciones: r1 y r2 y dos trazas V y H. Las trazas son los puntos donde la recta corta a los planos de proyección. A partir de las trazas se halla la visibilidad de una recta, y los cuadrantes por donde pasa. r1 corta a L.T. en V1, V2 L.T. r2 corta a L.T. en H2, H1 L.T. RECTA: REPRESENTACIÓN, TRAZAS Y VISIBILIDAD Origen en el margen izquierdo. r : A(80,10,30), B(120,20,5) ANA BALLESTER JIMÉNEZ 5

6 TIPOS DE RECTAS. RECTA VERTICAL: Perpendicular al PH y paralela al PV; r2 es perpendicular a LT, sólo tiene traza H y r1 es un punto. RECTA DE PUNTA: Perpendicular al PV y paralela al PH; r1 es perpendicular a LT, sólo tiene traza V y r2 es un punto. RECTA PARALELA A L.T.: Paralela al PV y PH; r2 y r1 son paralelas a L.T.; no tiene trazas. RECTA HORIZONTAL o PARALELA AL PH: r2 es paralela a L.T. y sólo tiene traza V. RECTA FRONTAL o PARALELA AL PV: r2 es paralela a L.T. y sólo tiene traza V. RECTA QUE PASA POR L.T.: Sus trazas están contenidas en L.T. coincidiendo en un mismo punto ANA BALLESTER JIMÉNEZ 6

7 RECTA DE PERFIL: Está contenida en un plano perpendicular a PV y PH. En la recta de perfil no todos los puntos pertenecen a la recta; debemos construir r real en un eje de coordenadas para visualizar este tipo de rectas. Esta visualización recibe el nombre de Tercera Proyección EJERCICIOS: 1. Representar en sistema diédrico las siguientes rectas: r: A(-70,80,30), B(20,10,30) s: C(-20,-40,10), D(60,-40,100) t: E(-45,35,0), F(-45,25,20) Señalar las trazas, las partes vistas y ocultas, y el nombre de cada una de las rectas. Realizar el ejercicio colocando la hoja en horizontal, y tomando como origen el centro de la hoja. 2. Ver problemas 12, 13 y 14 de las páginas 102 y 103 del libro. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 7

8 SISTEMA DIÉDRICO: REPRESENTACIÓN DEL PLANO. Los planos no tienen proyecciones, sólo tienen trazas α1 y α2, que son las rectas con las que cortan a los planos de proyección. REPRESENTACIÓN DEL PLANO POR COORDENADAS. Como en el caso del punto, en la determinación de un plano intervienen tres coordenadas α(x,y,z): X = distancia del origen al vértice del plano. Si es +, el vértice está a la derecha del origen. Si es -, el vértice está a la izquierda del origen. Y = alejamiento de la traza horizontal α1 en el origen. Si es +, se sitúa debajo de LT. Si es -, se sitúa por encima de L.T. Z = cota de la traza vertical α2 en el origen. Si es +, se sitúa por encima de L.T. Si es -, se sitúa por debajo de L.T. Ejemplo: Representar los siguientes planos situando el origen en el centro de la hoja: α(30,20,30), β(-30,- 30,20), ω(-40,30,40). ANA BALLESTER JIMÉNEZ 8

9 PLANO DEFINIDO POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN. r s = α Dos rectas que se cortan siempre forman un plano. Las trazas del plano deben contener a las trazas del mismo nombre de las dos rectas, es decir: V2r U V2s = α2 y H1r U H1s = α1 Ejemplo: Hallar el plano que forman las rectas r y s, sabiendo que estas se cortan en el punto B(-10,10,40) y que la recta r contiene al punto A(-30,40,10), y la recta s contiene al punto C(54,-10,25). Situar el origen en el centro de la hoja. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 9

10 TIPOS DE PLANOS. PLANO HORIZONTAL: Paralelo al PH y perpendicular al PV. Sólo tiene traza α2 paralela a la L.T. Todo lo contenido en el PH se verá en verdadera magnitud. PLANO FRONTAL: Paralelo al PV y perpendicular al PH. Sólo tiene traza α1 paralela a L.T. Todo lo contenido en el PV se verá en verdadera magnitud. PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL: Perpendicular al PH. Su traza α2 es perpendicular a L.T. Sobre α1 todas las medidas se verán en verdadera magnitud. PLANO PROYECTANTE VERTICAL: Perpendicular al PV. Su traza α1 es perpendicular a L.T. Sobre α2 todas las medidas se verán en verdadera magnitud. PLANO DE PERFIL: Sus dos trazas son perpendiculares a L.T. Para trabajar sobre este plano, será necesario hallar su vista de perfil o tercera proyección. PLANO PARALELO A L.T. o PERPENDICULAR AL P.P.: Sus dos trazas son paralelas a L.T. No vemos en verdadera magnitud nada contenido en este plano. Para visualizarlo también suele utilizarse la tercera proyección. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 10

11 PLANO PERPENDICULAR AL PRIMER BISECTOR: Sus trazas forman el mismo ángulo con L.T. PLANO PERPENDICULAR AL SEGUNDO BISECTOR: Tiene sus trazas en línea recta. PLANO QUE PASA POR L.T. Sus trazas coinciden con la L.T., por lo tanto este plano siempre viene dado acompañado de un punto y debe verse en la tercera proyección o vista de perfil. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 11

12 SISTEMA DIÉDRICO: PERTENENCIAS. PUNTO QUE PERTENECE A UNA RECTA A r Cuando y A1 r1 A2 r2 RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO r α Cuando las trazas de la recta están sobre las trazas del mismo nombre del plano. H1 α1 V2 α2 PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO A α Cuando el punto está contenido en una recta que a su ver está contenida en el plano. Cuando tengamos que situar un punto en un plano, utilizaremos, siempre que podamos, rectas auxiliares horizontales o frontales, ya que sólo poseen una traza y es más fácil trabajar con ellas. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 12

13 RECTAS PARTICULARES DE UN PLANO: RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE (r.m.p.) La recta de máxima pendiente de un plano, es la recta que forma el mayor ángulo posible con el plano horizontal. Se caracteriza porque su proyección r1, es perpendicular a α1 RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN (r.m.i.) La recta de máxima inclinación de un plano, es la recta que forma el mayor ángulo posible con el plano vertical. Se caracteriza porque su proyección r2 es perpendicular a α2. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 13

14 PROYECCIONES DE UNA FIGURA PLANA CONTENIDA EN UN PLANO. Problema general: Dado un plano y una figura contenida en dicho plano, de la que se conoce una de las proyecciones, hallar la otra proyección. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 14

15 EJERCICIOS SISTEMA DIÉDRICO 1. Dibujar las proyecciones diédricas de los puntos A (3,1,3), B (-3,2,-3) y C (-2,4,-3). Después hallar la visibilidad de la recta AC y de la recta BC. Cotas en cm. Origen en el centro de la hoja. 2. Por P(-4,2,4) trazar una recta horizontal r, una recta frontal s y la recta vertical t. Hallar las trazas de cada recta. Origen en el centro de la hoja. 3. Hallar las trazas de la recta de perfil determinada por los puntos P(4,3,1) y Q(4,2,2). Origen a 7 cm del margen izquierdo. 4. Situar los puntos y rectas dados sobre el plano oblicuo α(-50,20,30: m α que pase por el punto P(40,20,Z). s α que pasa por el punto Q(10,Y,0). 5. Situar sobre el plano α(-50,20,30): Una recta frontal r con alejamiento 8 mm y que pase por un punto P de cota 20 mm. Una recta horizontal s de cota 40 mm y que pase por el punto Q de alejamiento -10 mm. 6. Situar sobre la recta r: A(-40,-20,-25), B(10,-55,20),el punto de cota 30 mm y hallar la visibilidad de r. 7. Por un punto P(20,30,-10) trazar la recta horizontal que corte a la recta oblicua r dada: r= A(0,-30,0) B(- 50,-10,10). 8. Hallar las trazas del plano definido de las formas siguientes: Por r horizontal y P exterior. Por r frontal y P exterior. Por r vertical y P exterior. Por r de perfil y P exterior. Por P(3,3,3), Q(-1,-2,3) y R(1,2,-4) 9. Dada la recta r: A(2,3,4), B(5,0,1), trazar: (origen a 5 cm del margen izquierdo) El plano α cuya recta de máxima pendiente sea la recta r. El planto β cuya recta de máxima inclinación sea la recta r. 10. Determinar el plano dado por las rectas: r: A(65,-20,-20), B(80,-5,20) y s: B(80,-5,20), C(95,25,10). Origen en el margen izquierdo. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 15

16 Representar la recta r, paralela a los planos V y H, cuya cota es 16 mm y su alejamiento 26 mm. Representar la recta r, paralela al P.H., de cota 20 mm y que forma con el P.V. un ángulo de 45º. Los puntos P y Q definen la recta r. Representarla diferenciando partes visibles y ocultas, determinar sus trazas y diedros por los que pasa. Representar la recta r que pasa por el punto A y es perpendicular al P.H. Representar la recta de perfil m que pasa por los puntos A y B. Determinar sus trazas y el ángulo que forma con el P.V. La recta r pasa por el punto H y la s por el punto Q. Ambas se cortan en el punto P. Representarlas y anotar la posición de cada una respecto a los planos de proyección. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 16

17 Determinar, estableciendo su visibilidad, la recta que pasa por el punto P y corta a la recta r en el punto de cota 24 mm. Calcular las proyecciones del segmento AB de medida real 40 mm, apoyado sobre la recta n, paralela la P.V. y de 26 mm de alejamiento. El punto B está en la dirección señalada por la flecha. Representar la recta que pasa por los puntos A(-50, 24, 8) y B (8,-10,-14). Indicar partes visibles y ocultas. Calcular la proyección horizontal del punto P que pertenece a la recta de perfil t, del que se conoce su proyección vertical P2. La recta a pasa por los diedros indicados y por el punto P. Representarla. Calcular las trazas de la recta de perfil que pasa por los puntos A y B y las proyecciones B1 y B2. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 17

18 Determinar las trazas del plano definido por las rectas a y b. Representar el plano que contiene a las rectas s y t. Calcular las trazas del plano definido por los tres puntos dados: L, M y N. Determinar las proyecciones de la horizontal de cota 18 mm del plano que define la recta de máxima inclinación dada Determinar las proyecciones de la frontal de alejamiento 25 mm del plano que define la recta de máxima pendiente dada. Representar el plano que, conteniendo al punto M es paralelo al P. V. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 18

19 Representar el plano que pasa por la recta t y es perpendicular al P.V. Dibujar la frontal del plano que pasa por el punto A. Determinar el ángulo que el plano forma con el P.H. Representar el plano que define la recta de máxima inclinación dada y decir qué posición ocupa respecto a los de proyección. Determinar las trazas del plano perpendicular al plano de perfil, que pasa por el punto V y que forma 30º con el P.V. Representar el plano que forma 30º con el P.V., pasa por la L.T. y por el 1º y 3º diedro. P2 es la proyección vertical de un punto P perteneciente al plano α. Determinar la recta de máxima pendiente de este plano que pasa por P. Determinar las proyecciones del punto perteneciente al plano β, de cota 22 mm y alejamiento 14 mm. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 19

20 Dibujar las proyecciones diédricas de los puntos A (20, 30, 20), B (50,-20,30) y C (60,-30,-10) Los puntos A y B pertenecen a la recta r. Representar la recta y hallar su visibilidad. Determinar las proyecciones diédricas de la recta a que pasa por los puntos A y B. Determinar sus trazas y las del punto donde corta al primer bisector. Dibujar las trazas del plano definido por los puntos A, B y C. Trazar por el punto C la recta de máxima pendiente del plano. Dibujar las trazas del plano que contiene a la recta s y es perpendicular al P.H. Determinar las proyecciones de la recta horizontal de este plano que pasa por el punto P. Dada la proyección horizontal de un cuadrilátero que está situado en el plano α, dibujar su proyección vertical utilizando rectas horizontales. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 20

21 Dibujar las proyecciones de una circunferencia de centro O y radio 16 mm, contenida en una plano paralelo al P.H. Dibujar la proyección vertical del cuadrado KLMN apoyado sobre el plano β, proyectante horizontal. El lado LM tiene cota 4 mm y la cota del lado KN es mayor. Dibujar la proyección horizontal del cuadrilátero ABCD situado en el plano α. Dibujar la proyección vertical del triángulo ABC contenido en el plano α, perpendicular al plano de perfil. ANA BALLESTER JIMÉNEZ 21

22 ANA BALLESTER JIMÉNEZ 22