Plantel Emiliano Zapata Tizayuca ACADEMIA DE MATEMÁTICAS CURSO DE REGULARIZACIÓN Junio 2013 GUÍA DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA.

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1 DEMI DE MTEMÁTIS URSO DE REGULRIZIÓN Junio 013 GUÍ DE GEOMETRÍ Y TRIGONOMETRÍ lumno:

2 Estimdo lumno: OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí Mensje on el propósito de que el urso de regulrizión que ests por enfrentr se provehdo por ti, te ofreemos el siguiente mteril, mismo que deberás de revisrlo onjuntmente on tu mestro sesor y elegir quellos ejeriios que presenten myor difiultd y que te sirvn de muestr pr reforzr los tems que omponen el temrio de ls signturs de mtemátis. Los únios límites en nuestr vid son quellos que nosotros mismos imponemos. ob Protor simismo, te invitmos que no inurrs onstntemente en l reprobión, pr que relmente provehes el período vionl l máximo, pero sobre todo que dquiers los onoimientos neesrios que requieres pr que tu preprión démi se óptim y de fortleimiento mtemátio. L gente no deide su futuro, deiden sus hábitos y sus hábitos deiden su futuro. FM lexnder Finlmente, debes de tomr en uent que el tiempo signdo l urso de regulrizión no es sufiiente pr volver trr los tems vistos en lse, por lo que ontmos on tu interés no sólo en reditr l signtur, sino tmbién on tú neesidd de prender y preprrte on perseverni y empeño pr umplir blmente on el nivel medio superior de bhillerto. Los ltibjos de l vid proporionn ventns de oportuniddes pr determinr tus vlores y objetivos. Piens en usr todos los obstáulos omo eslones pr onstruir l vid que quieres. Mrsh Sinetr Por l demi de Mtemátis: Mtro. Rodolfo Hernández Pelstre. Mtr. Nelly de Jesús hp ontrers. Ing. Eloy lembert Fernández Honorto. Ing. Filiberto Espinos Noble. Li. Jun Grí Olguín. Ing. ristóbl Meneses Hidlgo. Ing. Mnuel Jir Flores Guzmán. Ing. Luis Edwin Moreno Muñoz. Ing. ntonio Torres Mrtínez Ing. Rommel Rmírez Hernández demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin

3 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí Objetivo: Reonoer distintos tipos de triángulos y enontrr l medid de sus ángulos. Instruiones: Est guí l debes desrrollr en tu uderno. Tienes un lse pr desrrollrl. Lee tentmente d uno de los enunidos, dej onstni del proedimiento utilizdo. 1.- lsifi los siguientes ángulos según sus ldos: ) b) ) b b d) b b.- lsifi los siguientes ángulos según sus ángulos: ) b) ) d) 30º 30º 30º 30 65º 17º 3.- En l siguiente figur, uál es l medid del ángulo y el ángulo?: x y z L 1 L 1 // L L.- En el siguiente triángulo, X + Y + Z = z x 60º 5º y 5.- En ls siguientes figurs determin el ángulo que se pide: ) < = b) x = ) x = d) MN = ON; < x = demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 3

4 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí e) x + y = 108º, f) x = g) x = h) triángulo isóseles w = w x y ontest ls siguientes pregunts: 6.- uánto miden los ángulos interiores y exteriores de un triángulo equilátero? 7.- Si en un triángulo l medid del primer ángulo es el doble de l medid del segundo pero l mitd del terero. uánto miden los ángulos del triángulo? 8.- Si dos ángulos de un triángulo miden 30º y 0º uánto mide el terer ángulo y los ángulos exteriores? demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin

5 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí ONGRUENI Determinr los vlores de ls inógnits en los siguientes triángulos ongruentes: Ejemplos: ) 3Y 15 X X 6 8 Ddo que los Δs son, sólo bst on igulr los s y los ldos homólogos pr determinr los vlores tnto de x omo de y, entones tenemos: Pr y Pr x b) Los Δs I y II son ongruentes. Determinr el vlor de ls inógnits y de los ángulos. 3b I 7 II Por ser ángulos lternos internos se observ: D demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 5

6 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí Resolver los siguientes Δs, lulndo los elementos fltntes: 1) ) 5x 5 D I 3x y 5 II y I II D E 3) ) x I II X+3 y I II D y+58 b 7 demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 6

7 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí Ejemplos: SEMEJNZ ~ Estbleer ls proporiones l omprr el ΔE on el ΔD D 30 De uerdo on l figur tenemos: 16 E ) Determinr el vlor de l longitud del ldo en el Δ. 10 = 0 = 6 = b) Enontrr l longitud de los ldos. En los Δs =, =, entones Δ ~ Δ por lo que se estblee l proporionlidd entre los ldos homólogos = b = = b 60 0 = 6 De l relión se obtiene: demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 7

8 Resuelve los siguientes ejeriios: OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí Enontrr ls medids de los ldos fltntes de los siguientes Δs: 1) ) X+1 y ) ) 8 y x-1 0 b 1 5) x y ) U+3 t- demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 8

9 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí TEOREM DE THLES UNDO EN UN Δ SE TRZ UN RET PRLEL UNO DE LOS LDOS, EL Δ QUE SE FORM ES SEMEJNTE L PRIMERO. Ejemplo: En el siguiente Δ determinr el vlor de, si 1 1 E D x 8 1 D 1 E X+1 demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 9

10 Resuelve los siguientes ejeriios: OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí Enontrr ls medids de los ldos fltntes de los siguientes Δs: 1) Q ) E x x+6 x R 5 F 5 S 1 T 15 P 1 D EJERIIOS DE SEMEJNZ 1) iert hor del dí un edifiio de 60 ft de ltur proyet un sombr de ft uál es l longitud de l sombr que proyet un semáforo de 10 ft de ltur l mism hor? 60 ft 10 ft D E ft ) Jvier mide 1.6m de esttur, en un momento ddo proyet un sombr de 0.50m de lrgo. En ese instnte el st bnder del ptio del olegio proyet un sombr de 1.0m. lulr l ltur del st bnder. 1.0m 1.60m 0.5m demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 10

11 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí 3) Un regl de 1.0m de lrgo se olo vertilmente en el piso y vemos que proyet un sombr de 85m de lrgo. En ese instnte el poste de l luz proyet un sombr de.80m. lulr l ltur del poste. x 1.0m 0.85m.80m ) Pr enontrr l nhur de un río se onstruyeron Δs semejntes, omo se muestr en l figur. Y l medir se enontró que: 5 uál es l nhur del río? D E 5) Pr medir lo lrgo de un lgo se onstruyeron los siguientes Δs semejntes en los ules se tiene que: 5 5 uál es l longitud del lrgo? demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 11

12 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí 6) Dos buitres ehn un onejo en su mdriguer, prdos en dos árboles que se enuentrn un distni de 5m uno del otro. El árbol del primer buitre mide 15m de ltur, y del segundo, 9m. l slir el onejo tomr el sol, mbos buitres se lnzn sobre él ogiéndolo l mismo tiempo entre sus grrs. qué distni estb el onejo de mbos buitres? 15 m d 1 d 9 m x 5 - x 5 m 7) Se quiere lulr el nho de un ñón inesible, se deide seleionr un árbol en l otr orill (punto ), y en l orill en que nos enontrmos seleionmos dos puntos, y, demás sobre l líne un punto D y sobre l líne en el punto E, de mner que Y sen prlels. uál es el nho del ñón? 8 m E D 3 m 10 m demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 1

13 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí 8) Reliz l siguiente tividd geométri y de uerdo lo que observs; investig el nombre de los elementos y ténis geométris que emplste en su trzo: Por un punto ddo entre dos rets onurrentes, her psr un terer ret que onurr l vértie omún. Ls rets son y D, el punto ddo es P. Sobre ls rets se dn dos puntos ulesquier E y F, que se unen entre si y on el punto ddo P formndo el ΔEFP. ontinuión en ulquier de ls rets, por ejemplo se d otro punto rbitrrio G. on yud de ls esudrs, se trz por G un prlel l ret EF, determinndo H sobre D; por G se trz otr prlel EP y pr finlizr, por H se dibuj, prlel PF, otr ret que ortrá l nterior en el punto J. l unión de J on P, originrá l ret pedid. demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 13

14 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí Ejemplos: PLIIONES DE SEMEJNZ ) Qué ltur tiene un poste que proyet un sombr de 16 m l mismo tiempo que un observdor de 1.80 m de esttur proyet un sombr de 1.0? 16 m 1.8 m 1.0 m b) Nelly (N) y ro () desen lulr l nhur de un río. Ells se enuentrn en un ldo de l river y no tienen eso l otro ldo. Por lo que Nelly observ un ro (R) que se loliz l otro ldo del río. rolin vnz 5m hi el este y observ l ro. En ese instnte, Jun (J) se enuentr m l este de ro y vnz 3 m hi el sur y observ l ro. uál es el lro del río? N R O E S N 5 m m 3 m r 3 m 5 r 3 5 r r m omprobndo 3 75 m J demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 1

15 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí TRIÁNGULO RETÁNGULO Elementos que lo onformn: Se llmn tetos o ldos los que formn el ángulo de 90 E hipotenus l unión de los tetos o ldos y b = tetos o ldos = hipotenus b En l myorí de los textos se emple l letr myúsul pr representr el ángulo de 90, pero no es un ondiión y se puede usr ulquier letr. El letor deberá de observr uiddosmente l simbologí. En estos puntes se emplerá l primer rterísti. Simbologí: En todo triángulo retángulo: TEOREM DE PITÁGORS EL UDRDO DE L HIPOTENUS ES IGUL L SUM DE LOS UDRDOS DE LOS TETOS Demostrión 1: trvés de los tiempos el hombre se h poydo este teorem pr estbleer diverss irunstnis, debido su bondd, se h preoupdo por estbleer demostriones, existiendo un grn gm de ells. quí mostrremos sólo dos de ells y sugerimos los lumnos investiguen sobre ésts, fin de divertirse y observr el trbjo geométrio. Se observ que l formr udrdos en los ldos o tetos l ntidd de éstos formn el udrdo de l hipotenus; diho de otr mner l ntidd de uniddes udrds de los tetos es igul ls uniddes udrds en l b hipotenus. demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 15

16 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí Demostrión : Se trz l ltur sobre l hipotenus. D b b Obtenión de l hipotenus. En todo triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos. Ejemplos: Determinr el vlor de l hipotenus del siguientes inisos: que se muestr, según los dtos proporiondos en d uno de los ) 5 5 u b b) u demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 16

17 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí Obtenión de los tetos. En todo triángulo retángulo, el udrdo de un teto es igul l difereni de los udrdos de l hipotenus y del otro teto. Utiliz l figur pr determinr el teto que se pide en d iniso: Ejemplos: b ) 5 b) u (3) u ) b 3 Resuelve los siguientes ejeriios: Enontrr ls medids de los ldos fltntes de los siguientes Δs retángulos: u 1) 3 3) 5) 5 7) 5 9) ) 5 ) 5 6) 8) 5 10) 5 demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 17

18 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí NTURLEZ DEL TRIÁNGULO PRTIR DEL TEOREM DE PITÁGORS. Se el Δ, uyo ldo myor es el ldo, éste será un Δ retángulo, utángulo u obtusángulo, si l plir el Teorem de Pitágors se umple que: 1) Ejemplos: ) { ) Se un Δ uyos ldos miden 3, y 5 uniddes. omprobr si es un. Se tom el vlor myor omo l hipotenus Por lo tnto el triángulo es retángulo b) Se el Δ uyos ldos miden 7, 9 y 1 uniddes. Determinr qué tipo de triángulo es: Se tom el myor de los ldos omo, entones: 3 3 ) Determinr l nturlez de un Δ uyos ldos miden 6, y 5 uniddes. plindo el Teorem de Pitágors, se tiene: Resuelve los siguientes ejeriios: Determinr l nturlez de los siguientes triángulos, uyos ldos miden: 1) 5 ) 3) 5 ) 5) 5 6) 7) demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 18

19 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí PLIIÓN DEL TEOREM DE PITÁGORS Ejemplos: ) Determinr l longitud de l digonl de un udrdo de ldo x m. l trzr l digonl en un udrdo, se formn s, entones: y x m x m b) l brir un esler de pintor, se form un Δ isóseles, l distni entre ls bses es de 1 m y los ldos igules miden 1.0 m. determinr l ltur de l esler. L ltur de un Δ isóseles divide l bse en prtes igules, formándose : 1.0m 5 5 h 0.5m 3 ) Un utomóvil vij un veloidd onstnte de 5 y ps por debjo de un puente petonl. Determinr los l distni entre el utomóvil y el punto de ubido extmente rrib del pso del mismo, si l ltur del puente es de 6 m. L ltur del puente es de 6 m y los 1 s el utomóvil reorre 1(.5) = 30m, entones: 6m P d m demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 19

20 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí d) Determin el vlor de los ldos del Δ 3x x ( 3) demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 0

21 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí e) lul l ltur de un edifiio, si se sbe que desde un ltur de sus ventns, que se enuentrn un ltur de m, se pone un esler que tiene un longitud de m. se sbe tmbién que desde l puert más lt del edifiio l bse de l esler hy un longitud de 38m. m x 38m m 38 x D 3 3 f) qué distni de l pred se enuentr l esler en l siguiente figur: h x? 5m 5 5 h x 7m demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 1

22 Resuelve los siguientes ejeriios: OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí Enontrr ls medids de los ldos fltntes de los siguientes Δs retángulos: 1) rlos tiene un terreno retngulr uys medids son 3 m de nho por 1 m de lrgo, por el ul debe trvesr un ble de teléfono pr estbleer omuniión de l bodeg ubid en l prte finl del terreno, emplendo l mínim ntidd posible de ble de teléfono. Qué medid deberá tener el ble? ble 1 m 3 m Teléfono ) lulr l distni que debe reorre el telefério, sbiendo que debe slir de l estión de serviio y llegr l im de l montñ uy ltur es de 650 m, omo se muestr en l siguiente figur: 5 m m 3) ) 169 x+3 x x x+1 5 demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin

23 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí 5) Un televisor de 5 de nho por 5 5 de ltur se nuni l vent on pntll de 5, Por qué se nuni sí? Expli y demuestr. TERNS PITGÓRIS Existen medids de s que stisfen el Teorem de Pitágors, tles omo Ests se onoen omo Terns Pitgóris y se formn on l siguiente relión: Ejemplo: ) Qué tern pitgóri se form on los números 7 y 5? demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 3

24 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí Resuelve los siguientes ejeriios: Enontrr ls terns pitgóris on ls siguientes prejs de números: 1) 3 3) 5) ) 5 ) 5 PERIMETRO Y ÁRE Perímetro. De un polígono, se define omo el ontorno de un figur. Se obtiene on l sum de sus ldos. h h h b b b b Semiperímetro. Se define omo el promedio de los ldos del triángulo. O l semisum de los ldos del triángulo Superfiie. Se define omo l región limitd por l figur en dos dimensiones. Es freuente empler superfiie y áre omo sinónimos, sin embrgo ést se entiende omo el vlor numério de l superfiie determind por l expresión lgebri, denomind fórmul, de uerdo l form de l figur geométri. Pr los triángulos l formul generl es: demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin

25 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí Áre de un triángulo en funión de sus ldos denomind Fórmul de Herón de lejndrí. Prtiulrmente el áre de un triángulo equilátero es: Demostrión 1: Fórmul de Herón de lejndrí?? [ ][ ] demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 5

26 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí Demostrión : Fórmul de áre de triángulo equilátero (3 ) ( 3 ) ( 3 ) Ejemplos: ) Determinr el perímetro y áre de un triángulo isóseles, si los ldos miden 3, 3 y 5m demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 6

27 OLEGIO DE ESTUDIOS IENTÍFIOS Y TENOLÓGIOS DEL ESTDO DE HIDLGO urso de Regulrizión Junio 013 demi de Mtemátis Guí Geometrí y Trigonometrí ( 3) ( 3) ( 5) ( 5 ) (5 ) ( ) 5 5 b) lulr el áre del triángulo equilátero de 85 m por ldo. l l l l l l demi de Mtemátis (Geometrí y Trigonometrí Págin 7

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