Espacios Metricos, Compacidad y Completez

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1 46 CAPÍTULO 3. Espacios Metricos, Compacidad y Completez Una sucesión en un conjunto X es una función N X. Si la función se llama f entonces para sucesiones acostumbra denotarse {f(n)} n N en cambio de f : N X. Por supuesto en la notación está subentendido X. Por ejemplo la sucesión {3n + 1} n N en R es la función N R que tiene a 3n + 1 como imagen de n : n 3n + 1. Aquí en R aclara el codominio. 3.1 Definición: i Sea X un espacio topológico y x n N una sucesión en X. Un elemento L de X se dice un límite de la sucesión x n N si para cada vecindad V de L existe N N tal que n > N x n V. ii Si L es un límite de x n N se dice tambien que x n converge a L y se denota x n L. Ahora mostramos un ejemplo del uso de bases de vecindades. En este caso en convergencia. 3.2 Proposición: Sea B una base de vecindades cualquiera de L. L es un límite de una sucesión x n N si y solo si para cada V B, existe N N tal que n > N x n V. Demostración: Ejercicio. 3.3 Ejemplos: 1. En un espacio grocero (X, {, X}) cualquier punto x de X es límite de cualquier sucesión x n N. En efecto la única vecindad de x es X y para ella si n N, x n X. Por tanto en la definición podemos tomar N = 1 (o cualquier otro) y se tiene la implicación n > N x n X. 2. En un espacio topológico cualquiera (X, T ) si x n = k, n N, es decir que x n N es la sucesión constante y de valor k, entonces k es un límite de x n N. En efecto para una vecindad V de k, k V y por lo tanto (para N = 1) se tiene que n > 1 x n (= k) V. 3. Una sucesión x n N se dice casi igual (o eventualmente igual) a y n N si existe N N tal que n > N x n = y n. Lo denotaremos (aquí) x n N y n N.

2 Capítulo 3: Espacios Lineales y Completez Se tiene entonces que en un espacio (X, T ) cualquiera si L X y x n y n, n N se tiene que L es un límite de x n si y solo si L es un límite de y n. Si y n = k, para todo n N entonces x n N y n N se escribe x n N k y se dice que x n es casi constante (o eventualmente constante) y de valor k. Se tiene que si x n N k entonces k es límite de x n N, cualquiera sea la topología para X. 5. En un espacio discreto (X, P(X)), L es un límite de x n N si y solo si x n N L. En efecto ya sabemos que x n N L implica que L es límite x n N. Supongamos ahora que L es un límite de x n N. Como en un espacio discreto {x} es abierto para cada x, entonces {x} B(x). Así pues como {L} B(L) y L es un límite de x n N entonces existe N N tal que n > N x n {L}. Por lo tanto n > N x n = L. 3.4 Definición: i Sea X un conjunto x, y X. Diremos que una topológia T de X separa a x de y si existen V B(x), W B(y) tales que V W =. ii Un espacio (X, T ) se dice un espacio Haussdorff si T separa a todo par de puntos distintos de X. La parte central de puntos separados en un espacio X es que separa a sucesiones convergentes a ellos, en el siguiente sentido: 3.5 Proposición: Si una topología T de X separa a L de M entonces no existe sucesión alguna x n N de X tal que, para T, x n L y x n M. Demostración: Suponga que existen V B(L) y W B(M) tal que V W =. Ahora, si x n l y x n M, entonces para V existe N V N tal que n > N V x n V. Tambien como W B(M), N W tal que n > N W x n W. Así pues si N es el máximo de N V y N W, para n > N, x n V y x n W, es decir x n V W =. Se tiene pues que en un espacio Haussdorff si una sucesión tiene límite, entonces tiene uno solo. 3.6 Definición: Sea x n N una sucesión en un espacio topológico X. Si hay un único límite de x n N, digamos L, entonces se dice que L es el límite de x n N y se escribe equivalentemente lím x n = L.

3 48 Matemáticas Especiales para Físicos. 3.7 Ejemplo: Todo espacio métrico es un espacio Hassdorff. Como todo espacio vectorial normado es en espacio métrico, entonces en los espacios vectoriales normados y en general en los espacios métricos las sucesiones tienen a lo mas un límite. 3.8 Proposición: i Sea (X, d) un espacio métrico, L X, x n N una sucesión en X. Entonces lím x n = L ε > 0, N N tal que n > N d(x n, L) < ε. ii Sea (V, +, kj, ) un espacio vectorial normado entonces lím x n = L ε > 0, N N tal que n > N x n L < ε. Demostración: Ejercicio. En cuanto a límites de sucesiones tenemos como ejemplos: 1 1. En R, con la topología corriente, lím = 0. En efecto la propiedad n arquimediana de los números reales establece que los naturales N no son acotados por encima. Es decir que para k R +, n N tal que n k. Se tiene entonces que si k R +, como 1 K R+, entonces existe n N tal que n 1 k. Equivalentemente k 1 n. En suma para cada ɛ > 0, N R tal que ɛ 1 N. Así que si n > N 1 N > 1 n k > 1 n. 2. En R, si x n N es creciente, es decir que (n > m x n > x m ) y x n N es acotada (es decir que existe K R tal que x n < K, n N) entonces lím x n = sup n x n N. En donde el supremo sup de un conjunto A es α R si i a A, a α. ii Para cualquier otro número menor que α i no se cumple: para cada ɛ > 0, existe a A, tal que a > α ɛ. Aritmética de Límites de Sucesiones Realmente antes de hacer aritmética de límites de sucesiones debe hacerse aritmética de sucesiones. Simplemente como en un espacio vectorial se tiene suma, esta se extiende a suma de sucesiones de manera funcional. Igual para producto por escalar y para producto, si se tiene una estructura de álgebra en X. Así pues en tales casos se define: {x n } n N + {y n } n N = {x n + y n } n N k{x n } n N = {kx n } n N {x n } n N {y n } n N = {x n y n } n N

4 Capítulo 3: Espacios Lineales y Completez. 49 Sabemos además que las propiedades básicas de + en X pasan a + de sucesiones, las de kx (producto por escalar) pasan al producto por escalar de sucesiones y las propiedades del producto pasan al de sucesiones, hasta la estructura de anillo conmutativo y modulativo. Hay una operación extra que aparece aquí a saber. Si x n N es una sucesión en V y k n N es una sucesión en R (escalares), entonces tomamos: KX = {k n } n N {x n } n N = {k n x n } n N 3.9 Proposición: i En un espacio vectorial normado las sucesiones de límite 0 son cerradas para la multiplicación por escalar. ii En un espacio vectorial normado las sucesiones de límite 0 son cerradas para la suma. iii Si adémas de espacio vectorial hay estructura de álgebra normada (existe un producto asociativo y que distribuye sobre + y ( xy x y ), entonces el producto de una sucesión de límite cero por una acotada, tiene límite cero. iv En un álgebra normada el espacio de las sucesiones de límite 0 es cerrado para el producto. Demostración: i Queda como ejercicio. ii Suponga que x n 0 y y n 0. Entonces para ε > 0, como ε 2 > 0 existe N 1 N tal que n > N 1 x n < ε 2 y existe N 2 N tal que n > N 2 y n < ε 2. Para N = max {N 1, N 2 } y n > N se cumple x n < ε 2, y n < ε 2 y por lo tanto x n y n x n + y n = x n + y n < ε 2 + ε 2 = ε. Así pues para ε > 0, se encontró N tal que si n > N x n y n < ε y por lo tanto (x n y n ) 0. Asi que hay cerradura para la diferencia y por la parte i queda para la suma por que x + y = x + ( 1)y iii Suponga que x n 0 y N 1, N tal que y n < K para un real positivo K. Sea ahora ε > 0. Entonces ε K > 0 y existe N 2 N tal que n > N 2 x n < ε K. Para N = max {N 1, N 2 }, n > N x n < ε K y n < K y por lo tanto xy x y < ε K K = ε. iv Queda como ejercicio.

5 50 Matemáticas Especiales para Físicos. Note que en un espacio normado las sucesiones convergentes son acotadas. Las sucesiones acotadas forman un subespacio vectorial o una subĺgebra si el espacio es un álgebra. Las sucesiones acotadas son las que tienen posibilidad de tener límite (en el espacio) y son las que normalmente se usan. Esto lo tocaremos con mas detalle en completez (3.28). Ahora trabajamos con sucesiones con límite cualquiera. La aritmética de límites es la siguiente: 3.10 Proposición: En un espacio vectorial normado, V, se tiene que si x n L, y n M, z n = k para todo n entonces i ii iii iv lím z n = k. lím k x n = kl. lím x n + y n = L + M. lím x n y n = L M. v Si t n + v n converge y v n converge, entonces t n converge. vi Si V es un álgebra normada, entonces x n y n L M. vii Si x n 0 y L 0, y 1 x n existe para cada n entonces 1 x n viii Si x n 0 y L 0, y 1 x n ix Bajo las hipotesis de viii. yn x n M L. converge. 1 existe para cada n entonces lím = 1 x n L. Demostración: Aceptamos sin demostración la parte vii. Las partes i y ii quedan como ejercicio. En cuanto a la parte iii, x n L 0, y n M 0 y por la proposición precedente (x n L) + (y n M) 0. Es decir que (x n + y n ) (L + M) 0 y por lo tanto x n + y n L + M. Las partes iv y v quedan como ejercicio. En cuanto a la parte vi (x n L) 0, (y n M) 0 y por lo tanto (x n y n Mx n Ly n + LM) 0 y como ( Mx n Ly n + LM) LM entonces por v x n y n converge. Asi que lím (x n y n + ( Mx n Ly n + LM)) = 0. Es decir que lím (x n y n LM) = 0 lím (x n y n ) = LM. La parte viii: x n 1 x n = 1 lím (x n 1 ) = 1. x n

6 Capítulo 3: Espacios Lineales y Completez. 51 Luego lím x 1 n lím = 1. Es decir que L lím x n 1 lím = 1 x n L. La parte ix queda como ejercicio. 1 x n = 1 y por lo tanto Una propiedad importante en el cálculo de límites que permite usar los conocimientos de funciones es la siguiente: recuerde que si f : I R, entonces lím f(x) = b si ε > 0, δ > 0 tal que x a < δ f(x) L < ε Es decir que si x B(a, δ) entonces f(x) B(b, ε). Para convergencia del tipo lím el filtro que se usa en el dominio, es el de la bolas alrededor de a. Este remplaza al filtro [N, ), N N que se usa en el dominio, en convergencia de sucesiones. Mientras mantengamos el filtro del codominio los teoremas sobre convergencia deben ser los mismo que teníamos para sucesiones. Note: las propiedades del filtro F = {[N, ) N en N}. Este es un filtro alrededor de. i [N, ), N N. ii Si A, B F entonces existe C F tal que C A B. (En este caso particular en realidad se puede tomar C = A B). En general, un filtro básico F es un conjunto X es un subconjunto no vacío de P(X) (partes de X) tal que F1: φ / F. F2: A, B F, C F tal que C A y C B (equivalentemente C A B, pero esto NO significa que A B F). F se dice un filtro si además de las propiedades de filtro básico se tiene F3: X F y F4: Si A F y A B X B F. Es evidente que si F 1 es un filtro básico en X entonces, el generador por F = {A P(x) A BconB F 1 } es un filtro en X. Además que si F es un filtro entonces es básico. Nosotros usamos aqui la palabra filtro para indicar, filtro bśico y de ser necesario pasamos al filtro generado por el básico. La nesecidad de hacerlo suceder pocas veces. Así pues en términos de filtros, se tiene que x n 0 si V B(0), A F tal que n A x n V. Veamos por ejemplo usando filtros, comó queda la demostación de que si x n 0 y y n 0 entonces x n + y n 0: sea V B(0). Como si ε > 0, ε 2 > 0

7 Matemáticas Especiales para Físicos. y x n 0, entonces existe A F tal que n A x n < ε 2. Como y n 0 existe B F tal que n B y n < ε 2. Sea C A B en F. C existe por la propiedad de filtro de F. Si n C n A n B x n < ε 2 y y n < ε 2 x n +y n x n + y n < ε 2 + ε 2 = ε. Así pues V B(0) existe C F tal que n C x n + y n < ε. Por tanto x n + y n 0. Veamos cómo funciona este teorema para el caso de funciones f : [c, d] R. Si lím f(x) = 0 entonces: i a [c, d] y aqui tanto [c, d] como a quedan fijos. ii El filtro que se usa aquí en el dominio es por definición de lím f(x) un filtro de vecindades de a. El mas natural es el de las bolas básicas de a que están contenidas en [c, d], como en el gráfico. -[] Cuando se afirma δ > 0, aquí aceptaremos que tal δ debe ser tal que (a δ, a + δ) [c, d]. Si no lo es, reducimos δ hasta que ello se logre y esto es siempre posible. Así pues aquí F = {B(a, δ) B(a, δ)) [c, d], δ > 0}. Note que de nuevo F tiene las dos propiedades de arriba B(a, δ) φ, δ y dadas dos bolas alrededor de a, existe una tercera contenida en las dos. ε Ahora si lím f(x) = 0 lím g(x) = 0 entonces dado ε > 0, 2 > 0 y existe A F tal que x A f(x) < ε 2 y existe B F tal que x B g(x) < ε 2. Así pues si C A B, y si x C x A x B f(x) < ε 2 g(x) < ε 2 y por tanto f(x) + g(x) f(x) + g(x) < ε 2 + ε 2 = ε. Como antes esto significa que lím f(x) + g(x) = 0. Para funciones f : V R donde V es un espacio normado. Se tienen pues teoremas similares a los de N R pero, en el dominio, con el filtro B(a, δ), dado por la norma, y δ R. De igual manera se tienen teoremas para funciones de espacios métricos en espacios normados o en álgebras normadas. Continuidad Local

8 Capítulo 3: Espacios Lineales y Completez. 53 Aunque mas adelante se dará la forma general de continuidad, para una función f : V W donde V, W son espacios vectoriales normados tomamos: 3.11 Definición: f es continua en a V lím f(x) = f(a). A cada teorema del tipo lím f(x) = L le corresponde uno de continuidad. Por ejemplo note que lím k = k. Aquí f(x) = k, x. Por tanto f(a) = k, lím f(x) = f(a) y la función f(x) = k es continua en a. Otro ejemplo: supuesto que f es continua en a y g tambien lo es, se tiene que lím f(x) = f(a) y lím g(x) = g(a). Por teorema de límites lím f(x)+g(x) = f(a) + g(a) y por lo tanto f + g es continua en a (o f(x) + g(x) es continua en a). Las demás afirmaciones del paso de límites a continuidad se dejan como ejercicio Antes de regresar al proceso de sucesiones y ampliarlo damos un teorema de gran utilidad para pasar de límites de sucesiones al de funciones y viceversa. Note que si f : V W es una función entre espacios normados entonces para cada sucesión N x V, la compuesta N x V f W es una sucesión en W. Deseamos relacionar el límite de una función h con el de f h usando la convergencia de f en el límite de h. Con todo detalle se tiene: 3.12 Proposición: Dada f : V W una función entre espacios normados y h : N V una sucesión tal que: i lím h(n) = v V. ii lím x v f(x) = w. Entonces la sucesión {f(h(n))} n N tiene límite w. O dicho de otra manera lím f(h(n)) = w, o bien lím f(h(n)) = lím f(x) = w. x v Demostración: Sea ε > 0. Como lím x v f(x) = w, entonces existe δ > 0 tal que:

9 54 Matemáticas Especiales para Físicos. si x v < δ f(x) w < ε. Ahora, como δ > 0 y lím entonces N N tal que n > N h(n) v < δ. Así pues se tiene n > N h(n) v < δ f(h(n)) w < ε. h(n) = v, Se tiene pues que si f es continua en a y lím x(n) = a V entonces lím f(x(n)) = f(a), usando x n en cambio de h(x). Cḿo esto nos conecta sinx al cáclulo I, tomemos por ejemplo sabido que lím = 1. El resultado x 0 sin π n precedente implica que lím π n = 0, y por ende lím (nsenπ n ) = π. En realidad para cuando V es segundo contable en cambio de entonces en 3.12 se tiene equivalencia. Será lo que mostraremos en lo que sigue del capítulo. Es decir que se pueden usar limites de sucesiones para determminar continuidad. Para iniciar, como parte de proceso de convergencia extendemos ahora el concepto de continuidad. Damos diferentes presentaciones de ella y las simplificaciones en los espacios primero contables, mas exactamente en los espacios métricos en donde coinciden con continuidad secuencial. Continuidad Global 3.13 Definición: Una función f : X Y entre espacios topológicos es continua si para cada A abierto en Y, f 1 (A) es abierto en X. x Esta continuidad donde no se mensionan puntos específicos se denomina ocacionalmente continuidad global. Se tiene sin embargo que la continuidad se puede verificar puntualmente. Igualmente se tiene continuidad por cerrados Proposición: f : X Y entre espacios es continua B cerrado en Y, f 1 (B) es cerrado en X Definición: Sea a X, f es continua en a si V B(f(a)) W B(a) tal que f(w ) V. De nuevo en cambio de todas las vecindades se puede usar bases de ellas así:

10 Capítulo 3: Espacios Lineales y Completez Proposición: Suponga que B(a) es una base de vecindades de a y B(f(a)) una base de vecindades de f(a). Entonces: f es continua en a V B(f(a)), W B(a) tal que: f(w ) V. Demostración: Ejercicio. Note que la afirmación f(w ) V es equivalente a w W f(w) V. Por lo tanto en el caso de que X, Y sean espacios normados con normas X y Y entonces f es continua en a si ε > 0, δ > 0 tal que x a X < δ f(x) f(a) Y < ε por que para la bola básica B(f(a), ε) la correspondiente alrededor de a se representa usualmente por B(a, δ) y se usa el hecho de que estas son bases de vecindades. Para ligar con lo dado arriba se tiene que: 3.17 Proposición: f : X Y es continua a X, f es continua en a. Demostración: ) Suponga f continua y veamos que lím f(x) = f(a), para cada a X. En efecto si V B(f(a)), existe O abierto en Y con f(a) O V. Así que f 1 (O) es abierto en X y a f 1 (O) por lo tanto W = f 1 (O) B(a). Veamos que f(w ) O. ( V ). Si y f(w ) y = f(x) con x W = F 1 (0). Como x F 1 (0) f(x) O, así pues y O. En suma y f(w ) y O. ) Ahora suponga que lím f(x) = f(a), a X. Sea O abierto en Y. Si f 1 (O) = ya esta por que φ es abierto. Si f 1 (O), para cada y O f(x) tome x y X tal que f(x y ) = y. Como y O, O B(y) por lo tanto hay una vecindad, que podemos tomar abierta (base de vecindades) de X y digamos T y tal que f(t y ) O. Claramente T y es abierto en X y f y O f(x) T y = y O f(x) f(t y ) O. y O f(x) Continuidad Secuencial Sean (X, T X ) y (Y, T Y ) espacios topológicos. Sea f : X Y una función Definición:

11 56 Matemáticas Especiales para Físicos. 1. Se dice que f es secuencialmente continua en a X si para cada sucesión x n N tal que x n a se tiene que f(x n ) f(a). 2. f se dice secuencialmente continua si lo es para cada a X Veamos primero que ser secuencialmente continua es mas débil que ser continua Proposición: Si f : X Y es continua en a X, entonces es secuencialmente continua en a. Demostración: Suponga f continua en a y sea x n N una sucesión en X tal que x n a. Veamos que f(x n ) f(a). En efecto si W β(f(a)), entonces existe V β(a) tal que f(v ) W. Ahora como V β(a), y x n a, entonces existe n N tal que n > N x n V. Pero entonces, como f(v ) W, f(x n ) W para todo n > N. Así que f(x n ) f(a). La afirmación recíproca no es cierta, es decir que ser secuencialmente continua no implica ser continua. Por ejemplo si X = {a, b, c}, T = {φ, { a}, X, L = {φ, { a}, { b}, { a, b}, X} entonces T y L son topologías sobre X y la función f : X X dada por f(x) = x, x X, es secuencialmente continua, pero no es continua. Se deja la demostración de esto como ejercicio. La continuidad secuencial va pegada a la posibilidad de caracterizar cerrados por medio de sucesiones en espacios métricos. Cerradura Secuencial 3.20 Definición: Sea A X en donde X es un espacio topológico. A se dice secuencialmente cerrado si para toda sucesión x n N, con x n A, si x n b, entonces b A. Es decír todos los límites de todas las sucesiones de A (en cuanto existan) están en A. Se tiene que 3.21 Proposición: Suponga que A X es cerrado. Entonces es secuencialmente cerrado. Demostración: Suponga que A es cerrado y que a n N es una sucesión en A, con a n b. Veamos que b A. Si b A, entonces b X A que es abierto y X A β(b). Luego existe N N tal que n > N a n X A. Asi que n > N a n A, contra la hipotesís.

12 Capítulo 3: Espacios Lineales y Completez. 57 La parte central de los espacios métricos (y otros espacios) es que en ellos secuencialmente cerrado es lo mismo que cerrado: 3.22 Proposición: En un espacio métrico, si A es secuencialmente cerrado, entonces es cerrado. Demostración: Suponga que A es secuencialmente cerrado. Demostremos que δa A. Sea b δa. Entonces para cada n N, A B(b, 1 n ). Tome a n N A B(b, 1 n ). Se tiene que a n A, y que a n b (debe demostrarlo). Así que b A. Se tiene entonces que δa A. Es decir que A es cerrado. Note de nuevo el uso de sucesiones en espacios métricos digamos (X, d): A es cerrado a n N en A y b X, (a n b) b A. Ahora veamos cómo, que en espacios métricos, continuidad secuencial implica continuidad Proposición: Si f : (X, d X ) (Y, T Y ) es secuencial continua entonces f es continua. Demostración: Usaremos cerrados. Sea B cerrado en Y veamos que f 1 (B) es cerrado en X. Sea x n N una sucesión en f 1 (B) y suponga que x n c (debemos ver que c f 1 (B)). Pero como x n c y f es secuencialmente continua, se tiene que f(x n ) f(c). Como f(x n ) B, B es cerrado y f(x n ) f(c) entonces f(b) B. Es decir que b f 1 (B). En particular en los espacios euclideanos del cálculo de varias variables se tiene tal propiedad: 3.24 Colorario: f : R n R m es continua en A R n si y solo si, (X n A) (f(x n ) f(a)). Osea lím X n = A lím f(x n) = f(a) Sucesiones de Cauchy y Espacios Completos En el caso de los espacios métricos si una sucesión converge entonces los elementos de la sucesión digamos X n y X m están cada vez mas cercanos en cuanto n y m crecen. Queremos usar esta propiedad pero por supuesto debemos decir que significa exactamente esto. En cambio de decir que los puntos de la sucesión se acercan entre ellos en cuanto el indice crece diremos que la sucesión tiene la propiedad de Cauchy o que es una sucesión

13 58 Matemáticas Especiales para Físicos. de Cauchy 3.25 Definición: Sea x n N una sucesión en un espacio métrico (X, d). Se dice que x n N tiene la propiedad de Cauchy (o que es de Cauchy) si para ɛ > 0, existe N N tal que (n, m) > N d(x n, x m ) < ɛ. La ventaja de los espacios métricos es que la idea de acercarse, entre ellos. los miembros de la sucesión no está necesariamente ligada a priori a que se acerquen infinitamente a un elemento de X. Se deja al lector hacer un sano intento de replicar la idea de sucesión de Cauchy en un espacio topológico cualquiera. Veamos ahora que sucesiones convergentes son de Cauchy. y además están en un subespacio especial Proposición: Sea X n N una sucesión en (X, d). i Si x n N converge en X, entonces es de Cauchy. ii Si x n es de Cauchy entonces es acotada. iii Si x n converge entonces es acotada. Demostramos i, ii: La parte iii es obvia i. Suponga que X n a. Dado ɛ > 0, como ɛ 2 > 0 entonces N N tal que n, m > N d(x n, a) < ɛ 2 y d(x m, a) < ɛ 2. Así pues d(x n, X m ) d(x n, a) + d(a, X m ) < ɛ. ii. Demostraremos equivalentemente que si una sucesión no es acotada entonces no es de Cauchy. Si x n N no es acotada entonces para K > 0, (K R) existe x n tal que d(0, x n ) > K. Sea m 1 en N tal que d(0, x m1 ) > 1 como d(0, x m1 ) + 1 > 0 existe x m2 tal que d(0, x m2 ) > d(x, x m1+x )+1. Por recurrencia construido x mn existe x mn+1 tal que d(0, x mn+1 ) > d(0.x mn ) + n + 1. De esta manera se han trazado círculos concéntricos formando anillos con separación, mínima, n en el n-ésimo paso y solo un x mi en cada uno. Con esto se garantiza que la distancia entre ellos aumenta (y por tanto no disminuye) cuando m crece. Así que x n N no puede ser una sucesión de Cauchy (ver ejercicio 15). Para ilustrar que existen espacios con sucesiones de Cauchy que no convergen, recuerde que entre dos números reales cualesquiera existe un número racional distinto de los dos. Note que n+1 2 < + 1 n para cada n y por tanto existe q n Q (los racionales) tal que n+1 < q n < n+1. Claramente en R con la topología corriente q n 2. Así que q n N es una

14 Capítulo 3: Espacios Lineales y Completez. 59 sucesión de Cauchy en Q (con la topología de subespacio de R) pero no converge en Q. Este ejemplo requiere concretar la relación entre convergencia en un subespacio y convergencia en el espacio, y lo mismo para la condición de Cauchy. La primera que afirma que la convergencia en el subespacio a un punto en el subespacio es equivalente a que la sucesión (del subespacio) converja al punto (del subespacio) en el espacio, se concreta en el ejercicio suplementario 14. La correspondiente de Cauchy es mas sencilla de presentar: 3.27 Proposición: Sea (X, d) un espacio métrico. Sea A X y sea a n N una sucesión en A. Entonces, a n N es de Cauchy en A a n N es de Cauchy en X. Demostración: Suponga que a n N es de Cauchy en A. Recuerde que B A (X, ɛ) A. Entonces A es un espacio métrico tomando d A (a 1, a 2 ) = d X (a 1, a 2 ), a 1, a 2 A y cláramente la bola alrededor de a A, para d A es B X (a, ɛ) A. Puesto que la distancia es la misma en el subespacio A que en X para los elementos de A, entonces ( ɛ > 0, N N tal que n, m > N d A (a n, a m ) < ɛ) ( ɛ > 0, N N tal que n, m > N d X (a n, a m ) < ɛ). Espacios Métricos Completos 3.28 Definición: Un espacio métrico (X, d) se dice completo si toda sucesión de Cauchy es convergente. En lo que sigue V, {e 1, e n }, es un espacio con base normal, es decir que e i = 1 para cada i. Sean (X, d X ), (Y, d Y ) espacios métricos y sea d una métrica en X Y Definición: 1) Decimos que d domina a d X a d Y o que X Y domina a X y a Y (por abuso) si d((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) d X (x 1, x 2 ) y d((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) d Y (y 1, y 2 ). 2) Cuando las métricas provienen de una norma, es decir que X, Y son espacios vectoriales sobre R, normados decimos que, de X Y, domina a X, y a Y si sus métricas lo hacen Proposición: Si d domina a d X y a d Y en X Y y (x n, y n ) n N es una sucesión en X Y entonces:

15 60 Matemáticas Especiales para Físicos. 1) Si (x n, y n ) converge a (c, d) entonces x n converge a c y y n converge a d. 2) Si (x n, y n ) es de Cauchy, entonces x n y y n son de Cauchy. Demostración: Ejercicio Note que en el caso de espacios vectoriales euclideanos R n se tiene que 3.31 Proposición: 1) X n L (X n e i Le i ) i = 1, 2,, n 2) X n de Cauchy X n e i es de Cauchy para cada i = 1. Aquí X n e i es la i-esima coordenada de X n R n. Demostración: Solo resta demostrar de cada parte por Veamos de 2): suponga para cada i que {X n e i }n N es de Cauchy. Entonces dado ɛ > 0 N i N tal que n > N i X n e i X m e i < ɛ n. Para el N = max N i n > N X n e i X m e i < ɛ n. luego n n X n X m = ((X n X m )e i )e i ((X n X m )e i )e i = i=1 i=1 i=1 n n (X n X m )e i e i X n e i X m e i i=1 n i=1 e n = n ɛ n = ɛ. Espacios de Banach y Hilbert En adelante un espacio vectorial normado para cuya métrica es completo se llamara un espacio de Banach. Si la norma del espacio es la norma de un producto interno, entonces se llamara un espacio de Hilbert Ahora damos condiciones para determinar cuando un espacio métrico es completo. Note que en R la sucesión x n = ( 1) n tiene dos subsucesiones y n = ( 1) 2n y Z n = ( 1) 2n+1. Estas nuevas sucesiones son las dos convergentes. De hecho son, las dos, constantes. Este es un ejemplo de una sucesión que tiene puntos de acumulación Definición: Sea x n N una sucesión en un espacio (X, T ). i Una composición del tipo N φ N x x se dice una subsucesión de x si φ es estrictamente creciente (y entonces 1 1). Se denota x φ(n), nn.

16 Capítulo 3: Espacios Lineales y Completez. 61 ii sea a X. Se dice que a es un punto del acumulación de x n N si existe una subsucesión {x φ(n) } n N tal que x φ(n) a. En el caso de un espacio métrico (X, d), a será punto de acumulación de x n N si existe x φ(n) tal que lím x φ(n) = a. En el caso del ejemplo obviamente los elementos de la sucesión no se acercan entre ellos infinitamente. Es decir la sucesión no es de Cauchy. De hecho Proposición: Sea x n N una sucesión en un espacio métrico (X, d). Si x n es de Cauchy entonces: a es un punto de acumulación de x n N x n a. Demostración: Si x n a obviamente a es un punto de acumulación tomando φ(n) = n. Suponga ahora que existe x φ(n) tal que x φ(n) a. Puesto que φ : N N es una función estrictamente creciente, entonces dado un M N, existe N N tal que n > N φ(n) > M. Ahora dado ɛ > 0, como ɛ 2 > 0 y x φ(n) a, entonces existe N 1 N tal que n > N 1 d(x φ(n), a) < ɛ 2. Ademas como x n N es de Cauchy existe N 2 N tal que n, m > N 2 d(x n, x m ) < ɛ 2. Si M = max{n 1, N 2 } sea N tal que n > m φ(n) > M. Ahora, como φ es creciente φ(n) n. Así que si n > M φ(n) n M d(x φ(n), x n ) < ɛ 2 d(x φ(n), a) < ɛ 2 d(x n, a) d(x φ(n), x n ) + d(x φ(n), a) < ɛ. de modo que x n a Proposición: 1. En un espacio métrico si A es completo, entonces A es cerrado 2. En un espacio métrico completo si A es cerrado entonces es completo 3. En un espacio métrico completo A es cerrado si y solo si es completo. Demostración: 1. Sea A completo. Sea a n N una sucesión en A con a n b. Entonces es de Cauchy en A y por tanto converge en A. Así que b A. 2. X completo, A cerrado. Sea a n N de Cauchy. Entonces a n N es de Cauchy en X. Luego a n b y como A es cerrado b A. Entonces a n N converge en A. Luego A es completo. Compacidad en Espacios Métricos Determinamos ahora otro concepto determinado por sucesiones en un espacio métrico. Como antes de este, es un caso particular de un concepto mas general en espacios topológicos pero limitaciones de tiempo y espacio nos restringen a espacios métricos.

17 62 Matemáticas Especiales para Físicos Definición: Sea (X, d) un espacio métrico y A X. Se dice que A es compacto (mas precisamente secuencialmente compacto) si a n N en A, cualquiera, admite un punto de acumulación en A. Note ahora que compacto es una propiedad que, en el caso de espacios métricos, tiene que ver con tamaño pequeño (De hecho es un objeto pequeño) 3.36 Proposición: Si A X es compacto, entonces es acotado. Demostración: Es el mismo argumento de Si no es acotada se construye en él una sucesión que no solo sus términos estan cada vez mas separados si no que cada una de sus subsucesiones es aun mas crítica en ese sentido. Por lo tanto no puede tener subsucesiones convergentes es decir puntos de acumulación y menos en A. Ademas es naturalmente cerrado: 3.37 Proposición: Si A es compacto en (X, d) entonces es cerrado. Demostración: Suponga A compacto y sea a n N una sucesión en A. Suponga que a n b. Como a n es una sucesión en A que es compacto entonces existe una subsucesión a φ(n) que converge en a: digamos lím a φ(n) = a y a A. Pero lím a φ(n) = b puesto que a n b. Entonces a = b y b A En particular las bolas cerradas y acotadas pueden no ser compactas en un espacio métrico cualquiera. De hecho el que lo sean hace la diferencia con respecto a la completez: 3.38 Proposición: Si en un espacio las bolas cerradas B(a, ɛ) = {x X d(x, a) ɛ} son compactas, entonces X es completo. Demostración: Suponga que x n N es una sucesión de Cauchy. Entonces la sucesión está en una bola B que es compacta, luego la sucesión tiene un punto de acumulación b en B y por tanto x n b. Recuerde que si X es un espacio métrico con métrica d y A X, entonces d A : A A R dada por d A (x, y) = d(x, y) es una métrica en A. Recuerde ademas que B A (a, ɛ), para a A, es B x (a, ɛ) A. Es decir que la topológia de A es la topológia de subespacio de X Definición: En (X, d), si A X, A se dice completo si como subespacio es completo. Note ahora: 3.40 Proposición: En un espacio métrico de bolas cerradas compactas, ser cerrado y acotado es equivalente a ser compacto.

18 Capítulo 3: Espacios Lineales y Completez. 63 Demostración: En cualquier espacio métrico compacto implica cerrado y acotado. Supongamos ahora que A es cerrado y acotado y veamos que es compacto. Sea a n N una sucesión en A. Como A es acotado entonces A B en donde B es una bola cerrada y entonces compacta. Por tanto existe una subsucesión a φ(n) b B por ser B compacta pero a φ(n) A que es cerrado entonces b A. 3. Es inmediato. Ejercicios Suplementarios 1. Sea B una base de vecindades de L, en un espacio topológico X. Demuestre que x n L si y solo si V B, N N tal que n > N x n V. 2. Determine bases de vecindades en las siguientes topologías a) La topología de los complementos finitos en X con X infinito. b) La topología P(X) en X c) T a = {B X/a B} {φ} 3. Realizar la demostración correspondiente a De cada teorema de límites del tipo lím f(x) = L dé un teorema y demuéstrelo. 5. Realizar la demostración correspondiente a Realizar la demostración correspondiente a Realizar la demostración correspondiente a Tome lím f(x) + g(x) = L, para la convergencia a L con el filtro B(a, δ), δ R. Ahora: ( ) a) Dé el enunciado de los teoremas de aritm tica de límite 0 lím f(x) = 0. b) Demuestre los teoremas de la parte 1. c) Dé los teoremas de aritmética de límites del tipo lím f(x) = L d) Demuestrelos como consecuencia de los teoremas de la parte c). e) Establezca y demuestre los teoremas correspondientes a 3.10 para el caso de funciones f : (x, d) (V, ) donde (X, d) es un espacio métrico y (V, ) es un álgebra normada. Las demostraciones deben seguir el patrón de 3.10

19 64 Matemáticas Especiales para Físicos. 9. Demuestre que: Si X n es casi igual a k (constante), entonces k es un límite de x n N, para cualquier topología T sobre X. 10. Complete la demostración de Use la aritmética de los límites de la forma lím f(x) para dar y demostrar los teoremas de continuidad an a para funciones f : (V, V ) (W, w ). 12. Determine la aritmética de los límites de la forma lím f(x), para funciones del tipo f : (X, T ) (A, A ) en donde (X, T ) es un espacio topológico y (A, A ) es un álgebra normada. 13. Use la aritmética de límites de la forma lím x c f(x) para dar los teoremas de continuidad en c X para función f : (X, T ) (A, ) en donde (X, T ) es un espacio topologíco y (A, ) es un álgebra normada. 14. En cada espacio determine i) Si es Haussdorff. ii) Si hay sucesiones con mas de un punto límite. iii) Si los subconjuntos secuencialmente cerrados son cerrados: a) Un subespacio A de un espacio X que ya cumple la propiedad. b) R con la topología de los complementos finitos. c) P(X) en X. d) La topología T a del ejercicio Complete la demostración de que la recíproca de la proposición 3.19 (que se inicio al final de 3.19) no es cierta. 16. Sean a A X. Sea T X una topología en X y T A la topología de A como subespacio de X. Demuestre que si a n N es una sucesión cuyos elementos estan en A, entonces (a n a) en (A, T A ) (a n a en (X, T X )). 17. Sea y n N una sucesión en un espacio métrico (X, d). 1) Demuestre que si y n L entonces toda subsucesión y φ(n) L. 2) Demuestre que si y n N tiene una subsucesión que no es de Cauchy entonces y n N no es de Cauchy. 3) Lo mismo que 2 para acotada en cambio de Cauchy.

20 Capítulo 3: Espacios Lineales y Completez. 65 4) Demuestre que X mn construida en la demostración de 3.26 no es de Cauchy. 18. Llene los detalles de la demostración de que si A en (X, d) es compacto, entonces es acotado. 19. Sea A X con X un espacio métrico. Se dice que A es discreto si como subespacio de X es discreto. a) Si A es discreto entonces 1) Muestre que A es completo. 2) Muestre que A es cerrado. 3) A es compacto A es finito. b) Muestre que todo conjunto finito es discreto.