Inducción matemática. Sucesiones y series. Jeffry Chavarría Molina Natalia Rodríguez Granados

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1 Iducció matemática. Sucesioes y series Jeffry Chavarría Molia Natalia Rodríguez Graados 6 de julio de 03

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3 Ídice geeral. Método de Iducció Matemática 5.. Proposicioes lógicas Iducció matemática Por qué fucioa el método de iducció matemática? Aplicació del método de iducció matemática Sucesioes y series uméricas 7.. Sucesioes umérica Sucesió factorial Sucesioes recursivas Paso de la forma recursiva a explícita y viceversa Mootoía de sucesioes Sucesioes covergetes Sucesioes acotadas Series uméricas Covergecia y divergecia de series uméricas Criterio de divergecia Criterio de la serie geométrica Criterio de la serie telescópica Criterio de la itegral y p series Criterios de Comparació Criterio de la razó y criterio de la raíz

4 4 ÍNDICE GENERAL..8. Series alteradas y covergecia absoluta Series de potecias Cálculo del radio e itervalo de covergecia Series de Taylor y Maclauri Aproximació de derivadas e itegrales

5 Capítulo Método de Iducció Matemática.. Proposicioes lógicas Defiició (Proposició) Ua proposició es ua colecció de símbolos sitácticos a la cual se le puede asigar uo y solo u valor de verdad: verdadero (V) o falso (F). Las proposicioes, geeralmete se deota co letras e mayúscula. Ejemplo Cosidere las proposicioes que se preseta a cotiuació: P : E el plaeta tierra hay vida. Q : Los delfies so mamíferos. R : El sol es muy frío. Es claro que las proposicioes P y Q so ambas verdaderas, mietras que la proposició R es falsa. E cuyo caso se escribe: P V Q V R F Defiició (La egació de ua proposició) Sea P ua proposició lógica, la egació de P se deota P y se defie como ua ueva proposició que se lee o P o o es cierto P cuyo valor de verdad es cotrario al valor de verdad de P. Es decir: P P V F F V 5

6 6.. Proposicioes lógicas Ejemplo Cosidere la proposició P dada por P : El úmero π es irracioal. De este modo, la egació de P correspode a la proposició: P : El úmero π o es u úmero irracioal. Dos o más proposicioes lógicas puede coectarse etre sí para formar uevas proposicioes. Para realizar estas coexioes se utilizará lo que coocerá como coectiva lógica. El valor de verdad de las uevas proposicioes depede, úicamete, de los valores de verdad de las proposicioes utilizadas y de las coectivas empleadas. Coectivas lógicas Sea P y Q dos proposicioes, las coectivas lógicas cojució ( ), disyució ( ), implicació ( ), y doble implicació ( ) geera uevas proposicioes cuyos valores de verdad se defie a cotiuació: P Q P Q V V V V F F F V F F F F P Q P Q V V V V F V F V V F F F P Q P Q V V V V F F F V V F F V P Q P Q V V V V F F F V F F F V Ejemplo 3 P : María es alta. Q : María es delgada. Así, se tiee que: P Q : María es alta y delgada. P Q : María es alta o delgada. R : Me gaé la lotería. S : Me compraré u auto. Así, se tiee que: R S : Si me gaé la lotería, etoces me compraré u auto. S R : Me compro u auto, si y solo si, me gaé la lotería. Defiició 3 (Proposició abierta) Ua proposició abierta es ua colecció de proposicioes idexadas a través de uo o varios parámetros. El cojuto más grade de posibles valores para los parámetros, se deomia uiverso de discurso o domiio. Ejemplo 4 Cosidere la proposició abierta: P : + es u úmero par. Dode IN. ote que para diferetes valores de la proposició P puede ser falsa o verdadera,

7 . Método de Iducció Matemática 7 es importate eteder que P o es ua sola proposició, sio ua familia de proposicioes. Dode P, P, P 3, etc, so miembros particulares de dicha familia. Para este caso, se puede observar que: P V, P F, P 3 V, P 4 F. Demostració de ua implicació Demostrar P Q cosiste e demostrar que: P Q V, es decir, que o es posible la combiació P V y Q F. Para demostrar P Q se puede hacer de dos posibles formas: Demostració directa: Cosiste e supoer que P V y demostrar que bajo esa suposició se llega a cocluir que Q V. Demostració por cotradicció: Cosiste e supoer verdadero la proposició: P Q y demostrar que bajo dicha suposició, se puede cocluir ua cotradicció (ua proposició evidetemete falsa). De esta maera, de proposició de la cual se partió debe ser falsa y como P o puede ser falsa, pues es la premisa o hipótesis Q tiee que serlo. Así se tiee que P Q V... Iducció matemática. La iducció matemática es ua técica de demostració que se basa e los cico postulados de Peao utilizados comúmete para costruir el cojuto de los úmero aturales. La lista de los cico postulados se preseta a cotiuació: Giuseppe Peao : fue u matemático, lógico y filósofo italiao quie ideo u cojuto de axiomas para fudametar la aritmética y la costrucció de los úmeros aturales.

8 8.. Iducció matemática. Postulados de Peao. 0 es u úmero atural.. Si k es u úmero atural, etoces k + tambié es u úmero atural llamado el sucesor de k o es el sucesor de igú úmero atural. 4. Si dos úmeros aturales m y tiee el mismo sucesor, etoces m =. 5. Codere u cojuto A que cumple que: 0 A, y todo úmero atural k A cumple que su sucesor k + tambié está e A; etoces IN A. El quito postulado de Peao es deomiado el postulado de iducció matemática el cual establece el pricipio que se estudiará e la presete secció para demostrar la validez de proposicioes abiertas co domiio IN. Específicamete, el pricipio de iducció matemática se usa para probar que ua proposició abierta es verdadera para todo e su domiio, siempre que éste sea de la forma {p, p+, p+, p+3,...}, dode p 0. Para el caso de que el domiio sea IN se tiee que: Teorema (Iducció matemática para proposicioes co domiio IN) Cosidere ua proposició abierta P, co IN. Supoga que dicha proposició cumple que: P 0 V, y P P + V para todo IN. Etoces, se puede asegurar que ( IN)[P ] V. Demostració. Cosidere el cojuto A defiido por todos los úmero aturales que cumple que P V, es decir: Como P 0 V, etoces 0 A. A = {, IN P V }. Como P P + V, etoces se puede cocluir que si P V, etoces P + V, lo que sigifica, segú la defiició de A, que si A, etoces su sucesor

9 . Método de Iducció Matemática 9 + tambié está e A. De dode, segú el quito postulado de Peao, coduce a cocluir que IN A. Pero, segú la defiició de A la proposició IN A equivale a decir que para todo IN se cumple que P V quedado así demostrado lo que se quería. E caso, de que el domio de la proposició abierta sea D = {p, p +, p +,...}, co p > 0, se deberá demostrar P p V, dode p es el primer elemeto del domiio. Posteriormete se debe probar que P P + V para arbitrario, > p, ésto completaría la demostració por iducció. Fialmete, se cocluye que ( D)[P ] V. Para demostrar que la implicació P P + es verdadera para todo, se procede demostrado que la implicació P P + es verdadera para u fijo pero arbitrario. La demostració de la implicació puede hacerse e forma directa o bie por cotradicció, e ambos casos se debe supoer que P es verdadera. A esta proposició se el cooce como Hipótesis de Iducció (HI : P ).... Por qué fucioa el método de iducció matemática? La demostració del método de iducció matemática, dado el quito postulado de Peao (ver demostració del teorema ), o deja duda de la fucioalidad del método para demostrar proposicioes abierta co domiio atural. Si embargo, ua reflexió del proceso podría podrías ayudar a teer ua visualizació más clara del mismo. El objetivo de la técica de iducció matemática, es poder garatizar que ua proposició abierta P es verdadera para todo IN, p. Por comodidad supoga que p = 0. Si se tiee que P 0 V y P P + V para todo, etoces se puede hacer el siguiete aálisis: P 0 V Para = 0 se tiee que: P 0 P, por lo que P V Para = se tiee que: P P, por lo que P V Para = se tiee que: P P 3, por lo que P 3 V Para = 3 se tiee que: P 3 P 4, por lo que P 4 V Para = 4 se tiee que: P 4 P 5, por lo que P 5 V.. Bajo el mismo racioamieto se puede cocluir que P V para todo IN. Ua variació válida del método de iducció matemática correspode a lo que se cooce comúmete como método de iducció fuerte o iducció trasfiita. Esta variació se eucia a cotiuació:

10 0.. Iducció matemática. Método de iducció fuerte Para demostrar ( IN)[P ] V. Basta probar que: P 0 V. P 0 P P P P + V, para todo IN. El método de iducció fuerte es ua geeralizació del método ya estudiado, lo que sigifica que el método al que hace referecia el teorema es u caso particular de método de iducció fuerte. La fortaleza de la iducció fuerte es debido a que el mismo cueta co más premisas e la hipótesis de iducció lo que la hace más robusta. La iducció fuerte se usa cuado para poder demostrar P + se requiere más iformació que P. De esta maera se tiee que la hipótesis de iducció, será ahora: HI : P 0 P P P El por qué fucioa esta variate del método de iducció matemática se puede apreciar e el siguiete aálisis similar al realizado ateriormete para el método ya estudiado. Primero se demuestra que P 0 V. Luego, si se tiee que P 0 P P P P + V, para todo, etoces se puede razoar de la siguiete maera: P 0 V Para = 0 se tiee que: P 0 P, por lo que P V Para = se tiee que: P 0 P P, por lo que P V Para = se tiee que: P 0 P P P 3, por lo que P 3 V Para = 3 se tiee que: P 0 P P P 3 P 4, por lo que P 4 V Para = 4 se tiee que: P 0 P P P 3 P 4 P 5, por lo que P 5 V.. Bajo el mismo razoamieto, se puede cocluir que P V para todo IN.... Aplicació del método de iducció matemática La iducció matemática se puede emplear e ua gra variedad de pruebas de resultados que tega la forma ( IN)( p)[p ]. Las pruebas más comues so sobre resultados de divisibilidad, igualdades y desigualdades. E el presete documeto, se abordara, a groso modo, dos tipos de proposicioes: las que tiee que ver co igualdades y las que tiee que ver co desigualdades. Estas mismas se fortalecerá e el capítulo de sucesioes y series.

11 . Método de Iducció Matemática Ejemplo 5 Use el método de iducció matemática para demostrar que: = ( + ) ; IN, co Solució. Se aplicará iducció sobre, para. Defia P = ( + ). Como primer paso, se debe probar que P es verdadero, ésto es: Por lo que P es verdadera. P = ( + ). Ahora se debe probar que para todo IN se cumple que P P +. Lo que equivale a demostrar, para u fijo pero arbitrario, la implicació siguiete: HI HQD {}}{{}}{ ( + ) ( + ) ( + ) = ( + ) = Demostració: Supoga que HI es verdadera, etoces: ( + ) = } {{ + + } + ( + ) HI HI ( + ) = + ( + ) ( + ) + ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) = ( + ) ( + ) Fialmete, por el pricipio de iducció matemática, se tiee que: = ( + ), para. Ejemplo 6 Use el pricipio de iducció matemática para demostrar que: = 3+ IN

12 .. Iducció matemática. Solució. Se aplicará el método de iducció matemática para demostrar que la proposició P es verdadera para todo IN, dode: P = 3+ Se debe demostrar que P 0 es verdadera. P = 30+ Por lo tato P 0 es verdadera. Ahora se debe probar que para todo IN se cumple que P P +. Lo que equivale a demostrar, para u fijo pero arbitrario, la implicació siguiete: HI HQD {}}{{}}{ = = 3+ Demostració: Supoga que HI es verdadera, etoces: = } {{ } HI HI = = = 3 3+ = 3+ Por lo tato, supoiedo válido la hipótesis de iducció, se demuestra que: = 3+ de esta maera queda demostrado para todo IN que P P +. Fialmete, por el pricipio de iducció matemática se tiee que la proposició: = 3+ es válida para todo IN. Ejemplo 7 Sea r IR, co r. Demuestre que para todo IN co se cumple que: + r + r + r r = r r (.)

13 . Método de Iducció Matemática 3 Solució. Defia la proposició P por: P + r + r + r r = r r Primero se debe probar que P es verdadera, ésto es: P = r r De dode se tiee que P es verdadera. Ahora se debe probar que para todo IN se cumple que P P +. Lo que equivale a demostrar que para fijo pero arbitrario se cumple la implicació siguiete: HI HQD {}}{{}}{ + r + r + + r = r r + r + r + + r + r = r+ r Demostració: Supoga que HI es verdadera, etoces: + r + r + + r + r = } + r + r + r {{ r } + r H.I. HI = r r + r = r r + r ( r) r = r r + r r + r = r+ r + r + r + + r + r = r+ r De este modo, por el pricipio de iducció matemática, se demuestra: + r + r + + r = r, para todo. r Ejemplo 8 Use el método de iducció matemático para demostrar que k k k, k

14 4.. Iducció matemática. Solució. Se aplicara el método de iducció matemática para demostrar que la proposició P k es verdadera para todo k IN, k ; dode P k k k k Primero se demostrará que P es verdadera. P. Por lo que la proposició es válida para el primer elemeto (P V ). Ahora se debe probar que P k P k+ es verdadero para todo k. Sea k u úmero atural fijo pero arbitrario, se debe probar que: k k k }{{} HI Supoga que HI es verdadera (k + ) k + k k + }{{} HQD = 3 k k k k + }{{} HI HI k k + k +? (k + ) k + (.) El ejercicio se completa, solo si esta última desigualdad es verdadera. La veracidad de dicha desigualdad se estudiará de maera idepediete a cotiuació: k k + k + (k + ) k + k + k k + k + (k + ) k + k + k k + (k + )(k + ) k + k k + k + k + k + k k k + k k + k k + ( k ) + k (k + ) k(k + ) k + 4k + 4 k + k k + 4k k + 4

15 . Método de Iducció Matemática 5 Dode esta últimas proposició es verdadera para todo k. E este mismo setido, como todas las proposicioes ateriores so tautológicamete equivaletes ( ), etoces la primera de ellas es tambié verdadera, quedado así demostrada la desigualdad.. Fialmete se puede asegurar que bajo la suposició de que HI es verdadera se logra demostrar que: (k + ) k + k k + Así, por el pricipio de iducció matemática se tiee que P k es cierta para todo k. Ejercicios.. Use el método de iducció matemática para demostrar cada ua de las proposicioes que se idica a cotiuació: = 8 5 (6 ), para k(k + ) = k, para k. k m 3 m = 3m (m ) 3 4, para m k k = k+ (k + ) +, para k m = = ( + ) 4 m(m + )(m + ), para m. 6, para (0m ) = (m + )(5m ), para todo m 0. ( ) ( ) ( ) ( ) =, para todo. 3 4 ( 4 ) ( 5 ) todo k 4. ( 6 ) ( k ) = 3k + 3 4k, para

16 6.. Iducció matemática. cotiuació.... Demuestre, por el método de iducció matemática sobre k, que: k (k + ) si r = +r+3r +4r 3 + +kr k = rk (k + ) kr k+ (r ) si r para todo k. 3. Use el método de iducció matemática para demostrar las siguietes desigualdades: <, para todo k 8 (k + ), para todo k. 4m < m 7, para todo m , para todo.

17 Capítulo Sucesioes y series uméricas.. Sucesioes umérica Defiició 4 (Sucesió umérica) Ua sucesió {a 0, a, a, a 3,...} de úmeros reales, es ua fució a : IN IR. Es decir, es ua fució de la forma: a : IN IR a() = a E las sucesioes, la otació fucioal cambia por ua otació de subídice, así: a(0) = a 0 a() = a a() = a a(3) = a 3.. a(k) = a k.. Las sucesioes puede iiciar e = 0, =, o e = p, co p IN, p. E caso de iiciar e p co p, la sucesió se debe deotar explícitamete por {a } =p o bie {a } p. E caso de que la sucesió iicie e, etoces es posible deotarla co {a }, {a } IN, o bie {a }. E este caso, IN = IN {0} = {,, 3, 4...}. Ejemplo 9. Cosidere la sucesió de los úmeros impares {, 3, 5, 7, 9,,...}. Es posible deotar esta sucesió como {+}, { }, { 3} =, { 5} =3, etc. 7

18 8.. Sucesioes umérica. Cosidere la sucesió { +( ) } IN, los primeros térmios de esta sucesió: {,, 5, 7, 7, 3,...} { } 3. Cosidere la sucesió. Esta sucesió se puede represetar por extesió por: { 4 =, 9, 6 3, 5 4, 36 5,...}. Esta sucesió puede ser redefiida de maera que pueda iiciar e = 0, para ésto basta realizar u corrimieto del ídice, quedado: { } (+) +. Como se observa e el ejemplo 9 parte 3, toda sucesió puede ser expresada de forma que su domiio sea IN, es decir, que iicie e = 0. Por esta razó, e la presete obra los resultados y teorema será euciados para sucesioes co domiio IN.... Sucesió factorial Defiició 5 La sucesió defiida por {!}, se deomia sucesió factorial, dode:! = ( )! co 0! = Ejemplo 0 3! = 3! = 3! = 3 0! = 3 = 6 5! = 5 4! = 5 4 3! = = 0 Cosidere la sucesió {a }, dode a = 3(+)! ( )!. Note que a 3 = 3 4!! = 7 4 = 8. Cosidere además la sucesió {b } defiida por b = a a +. Es posible simplificar la fórmula del eésimo térmio de esta ueva sucesió, de la siguiete maera: a a + = 3(+)! ( )! 3(+3)! (+)! = 3( + )!( + )! ( )!3( + 3)! = ( + ) ( + 3)( + ) De esta forma se tiee que la sucesió: { } ( + ) {b } = ( + 3)( + ) Ejercicios. { } 3()! Cosidere la sucesió defiida por {a } 0 =. Determie 4( + 4)! 0 a y a 4. Además, simplifique la expresió a +. a +

19 . Sucesioes y series uméricas 9 Ejemplo Ecuetre ua posible fórmula para el eésimo térmio de cada ua de las siguietes sucesioes: a) 3, 7,, 5,... b),,, 4, 8,... c),, 6, 4, 0,... d) 3, 3 4, 4 5, 5 6,... e), 3, 9, 4 7, 8,... d),, 7, 4, 3,... 8 Solució. a) {4 } b) d) { } + e) { ( ) } 0 { } 3 0 c) { }! d) { } Todas las sucesioes dadas ateriormete está expresadas e forma explícita, ésto es que su -ésimo térmio está e fució úicamete de. Existe otra forma de represetar sucesioes, esta ueva forma se coocerá como recursiva o recurrete y su teoría se expoe a cotiuació.... Sucesioes recursivas Defiició 6 (Sucesió recursiva.) Se dice que ua sucesió {a } está defiida e forma recursiva, si el ésimo térmio está e fució de los térmios ateriores. Además, se defie el orde de ua sucesió {a } dada e forma recursiva como el úmero de térmios ateriores ecesarios para represetar el térmio ésimo. Es decir, se dice que {a } es ua sucesió recursiva de orde k, si y solo si: a = f(a, a,..., a k ) dode los térmios a 0, a,..., a k so coocidos y se deomia codicioes iiciales de la sucesió. Ejemplo Cosidere la sucesió de orde defiida por: { a = a + 3 a 0 = Esta sucesió correspode a: {, 5, 3, 9, 6,...}.

20 0.. Sucesioes umérica E las sucesioes defiidas por recurrecia es ecesario defiir codicioes iiciales que so el puto de partida para la sucesió, e caso de que el ésimo térmio depeda de m térmios ateriores, etoces se requiere m codicioes iiciales, a estas sucesioes se deomia sucesioes recursivas de orde m. Ejemplo 3 Cosidere la sucesió defiida por: { a = a + a a 0 =, a = Esta sucesió correspode a: {,,, 3, 5, 8, 3,, 34,...} y es coocida como la sucesió de Fiboacci. La sucesió de Fiboacci es ua de las sucesioes más curiosas que se cooce, esta sucesió da la solució al famoso problema de los coejos que Fiboacci escribió e su libro Liber abaci. El problema e leguaje actual diría: Problemas de los coejos Ua pareja de coejos tarda u mes e alcazar la edad fértil, a partir de ese mometo cada mes egedra ua pareja de coejos, que a su vez, tras ser fértiles egedrará cada mes ua pareja de coejos. Cuátas parejas de coejos habrá al cabo de u determiado úmero de meses? Ejemplo 4 Cosidere la sucesió {x } defiida por: x + = x f (x ) f (x ) x 0 = dode f es la fució co criterio f(x) = x + 3. Note que f (x) = x por lo que la sucesió sería: x + = x x + 3 x x 0 = y la sucesió dada por extesió correspode a: {,,,,,,,...}

21 . Sucesioes y series uméricas Ejercicios 3. Para cada ua de las fucioes que se preseta a cotiuació, determie los primeros 5 térmios de las sucesioes: x + = x f(x ) f (x ) x 0 = p a + = a f(a )(a a ) f(a ) f(a ) a 0 = p, a = p +. f(x) = x 3 x + ; p =.. f(x) = cos(x) x; p = π. 3. f(x) = l(x) + x ; p =. 4. f(x) = cos(x) x ; p =...3. Paso de la forma recursiva a explícita y viceversa Las sucesioes recursivas tiee el icoveiete de requerir mucha iformació para determiar uevos térmios. Por ejemplo, para determiar el térmio 8 de la sucesió de Fiboacci es ecesario coocer el valor de a 6 y a 7. Para saber a 7 es ecesario coocer el valor de a 6 y a 5, pero para coocer el valor de a 5 es ecesario coocer a 4 y a 3 y así sucesivamete hasta llegar a las codicioes iiciales a 0 = a =. Por otro lado, si ua sucesió está dada e forma explícita, determiar el valor de alguos de los térmios de la sucesió es muy secillo, basta asigar el valor de que se desee y listo. Por esta razó es importate determiar u método o estrategia que permita represetar las sucesioes recursivas como sucesioes explícitas. A cotiuació, se estudia dos estrategias para realizar este trabajo. Ejemplo 5 Cosidere la sucesió {a } defiida por: { a = a + 5 a = 3 Demuestre, usado el método de iducció matemática, que la forma explícita de la sucesió {a } está dada por a = 5. Solució. Se debe probar que para todo IN, se cumple que a = 5. Se procederá por iducció sobre. Defia: P a = 5 Primero, se debe probar que P es verdadero, ésto es: P a = 5 = 3 De dode se deduce que P es verdadera.

22 .. Sucesioes umérica Ahora, se debe probar que para todo IN, se cumple que P P +. Lo aterior, equivale probar para fijo pero arbitrario la implicació siguiete: HI HQD {}}{{}}{ a = 5 a + = 5( + ) Se procederá por ua prueba directa, supoga que HI es verdadera. Demuestre, bajo la suposició aterior, que: a + = 5( + ) = Demostració: Por el criterio recursivo de la sucesió, se sabe que a + = a + 5, de este modo se tiee que: a + = a + 5 HI = (5 ) + 5 = a + = Fialmete, queda demostrado, por el método de iducció matemática, que para todo IN se cumple que a = 5. Ejemplo 6 Cosidere la sucesió {t } = defiida e forma recursiva por: t = t + t t 3 t = t 3 = 5 t 4 = 7 Use el método de iducció matemática para demostrar que el térmio explícito de la sucesió es: t = 3 ( ) + 5. Solució. Se procederá co iducció fuerte sobre. Defia: P t = 3 ( ) + 5 Primero se debe demostrar que la proposició es válida para el primer elemeto, e este caso, se debe probar que P es verdadera. P t = 3 ( ) + 5 = = De este modo, P V.

23 . Sucesioes y series uméricas 3 Ahora, se debe probar que para todo IN,, se cumple que P P 3 P P +. Lo aterior, equivale a demostrar, para fijo pero arbitrario, la implicació siguiete: HI {}}{ t k = 3 ( )k + 5 k, k =, 3,..., HQD {}}{ t + = 3 ( ) Se procederá por ua prueba directa, supoga que HI es verdadera. Se demostrará, bajo la suposició aterior, que: t + = 3 ( ) Demostració: Por la fórmula recursiva, se sabe que t + = t + t t, de dode se tiee que: t + = t + t t ( HI = 3 ( ) + 5 ) + ( 3 ( ) + 5 ) ( 3 ( ) + 5 ) = 4 3 ( ) ( ) ( ) 5 4 = + 3 ( ) = 3 ( ) t + = 3 ( ) Fialmete, por el pricipio de iducció matemática, queda demostrado que para todo IN, se cumple que: t = 3 ( ) + 5 De recursiva a explícita: por ispecció Esta estrategia cosiste e realizar sustitucioes e los primeros térmios de la sucesió y reacomodarlos algebraicamete, co el fi de determiar u posible patró de dode se pueda iferir u posible fórmula explícita. Ua vez que tiee la sospecha de ua posible fórmula explícita, es ecesario demostrar dicha fórmula por iducció.

24 4.. Sucesioes umérica Ejemplo 7 Determie ua fórmula explícita para la sucesió recursiva dada por: { a+ = a + a 0 = Solució. a 0 = a = + a = ( + ) + = + + a 3 = ( + + ) + = a 4 = ( ) + = =. De esta maera se deduce que: a = Haciedo uso de la fórmula. demostrada e el ejemplo 7, para r = se tedría que: = + Quedado así que: a = + De esta forma se sospecha que a = +. Ahora se debe demostrar por iducció. Defia: P a = + Primero, se debe probar que la proposició es válida para el primer elemeto, ésto es, probar que P 0 es verdadera: P 0 a 0 = = Ahora se debe demostrar que P P + para todo IN. Es decir, se debe probar para u fijo pero arbitrario que: HI HQD {}}{{}}{ a = + a + = + Demostració: Supoga que HI es verdadera. Además, por el térmio recursivo, se sabe que a + = a +, de esta maera se tiee que: a + = a + HI = ( + ) + = + + = +

25 . Sucesioes y series uméricas 5 Fialmete, por el pricipio de iducció matemática, queda demostrado que para todo IN se cumple que a = +. Ejemplo 8 Determie ua fórmula explícita para la sucesió recursiva dada por: { a+ = 3a + a 0 = Solució. a 0 = a = 3 + a = 3 (3 + ) + = a 3 = 3 ( ) + = =. De esta maera se deduce que: a = Haciedo uso de la fórmula. demostrada e el ejemplo 7, para r = 3 se tedría que: = 3 3 De dode quedaría que: a = = 5 3 Ahora, por medio del método de iducció matemática se demostrará la fórmula aterior. Defia: P a = 5 3 Primero, se debe probar que P 0 es verdadero, ésto es: P 0 a 0 = 5 30 = De dode se cocluye que P 0 es verdadero.

26 6.. Sucesioes umérica Ahora se debe demostrar que P P + para todo IN. Es decir, se probará para u fijo pero arbitrario que: HI HQD {}}{{}}{ a = 5 3 a + = 5 3+ Demostració: Supoga que HI es verdadera. Además, por el térmio recursivo, se sabe que a + = 3a +, de esta maera se tiee que: a + = 3a + HI = 3 ( 5 3 = 5 3+ ) + Fialmete, por el pricipio de iducció matemática, queda demostrado que para todo IN se cumple que: a = 5 3 Ejemplo 9 Determie ua fórmula explícita para la sucesió recursiva dada por: { a+ = 5a 3 a 0 = Solució. a 0 = a = 5 3 ( a = 5 5 ) 3 3 = 5 ( a 3 = 5 5 ) ( a 4 = = = ) 3 =

27 . Sucesioes y series uméricas 7 De esta forma se tiee que: a = = 5 3 ( ) Haciedo uso de la fórmula. demostrada e el ejemplo 7, para r = 5 se tedría que: De dode quedaría que: = 5 5 a = = = = De dode se sospecha que a = Ahora, por medio del método de iducció matemática, se demostrará que la fórmula aterior es válida para todo IN. Defia P a = Primero, se debe probar que P 0 es verdadero, ésto es: P 0 a 0 = = Así, P 0 es verdadero. Ahora se debe demostrar que P P + para todo IN. Es decir, se debe probar para u fijo pero arbitrario que: HI HQD {}}{{}}{ a = 3 5 = a + =

28 8.. Sucesioes umérica Demostració: Supoga que HI es verdadera. Además, por el térmio recursivo, se sabe que a + = 5a 3, de esta maera se tiee que: a + = 5a 3 HI = 5 ( = ) 3 Fialmete, por el pricipio de iducció matemática, queda demostrado que para todo IN se cumple que a = Ejemplo 0 Determie ua fórmula explícita para la sucesió dada por: { q+ = ( + )q q 0 = Solució. q 0 = q = = q = () = q 3 = 3 ( ) = 3 3 q 4 = 4 ( 3 3) = q 5 = 5 ( 3 4 4) = =. De este modo se sospecha que: q =!. Se debe demostrar esta fórmula por el método de iducció matemática, para ésto defia: P q =!. Primero, se debe probar que P 0 es verdadera, para este caso se tiee: P 0 q 0 = 0! 0 =

29 . Sucesioes y series uméricas 9 Ahora se debe demostrar que P P + para todo IN. Es decir, se debe probar para u fijo pero arbitrario que: HI HQD {}}{{}}{ q =! q + = ( + )! +. Demostració: Supoga que HI es verdadera. Además, por el térmio recursivo, se sabe que q + = ( + ) q, de esta maera se tiee que: q + = ( + ) q HI = ( + )! = ( + )! + Fialmete, por el pricipio de iducció matemática, queda demostrado que para todo IN q =!. Ejercicios 4.. Para cada ua de las siguietes sucesioes que se preseta a cotiuació, determie su fórmula explícita. a) b) c) { a+ = a a 0 = { b+ = 3b 7 b 0 = 3 { c+ = c c = d) e) f ) { d+ = 7d d 0 = { y = 3 y + = y 5 x = 3 x = 5x + 3 De explícita a recursiva: por ispecció Geeralmete, este método requiere mucha práctica, debido a que se basa e la observació de u patró de la secuecia. Alguos patroes o so fáciles de delimitar, lo que hace que este procedimieto carezca de ua estructura rígida y se base pricipalmete e la ocurrecia e igeio de la persoa que resuelve el ejercicio.

30 30.. Sucesioes umérica Ejemplo Determie ua fórmula recursiva para la sucesió explícita dada por: a = 5+ 7 (.) Solució. a 0 = a = 5+ 7 a = 5+ 7 a 3 = a 4 = a 5 = =. = 4 7 = 4 7 = 4 7 = 64 7 = 34 = Difereciado los térmios sucesivos se tiee que: 7a 7a 0 = 4 4 = 0 7a 7a = 4 4 = 00 7a 3 7a = 64 4 = 500 7a 4 7a 3 = = 500 7a 5 7a 4 = = 500. E esta ueva sucesió es importate otar que el 7a + 7a = 5 (7a 7a ) de dode se tiee que: 7a + 7a = 5 (7a 7a ) a + a = 5a 5a a + = 6a 5a Por lo que { a+ = 6a 5a para a 0 = 4 7, a = 4 7 (.) Ahora se debe demostrar dicha fórmula por iducció. Es ecesario utilizar la iducció fuerte, ya que la sucesió recursiva depede de dos térmios ateriores. Ahora, es importate eteder que demostrar que. es la forma explícita de. es equivalete a demostrar que. es la forma recursiva de.. Por lo que se demostrará que

31 . Sucesioes y series uméricas 3 la fórmula explícita de la sucesió. es: Defia primero la proposició abierta a = 5+ 7 P a = 5+ 7 Note que la proposició es verdadera para el primer elemeto, pues P 0 a 0 = = 4 7 Ahora se debe demostrar que P 0 P... P P + para todo IN. Es decir, se debe probar para u fijo pero arbitrario que: HI {}}{ a k = 5k+, k = 0,,,..., 7 HQD {}}{ a + = 5+ 7 Demostració: Supoga que HI es verdadera. Además, por el térmio recursivo, se sabe que a + = 6a 5a, de esta maera se tiee que: a + = 6a 5a ( HI 5 + ) ( 5 ) = = = 5+ 7 a + = 5+ 7 Fialmete, por el pricipio de iducció matemática, queda demostrado que para todo IN se cumple que a = Mootoía de sucesioes. Defiició 7 Ua sucesió {a } se dice que es:

32 3.. Sucesioes umérica creciete, si y solo si, a a + para todo IN. decreciete, si y solo si, a a + para todo IN. a + a a a + + (a) Sucesió creciete a a +. + (b) Sucesió decreciete a a +. Figura.: Iterpretació geométrica del crecimieto y decrecimieto de ua sucesió umérica. Otra forma para estudiar la mootoía de ua sucesió es, si la sucesió lo permite, defiir ua fució que pasa por todos los putos de la sucesió y utilizar los coocimietos acerca de la primera derivada. Si la fució es moótoa, etoces la sucesió tambié es moótoa. Si la defiició de sucesió creciete o de sucesió decreciete se cumple a partir de u úmero p IN, etoces se puede decir que la sucesió es creciete o decreciete, segú correspoda, a partir de p., estudie la mootoía de dicha su- Ejemplo { Cosidere la sucesió defiida por + cesió e su domiio. } Solució. Si se logra demostrar que para cualquier valor de se cumple que a a +, etoces se tedría que la sucesió {a } es creciete, e caso que se demuestre que a a +, para todo ; se tedría que {a } es decreciete. E cualquier otro caso, se tedría que la sucesió o es moótoa. a? a+ +? ( + ) + ( + )? ( + ) ? ? + 6 +

33 . Sucesioes y series uméricas 33 Note que como es cierta para 0, etoces se tiee que a a + tambié es cierta para todo 0. Por lo tato {a } es siempre creciete. Ua forma alterativa de resolver el ejercicio, cosiste e cosiderar ua fució f :], [ IR tal que el gráfico de la sucesió sea subcojuto del gráfico de la fució, es decir, ua fució que cumpla que f() = a para todo IN,. Sea f defiida por f(x) = x x +. f(x) = x x + = f 4x (x + ) x (x) = (x + ) = f (x) = x (x + ) (x + ) 0 + x + x (x + ) f (x) # # # + f (x) # # # Tabla.: Variació de sigos para la f De la tabla. se puede observar que f (x) > 0 para todo x ]0, [ por lo que f es creciete e ]0, [ y se cocluye que {a } es ua sucesió creciete e todo su domiio. Ejemplo 3 Aalice la mootoía de las siguietes sucesioes: a) {3 + ( ) } b) { } + Solució. a) {3 + ( ) } Esta sucesió altera etre y 4, por lo tato o es moótoa.

34 34.. Sucesioes umérica a Figura.: Sucesió umérica oscilate. b) { } + Será esta sucesió creciete?, es decir b b +? 0.? b b+? ( + ) + + ( + ) 4 +? ? Debe otarse que 0 es evidetemete falso, para todo IN. Es decir, 0 es evidetemete verdadero para todo IN, lo que colleva a que b b + para todo IN, así {b } es decreciete. Ua forma alterativa de estudiar la mootoía es cosiderar la fució f que cumple f() = +, para todo IN y que está defiida por: Luego se tiee que: f (x) = x x + f (x) = = (x + ) x (x + ) (x + ) Como f (x) < 0, x >, etoces { f es } decreciete e el itervalo ], [ de lo que se puede cocluir que es decreciete. +

35 . Sucesioes y series uméricas 35 a Figura.3: Sucesió umérica decreciete. Ejemplo 4 Use iducció matemática para demostrar que la sucesió creciete. { }! es ua sucesió Solució. Sea a =! y cosidere la proposició P a a +. Se debe demostrar que P V para todo IN, Demuestre que P V (Demostrar para el primer elemeto, = ). P : a a Se demostrará que P P +, para todo IN, lo que equivale a demostrar para u fijo pero arbitrario la implicació siguiete: HI {}}{! ( + )! + HQD {}}{ ( + )! ( + )! + + Demostració: Cosidere verdadera HI, de dode se tiee que: ( + )! ( + )! ( + ) + = = ( + ) ( + )! HI ( + ) ( + )! = + + ( + )! +!

36 36.. Sucesioes umérica ( + )! ( + )! + + Fialmete, por el pricipio de iducció matemática, se tiee que para todo IN se cumple que! ( + )! + lo que sigifica que {a } es creciete. Ejemplo 5 Cosidere la sucesió {y t } t=0 defiida por: y t = (3t + ) 3 t (t)! Aalice la mootoía de {y t } t=0, e caso de ser moótoa a partir de algú úmero atural, idíquelo. Solució. Si {y t } t=0 fuera creciete, etoces se debería cumplir que y t y t+ para todo t. Se realizará el estudio para saber para que valores de t esta desigualdad es cierta y para que valores o lo es. y t? yt+ 4 7 (3t + ) 3 t (t)! 3t (t + )! 3 t (t)! 3t (t + ) (t + ) (t)! 3 t (t)!? 4 7 (3t + ) (3 (t + ) + ) 3 t ( (t + ))!? 4 7 (3t + ) (3t + 4) 4 7 (3t + ) 3 (t + ) (t + )? 3t + 4 t + 8t + 6? 3t + 4? 3t + 4 t + 5t +? 0 (.3) Es claro que la desigualdad.3 o es cierta para igú t 0, lo que la hace falsa. Gracias a los valores de verdad para la coectiva se sabe que de dode se partió debe ser tambié falso. Así que: y t y t+ t IN De esta maera, se tiee que {y t } t=0 IN. es ua sucesió moótoa decreciete e todo

37 . Sucesioes y series uméricas 37 Ejemplo 6 Cosidere la sucesió {a } defiida por: a = 3! 7 + Estudie, usado la defiició, si la sucesió aterior es creciete o decreciete a partir de algú úmero atural. Debe idicar a partir de que úmero la sucesió es moótoa. Solució. Se aalizará para que valores de la desigualdad a a + es cierta y para que valores o lo es. a a + 3! 3 ( + )! 7+ ( + ) 7 + ( + ) 7+ 3 ( + )! 7 + 3! ( + ) 7 3 ( + )! 3! ( + ) 7 ( + ) ( + ) 7 ( + ) 7 De esta maera, se tiee que a a + es verdadera, si y solo si 7. Lo que sigifica que la sucesió es creciete para todo atural mayor o igual a 7, o bie, ser puede decir que {a } es creciete a partir de 7.

38 38.. Sucesioes umérica Ejercicios 5.. Demuestre que las siguietes sucesioes so moótoas e todo su domiio. Idique si so crecietes o decrecietes. { } ( + ) { } 9 a) d)! = 4(m + ) m= { 6 k } { } [ 3 5 (k + )] + b) e) (k + )! k=3 { 3 } { } (k)! c) f ) + k! 3 5 (k + ) =. Para cada ua de las siguietes sucesioes, establezca a partir de que úmero atural es la sucesió creciete o decreciete. k= a) b) c) { ( )! ( ) 9 { (k) k k { k! 3 + } } =3 } k= d) { 7 m (m + )! } m= e) { } f ) { w 6 e w} w=..5. Sucesioes covergetes Defiició 8 (Sucesió umérica covergete) Sea {x } ua sucesió umérica, se dice que la sucesió {x } es ua sucesió covergete si existe u L IR tal que lím x = L E este caso se dice que la sucesió {x } coverge a L. E caso de que o exista L IR tal que lím x = L se dice que {x } diverge.

39 . Sucesioes y series uméricas 39 L L (a) Sucesió covergete a L. (b) Sucesió covergete a L. Figura.4: Iterpretació geométrica de la covergecia de sucesioes uméricas Ejemplo 7 { } Determie si la sucesió es covergete o divergete, e caso de coverge determie su límite o valor de 3 7 =3 covergecia. Solució. lím 3 7 = lím ( 3 7 ) = lím = 3 De dode se tiee que la sucesió valor de covergecia es 3. { } 3 7 =3 es ua sucesió covergete y su Teorema Sea f ua fució de variable real y sea {a } =p ua sucesió cualquier dode p IN. Si f() = a para todo p, etoces la implicació siguiete es cierta: lím f (x) = L = lím a = L x dode L puede ser u úmero real, + ó. La importacia de este resultado es la posibilidad de aplicar la regla de L Hôpital e el cálculo del límite. E el límite de ua sucesió o es posible la utilizació de la regla de L Hôpital e forma directa, debido a que por defiició, las sucesioes o so fucioes cotiuas y por lo tato o so derivables. Por esta razó el teorema tiee ua importacia relevate e el cálculo de límites para sucesioes.

40 40.. Sucesioes umérica Ejemplo 8 { e } Determie si la sucesió e + 5 coverge o diverge. Solució. Se debe calcular el límite de la sucesió, es decir, se debe calcular, si existe e lím e + 5 Cosidere la fució f : IR IR cuyo criterio es: f(x) = e x e x + 5x Dicha fució cumple que f() = a para todo IN. De este modo, e virtud del teorema se tiee que: lím e e + 5 = lím x L H = lím x e x e x + 5x e x e x + 0x e x L H = lím x e x + 0 L H e x = lím x e x = f : f : f : Por lo que la sucesió coverge a. Ejemplo 9 Determie si la sucesió {a } es covergete o divergete, dode: a = E caso de coverger idique el valor de covergecia. Solució. Cosidere la fució asociada f (x) = x cuyo gráfico cotiee a todos los putos de la sucesió, e virtud del teorema se tiee que: lím = lím x x L H = lím x x x x L H = lím x l x x l = 0 Como la fució posee límite 0, etoces la sucesió {a } aterior coverge a 0.

41 . Sucesioes y series uméricas 4 Teorema 3 (del valor absoluto) Sea {a } ua sucesió de úmeros reales. Si lím a = 0, etoces lím a = 0. Ejemplo 30 Determie si las siguietes sucesioes {a m } y {b } so covergetes o divergetes, dode: a m = ( )m m m + 3 b = ( ) + Solució. Note que: lím m ( ) m m m = lím m m m + 3 = lím m m ( m m + 3 m ) = lím m 0 3 m + m Por lo tato la sucesió { a m } es covergete a 0. E virtud del teorema 3 se tiee que la sucesió {a m } tambié coverge a cero. ( ) ( ) ( ) Note que lím + = lím +, por lo que se debe aalizar la { } ( ) covergecia de la sucesió. lím ( ) = lím = 0 { } ( ) por lo que e virtud del teorema 3 se tiee que la sucesió tambié coverge a cero. Por lo tato y la sucesió e cuestió coverge a. ( ) ( ) lím + = = 0

42 4.. Sucesioes umérica Ejercicios 6. Determie si las sucesioes siguietes coverge o diverge { } { } {l (3 + 5) l (5 + 8)} { se } 3. { } 4. j + 4 { } ( ) m+ 5. m {( ) { ( 7. + ) } k k } { k + 4 k } 3 k 5 k { 4m 6 4m + m}. ( ) h se h. { ( ) } + 3 Los recíproco del teorema o es cierto e geeral. Es decir, la implicació: lím a = L = lím f(x) = L o es e geeral cierta e el cotexto del teorema. El siguiete x ejemplo evidecia este hecho. Ejemplo 3 Cosidere los siguietes límites. Los primeros dos sobre IR y el tercero sobre IN. lím x x = 0 ( x e todo IR. lím x lím ) + se (πx). Este límite o existe pues se (πx) oscila etre y ( + se (π) ). Observe que se (π) = 0, IN, por lo que ( ) lím + se (π) = 0 Así la sucesió {a } defiida por a = + se (π) coverge a 0 a pesar que la fució f (x) = + se (πx) es divergete cuado x. x

43 . Sucesioes y series uméricas Figura.5: Cotra ejemplo que demuestra que el recíproco del teorema o es cierto Teorema 4 (del ecaje para sucesioes) Si para todo N se cumple que a b c y lím lím b = L. Dode L puede ser u úmero real, + ó. a = lím c = L, etoces L Figura.6: Represetació gráfica del teorema del ecaje. Ejemplo 3 Estudie la covergecia de la siguiete sucesió { } se () 3. + Solució. Se tiee que se (), IN. Así: se ()

44 44.. Sucesioes umérica Luego lím 3 + = lím 3 = 0, por el teorema aterior se tedría que: + se () lím 3 + = 0 y por lo que la sucesió aterior coverge a 0. Teorema 5 Si {a } es ua sucesió y lím a + a = L <, etoces lím a = 0. Ejemplo 33 Dada la sucesió c =!, se tiee que: lím c + c = lím = lím ( + )! ( + ) +! ( ) + ( = = lím lím ( + )! + = lím! ( + ) ( + ) ) = e < ( ) + Así, lím c + c = e y como e <, etoces la sucesió coverge a Sucesioes acotadas Defiició 9 Se dice que ua sucesió {a } es acotada iferiormete si existe ua costate real K tal que K a para todo IN. Se dice que ua sucesió {a } es acotada superiormete si existe ua costate real K tal que a K para todo IN. Si ua sucesió es acotada iferiormete y superiormete se dice que es acotada.

45 . Sucesioes y series uméricas 45 K K (a) Sucesió acotadas iferiormete. (b) Sucesió acotadas iferiormete. K K (c) Sucesió acotadas superiormete. (d) Sucesió acotadas superiormete. Figura.7: Iterpretació geométrica de ua sucesió acotadas iferior o superiormete. Ejemplo 34 { } Demuestre que la sucesió es ua sucesió acotada. + Solució. Se debe probar que dicha sucesió es acotada iferior y superiormete. Primero ote que <, pues es ua fracció positiva tal que el deomiador es mayor que el umerador. Es + decir: + < < + Por lo que la sucesió es acortada superiormete por. Note además que 0, para todo 0, pues ua fracció co umerador + y deomiador o egativos. Por lo que la sucesió está acotada iferiormete por 0. Como dicha sucesió esta acotada superior e iferiormete, etoces se puede cocluir que es acotada.

46 46.. Sucesioes umérica Ejemplo 35 Demuestre, usado el método de iducció matemática, que la sucesió { } + es ua sucesió acotada superiormete por 5 6. Solució. Defia la proposició abierta P por: La cual equivale a: P P Para el primer elemeto se tiee que: P Por lo tato se tiee que P V. Ahora se procede a demostrar que P P + para todo. Es decir, se debe probar, para u fijo pero arbitrario la siguiete implicació es verdadera: P :HI {}}{ Demostració: Supoga que HI es verdadera. P + :HQD {}}{ }{{ + } HI HI 5 6?? Esta última desigualdad se deberá probar aparte, pues a simple vista o es clara.

47 . Sucesioes y series uméricas ( + 3) + ( + ) 0 ( + )( + 3) ( + )( + 3) 0 0 Dode resulta claro que esta última desigualdad es cierta. Así, segú los valores de verdad que toma las proposicioes de verdad co la coectiva ( ), se tiee que de dode se partió debe ser tambié verdadera. Quedado así demostrado lo que se pedía (P P + ). De este modo, segú el pricipio de iducció matemática, se cocluye que: es verdadero para todo Fialmete, se puede cocluir que la sucesió está acotada superiormete por 5 6. Teorema 6 Si ua sucesió es decreciete y acotadas iferiormete, etoces es covergete. Si ua sucesió es creciete y acotada superiormete, etoces es covergete. Ejemplo 36 Cosidere la sucesió defiida por: { } 3. Use el método de iducció matemática parta demostrar que y use este hecho para cocluir que la sucesió es acotada 3 superiormete.. Pruebe que la sucesió es creciete. 3. Qué se puede decir de la covergecia de la sucesió?

48 48.. Sucesioes umérica Solució.. Defia: P Para el primer elemeto se tiee que: P por lo que P V. Ahora se debe probar que P P + para todo. Es decir, se debe probar que para fijo pero arbitrario la implicació siguiete es verdadera } {{ } HI } {{ } HQD Demostració: Supoga que HI es verdadera, así: }{{ 3 } HI HI = = 3 + Quedado así probado que P P + para todo. Fialmete, por el pricipio de iducció matemática, se tiee que: P es verdadera para todo IN,. Por otro lado, de los demostrado se puede cocluir que dicha sucesió está acotada superiormete por, pues es claro que: < para todo IN,.. Defia a = Se debe probar que a a +, para lo cual se procede como sigue: a a Lo cual es evidetemete cierto. De dode se puede cocluir que a a + tambié es cierto. Así {a } es ua sucesió creciete. 3

49 . Sucesioes y series uméricas Como la sucesió { } 3 es acodada superiormete por y creciete, etoces e virtud del teorema 6 se tiee que dicha sucesió es covergete. Es importate aclarar que la aplicació de este teorema o idica el valor de covergecia de la sucesió. E el ejemplo 36 o es posible determiar, de la solució realizada, el valor de covergecia de la sucesió. A lo más que se puede aspirar, e este ejemplo, es decir que su límite existe y debe ser meor o igual a. Ejercicios 7.. Hallar el ésimo térmio de la sucesió dada por: a = f ( ) (0) dode f (x) = e x 3 y determiar si es covergete dicha sucesió.. Determie si las siguietes sucesioes coverge o o.. a = + ( ) 4. a = p e p > 0. b = l 3. c = ( )! 5. b =! ( + ) k 6. c = se ( ).. Series uméricas Defiició 0 Dada ua sucesió {a }, se defie la serie térmios de la sucesió {a }. Es decir: a como la suma de todos los a = a + a + a 3 + a 4 + E caso de que la serie iicie e, etoces se puede deotar por a. E cualquier otro caso, es ecesario idicar el térmio iicial de la serie.

50 50.. Series uméricas Defiició Dada ua serie a, se defie su k ésima suma parcial, y se deota S k como: S k = k a = a + a + a a k E caso de que la serie iicie e p, etoces S k = k+p =p a = a p + a p+ + a p+ + + a p+k Se defie además, la sucesió de k ésimas sumas parciales como {S k } k=. Al igual que se hizo e sucesioes, las series se puede redefiir de forma que de iicio e p = 0, p = o bie e el valor que más covega. Así: a k = k=p a p+k = k= k=0 a p+k Por esta razó, a partir de este puto, los resultados se estudiará para series que iicie e uo. Si embargo, los resultados que se estudiará podrá ser aplicados a series que da iicios e úmeros aturales distitos a la uidad aplicado ua traslació coveiete.... Covergecia y divergecia de series uméricas Defiició Dada ua serie a, si la sucesió de las k ésimas sumas parciales coverge, etoces se dice que la serie es covergete. E caso cotrario se dice que la serie es divergete. Si la sucesió de las k ésimas sumas parciales de ua serie coverge a S, co S IR, etoces se dice que la serie coverge a S y se escribe: a = lím k k a = S al valor de S se le deomia, suma total de la serie o valor de covergecia de la serie umérica.

51 . Sucesioes y series uméricas 5 Ejemplo 37 Cosidere la serie. Use iducció para demostrar que: 3 S k = k 3 = 3 k Es la serie covergete? de serlo cuál es su valor de covergecia? Solució. Aplicado iducció sobre k. Se debe demostrar que para todo k IN, k se cumple que: k P k 3 = 3 k Para el primer elemeto (k = ) se tiee que: Por lo que P es verdadera. 3 = 3 3 = 3 Se debe probar que para todo k IN se cumple que P k P k+, lo que equivale demostrar para k fijo pero arbitrario la implicació siguiete: HQD HI {}}{{}}{ k 3 = k+ 3 k 3 = 3 k+ Demostració: Supoga que HI es verdadera, etoces: k+ 3 = }{{ 3 k } = HI = k 3 k k+ ( 3 ) k + 3 k+ = 3 3 k+ + 3 k+ = 3 k+ k+ 3 = 3 k+ + 3 k+

52 5.. Series uméricas Fialmete, por el pricipio de iducció matemática, se tiee que Lo aterior demostró que k 3 =, k IN 3k S k = 3 k, k IN Para aalizar si la serie coverge, basta probar si la sucesió de las k ésimas 3 sumas { parciales } coverge, lo que implica aalizar la covergecia de la sucesió 3 k k=. lím ( 3 ) k k = de dode se tiee que la serie coverge y lo hace a. 3 = E el ejemplo 36 se probó, idirectamete, que la sucesió de las k ésimas sumas parciales, de la serie e el ejemplo 37, era creciete y acotada superiormete y por lo tato covergete. Si embargo, o fue posible determiar el valor de covergecia. E el ejemplo 37 se determia que dicha serie, y por ede la sucesió de las k ésimas sumas parciales coverge a. Ejemplo 38 Cosidere la serie k. Use iducció matemática para demostrar que: k= k = k= Determie si la serie coverge o diverge. ( + ) Solució. Gracias al ejemplo 5 se tiee demostrado que: k = = k= ( + ) Lo que demuestra que la sucesió de las ésimas sumas parciales está dada por {S } dode ( + ) S =

53 . Sucesioes y series uméricas 53 Fialmete, se puede observar que S cuado, de dode se cocluye que la serie k es divergete. k= Ejemplo 39 Cosidere la serie k= ( ) log + k + k. Demuestre que k= ( log + ( ) + utilizado el pri- + cipio de iducció matemática. ) k = log +log + k. Determie el carácter de la serie; e caso de ser covergete determie el valor al que coverge. Solució.. Sea P k= ( log + Se debe probar que P V. E efecto: ) = log + log k(k + ) ( ) +. + ( ) log + k(k + ) ( = log + ) 3 k= = log + log 3 = log 4 3 = log 4 3 = log 4 3 Ahora se debe probar que P P + para todo IN,. Es decir, se debe probar para u fijo pero arbitrario que la implicació siguiete es verdadera: k= ( ) log + k(k+) ( ) = log + log + + } {{ } HI + k= ( ) log + k(k+) ( ) = log + log + +3 } {{ } HQD

54 54.. Series uméricas Demostració: Supoiedo verdadera HI se tiee que: + k= ( log + ) k(k + ) ( ) ( ) = log + + log + k(k + ) ( + )( + 3) k= ( ) ( ) + = log + log + log + + ( + )( + 3) [ ( )] + = log + log + + ( + )( + 3) [ ] + = log + log + + ( + )( + 3) [ ] ( + )( + 3) + = log + log ( + )( + 3) [ ] = log + log ( + )( + 3) ( ) + = log + log + 3 Lo que demuestra que si P es verdadera, etoces P + tambié lo es. Así P P + es verdadera para todo. Luego por el pricipio de iducció matemática queda demostrado que: k= ( log +. Luego, si S = log + log ) k = log + log + k ( ) +, etoces + ( ) + + lím S = log + log = log De esta forma se deduce que la serie coverge, y lo hace a log. Ejemplo 40 Cosidere la serie dada por r k, dode r es ua costate real distita de cero y k=0 uo. Deduzca ua fórmula para la ésima suma parcial. Demuéstrela por iducció y determie bajo que codicioes se tiee la covergecia de la serie. Solució. Se desea determiar ua fórmula para S, dode S = r k = + r + r + r r k=0

55 . Sucesioes y series uméricas 55 Así, se tiee que: S = r k = + r + r + r r k=0 = ( r) ( + r + r + r r ) ( r + r + r + r r ) r ( + r + r + r r ) = ( r + r + r + r r ) r r r 3 r 4 r r = = r r r por lo que: S = r k = r r k=0 Esta misma fórmula fue demostrada por iducció e el ejemplo 7 de la presete obra. De esta maera, queda solo determiar las codicioes sobre r para que sea covergete. Por la defiició de covergecia de ua serie, se sabe que: r k k=0 k=0 r k r coverge lím r existe Aplicado propiedades de límites se tiee que r lím lím r = r r Dode lím r existe úicamete cuado r <. Y e este caso se tiee que: r lím r = r De dode se tiee que: k=0 r k = r siempre que r <. Y diverge e cualquier otro caso.

56 56.. Series uméricas Ejercicios 8.. Cosidere la serie. Demuestre, por el pricipio de (k + )(k + ) k= iducció matemática, { que} la sucesió de las ésimas sumas parciales está dada por. Es la serie covergete o divergete? Cosidere la serie. Demuestre, por el pricipio de iducció matemática, { que la sucesió de} las ésimas sumas parciales k(k + ) k= 3 está dada por Es la serie covergete o ( + )( + ) divergete? 3. Use el método de iducció matemática para demostrar que la ésima suma parcial de la serie umérica k está dada por ( ) k S = ( + ) para todo. Use este hecho para demostrar que la serie es covergete. 4. Cosidere la siguiete serie: a) Demuestre, usado iducció ( + )! k= k= k (k + )! = ( + )!. b) Determie si la serie dada coverge o diverge. E caso de covergecia determie su suma. 5. Realice lo siguiete: a) Demuestre, utilizado iducció matemática, la siguiete igualdad. k= k k = () k b) Utilice el resultado () para determiar si la serie k es k= covergete o divergete, e caso de coverger idique el valor de la suma total. (cotiua...)

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