Teoremas Integrales. V(x j ) ds

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1 Semana 2 - Clase 5 24/03/09 Tema : Algeba ectoial Teoemas Integales. Teoema de la Divegencia o de Gauss Sea = x j ) un campo vectoial definido sobe un volumen cuya fontea es la supeficie y ˆn el vecto nomal unitaio exteno a. Entonces, el Teoema de Gauss dice que: x j )d = x j ) ds. ) El teoema de la divegencia establece la elación ente la integal de volumen de x j ) y la integal de supeficie del campo sobe la fontea que enciea al volumen. A pati del teoema de la divegencia es posible establece una expesión paa la divegencia de un campo vectoial x j ) en la que no intevienen las componentes del campo, esto es: x j ) = lím xj ) ds 2) d 0 d donde = d es un volumen centado en. Es usual intepeta a la integal x j ) ds como el flujo del campo vectoial x j ) a tavés de la supeficie. Po ejemplo, si x j ) epesenta el vecto densidad de coiente eléctica, o de masa, estacionaia entonces de la ecuación 2) se despende que se puede intepeta a x j ) como el cambio neto en la caga, o masa, po unidad de volumen y de tiempo en el punto. A pati de Teoema de la Divegencia se obtienen dos elaciones impotantes conocidas coma las identidades de Geen, de amplio uso en la física. Sean φx j ) y ψx j ) dos campos escalaes, entonces φψ) = φ ψ ) = φ ψ x i x i x i x + φ 2 ψ i x i x = φ ψ + i φ2 ψ 3) y po el Teoema de la Divegencia: φψ) d = La demostación de este teoema puede vese en T.M. Apostol, Calculus, ol 2. φψ ds 4) Hécto Henández / Luis Núñez Univesidad de Los Andes, Méida

2 Semana 2 - Clase 5 24/03/09 Tema : Algeba ectoial po lo tanto φψ ds = φ ψ d + φ 2 ψ d 5) Si se intecambian φ ψ en la ecuación 3) y al esultado le estamos 3) se obtiene φψ ψφ) = φ 2 ψ ψ 2 φ y nuevamente, po el Teoema de la Divegencia φψ ψφ) d = φ 2 ψ ψ 2 φ ) d = po lo tanto φ 2 ψ ψ 2 φ ) d = 2. Teoema de Stokes φψ ψφ) ds. φ 2 ψ ψ 2 φ ) ds Este teoema 2 expesa la elación que hay ente la integal sobe una supeficie egula del oto de un campo vectoial x j ) y la integal de linea de dicho campo sobe la cuva Γ fontea de, donde la integal de camino indica que Γ es una cuva ceada. La cuva Γ debe se ecoida en sentido contaio a las agujas del eloj. Sea una supeficie egula, paametizada = u, v)) po un pa de paámetos u y v que vaían en una egión T. Esta egión es la poyección de sobe el plano u v y cuyo bode es una cuva egula C. Sea Γ la imagen de C dada po u, v) y x j ) un campo vectoial con componentes deivables. Entonces: x j ) ) ds = x j ) d 6) Una definición altenativa paa el oto de un campo vectoial a pati de las integales de volumen es: x j ) = lím ds xj ) d 0 d Γ Ejecicio: Demueste que x j ) d = πa 2 3, Γ con = yi + zj + xk y Γ la cuva intesección de la esfea: x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y el plano: x + y + z = 0. 2 La demostación del teoema puede vese en T.M. Apostol, Calculus, ol 2. Hécto Henández / Luis Núñez 2 Univesidad de Los Andes, Méida

3 Semana 2 - Clase 5 24/03/09 Tema : Algeba ectoial 3. Teoema de Helmholtz En esta sección desaollaemos dos teoemas que involucan la divegencia y el oto de un campo vectoial. Teoema Un campo vectoial viene unívocamente especificado al da su divegencia y su oto en una cieta egión y su componente nomal sobe la fontea de dicha egión La demostación es fácil, involuca algunos teoemas e identidades desaollados en las secciones anteioes. Sea x j ) un campo vectoial del cual se conocen su divegencia y su oto: = ρ y = J, en una egión y la componente nomal n de en la fontea δ de. Si suponemos que tenemos un segundo campo vectoial Fx j ) ta que y F n = n, entonces, definiendo F = ρ y F = J, en una egión W = F W = 0, W = 0 y W n = 0. Ahoa bien, puesto que W = 0, esto implica que W = φ, y como también W = 0 entonces φ = 0 2 φ = 0. Usando la identidad de Geen: uv ds = u 2 v d + u v d con = u = v = φ se tiene φφ ds = ya que δ Se tiene entonces que φ φ d = φ 2 φ d + φ φ d φ δ = W δ = 0 φ φ d = 0 W W d = 0 W W = 0 W = 0 = F. Hécto Henández / Luis Núñez 3 Univesidad de Los Andes, Méida

4 Semana 2 - Clase 5 24/03/09 Tema : Algeba ectoial Teoema 2: Teoema de Helmholtz. Sea x j ) un campo vectoial que satisface tal que = ρx j ), y = Jx j ) lím ρxj ) = lím Jxj ) = 0, entonces, x j ) puede se escito como la suma de dos téminos: uno de los cuales es iotacional y el oto solenoidal. Paa poba este teoema es conveniente intoduci el concepto de distibución δ de Diac. Es fácil veifica que 2 = 0 si 0 con = ) /2 Ahoa bien: y po el teoema de la divegencia 2 = [ ] [ d = ] ds donde es la supeficie de una esfea de adio a centada en = 0. Po lo tanto π 2π ds = a 2 senθdθ dϕ ˆ y como entonces esulta que Se tiene entonces que aunque la integal 2 0 = = ˆ 3 2 π 2π ds = a 2 senθdθ dϕ ˆ ˆ = 4π 0 0 a2 ) = 2 = 0 si 0 4π si = 0 esta dento d = 0 si = 0 no esta dento 0 Hécto Henández / Luis Núñez 4 Univesidad de Los Andes, Méida

5 Semana 2 - Clase 5 24/03/09 Tema : Algeba ectoial Lo anteio se puede entende pefectamente dento del contexto de la teoía de las distibuciones. De hecho 2 = 4πδ) 7) donde la distibución δ) de Diac viene definida po ψ)δ) d = ψ0) si = 0 siendo ψ) una función de pueba infinitamente deivable, continua y que tiende a ceo más ápido que cualquie potencia de en los extemos. La distibución δ) se puede ve como el límite de una sucesión, po ejemplo: n x) = n π e n2 x 2. Es bueno aclaa que la δ de Diac no es una función, es una distibución. Una extención obvia de 7) es 2 = 4πδ 2 ). 2 donde además 2 = ya que 2 = 2 y δ 2 ) = δ 2 ). olviendo al teoema de Helmholtz, se tiene que puede se escito como = ρx j ) = ϕ + A = Jx j ) po lo tanto, = ϕ + A = 2 ϕ = ρ 8) = ϕ + A = A = J 9) La solución de la pimea de estas ecuaciones viene dada po ϕ ) = ρ 2 ) 4π 2 d3 2 Hécto Henández / Luis Núñez 5 Univesidad de Los Andes, Méida

6 Semana 2 - Clase 5 24/03/09 Tema : Algeba ectoial ya que 2 ϕ ) = 4π Po oto lado: Haciendo d 3 2 ρ 2 ) 2 2 = ρ ) = 2 ϕ = ρ A = A 2 A A ) = 4π consideando que J es iotacional, se tendá A = d 3 J2 ) 2 = 4π 2 4π = d 3 J 2 ) 2 2 4π 2 = 4π y = d 3 2 ρ 2 ) 4πδ 2 )) 4π J 2 ) 2 d3 2 ] d 3 J 2 ) 2 [ J 2 ) J 2 ) ds = 0 : J 0 cuando A = d 3 2 J 2 ) 2 = d 3 2 J 2 ) 4πδ 2 )) 4π 2 4π = J ) = A = J. Po lo tanto: = ϕ + A Esta sepaación es la usual en electomagnetísmo, donde ϕ = E con E el campo eléctico y A = B con B el campo magnético. En este caso ρ y J juegan el papel de densidades de caga y coiente espectivamente. Hécto Henández / Luis Núñez 6 Univesidad de Los Andes, Méida

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