Equivalencia Financiera MATEMÁTICA FINANCIERA. Equivalencia Financiera. Equivalencia Financiera

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1 Equivalencia Financiera MATEMÁTICA FINANCIERA SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE Luis Alcalá UNSL Segundo Cuatrimeste 2016 Valor-tiempo del dinero: Qué es preferible, $ hoy o $ dentro de un año? Entendemos por capital financiero o, simplemente, capital) al valor económico de cierto bien en el momento que lo tendremos disponible Cada cantidad de dinero se informa junto con el instante de tiempo en que está disponible, es decir trabajaremos con pares del tipo C, t), donde C R representa un monto de dinero y t Q el momento en el tiempo Suponemos que las personas o agentes tienen una relación de orden, llamada relación de preferencia sobre R Q, que permite comparar pares C, t) entre sí. Entonces, C, t) C, t ) se lee: C, t) es débilmente preferido a C, t ) Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Equivalencia Financiera Equivalencia Financiera De la relación de preferencia surgen: Preferencia estricta C, t) C, t ) [C, t) C, t ) C, t) C, t )] Indiferencia C, t) C, t ) [C, t) C, t ) C, t ) C, t)] Dos capitales C 1 y C 2, impuestos en momentos t 1 y t 2, respectivamente, son financieramente equivalentes para un agente dado, si el agente es indiferente entre ellos, es decir: C 1, t 1 ) C 2, t 2 ). En general, la mayoría coincide que C, t) C, t ) si C = C y t < t C, t) C, t ) si C > C y t = t Pero las preferencias son muy difíciles de conocer! Por ello, la matemática financiera desarrolla métodos prácticos para la valuación de capitales. En lo que sigue, introduciremos conceptos básicos y desarrollaremos el método de valuación conocido como sistema de capitalización simple Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51

2 Retorno de una inversión Ejemplo: Tasa de retorno Para medir el rendimiento de una inversión introducimos un concepto fundamental, la noción de tasa de retorno. Una tasa es una medida de la magnitud relativa de cambio Si una cantidad cambia de C o a C f en un período de tiempo dado, la tasa de cambio es r := C f C o C o. Cuando pasamos de C o a C f, podemos pensar que cada unidad de capital pasa de 1 a 1 + r) pues 1 + r) C o = C f. 1) Al invertir $1.000, obtenemos una ganancia de $1.350, la tasa de retorno asociada es r = = 0, 35 o sea, 35 centavos $0,35) por cada peso invertido. La tasa de retorno es una magnitud adimensional, aunque impĺıcitamente está asociada a una unidad de tiempo: el período de tiempo que transcurre entre to y tf Si $1.000 pasan a $1.350, en un día, en un mes, o en un año, son situaciones muy distintas, aunque tengan la misma tasa. Por eso, es fundamental agregar la dimensión temporal y hablar de una tasa 0,35 diaria, de una tasa 0,35 mensual, o de una tasa 0,35 anual. Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 k-período Un k-período, es una unidad de tiempo que cabe k veces en un año calendario. Ejemplo k-período 1-período 2-período 3-período -período 6-período 12-período 52-período 360-período 365-período tiempo año semestre cuatrimestre trimestre bimestre mes semana día comercial día civil k-período En t años entran k t k-períodos, por ejemplo, en 3 años hay 12 3 = períodos, o sea, 36 meses; en 2,5 años hay 52 2, 5 = períodos, es decir, 130 semanas. Cuando no haya ambigüedad, omitiremos el prefijo k al referirnos a un k-período. Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51

3 Tasa k-periódica Ejemplo: Tasa k-periódica Una tasa k-períodica, es una tasa r que actua sobre un k-período, i.e., nos dice cuánto cambia una unidad de capital en un k-período de tiempo. Diremos que una tasa k-períodica capitaliza k veces en un año. También se suele decir que la tasa tiene frecuencia de capitalización k. Una tasa mensual capitaliza 12 veces en el año o, lo que es lo mismo, tiene frecuencia de capitalización 12. En general, las tasas son informadas como porcentajes junto con una unidad temporal. Por ejemplo, una tasa mensual del 22,3% hace referencia a una tasa 0, períodica. Para hallar la tasa r asociada a una tasa informada porcentualmente r porc, simplemente hacemos r = r porc 100 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Tasa k-periódica Interés Usaremos i k) para denotar una tasa k-períodica. Las más usadas son: i anual i 2) semestral i 3) cuatrimestral i ) trimestral i 6) bimestral i 12) mensual i 52) semanal i 360) diaria comercial i 365) diaria civil Dados un capital original C o en un instante de tiempo t o y un capital final C f en un instante de tiempo posterior t f, llamaremos interés I a la diferencia I := C f C o Si t f t o es un k-período, hay una tasa k-períodica asociada: i k) = C f C o C o, de donde se deduce una relación inmediata entre el interés I y la tasa k-periódica i k) : I = C o i k) Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51

4 Equivalencia Financiera: Capitalización Equivalencia Financiera: Actualización Dada una tasa i k) que podemos obtener invirtiendo un capital C disponible hoy, el valor del capital C f un k-período en el futuro, equivalente a C en el presente, se obtiene por una operación financiera denominada capitalización o diferimiento, que está dada por C f = 1 + i k)) C Como contraparte, el cálculo del capital C p equivalente a un capital C obtenido un k-período más adelante, se denomina actualización o descuento y su fórmula está dada por C p = C 1 + i k) ) Capitalización Actualización C un k-período hacia el futuro C f C p un k-período hacia el pasado C Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Equivalencia Financiera Típicamente debemos movernos más de un período, hacia atrás o hacia adelante. Cuando debemos calcular los intereses de varios períodos surge un interrogante natural: si los intereses de un período deben ser considerados o no para el cálculo de los intereses del período siguiente. El cómo se hace esto recibe el nombre de ley financiera. Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Sistema de Capitalización Simple El sistema de capitalización simple es la ley financiera que establece que los intereses generados en un período dado no son considerados para el cálculo de los intereses del período siguiente. Supongamos que disponemos de un capital inicial C 0 y lo invertimos a una tasa de capitalización p-periódica i p) constante) durante n períodos En el sistema simple, el interés se calcula solamente sobre el capital inicial, entonces el interés de cada período es igual a I 1 = I 2 = = I n = C 0 i p) El interés total I T es, por definición, la suma de los intereses de cada uno de los períodos considerados: n I T := I h = nc 0 i p) h=1 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51

5 Sistema de Capitalización Simple Dado h {1,..., n}, el capital acumulado hasta el momento h, es el capital acumulado hasta el período anterior, h 1, más los intereses generados: C h = C h 1 + C 0 i p) Siguiendo un razonamiento inductivo: C 1 = C 0 + C 0 i p) C 2 = C 1 + C 0 i p) = C 0 + C 0 i p) + C 0 i p) = C 0 + 2C 0 i p) C 3 = C 2 + C 0 i p) = C 0 + 2C 0 i p) + C 0 i p) = C 0 + 3C 0 i p). C h = C h 1 + C 0 i p) = C 0 + h 1)C 0 i p) + C 0 i p) = C 0 + hc 0 i p) 1 h n) Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Sistema de Capitalización Simple Puede concluirse, después de n períodos, que el capital inicial se transforma en C n = C ni p)). 2) El factor 1 + ni p)) se denomina factor de capitalización simple En la fórmula 2) aparecen variables relacionadas: capital inicial C 0 capital final C n tiempo n tasa periódica i p) El problema es compatibilizar las unidades temporales de los intervalos de tiempo y la tasa. Por ahora sólo podemos convertir los distintos períodos de tiempo. El siguiente gráfico describe el sistema de capitalización simple con todos sus elementos Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Sistema de Capitalización Simple Ejemplos: Sistema Simple $ C n 1 C n I n 1. A una tasa mensual del 1,2%, qué valor es financieramente equivalente a $200 en 7 meses? I n 1 I n , 012) = 216, 8 C 0 C 1 C 2 I 3 I 3 I 3 C 3 I 2 I 2 I 2 I 2 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I T 2. Calcular el capital final de $ al 15% anual, colocado durante: a) 20 días, b) 3 meses, c) cuatrimestres, d) 5 años, e) t p-períodos. a) 20 días son años, por lo que al cabo de 20 días tendremos C 20 días = C años = , 15) = , 95 pesos. C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C n 1 n tiempo Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51

6 Ejemplos cont.) Ejemplos cont.) b) 3 meses son 3 12 años, por lo que al cabo de 3 meses tendremos C 3 meses = C 3 12 años = , 15) = pesos. c) cuatrimestres son 3 años, por lo tanto C cuatr. = C 3 años = , 15) = pesos. d) Al cabo de 5 años tendremos C 5 años = , 15) = pesos. e) En general si tenemos t p-períodos, tenemos t p C tp-períodos = C t p años = C t p i ) años, entonces 3. Hoy extraemos del banco $ Cuál fue el capital original o principal) si nos han pagado una tasa mensual del 32% y el depósito fue pactado a 15 meses Sabemos que C n = C ni p) ), de donde C 0 = C n. 3) 1 + ni p) Como hay compatibilidad entre la tasa y la unidad temporal: C 0 = , 32 = i.e., debimos depositar hace 15 meses la suma de $ a una tasa mensual del 32% para poder extraer hoy $ Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Ejemplos cont.) Ejemplos cont.). Determinar el interés total obtenido al depositar $ a plazo fijo por el término de 6 bimestres a una tasa bimestral del 1%. El interés total es la diferencia entre el capital final y el capital inicial. I T = C final C inicial Veamos que esta definición es equivalente a la dada previamente: I T = C n C 0 = C ni p)) C 0 Reemplazando: I T = , 1 = = C 0 ni p) ) 5. Hallar el capital que produce un interés de $ ,5 al cabo de 75 días, a una tasa diaria del 0,31%. Del problema anterior sabemos que I T = C 0 ni p) donde n es una cantidad de p-períodos). Luego, Reemplazando: C 0 = I T. 5) ni p) C 0 = , 0031 = Por lo tanto, unos $ producen un interés de $ ,5 al cabo de 75 días, a una tasa diaria del 0,31%. Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51

7 Ejemplos cont.) Ejemplos cont.) 6. Depositamos en un banco $ y al cabo de 18 meses nos entregan $ ,52. Cuál es la tasa mensual que nos pagó el banco? Como tenemos que Luego i 12) = C n = C ni p)), i p) = C n C 0 nc 0. 6) , = i.e., el banco nos pagó una tasa mensual del,575327%. 7. Durante cuantos días hay que imponer un capital de $ a una tasa i ) = 0, 255, para obtener no menos de $ ? Dado que C n = C ni p) ), de donde depejamos n Ahora, nosotros deseamos luego n = C n C 0 C 0 i p). 7) n 0, 255) , n , Debemos imponer el capital al menos 7 trimestres 210 días). Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Equivalencia de Tasas Equivalencia de Tasas Ejemplo Consideremos las siguientes operaciones: a) Colocar $ 100 al 12% anual durante un año; b) colocar los mismos $ 100 al 1% mensual durante doce meses. Ambas producen idéntico capital final: , 12) = 112 = , 01). Este es un ejemplo de tasas equivalentes, uno de los conceptos fundamentales de la matemática financiera. C 0 i p t años i q C f Diremos que dos tasas i p) y i q) son equivalentes bajo una ley financiera dada, si para un capital inicial y un intervalo de tiempo dados producen idéntico capital final, aunque tengan distinta frecuencia de capitalización p q). Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51

8 Equivalencia de Tasas Ahora podemos deducir la ecuación fundamental de equivalencia de tasas en el sistema de capitalización simple: Supongamos que un capital inicial C 0 es impuesto durante t años, donde t > 0. La tasa p-períodica i p) y la tasa q-períodica i q), con p, q Z +, son equivalentes si producen idéntico capital final: C tpi p)) = C f = C tqi q)). Al simplificar nos queda pi p) = qi q). Principio de Equivalencia de Tasas Proposición Dados p, q Z +, en el sistema de capitalización simple dos tasas i p) y i q) son financieramente equivalentes si cumplen la siguiente relación de proporcionalidad: pi p) = qi q). 8) Ejemplo Cuál es la tasa mensual equivalente a una tasa trimestral del 7%? Usando la ecuación 8) de equivalencias de tasas: 12i 12) = i, 12i 12) = 0, 07 i 12) 0, 28 = = 0, Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Principio de Equivalencia de Tasas Ejemplo cont.) Esto nos dice que es lo mismo poner $ durante 6 meses a una tasa trimestral del 7%, que ponerlos a una tasa mensual del 2, % , 07) = 1.10 = , ). O, lo que es lo mismo, colocar $ 500 durante 8 meses con cualquiera de estas dos tasas: , 07) = = , ) Observación Como muestra el ejemplo anterior y como puede concluirse de la propia deducción de 8), la equivalencia de tasas en capitalización simple es independiente del intervalo de tiempo considerado. Comparación de Inversiones Un problema habitual es comparar entre diferentes inversiones, y decidir cuál tiene mayor rendimiento. Consideremos las siguientes inversiones: 1 Invertir $ nos da una ganancia de $ 250 al cabo de un mes. 2 Invertir $ nos da una ganancia de $ 250 al cabo de un año. 3 Invertir $ nos da una ganancia de $ 250 al cabo de un mes. Invertir $ 900 nos da una ganancia de $ 50 al cabo de 2 meses. Es fácil concluir que la inversión 1 rinde más que la inversión 2 y que la inversión 3, pero es más dificil decidir si rinde más o menos que la inversión. Un criterio razonable puede ser la comparación de las tasas de rendimiento de cada una de las operaciones consideradas. Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51

9 Comparación de Inversiones La inversión 1 tiene un rendimiento mensual r 12) 1 = 0, 25, mientras que la tasa de rendimiento de la inversión es bimestral r 6) = 0, 5. Para decidir cuál es mejor, hayamos la mensual equivalente a r 6) 2 luego 6r 6) = 12r 12) 6 0, 5 = 12r 12) r 12) = 0, 25. Como ambas operaciones tienen el mismo rendimiento mensual r 12) 1 = 0, 25 = r 12), Decimos que ambas inversiones rinden lo mismo. Equivalencia Financiera: Series de Capitales Una vez que sabemos calcular el equivalente financiero de un capital para distintos momentos, podemos verificar cuándo dos series de capitales son financieramente equivalentes Este es el segundo concepto fundamental de la matemática financiera. Una serie de capitales A 1, A 2,..., A n disponibles en los momentos t a 1, ta 2,..., ta n, es equivalente a la serie de capitales B 1, B 2,..., B m disponibles en los momentos t b 1, tb 2,..., tb m, para una fecha focal f, un agente dado y bajo una ley financiera dada, si n A j al momento f = j=1 m B k al momento f. 9) k=1 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Equivalencia Financiera: Series de Capitales Equivalencia Financiera de Series Sistema Simple) m B k al momento f k=1 B 1 B 2 B 3 B m A 1 A 2 A 3 f A n n A j al momento f j=1 El equivalente financiero de un capital dado, para la fecha focal f y a una tasa p-periódica i p), en el sistema de capitalización simple es A j al momento f = A j 1 + f t j i p)) sgnf t j), donde definimos la función signo como: 1 si x > 0 sgn x := 0 si x = 0 1 si x < 0 En todas las fórmulas anteriores f y t j estan expresados en p-períodos, para que sean compatibles con la tasa usada. Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51

10 Equivalencia Financiera de Series Sistema Simple) Equivalencia Financiera de Series Sistema Simple) Además, si f > t j capitalización), si f = t j y si f < t j actualización) A j al momento f = A j 1 + f t j i p)), A j al momento f = A j A j al momento f = A j 1 + f t j i p)) 1 = A j 1 + f tj i p)) Una serie de capitales A 1, A 2,..., A n disponibles en los momentos t a 1, ta 2,..., ta n, es equivalente a la serie de capitales B 1, B 2,..., B m disponibles en los momentos t b 1, tb 2,..., tb m, a una fecha focal f, para una tasa p-periódica i p), en el sistema de capitalización simple si n A j 1 + f tj a i p)) sgnf tj a ) m = B h 1 + f th b i p)) sgnf th) b. j=1 Observación h=1 10) Es claro que despejar f de la ecuación 10) es casi siempre imposible, y son necesarios métodos numéricos para hallar f. En particular, suele ser útil usar algún software matemático como Matlab, Maple, Mathematica, etc. Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Equivalencia Financiera de Series Sistema Simple) Ejemplo 1 f = 0) Ejemplo 1) Debemos realizar 3 pagos, el primero de $00 dentro de tres meses, el segundo de $300 dentro de 6 meses y último de $500 a los 9 meses. Por razones de flujo de caja disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos 3 pagos por 2: uno de $500 dentro de 5 meses y otro de monto a determinar a los 10 meses. Se conviene una tasa de 2,5% mensual. Calcular el monto del último pago usando la siguientes fechas focales: el origen, a los 6 meses, a los 10 meses. Nota: Convendremos en dibujar las series originales debajo del eje temporal, y pondremos las series nuevas sobre el mencionado eje. Fecha focal: f = 0 fecha focal Serie operación) nueva $ 500 C $ 00 $ 300 $ 500 Serie operación) original meses Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51

11 Ejemplo 1 f = 0) Ejemplo 1 f = 6) Tenemos que actualizar todos los capitales al momento cero, por lo tanto, , , , 025 de donde concluimos que = , C , , 1258 =.5 + C 1, 25, C f =0 = 75, Fecha focal: f = 6 fecha focal $ 500 C $ 00 $ 300 $ 500 meses Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Ejemplo 1 f = 6) Ejemplo 1 f = 10) Ahora debemos llevar todos los capitales a los seis meses, por lo que algunos serán capitalizados los que están disponibles antes de los 6 meses), otros serán actualizados los disponibles en fechas posteriores), y los disponibles a los 6 meses no cambian , 025) }{{} Capitalización }{{} Sin cambios , 025 }{{} Actualización = , 025) , = 512, C 1, 1, C 1 + 0, 025 Finalmente tomaremos como fecha focal a los 10 meses: f = 10. fecha focal $ 500 C meses $ 00 $ 300 $ 500 de donde C f =6 = 750, Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51

12 Ejemplo 1 f = 10) Ejemplo 2 Todos los capitales, salvo C, deben ser capitalizados: , 025) , 025) , 025) = , 025) + C 1312, 5 = 562, 5 + C, Ejemplo 2) Usando una tasa anual i = 0, 5 es decir una tasa del 5% anual), veamos a qué fechas focales la serie de capitales: $ hoy, $ a los dos años y $ a los años, es equivalente a la serie de $ a los 3 años y $00000 a los 5 años. de donde C f =10 = 825 El esquema de las series de capitales es $ $ PREGUNTA: En qué unidad de medida se encuentran expresados C f =0, C f =6 y C f =10? Son comparables entre sí? $ $ $ años Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Ejemplo 2 Ejemplo 2 El valor de la serie de capitales: $ hoy, $ a los 2 años y $ a los años, a la fecha focal f en años) usando la tasa anual i = 0, 5 es V 1 f ) := , 5 f ) sgnf ) sgnf 2) , 5 f 2 ) sgnf ) , 5 f ) El valor de la serie: $ dentro de 3 años y $50000 dentro de 5 años, a la fecha focal f en años) usando la tasa anual i = 0, 5 es sgnf 3) V 2 f ) := , 5 f 3 ) sgnf 5) , 5 f 5 ) Por ejemplo, si escogemos como fecha focal dos años hacia adelante a partir de hoy, f = 2, tenemos el siguiente flujo f = 2 $ $ $ $ $ años Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51

13 Ejemplo 2 Se deducen los siguientes valores para V 1 y V 2 V 1 2) = , 5 2 ) sgn2) , ) sgn2 2) , 5 2 ) sgn2 ) = , 5) , 5 = 2597, 368 $ en V 2 f ) V 1 f ) V 2 2) = , ) sgn2 3) , ) sgn2 5) = , = 11592, , f en años f 1 f 2 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51 Ejemplo 2 Sólo existen dos fechas focales tales que V 1 f ) = V 2 f ), 11) y ellas son en años) f 1 = 0, y f 2 =, Pues V 1 0, ) = , 5590 = V 2 0, ), y V 1, ) = , 593 = V 2, ). Observación En el sistema de capitalización simple, la equivalencia financiera depende fuertemente de la fecha focal escogida. Luis Alcalá UNSL) SISTEMA SIMPLE Mat. Financiera / 51