Consideremos dos placas paralelas en contacto, con sus correspondientes espesores y conductividades.

Transcripción

1 Continuación: Tansfeencia de calo a tavés de placas compuestas: Consideemos dos placas paalelas en contacto, con sus coespondientes espesoes y conductividades. En la supeficie de contacto la tempeatua es T, común a ambas placas, y las tempeatuas en las caas libes de las placas izuieda y deecha son T y T espectivamente ( T T ( T T En la supeficie de contacto,, es deci, un mismo flujo de calo ataviesa ambas placas. Despejamos las difeencias de tempeatua: ( T T ( T T Sumando las dos ecuaciones y despejando, vemos ue las placas tienen esistencias témicas ue están conectadas en seie.

2 Sin fuentes o sumideos de calo en la supeficie de contacto, el mismo flujo de calo ataviesa las dos placas. Este es: En téminos del flujo Q, es: (T - T (T -T Q / A / A Paa obtene este esultado, se usó la solución de una placa paa las dos placas po sepaado. Se pudo habe planteado el poblema más fomalmente así: Paa cada placa vale la ecuación del calo en foma d T/dx 0. Entonces, las tempeatuas de las dos placas son: T Ax B T Cx D Paa las placas izuieda y deecha espectivamente. En la caa común las tempeatuas son iguales, es deci: A B C D os flujos de calo en las dos placas son iguales, y se pueden expesa po la ley de Fouie: dt / dx A C C A En x0, se veifica ue T B En el oto extemo tenemos: T C D ( Después de elimina las constantes se obtiene el mismo esultado anteio paa el flujo de calo. Extensión a un aeglo de n placas paalelas:

3 (T in i -T i / i Placa con convección en ambas caas: Fluido : T (izuieda Fluido : T (deecha Esas son las tempeatuas de mezcla de los fluidos as caas izuieda y deecha estaán a T ' y T ' Po lo tanto: (T -T El calo se expesa también según la condición de bode de convección: ' ' h ( T T h ( T T Despejando las tes difeencias de tempeatua, y sumándolas, se obtiene: (T -T / h / / h Con esta ecuación se calculan pédidas o ganancias de calo de un ecinto a tavés de sus paedes, conociendo las tempeatuas de los fluidos inteio y exteio. Otas geometías: a ecuación del calo en otos sistemas coodenados se escibe, paa conductividad constante e isótopa, en las siguientes fomas. En coodenadas cilíndicas: ρ t T ( T T φ z C S

4 os componentes de flujo de calo (ley de Fouie son: φ φ z z En coodenadas esféicas: T T ρc ( ( sinθ S t sinθ θ θ sin θ φ θ θ φ sin θ φ Paa obtene estas fomas solo basta enconta la expesión del aplaciano en los distintos sistemas coodenados. Geometía cilíndica: Es impotante en el caso de tubos ue conducen fluidos. Esta situación se da en los intecambiadoes de calo industiales. Considee un casuete cilíndico (tubo de adio inteno y adio exteno. Sea TT en y TT en. Si solo se define un gadiente adial de tempeatua, en égimen pemanente y sin geneación intena de calo, la ecuación del calo se educe a: T 0 Cuya solución es T M ln N Aplicando las condiciones de bode se obtiene: T M ln N T M ln N M ( T T / ln( / El flujo adial de calo es

5 Q dt π -π π d M Po lo tanto: Q π(t -T ln( / El concepto de esistencia témica se usa paa paedes cilíndicas concénticas de lago común y difeente conductividad témica: Paa una paed con 3 capas: Q ln( π (T-T / / ln( 3 / / ln( 4 / 3/ 3 Igual ue paa paedes planas, se tata el caso de convección con un fluido inteio a tempeatua T y un fluido exteio a T. Habá tes esistencias ( convectivas y una conductiva. El calo tansfeido adialmente a tavés de una capa de mateial es: Q h π (T -T ln( / h Esta ecuación epesenta el calo tansfeido de un fluido a oto a tavés de una paed cilíndica (tubo. Si se desea aisla el tubo, se coloca una segunda capa de mateial de conductividad, hasta un adio 3. En ese caso el flujo de calo es: Q π(t -T ln( / ln( 3 / h h 3 Paa ue la aislación sea efectiva, la esistencia agegada debe se mucho mayo ue las estantes. Ejemplos SISTEMAS CON GENERACIÓN INTERNA DE CAOR

6 a geneación intena de calo distibuida en el volumen se taduce en la inclusión de un témino fuente en la ecuación del calo. Ejemplo: Conducto eléctico cilíndico (nichome, de adio R, longitud. Se genea en el inteio el calo S en W/m 3. a tasa de geneación po unidad de volumen es unifome. Sea la tempeatua ambiente, To y el coeficiente convectivo exteio: h. a tempeatua supeficial del alambe, Tp, está po detemina. a ecuación del calo paa conducción adial, pemanente, con geneación de calo es: d d ( dt d S 0 dt d -S C En el eje del alambe (0 el flujo de calo debe se nulo, lo ue implica dt/d 0 en esa posición, po lo tanto C 0. El calo disipado po la supeficie es: Esto es igual al calo total geneado en el alambe (tasa de geneación multiplicada po el volumen. A este esultado hemos llegado sin aplica la condición de bode. Es deci, el alambe estaá obligado a disipa toda la enegía geneada en su inteio, paa lo cual adoptaá la tempeatua supeficial necesaia. Integando una vez: Q- πr ( dt(r - πr (-SR / Sπ R d En la supeficie T- S 4 C

7 T p - SR 4 C Deteminamos C aplicando la condición de bode de convección: de donde SR Q Sπ R ha(t p - T o h(- C - T o πr 4 C SR h SR 4 T o con lo cual T p T o SR h Paa disipa el calo geneado, la supeficie adopta una tempeatua cuyo exceso sobe el ambiente: -aumenta con el calo geneado y -disminuye con aumentos del coeficiente de convección Este ejemplo muesta ue en sistemas con geneación intena de calo, el calo disipado está impuesto, y la tempeatua es la vaiable dependiente, ue esulta de la capacidad de disipación del sistema.