EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

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1 EJERIIOS PROLEMS RESUELTOS 1. Se tiene una región factible determinada por el polígono de vértices: (2, 1), (, 0), (6, 2), (, ) y E(0, 4) a) Representa gráficamente dicha región, así como las rectas de nivel asociadas a la función objetivo f(x, y) x y. b) En qué vértices se alcanza el máximo y el mínimo de la función f(x, y)? a) Representamos gráficamente el polígono determinado por los vértices dados y las rectas de nivel x y k, asociadas a la función objetivo. 7 E 3 1 x y x y 3 x y x y 10 b) El máximo se alcanza en el vértice: (, ) La función objetivo para este punto toma el siguiente valor: f(, ) 10 El mínimo se alcanza en el vértice: (2, 1) La función objetivo para este punto toma el siguiente valor: f(2, 1) Se considera la región factible dada por el siguiente conjunto de restricciones: 4x y 4 y x 1 x 0 y 0 Representa la región factible que determina el sistema de inecuaciones y halla la solución mínima y máxima para cada una de las siguientes funciones: a) f(x, y) x 2y b) f(x, y) y 3x a) Representamos la región factible y algunas rectas de nivel, x 2y k, de la función objetivo: f(x, y) x 2y 4x y 4 3 4x y 4 y x 1 y x 1 (3/, 8/) aumenta 1 3 x 2y 19/ 4x y 4 x 2y 2 Hallamos los valores de la función objetivo, en cada uno de los vértices: f(0, 0) f(1, 0) f(3/, 8/) 3/ 2 8/ 19/ f(0, 1) La recta de menor nivel es la que pasa por el punto (0, 0): x 2y 0. La recta de mayor nivel es la que pasa por el punto (3/, 8/): x 2y 19/. b) Representamos la región factible y algunas rectas de nivel, y 3x k, de la función objetivo: f(x, y) y 3x 3 y 3x 1 y 3x 3 (3/, 8/) (mínimo) 3 4x y 4 y x 1 disminuye Hallamos los valores de la función objetivo, en cada uno de los vértices: f(0, 0) f(1, 0) (mínimo) f(3/, 8/) 3 3/ 8/ 1/ f(0, 1) (máximo) (máximo) y x 1 102

2 La recta de menor nivel es la que pasa por el punto (1, 0): y 3x 3. La recta de mayor nivel es la que pasa por el punto (0, 1): y 3x (Selectividad. Valencia, 1996). Los abonos y se obtienen mezclando cierto sustrato con dos fertilizantes F 1 y F 2 en las siguientes proporciones: La cantidad disponible de los fertilizantes F 1 y F 2 son 39 kg y 24 kg. El beneficio que producen los abonos y son 7 ptas./kg y 60 ptas./kg. uántos kilos se deben fabricar del abono y del abono para maximizar el beneficio? Si x e y son los kilogramos que se deben fabricar de los abonos y, respectivamente, la función objetivo f (x, y) que hay que maximizar es: f (x, y) 7x 60y El conjunto de restricciones es: 00,1x 0,07y 39 0,0x 0,08y 24 Representamos la región factible y las rectas de nivel de la función objetivo: Rectas de nivel: 7x 60y k F 1 F 2 g/kg 0 g/kg 70 g/kg 80 g/kg 00 0,1x 0,07y (320, ) 0,0x 0,08y 24 e todas las rectas de nivel, la que pasa por el punto (320, ) es la de mayor nivel, por tanto, el beneficio máximo se consigue cuando se producen 320 kg de abono del tipo y kg del abono del tipo, y es igual a: f (320, ) ptas. 4. En una confitería se dispone de 24 kg de polvorones y 1 kg de mantecados, que se envasan en dos tipos de cajas de la siguiente forma: aja 1: 200 g de polvorones y g de mantecados. Precio: 400 ptas. aja 2: 200 g de polvorones y 0 g de mantecados. Precio: 600 ptas. uántas cajas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el máximo de ingresos? omo ya vimos en la primera pregunta de este capítulo, la información la podemos organizar mediante una tabla: aja 1 aja 2 Total N. de cajas x y x y La función objetivo de los ingresos totales, I, en relación con el número de cajas de cada tipo que se han vendido es: I 400x 600y El conjunto de restricciones es: 200x 200y x 0y o bien x 0 y 0 Veamos cómo podemos obtener la solución utilizando métodos algebraicos y gráficos. Método de los vértices Para utilizar este método hallamos los vértices de la región factible resolviendo cada uno de los siguientes sistemas que se pueden formar con las cuatro restricciones: x 0 y 0 x 3y 10 x 3y 120 x 3y 10 y 3 Polvorones Mantecados 200x 200y x 0y Ingresos 400x 600y 400x 600y x 3y 120 x 3y 10 x 0 y 0 x 3 x 3y 10 x y 120 y 3 x y 120 x 3 Las soluciones de cada uno de los seis sistemas, de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, determinan los siguientes puntos: (0, 0), (0, 0), (10, 1) (120, 0), E(10, 0), F(0, 120) El punto E no cumple la restricción x y 120 y el punto F no cumple la restricción x 3y 10. Los vértices de la región factible son los puntos,, y. Hallamos los valores de la función objetivo: I 400x 600y en cada uno de los vértices: I(0, 0) I(0, 0) I(10, 1) I(120, 0) La solución óptima corresponde al vértice en el que la función objetivo toma el valor máximo, es el vértice (10, 1). PROGRMIÓN LINEL 103

3 104 Método de las rectas de nivel Para aplicar este método desarrollamos los pasos siguientes: Representamos gráficamente el sistema de inecuaciones formado por las restricciones y obtenemos la región factible. Representamos algunas de las rectas de nivel: 400x 600y k Por ejemplo: 400x 600y 0; 400x 600y 400x 600y 0;... Rectas de nivel Si observamos la gráfica, la recta de máximo nivel pasa por el punto (10, 1) y k vale Por tanto, hay que hacer 10 cajas del tipo 1 y 1 del tipo 2, siendo los ingresos máximos totales que se pueden obtener de su venta ptas.. Para abonar una parcela de huerta se necesitan por lo menos 8 kg de nitrógeno y 12 kg de fósforo. Se dispone de un producto cuyo precio es de ptas./kg y que contiene un 10% de nitrógeno y un % de fósforo. Existe en el mercado otro producto que contiene un 20% de nitrógeno y un 20% de fósforo, y cuyo precio es de 40 ptas./kg. Qué cantidades se deben tomar de y para abonar la parcela con el menor gasto posible? Podemos organizar la información mediante una tabla: Producto Producto Total La función objetivo del coste total,, si se emplean x kg del producto e y kg del producto, es: x 40y El conjunto de restricciones es: 0,1x 0,2y 8 0,3x 0,2y 12 o bien x 0 y x y 120 Kilos Nitrógeno Fósforo oste x y 0,10x 0,20y 8 0,x 0,20y 12 x 40y x 40y x 3y x 2y 80 3x 2y 120 x 0 y 0 on estos datos representamos la región factible y las rectas de nivel de la función objetivo: Rectas de nivel x 40y e todas las rectas de nivel que tocan a la región factible, la que pasa por el vértice (20, ), hace que el coste k sea mínimo. La solución óptima se obtiene tomando 20 kg del producto y kg del producto. El coste total es: (20, ) ptas. 6. (Selectividad. Huelva, 199). Un ganadero debe suministrar un mínimo de 4 mg de vitamina y 6 de vitamina por cada kilogramo de pienso que dé a sus reses. ispone para ello de dos tipos de pienso, P 1 y P 2, cuyos contenidos de vitaminas en miligramos P 1 P x 2y 120 El kilogramo de pienso P 1 vale 40 ptas. y el de P 2 60 ptas. ómo debe mezclar los piensos para suministrar las vitaminas requeridas con un coste mínimo? omo el pienso P 1 tiene 6 mg de vitamina por kilogramo y el pienso P 2 tiene 3 mg de por kilogramo, resulta imposible obtener mediante la mezcla de ambos 6 o más miligramos de esta vitamina, ya que si se pone en la mezcla alguna cantidad del pienso P 2, el contenido de vitamina por kilogramo es menor de 6 mg. demás, el producto P 1 no cumple los requisitos mínimos (4 mg) de vitamina. 7. (Selectividad. ndalucía, 1997). Un trabajador de una fábrica de envases de cartón hace cajas de dos tipos. Para hacer una caja del primer tipo, que se vende por 12 ptas., gasta 2 m de cinta adhesiva y 0, m de rollo de papel de cartón. Para hacer una del segundo tipo, que se vende a 8 ptas., gasta 4 m de cinta adhesiva y 0,2 m del mismo rollo. Si dispone de un rollo de cinta adhesiva que tiene 440 m y otro rollo de papel cartón de 6 m, cuántas cajas de cada tipo deben hacerse para que el valor de la producción sea máximo? (20, ) 40 x 2y x 40y

4 Sean: x «número de cajas del primer tipo» y «número de cajas del segundo tipo» e una lectura detenida del enunciado deducimos las siguientes restricciones o inecuaciones: 2x 33,4y 440 0,x 0,2y 36 x, y 3 La función objetivo que proporciona el valor de la producción y que hay que maximizar viene dada por: f(x, y) 12x 8y. Las rectas correspondientes a las fronteras de las restricciones, r 1 : 2x 4y 440 x 2y 220 r 2 : 0,x 0,2y 6 2x y 260 Su representación gráfica determina la siguiente región factible: (, 60) Sean: x «número de días que debe trabajar la planta» y «número de días que debe trabajar la planta» on los valores dados en el enunciado, formamos la tabla: P 1 P 2 P y deducimos las siguientes restricciones o inecuaciones: 1.000x 2.000y x 2y x 2.000y x 2y x 2.000y x 2y 200 x, y x, y 200 La función objetivo que da el valor del coste de la producción y que hay que minimizar es: f(x, y) x y (x y) Las rectas correspondientes a las fronteras de las restricciones, r 1 : x 2y 80; r 2 : 3x 2y 160 r 3 : x 2y 200; r 4 : x 0; r : y 0 La representación gráfica de dichas rectas determina la siguiente región factible: PROGRMIÓN LINEL O r2 r 1 F(0, ) onde los vértices obtenidos (1, 0); (, 60); obtenido de la intersección de las rectas r 1 y r 2, (0, 110) y O(0, 0). l sustituir sus coordenadas en la función objetivo f(x, y) 12x 8y resulta: f() ptas. f() ptas. f() ptas. f() ptas. Por lo tanto, la función objetivo se maximaliza en el vértice, luego se deben hacer cajas del primer tipo y 60 del segundo. 8. (Selectividad. La Rioja, 1999). Una empresa fabrica tres productos (P 1, P 2 y P 3 ) en dos plantas ( y ). La planta produce diariamente unidades de P 1, de P 2 y.000 de P 3. La planta produce diariamente unidades de cada uno de los tres productos. La empresa se ha comprometido a entregar a sus clientes al menos unidades de P 1, de P 2 y de P 3. Sabiendo que el costo diario de producción es de ptas. en cada planta, cuántos días debe trabajar cada planta para que se cubran los objetivos comprometidos con el mínimo coste? O E(20, 0) (40, 20) (80, 0) r 3 r 2 r1 onde los vértices que delimitan la región factible (80, 0) obtenido de la intersección de las rectas r 1 y r ; (40, 20), obtenido de la intersección de las rectas r 1 y r 2 ; E(20, 0) obtenido de la intersección de las rectas r 2 y r 3 y F(0, ) obtenido de la intersección de las rectas r 3 y r 4. l sustituir sus coordenadas en la función objetivo f(x, y) (x y), el mínimo coste se obtiene en el vértice (40, 20): f() (40 20) ptas. Por lo tanto, la planta debe de trabajar 40 días y la planta, 20 días. 9. (Selectividad. Valencia, 1999). Un concesionario de coches vende dos modelos, el con el que gana.000 ptas. por unidad vendida, y el con el que 10

5 gana ptas. por unidad vendida. El número x de coches vendidos del modelo debe verificar que 0 x 7. El número y de coches vendidos del modelo debe ser mayor o igual que el número de coches vendidos del modelo. Sabiendo que el número máximo de coches que puede vender es 400, determina cuántos coches debe vender de cada modelo para que su beneficio sea máximo. el enunciado, deducimos las siguientes restricciones o inecuaciones: 0 x 7 y x x y 400 x, y 0 La función objetivo que da el beneficio obtenido en miles de pesetas y que hay que maximizar viene dada por: f(x, y).000x 0.000y Las rectas correspondientes a las fronteras de las restricciones, r 1 : x 0; r 2 : x 7; r 3 : y x r 4 : x y 400; r : x 0; r 6 : y 0 Su representación gráfica determina la siguiente región factible: r (Selectividad. astilla-la Mancha, 1999). Una persona va a iniciar una dieta y recibe las siguientes recomendaciones: ebe tomar una mezcla de dos compuestos 1 y 2. La cantidad total diaria que puede ingerir, una vez mezclados los compuestos, no debe ser superior a 10 gramos ni inferior a 0 gramos. En la mezcla debe haber más cantidad de 1 que de 2. La mezcla no debe contener más de gramos de 1. Se sabe que cada gramo de 1 aporta 0,3 mg de vitaminas y 4, calorías y cada gramo de 2 aporta 0,2 mg de vitaminas y 1, calorías. uántos gramos de cada compuesto debe tomar para obtener la máxima cantidad de vitaminas? uántos gramos de cada compuesto debe tomar si desea el mínimo posible de calorías? Sean: x «número de gramos del compuesto 1» y «número de gramos del compuesto 2» on los valores dados en el enunciado, formamos la tabla: Vitaminas alorías 1 (1 gramo) 2 (1 gramo) 0,3 mg 0,2 mg 4, 1, 106 O r 1 r 2 onde los vértices que delimitan la región factible (0, 0) obtenido de la intersección de las rectas r 1 y r 3 ; (7, 7), obtenido de la intersección de las rectas r 2 y r 3 ; (7, 32) obtenido de la intersección de las rectas r 2 y r 4 y (0, ) obtenido de la intersección de las rectas r 1 y r 4. l sustituir sus coordenadas en la función objetivo f (x, y).000x 0.000y, resulta el beneficio en pesetas: f() f() f() f() sí, el máximo beneficio se obtiene en el vértice (7, 32). Por lo tanto, el concesionario debe vender 7 coches del modelo y 32 del modelo. r 4 y deducimos las siguientes restricciones o inecuaciones: 0 x y 10 x y x x, y 0 Las rectas correspondientes a las fronteras de las restricciones, r 1 : x y 0; r 2 : x y 10; r 3 : x y r 4 : x ; r : x 0; r 6 : y 0 Su representación gráfica determina la siguiente región factible: E r 1 r 4 r 2 r 3

6 Siendo los vértices que delimitan la región factible: (0, 0) obtenido de la intersección de las rectas r 1 y r ; (, 0), obtenido de la intersección de las rectas r 4 y r ; (, 0) obtenido de la intersección de las rectas r 2 y r 4, (7, 7) obtenido de la intersección de las rectas r 2 y r 3, y E(2, 2) obtenido de la intersección de las rectas r 1 y r 3. La función objetivo que da el máximo de miligramos de vitaminas, viene dada por: f (x, y) 0,3x 0,2y Por tanto, sustituyendo las coordenadas de los vértices de la región factible en la función objetivo anterior tenemos: f() 0,3 10 0,2 10 1,1 f() 0,3 0,2 10,1 f() 0,3 0,2 0 40,1 f() 0,3 17 0,2 7 37, f(e) 0,3 12 0,2 2 12, Luego, para obtener la máxima cantidad de vitaminas, 40 mg, hay que tomar gramos diarios del compuesto 1 y 0 gramos diarios del 2. sí mismo, la función objetivo que da el mínimo de calorías, viene dada por: f(x, y) 4,x 1,y. Por tanto, sustituyendo las coordenadas de los vértices de la región factible en la función objetivo anterior tenemos: f() 4, 10 1, f() 4, 1, f() 4, 1, 0 2 f() 4, 17 1, 7 40 f(e) 4, 12 1, 2 10 Luego, para obtener la mínima cantidad de calorías, 10, hay que tomar 2 gramos diarios del compuesto 1 y 2 gramos diarios del Una empresa posee dos fábricas F 1 y F 2 que producen 80 y unidades respectivamente de un determinado producto. eben abastecer a tres centros de consumo 1, 2 y 3, que necesitan 0, 70 y 60 unidades, respectivamente. El coste del transporte de cada fábrica a cada centro de consumo, en pesetas por unidad, viene dado en la siguiente tabla: ómo ha de realizarse el transporte para que sea lo más económico posible? F 1 F Sean x e y las cantidades de unidades que se transportan desde la fábrica F 1 a los centros de consumo 1 y 2. Por tanto, 80 (x y) es la cantidad que se transporta desde F 1 a 3. nálogamente, las cantidades que entrega la fábrica F 2 a los centros de consumo 1, 2 y 3 son, respectivamente: 0 x; 70 y 60 [80 (x y)] (x y) 20 on los datos anteriores podemos completar la siguiente tabla: F 1 (80 u) F 2 ( u) 1 (0 u) 2 (70 u) 3 (60 u) x y 80 (x y) 0 x 70 y (x y) 20 omo todas estas cantidades tienen que ser positivas, las restricciones 0 x 0 70 y 0 80 (x y) 0 (x y) 20 0 x 0 y 0 La función de coste del transporte T(x, y) se obtiene sumando los productos de cada cantidad de unidades transportadas por sus respectivos precios de transporte: T(x, y) 0x y 90[80 (x y)] (0 x) 7(70 y) 120[(x y) 20] 20x y 1.00 Por tanto, el problema queda reducido a minimizar la función de coste: T(x, y) 20x y 1.00 teniendo en cuenta las restricciones anteriores y utilizando el método gráfico, resulta: E(0, 70) F(0, 20) (10, 70) x 0 (0, ) (20, 0) (0, 0) y 70 x y 80 0 La función se minimiza en el punto (0, 0). Por tanto, el coste se minimiza cuando T y las cantidades de unidades x e y que se transportan desde la fábrica F 1 a los centros de consumo 1 y 2 x 0 unidades e y 0 unidades, por lo que las cantidades que se deben transportar F 1 F PROGRMIÓN LINEL 107

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