PRÁCTICA 3: MATLAB Y LA FORMA REDUCIDA POR FILAS

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1 PRÁCTICA 3: MATLAB Y LA FORMA REDUCIDA POR FILAS Introducción En esta práctica aprenderemos a manejar el comando rref de MATLAB, que calcula la forma reducida por filas de una matriz; también se verán algunas de sus aplicaciones. Prerrequisitos: cierta familiaridad con cálculos a mano de la forma reducida por filas de una matriz. 1. Resolución de sistemas con MATLAB Hasta ahora, hemos invertido cierto tiempo para resolver sistemas de ecuaciones lineales a mano, con lo que advertimos que es un proceso largo y con tendencia a que se produzcan errores. En cuanto la matriz de coeficientes es de un tamaño superior a 5 5, lo más probable es que nos equivoquemos en el resultado. Vamos a ver cómo puede MATLAB ayudarnos en el proceso. En primer lugar, recordemos algunas definiciones. El primer elemento no nulo en cada fila de una matriz se denomina pivote. Una matriz se dice que está en forma escalonada por filas si Las filas de ceros aparecen en la parte inferior de la matriz. Cada pivote es 1. Cada pivote aparece en una columna estrictamente a la derecha del pivote de la fila anterior. Se dice que una matriz está en forma reducida por filas si satisface además otra propiedad Cada pivote es el único elemento no nulo en su columna. Se sabe que toda matriz es equivalente a una matriz reducida por filas, es decir, que mediante transformaciones elementales (por filas) toda matriz se puede convertir en una matriz reducida por filas. Por otra parte, es de sobra conocido que cuando se resuelve un sistema de ecuaciones de la forma a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n = b 2 (1.1). a m1 x 1 +a m2 x a mn x n = b m puede ocurrir que el sistema tenga una única solución, o el sistema no tenga solución, o el sistema tenga infinitas soluciones. Veamos un ejemplo de cada caso. 1

2 2 Solución única. Consideremos el sistema (1.2) La matriz ampliada de este sistema es (1.3) x 1 +x 2 +x 3 = 6 x 1 2x 3 = 4 x 2 +x 3 = que podemos introducirla en el espacio de trabajo de MATLAB con >> A=[1,1,1,6;1,,-2,4;,1,1,2] El comando rref de MATLAB calcula la forma reducida por filas de la matriz A. >> R=rref(A) El commando rrefmovie de MATLAB nos muestra paso a paso cómo ha obtenido la forma reducida por filas. >> rrefmovie(a) Hemos obtenido que la forma reducida por filas de la matriz ampliada (1.3) es (1.4) Esta matriz representa al sistema (1.5), x 1 = 4 x 2 = 2 x 3 = que es equivalente al sistema (1.2). Por tanto, el sistema (1.2) tiene solución única (4, 2, ). Es interesante considerar la geometría de este ejemplo. Cada una de las ecuaciones del sistema (1.2) representa un plano en el espacio de 3 dimensiones. Como se puede ver en la Figura (1), las tres ecuaciones del sistema (1.2) producen tres planos. Observemos además que la intersección de los tres planos en la Figura (1) es un único punto, lo que coincide con nuestro resultado.

3 PRÁCTICA 3: MATLAB Y LA FORMA REDUCIDA POR FILAS Figura 1. Un sistema con solución única. Los tres planos se cortan en un punto. Sin soluciones. Consideremos ahora el sistema (1.6) La matriz ampliada del sistema es (1.7) x 1 +x 2 +x 3 = 6 x 1 2x 3 = 4 2x 1 +x 2 x 3 = que podemos introducirla en MATLAB con el comando >> A=[1,1,1,-6;1,,-2,4;2,1,-1,18] Usamos el comando rref para calcular la forma reducida por filas. >> R=rref(A), Por tanto, la forma reducida por filas de la matriz (1.7) es (1.8) Observemos la última fila de la matriz 1.8. Representa la ecuación (1.9) x 1 + x 2 + x 3 = 1 Es claro que la ecuación 1.9 no tiene solución. Por tanto, el sistema 1.6 tampoco. Decimos que el sistema 1.6 es incompatible.

4 Figura 2. Dos planos se cortan en una recta, paralela al otro. No hay puntos comunes en la intersección. De nuevo, la representación geométrica aporta luz a lo anterior. Como podemos ver en la figura 2, cada plano corta a otro en una recta, pero esa recta es paralela al otro plano. Por tanto, no hay puntos comunes a los tres planos, que coincide con nuestro resultado algebraico. Infinitas soluciones. Como ejemplo final, consideremos el sistema (1.1) La matriz ampliada del sistema es (1.11) y en MATLAB queda >> A=[1,1,1,6;1,,-2,4;2,1,-1,1] Usamos el comando rref >> R=rref(A) x 1 +x 2 +x 3 = 6 x 1 2x 3 = 4 2x 1 +x 2 x 3 = y la forma reducida por filas de la matriz 1.11 es (1.12) Observemos que tenemos una fila de ceros en la parte inferior de la matriz. Además, tenemos solamente dos pivotes. Es muy importante, en este momento, identificar las

5 PRÁCTICA 3: MATLAB Y LA FORMA REDUCIDA POR FILAS 5 variables pivotes y las variables libres. Observemos que las columnas 1 y 2 tienen pivotes. Por tanto, x 1 y x 2 son variables pivote. La columna 3 no tiene pivote. Así, la variable x 3 es libre. Como la última fila de la matriz representa la ecuación (1.13) x 1 + x 2 + x 3 =, que se verifica para cualesquiera valores de x 1, x 2 y x 3, únicamente necesitamos encontrar los valores de x 1, x 2 y x 3 que satisfacen las ecuaciones representadas por las dos primeras filas de la matriz 1.12 } x (1.14) 1 2x 3 = 4 x 2 +3x 3 = 2 Ahora el método es simple y directo. Resolvemos cada ecuación para su variable pivote en función de la variable libre. Así nos queda } x (1.15) 1 = 4 + 2x 3 x 2 = 2 3x 3. Es habitual colocar parámetros para representar la variable libre. Por ejemplo, si hacemos x 3 = λ, el sistema 1.1 tiene infinitas soluciones, descritas por (1.16) x 1 = 4 + 2λ, x 2 = 2 3λ, x 3 = λ donde λ es cualquier número real. Por cada valor que demos a λ obtenemos una solución. Por ejemplo, para λ = obtenemos la solución (4, 2, ). Para λ = 1 nos queda (6, 1, 1). De nuevo, la visualización geométrica nos aclara lo anterior. Como podemos ver en la figura 3, los tres planos se cortan a lo largo de una recta. Por tanto, hay un número infinito de soluciones, que coincide con nuestra conclusión anterior Figura 3. Los tres planos se cortan en una recta, que contiene un número infinito de puntos. 2. Más difícil todavía El pánico suele crecer cuando el número de ecuaciones e incógnitas se incrementa. Por supuesto, este aumento hace las cosas un poco más difíciles, pero si seguimos una sencillas reglas estas dificultades desaparecen.

6 6 Identifica las variables pivot. Esto se consigue observando las columnas que son pivote. Identifica las variables libres. Esto se obtiene observando las columnas que no tienen pivote. Resuelve cada ecuación colocando cada variable pivot en función de la libres. Cambia las variables libres por parámetros. Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema (2.17) 4x 1 2x 2 +2x 4 4x 5 +4x 6 = 2 4x 1 +x 2 3x 4 +4x 5 4x 6 = 3 x 1 2x 2 3x 4 +x 5 x 6 = 3 2x 2 2x 4 = 2 A simple vista, el problema puede echar para atrás por su tamaño. Si seguimos las reglas anteriores, no tendremos problema para encontrar la solución. En primer lugar, consideremos la matriz ampliada, (2.18) y la introducimos en MATLAB >> A=[-4,-2,,2,-4,4,2;4,1,,-3,4,-4,-3;1,-2,,-3,1,-1,-3;,-2,,-2,,,-2] Calculamos la forma reducida por filas con rref. >> R=rref(A) Las columnas uno y dos tienen pivotes. Por tanto, x 1 y x 2 son variables pivote. Las restantes incógnitas, x 3, x 4, x 5 y x 6 son variables libres. Las últimas filas de ceros se pueden ignorar, porque estas ecuaciones las verifican todos los valores. Así, solamente debemos resolver el sistema (2.19) x 1 x 4 +x 5 x 6 = 1 x 2 +x 4 = 1 Resolvemos cada ecuación para su variable pivote. } x (2.2) 1 = 1 +x 4 x 5 +x 6 x 2 = 1 x 4 Pongamos las variables libres como parámetros. Por ejemplo, x 3 = α, x 4 = β, x 5 = γ, x 6 = δ y nos queda (2.21) x 1 = 1 + β γ + δ, x 2 = 1 β, x 3 = α, x 4 = β, x 5 = γ, x 6 = δ, }

7 PRÁCTICA 3: MATLAB Y LA FORMA REDUCIDA POR FILAS 7 donde α, β, γ, δ son números reales arbitrarios. Entonces el sistema 2.17 tiene infinitas soluciones, y las podemos obtener dando valores a los parámetros de Como podemos ver, cuando el número de incógnitas y ecuaciones crece, el problema se vuelve más difícil. No obstante, también observamos que con estas simples reglas, el tamaño no debe ser un problema. 3. Matriz inversa y forma reducida por filas Sea A = (a ij ) M n (k) una matriz invertible. Por ejemplo, A = >> A = [1, -1, ; 2,, -3;, 2, 1] La orden inv de MATLAB calcula la matriz inversa de A. >> B = inv(a) >> A*B Veamos otra forma de calcular la inversa de A usando forma reducida por filas. Para ello basta tener en cuenta que, por definición, la matriz inversa de A es la única matriz X = (x ij ) M n (k) tal que AX = I n ; por lo que la columna j-ésima de X es la (única) solución del sistema A(x 1j,..., x nj ) t = (,...,, j) 1,,..., ) t. Por consiguiente, si partimos de la matriz (A I n ) M n 2n (k) y calculamos su forma reducida por filas llegaremos a la matriz (I n A 1 ). >> I = eye(3) >> AI = [A,I] >> rai = rref(ai) >> X = rai(1:3,4:6) >> A*X De hecho, los programas de ordenador usan este método (o variantes del mismo) para calcular la matriz inversa, y no la fórmula por todos conocida que tiene un coste de tiempo prohibitivo.

8 8 Ejercicios. Introduce el disco con tu nombre en la disquetera del ordenador. Escribe >> diary a:\practica3.txt >> % Práctica 3 de NOMBRE APELLIDOS donde pone NOMBRE APELLIDOS debes escribir tu nombre y apellidos en mayúsculas. Recuerda que el símbolo % sirve para introducir comentarios que no serán evaluados por MATLAB. De este modo puedes responder aquellos ejercicios que requieran alguna explicación. Ejercicio 3.1. Cada una de las siguientes matrices representa la matriz ampliada de un sistema lineal. Realiza las siguientes tareas para cada caso. Introduce la matriz en MATLAB y con el comando rref calcula la forma reducida por filas. Cópiala en un papel. Identifica variables pivote y variables libres. Resuelve cada ecuación para su variable pivote. Asigna parámetros a las variables libres. (a) (b) Ejercicio 3.2. Juan tiene 4 euros en monedas de 1, 2, 5 y 1 céntimos de euro. Tiene igual número de monedas de 2 céntimos y de 5 céntimos, y en total tiene 1 monedas. De cuántas formas es esto posible? Ejercicio 3.3. Usar el método de Gauss para resolver simultáneamente los sistemas 4x 8y + 5z = 1 4x 7y + 4z = 1 3x 4y + 2z = 1.

9 PRÁCTICA 3: MATLAB Y LA FORMA REDUCIDA POR FILAS 9 Ejercicio 3.4. Consideremos la siguiente matriz A = Si R es la forma reducida por filas de A, calcular, usando MATLAB, las matrices Q y P tales que Q 1 AP = R. Calcular la forma reducida por columnas de A, la forma reducida y las matrices de paso cada caso. Ejercicio 3.5. Supongamos que 1 insectos se distribuyen en una cámara que consta de 4 habitaciones con pasajes entre ellos tal como aparece en la figura (4). Al final de un minuto, los insectos se han redistribuido. Supongamos que un minuto no es bastante tiempo para que un insecto visite más de una habitación y al final de un minuto el 4 % de los insectos de cada habitación permanece en ella. Los insectos que la abandonan se distribuyen uniformemente entre las demás habitaciones que son accesibles desde la que ocupan inicialmente. Por ejemplo, desde la habitación 3, la mitad de los que se mueven van a 2 y la otra mitad a Si al final de un minuto hay 12, 25, 26 y 37 insectos en las habitaciones 1, 2, 3 y 4, respectivamente, determinar la distribución inicial. 2. Si la distribución inicial es 2, 2, 2 y 4 Cuál es la distribución al final de un minuto?. # 3 # 4 # 2 # 1 Figura 1: Figura 4. Distribución de las cámaras y los pasajes. Ejercicio 7. Supongamos que 1 insectos se distribuyen en una cámara que consta de 4 habitaciones con pasajes entre ellos tal como aparece en la figura 1. Al final de un minuto, los insectos se han redistribuido. Supongamos que un minuto Ejercicio no es bastante 3.6. Entiempo la figura para(5) queaparece un insecto unavisite placa más de de acero. una habitación La temperatura y al final endecada un minuto puntoel 4 % de los insectos de cada habitación permanece en ella. Los insectos que la abandonan se distribuyen uniformemente de la placa es constante (no cambia con el tiempo). La temperatura en cada punto del entre las demás habitaciones que son accesibles desde la que ocupan inicialmente. Por ejemplo, desde la habitación 3, la mitad retículo de los que en el se borde muevende vanlaa placa 2 y otra aparece mitadena 4. la figura. Sea t i la temperatura en grados en cada punto del retículo en el interior de la placa. Supongamos que la temperatura en cada 1. Si al final de un minuto hay 12, 25, 26 y 37 insectos en las habitaciones 1, 2, 3 y 4, respectivamente, determine la punto interior del retículo es la media de las temperaturas de sus cuatro puntos vecinos. distribución inicial. Calcula la temperatura t i en cada punto interior del retículo. 2. Si la distribución inicial es 2, 2, 2 y 4, cuál es la distribución al final de un minuto? Ejercicio 8. Use el método de Gauss-Jordan para resolver a la vez los tres sistemas 2x 1 8x 2 = 1 x 1 +2x 2 x 3 = 1 x 2 +x 3 = 1 Ejercicio 9. Resuelva los siguientes sistemas con redondeo a tres dígitos. Repita las operaciones con pivoteo parcial y pivoteo parcial escalado, respectivamente. Compare los resultados con las soluciones exactas: {,3x1 + 58,9x 2 = 59,2 5,31x 1 6,1x 2 = 47,

10 1 C C C t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 fig4.1 Figura 5. Distribución de temperatura en una placa de metal.