Trace la gráfica de f si f x 1 2 x 3. x y 1, 2
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- Sara Zúñiga Maidana
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1 48 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES 4. Funciones polinomiales de grado maor a Si f es una función polinomial con coeficientes reales de grado n, entonces f a n n a n n a a 0, con a n 0. Los casos especiales que se ven en la tabla siguiente a se discutieron antes. Grado de f Forma de f() Gráfica de f (con cruce a 0 en eje ) 0 f a 0 Una recta horizontal f a a 0 Una recta con pendiente a f a a a 0 Una parábola con un eje vertical Figura En esta sección estudiaremos gráficas de funciones polinomiales de grado maor a. Todas las funciones con polinomios son funciones continuas, es decir, sus gráficas se pueden trazar sin ninguna interrupción. Si f tiene grado n todos los coeficientes ecepto a n son cero, entonces q 3 f a n para alguna a a n 0. En este caso, si n, la gráfica de f es una recta que pasa por el origen. Si n, la gráfica es una parábola con vértice en el origen. Dos ilustraciones con n 3 (polinomios cúbicos) se dan en el ejemplo siguiente. EJEMPLO Trazar gráficas de a 3 Trace la gráfica de f si (a) f 3 (b) f 3 Figura SOLUCIÓN (a) La tabla siguiente contiene varios puntos sobre la gráfica de q 3 Como f es una función impar, la gráfica de f es simétrica con respecto al origen puntos como, 6, están también sobre la gráfica. La gráfica se traza en la figura. (b) Si 3, la gráfica se puede obtener de la parte (a) al multiplicar todas las coordenadas por (esto es, reflejando la gráfica de la parte (a) a través del eje ). Esto nos da el dibujo de la figura. L Si f a n n es entero positivo impar, entonces f es una función impar la gráfica de f es simétrica con respecto al origen, como se ilustra en
2 4. Funciones polinomiales de grado maor a 49 las figuras. Para a 0, la gráfica es semejante en forma a la de la figura, pero, cuando n o a aumentan, la gráfica sube más rápidamente para. Si a 0, reflejamos la gráfica a través del eje, como en la figura. Si f a n n es un entero positivo par, entonces f es una función par la gráfica de f es simétrica con respecto al eje, como se ilustra en la figura 3 para el caso a n 4. Nótese que cuando aumenta el eponente, la gráfica se hace más plana en el origen. También sube más rápidamente para. Si a 0, reflejamos la gráfica a través del eje. También nótese que la gráfica corta el eje en el origen, pero no cruza el eje (cambia signo). Figura Figura 4 P Q R S Un análisis completo de gráficas de funciones polinomiales de grado maor a requiere métodos que se usan en cálculo. A medida que aumenta el grado, las gráficas suelen hacerse más complicadas, aunque tienen un aspecto liso con varios puntos altos puntos bajos, por ejemplo P, Q, R S en la figura 4. Esos puntos a veces se denominan puntos etremos para la gráfica. Debe observarse que un polinomio de grado n tiene a lo más n puntos etremos. Cada valor de función (coordenada ) correspondiente a un punto alto o bajo se denomina etremo de una función f. En un etremo, f cambia de una función creciente a una función decreciente, o viceversa. El teorema del valor intermedio especifica otra propiedad importante de funciones polinomiales. Teorema del valor intermedio para funciones con polinomios Si f es una función polinomial fa fb para a b, entonces f toma cada valor entre fa fb del intervalo a, b. El teorema del valor intermedio para funciones polinomiales epresa que si w es cualquier número entre fa fb, ha al menos un número c entre a b tal que fc w. Si consideramos la gráfica de f como etendiéndose con-
3 50 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Figura 5 f(b) w f(a) f() P w f(c) a c b tinuamente del punto a, fa al punto b, fb, como se ilustra en la figura 5, entonces para cualquier número w entre fa fb, la recta horizontal w corta la gráfica en al menos un punto P. La coordenada c de de P es un número tal que fc w. Una consecuencia del teorema del valor intermedio es que si fa fb tienen signos contrarios (uno positivo uno negativo), ha al menos un número c entre a b tal que fc 0; esto es, f tiene un cero en c. Así, si el punto a, fa se encuentra abajo del eje el punto b, fb está arriba del eje o viceversa, la gráfica cruza el eje al menos una vez entre a b, como se ilustra en la figura 6. Figura 6 (b, f(b)) (a, f(a)) f() f() a c b a c b (a, f(a)) (b, f(b)) EJEMPLO Uso del teorema del valor intermedio Demuestre que f tiene un cero entre. SOLUCIÓN Sustituendo por nos da los siguientes valores de función: f f Como f() f() tienen signos contrarios (f() 4 0 f() 7 0), vemos que f (c) 0 para al menos un número real c entre. L El ejemplo ilustra un método para localizar ceros reales de polinomios. Con el uso de aproimaciones sucesivas, podemos aproimar cada cero a cualquier grado de precisión al localizarlo en intervalos cada vez menores. Si c d son sucesivas en ceros reales de f(), es decir, no ha otros ceros entre c d, entonces f() no cambia signo en el intervalo (c, d). Así, si escogemos cualquier número k tal que c k d si f(k) es positiva, entonces f() es positiva en todo (c, d). Del mismo modo, si f(k) es negativa, entonces f() es negativa en todo (c, d). Llamaremos f(k) a un valor de prueba para f() en el intervalo (c, d). También se pueden usar valores de prueba en intervalos infinitos de la forma (, a) o (a, ), siempre que f() no tenga ceros en estos intervalos. El uso de valores de prueba al graficar es semejante a la técnica empleada para desigualdades en la sección.7.
4 4. Funciones polinomiales de grado maor a 5 Figura 7 EJEMPLO 3 Trazar la gráfica de una función polinomial de grado 3 Sea f() Encuentre todos los valores de tales que f() 0 toda tal que f() 0 luego trace la gráfica de f. SOLUCIÓN Podemos factorizar f() como sigue: f enunciado agrupar términos factorizar 4 factorizar diferencia de cuadrados Vemos de la última ecuación que los ceros de f() (los puntos de corte del eje de la gráfica) son,. Los puntos correspondientes en la gráfica (vea figura 7) dividen el eje en cuatro partes consideramos los intervalos abiertos,,,,,,,. Al igual que con nuestro trabajo con desigualdades en la sección.7, el signo de f() en cada uno de estos intervalos se puede determinar usando una tabla de signos. La gráfica de f se encuentra arriba del eje para valores de tales que f() 0 abajo del eje para toda tal que f() 0. Intervalo (, ) (, ) (, ) (, ) Figura Signo de Signo de Signo de Signo de f Posición de Abajo de Arriba de Abajo de Arriba de gráfica eje eje eje eje Por consulta del signo de f() en la gráfica, concluimos que f() 0 si está en (, ) (, ) f() 0 si está en (, ) (, ). El uso de esta información lleva al trazo de la figura 8. Para hallar los puntos etremos en la gráfica, sería necesario usar equipo de cómputo (como lo haremos en el ejemplo 6) o métodos desarrollados en cálculo. L La gráfica de toda función polinomial de grado 3 tiene un aspecto semejante al de la figura 8 o tiene una versión invertida de esa gráfica si el coeficiente de 3 es negativo, pero a veces la gráfica puede tener sólo un punto de intersección con el eje o la forma puede estar elongada, como en las figuras.
5 5 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES EJEMPLO 4 Trazar la gráfica de una función polinomial de grado 4 Sea f() Encuentre todos los valores de tales que f() 0 toda tal que f() 0 luego trace la figura de f. SOLUCIÓN Empezamos por factorizar f() f enunciado factorizar factorizar 4 3 A continuación, construimos el diagrama de signos de la figura 9, donde las rectas verticales indican los ceros 0, 3 de los factores. Como el factor es siempre positivo si 0, no tiene efecto en el signo del producto por tanto se puede omitir del diagrama. Figura 0 Figura 9 Signo de f () Signo de 3 Signo de 0 3 Por consulta del signo de f() del diagrama, vemos que f() 0 si está en (, 0) (0, ) (3, ) f() 0 si está en (, 3). Nótese que el signo de f no cambia en 0. El uso de estos datos lleva al trazo de la figura 0. L En el siguiente ejemplo construimos una gráfica de un polinomio conociendo sólo su signo. EJEMPLO 5 Trazar la gráfica de un polinomio conociendo su signo Dado el diagrama de signos de la figura, trace una posible gráfica del polinomio f. Figura Signo de f () 3 0
6 4. Funciones polinomiales de grado maor a 53 Figura SOLUCIÓN Como el signo de f() es negativo en el intervalo (, 3), la gráfica de f debe estar abajo del eje, como se ve en la figura. En el intervalo (3,), el signo de f() es positivo, de modo que la gráfica de f está arriba del eje. El signo de f() también es positivo en el siguiente intervalo, (, 0). Por lo tanto, la gráfica de f debe tocar el eje en el punto de intersección luego permanecer arriba del eje. (La gráfica de f es tangente al eje en.) En el intervalo (0, ), el signo de f() es negativo, de modo que la gráfica de f está abajo del eje. Por último, el signo de f() es positivo en el intervalo (, ) la gráfica de f está arriba del eje. L En el último ejemplo usamos la función f 3. Nótese la forma en que la gráfica de f se relaciona con las soluciones de las siguientes desigualdades. Posición de la gráfica Desigualdad Solución en relación al eje () f 0 3,, 0, Arriba () f 0 3, 0, Abajo o sobre (3) f 0, 3 0, Abajo (4) f 0, 3 0, Abajo o sobre Nótese que todo número real debe estar en la solución a sea de la desigualdad () o la desigualdad (4); lo mismo puede decirse para las desigualdades () (3). En el siguiente ejemplo usamos una calculadora graficadora para estimar coordenadas de puntos importantes en una gráfica. EJEMPLO 6 Estimar ceros puntos etremos (a) Estime los ceros reales de f() a tres lugares decimales. (b) Estime las coordenadas de los puntos etremos en la gráfica. SOLUCIÓN (a) Asignamos f() a Y usamos una pantalla estándar para obtener un trazo semejante al de la figura 3(a). Como todas las raíces reales parecen estar entre 0 3, hagamos de nuevo la gráfica usando la pantalla [, 3] por [, 3]. Esto nos da una pantalla semejante a la de la figura 3(b), que muestra que ha sólo (continúa)
7 54 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES un punto de intersección con el eje por tanto una sola raíz. Usando un cero o función de raíz, estimamos el cero real como 0.7. Figura 3 (a) 5, 5 por 0, 0 (b), 3 por, 3 (b) Con el uso de la función maimum, estimamos el punto alto es (0.867,.497) con la función minimum, estimamos el punto bajo es (.00,0.3). L En la sección.7 resolvimos desigualdades semejantes a la del siguiente ejemplo, pero nos apoamos en gran medida en el hecho de que podíamos de algún modo factorizar la epresión. Ahora usamos una calculadora graficadora para resolver una desigualdad que contiene una epresión (un polinomio cúbico) que no se factoriza fácilmente. EJEMPLO 7 Resolver gráficamente una desigualdad Estime las soluciones de la desigualdad Figura 4, 3 por 3, 3 SOLUCIÓN equivalente Restemos de ambos lados consideremos la desigualdad Asignamos a Y usamos la pantalla [, 3] por [3, 3] para obtener una imagen semejante a la figura 4. Vemos que ha tres puntos de intersección con el eje. Si los denotamos por, 3 (con 3 ), entonces las soluciones a la desigualdad están dadas por, 3,, porque éstos son los intervalos donde Y es menor a 0 (la gráfica está abajo del eje ). Usando una función cero o root para cada punto de cruce con el eje, encontramos que 0.55, 0.7, L
8 4. Funciones polinomiales de grado maor a 55 Uso de la función TI-86 POLY La TI-86 tiene una función especial POLY que calcula los ceros de un polinomio. Apliquemos esta función al polinomio del ejemplo 7, que se puede escribir como Introduzca el grado del polinomio. nd POLY 3 ENTER Introduzca los coeficientes del polinomio Calcule los ceros del polinomio. SOLVE(F5) 4. Ejercicios Ejer. -4: Trace la gráfica de f para el valor indicado de c o a. 3 4 f 3 c (a) f 3 c (a) f a 3 (a) c 3 c a f a 3 3 (b) c 3 (b) c (b) a 3 (a) a (b) a 4 Ejer. 5-0: Use el teorema de valor intermedio para demostrar que f tiene un cero entre a b. 5 f ; a 3, b 4 f3 0, f f 3 5 3; a 3, f3 0, f 0 7 f ; a, f 5 0, f3 5 0 b b 3 8 f 4 3 ; a, f 3 8 0, f b f 5 3 ; a, b f 9 3 0, f 0 0 f ; a 3, b 4 3 4
9 56 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Ejer. -: Relacione cada gráfica con una ecuación. (a) (b) (A) (B) (C) (D) f() ( ) f() ( ) f() ( )( )( 3) f() ( ) ( )( ) Ejer. 3-8: Encuentre todos los valores de tales que f() 0 toda tal que f() 0, trace la gráfica de f. 3 f f (c) (d) 5 f f 5 7 f f f f f f f (A) (B) (C) (D) f() ( ) f() ( ) f() ( )( )( ) f() ( )( ) ( ) f f f 4 7 f f 3 4 (a) (b) Ejer. 9-30: Trace la gráfica de un polinomio dado el diagrama de signos. 9 Signo de f () (c) (d) 4 Signo de f () (a) Trace una gráfica de f a b c, donde a 0 b c. (b) Cuál es la intersección con el eje? abc
10 58 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES nario está dada por d cs 3L s para 0 s L, donde L es la longitud de la tabla c es una constante positiva que depende del peso del clavadista de las propiedades físicas de la tabla (vea la figura). Suponga que la tabla mide 0 pies de largo. (a) Si la fleión en el etremo de la tabla es pie, encuentre c. (b) Demuestre que la fleión es pie entre s 6.5 s 6.6. d , d Población de venados Un rebaño de 00 venados se introduce en una pequeña isla. Al principio el rebaño aumenta rápidamente, pero al final los recursos se consumen la población disminue. Suponga que el número N(t) de venados después de t años está dado por N(t) t 4 t 00, donde t 0. (a) Determine los valores de t para los cuales N(t) 0 trace la gráfica de N. Nt 0 for 0 t 5 (b) La población se etingue? Si es así, cuándo? Yes; after 5 ears 46 Población de venados Consulte el ejercicio 45. Se puede demostrar por medio de cálculo que la rapidez R (en venados por año) con la que cambia la población de venados, en el tiempo t, está dada por R 4t 3 4t. (a) Cuándo deja de crecer la población? After r (b) Determine los valores positivos de t para los cuales R. 0, (a) Construa una tabla que contenga los valores de los polinomios de cuarto grado cuando 0, 40, 60. (b) Cuando se hace grande, cómo se comparan los valores para cada función? The become similar. (c) 000 f 4, g 4 5, h 4 5, k 4 3, Cuál término tiene la maor influencia sobre el valor de cada función cuando es grande? 48 (a) Grafique los polinomios cúbicos en el mismo plano de coordenadas, usando cada una de las siguientes pantallas: () () (3) (4) (b) Cuando la pantalla aumenta de tamaño, cómo se comparan las gráficas de las cuatro funciones? The look alike. (c) Cuál término tiene la maor influencia sobre el valor de cada función cuando es grande? (a) Grafique cada uno de los siguientes polinomios f cúbicos en la pantalla 9, 9 por 6, 6. () () (3) (4) (b) Analice la forma de la gráfica de f cuando se hace grande. (c) Haga una generalización acerca del comportamiento final de la función f() a 3 b c d. 50 (a) Grafique cada uno de los siguientes polinomios f de cuarto grado en la pantalla [9, 9] por [6, 6]. () () (3) (4) (b) Analice la forma de la gráfica de f cuando se hace grande. (c) f 3 3, g 3 3, h 3 3, k 3 3, por, 0, 0 por 0, 0 50, 50, 0 por 5000, 5000, , 00, 0 por 5 0 5, 5 0 5, 0 5 f 3 f f 0. 3 f 3 4 f f 4 3 f f Haga una generalización acerca del comportamiento final de la función f a 4 b 3 c d e. Ejer. 5-54: Grafique f estime sus ceros. 5 f , 0.49,.0 5 f , 0.9,., f , 0.35, f , 0.6,.5
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