Empleo de Matemática Financiera

Transcripción

1 FACULTAD DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA Empleo de temátic Ficier Ig. rco Guchimboz Septiembre 008 Eero 009 ABATO ECUADOR

2 PRESENTACIÓN L mtemátic fi costituye u de ls áre más útiles e iterestes de l mtemátic plicd, priciplmete e los tiempos moderos, e los que todo mudo spir logrr el máximo beeficio como comprdor, y los más trctivos redimietos como iversioist. L presete guí será u poyo didáctico pr los estudites. El mteril coteido e este texto está proyectdo de mer que pued usrse como medio istrucciol pr u curso forml de temátic Ficier. Tmbié servirá como u obr de cosult y como texto de predizje si mestros. El primer cpítulo costituye u revisió y resume de ciertos fudmetos que sí mismo so de much utilidd pr l resolució de problems de mtemátic ficier. El segudo cpítulo trt series y sucesioes e su coteido geerl que luego so utilizdos e el trtmieto del iterés compuesto y uliddes. Los cpítulos resttes resume l mtemátic ficier co: iterés compuesto; uliddes y Amortizcioes. Estmos covecidos de que este modulo portr co elemetos ovedosos l eseñz predizje de ls mtemátics ficiers. Guí odulr de temátic Ficier Ig. rco Guchimboz

3 CONTENIDO CONTENIDO... UNIDAD I... 4 FUNDAENTOS ATEATICOS LOS NÚEROS Regls pr l sum y multiplicció de úmeros: Redodeo de úmeros EXPONENTES Leyes de los expoetes eteros positivos RADICAL Propieddes de los rdicles Opercioes co rdicles ECUACIONES Y SOLUCIÓN DE ECUACIONES Solució de ecucioes Ecucioes lieles LOGARITOS Defiició: Logritmos comues y turles Atilogritmos o expoecició Opercioes co Logritmos....6 TANTO POR CIENTO....7 PALABRAS CLAVES....8 PREGUNTAS DE REPASO... UNIDAD II... 5 SERIES Y PROGRECIONES DEFINICION DE PROGRECIONES PROGRESIONES ARITETICAS Sum de los primeros térmios PROGRESIÓN GEOÉTRICA Guí odulr de temátic Ficier Ig. rco Guchimboz

4 .. Sum de los primeros térmios PALABRAS CLAVES....5 PREGUNTAS DE REPASO... UNIDAD III... INTERES Y DESCUENTO SIPLE.... DEFINICION INTERES SIPLE.... INTERES SIPLE EXACTO Y ORDINARIO CALCULO EXACTO Y APROXIADO DEL TIEPO Cálculo excto del tiempo Cálculo proximdo del tiempo CALCULO DEL INTERES SIPLE EXACTO Y ORDINARIO CON TIEPO EXACTO Y APROXIADO PAGARES (DEUDAS) DIAGRAAS DE TIEPO Y VALOR ACTUAL Vlor ctul o presete DESCUENTO Descueto Simple Descueto Simple U Ts de Iterés (rciol) Descueto Simple U Ts de Descueto (Bcrio) Descueto de Pgres TASA DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES....9 PALABRAS CLAVES....0 PREGUNTAS DE REPASO... UNIDAD IV... 4 ECUACIONES DE VALOR DEFINICIÓN REPLAZAR UN CONJUNTO DE OBLIGACIONES O DEUDAS POR UN SOLO PAGO COPARACIÓN DE OFERTAS PARA COPRAR VENDER CÁLCULO DEL ONTO DE UNA SERIE DE DEPÓSITOS SUCESIVOS A CORTO PLAZO... 7 Guí odulr de temátic Ficier Ig. rco Guchimboz

5 4.5 CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL O PRESENTE DE UNA SERIE DE PAGOS SUCESIVOS A CORTO PLAZO PALABARAS CLAVES... 8 UNIDAD V... 9 INTERÉS COPUESTO DEFINICION CONCEPTOS DE INTERÉS COPUESTO TASA DE INTERES POR PERIODO DE CONVERSION Y NÚERO DE PERIODOS DE CONVERSION FORULA DEL ONTO DE INTERES COPUESTO TASA DE INTERÉS EFECTIVA Y TASA DE INTERÉS NOINAL Formul De Equivleci Ts Nomil Ts Efectiv CALCULO DE LA TASA DE INTERES CALCULO DEL TIEPO EN INTERES COPUESTO VALOR ACTUAL A INTERES COPUESTO, O CÁLCULO DEL CAPITAL Vlor Actul Co Tiempo Frcciorio PALABRA CLAVES PREGUNTAS DE REPASO UNIDAD VI ANUALIDADES DEFINICION DE ANUALIDADES ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS ONTO Y VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD PALABRAS CLAVEES PREGUNTAS DE REPASO DE REPASO... 5 Guí odulr de temátic Ficier Ig. rco Guchimboz

6 UNIDAD I FUNDAENTOS ATEATICOS OBJETIVOS DE LA UNIDAD Idetificr ls regls pr l operció de úmeros Aplicr correctmete el redodeo de úmeros Coocer y plicr ls propieddes de expoecició y rdiclizció Coocer y plicr el cocepto de porcetje Aplicr y coocer ls propieddes de logritmos UNIVERSIDAD TECNICA DE ABATO. LOS NÚEROS Dirimete se mej ctiddes que se represet medite diferetes tipos de úmeros, como los eteros, los frcciorios, los positivos, los egtivos, los pres, impres, etc. Todos ellos form prte de lo que se cooce como el cojuto de los úmeros reles. Existe tmbié otros úmeros que o perteece ese cojuto, los llmdos imgirios, pero poco tiee que ver co l mtemátic de los egocios y ls fizs. Dos de estos úmeros so, por ejemplo, ls solucioes de ls ecucioes. x x + 0 x ± ±. i Si se quiere operr fácilmete co úmeros positivos o egtivos, es ecesrio evitr el proceso se cotr. Pr hcerlo otmos que cd uo de los úmero +7 y 7 está siete posicioes de 0. Este hecho lo idicmos diciedo que el vlor umérico de cd uo de los úmeros +7 y 7 es 7, e geerl el vlor umérico De 0 es 0 De 0 es: si es positivo si es egtivo.. Regls pr l sum y multiplicció de úmeros: Rgl. Pr sumr dos úmeros co sigos igules, se sum el vlor umérico y se tepoe el sigo comú. Por ejemplo: +7 + (+5) + (7 + 5) ( 9) (6 + 9) 5 Rgl. Pr sumr dos úmeros co sigos diferetes, se rest el vlor umérico meor del myor y se tepoe el sigo del úmero co myor vlor umérico. Por ejemplo: + + ( 5) + ( 5) ( 8) (8 4) 4 Rgl. Pr restr u úmero, se cmbi de sigo y se sum. Por ejemplo: 4 ( 6) Guí odulr de temátic Ficier 4 Ig. rco Guchimboz

7 8 ( 9) (7) 8 + ( 7) 5 Rgl4. Pr multiplicr dos úmeros o dividir u úmero etre otro (l divisió etre cero uc es permitid), se multiplic o se divide el vlor umérico y se tepoe el sigo + si los dos úmeros tiee el mismo sigo y el sigo meos si tiee sigos diferetes. Por ejemplo: (+) (+) +6; (+) ( ) 6; ( ) (+) 6; ( ) ( ) +6.. Redodeo de úmeros El criterio más geerlizdo pr redoder los úmeros es el que se cosider cotiució: ) Si el primer digito que se despreci es myor que cico, etoces el que se retiee se icremet e. Por ejemplo: 4,56, co dos decimles result: 4,54. b) Si el primer digito que se despreci es meor que cico, etoces el que se retiee o cmbi. Por ejemplo: 4,5, co dos decimles result: 4,5. c) Si el primer úmero que se despreci es igul 5, existe dos opcioes: El último dígito que se retiee se icremet e uo, si l derech del 5 hy por lo meos uo que se myor que cero; por ejemplo, 5,0850 se redode como 5,09 co dos decimles. Si l derech del 5 hy sólo ceros y el último que se retiee es pr, este o cmbi, pero se icremet e uo si es impr. Por ejemplo, 45,5 se redode 45,; 0,875 se redode 0,88, co tres decimles. EJERCICIO Al redoder el úmero X 7,47905 siete, cico, tres y u cifr deciml, qued: X 7,47904 Co 7 decimles X 7,479 Co 5 decimles X 7,44 Co decimles X 7,4 Co deciml.. EXPONENTES U expoete es u etero positivo escrito e l prte superior derech de l bse, el cul idic el úmero de veces que l bse prece como fctor. Ejemplo ) ². ) 7.. ³ ) Guí odulr de temátic Ficier 5 Ig. rco Guchimboz

8 .. Leyes de los expoetes eteros positivos Si es u úmero y es u etero positivo, el producto de fctores.. se deot por. Pr distiguir etre ls letrs, se dice bse y se llm expoete. Si y b so bses culesquier y m y positivos, se tiee ls siguietes leyes de los expoetes: ) m m ) ( ) m m+ m m ) /, 0, m > ; m m 4) / /, 0, m < ; m m 5) ( b) b m m m 6) ( / b) / b, b 0 m E clse: Aplicdo ls leyes que rige los expoetes eteros positivos resuelv: ). ). ).8 5). 7 6).( () () 0 / ).(xy) b ). RADICAL Sigo que idic l operció de extrer ríces:.. Propieddes de los rdicles. Pr el bue uso de los rdicles es ecesrio teer e cuet u serie de propieddes que se idic cotiució: ) Ríz de u ríz, x y x. y Ejemplo: b) Ríz de u poteci, x x ( ) Ejemplo: 7 ( 7 ) 9 c) Simplificció: x x 6. Ejemplo: 7 6 Guí odulr de temátic Ficier 6 Ig. rco Guchimboz

9 d) Ríz de u Producto:. b. b Ejemplo: e) Ríz de u cociete: b b 7 7 Ejemplo: 0,07 0, Opercioes co rdicles Sum: x + y ( x + y) 5 5 Ejemplo: (8 + 7) Si embrgo, otro tipo de sums co rdicles o se puede simplificr. Es el cso de: + 5 ; que hy que dejrl idicd o clculr sus proximcioes decimles y sumr sus resultdos. Si embrgo, l expresió ; sí se puede simplificr porque, operdo co los rdicles, se obtiee rdicles semejtes: Por tto, Reducció de rdicles ídice comú Pr coseguir que vrios rdicles se trsforme e otros co el ídice comú, se hll el míimo comú múltiplo, de los ídices y se trsform cd uo de ellos e otro co ídice m. 6 Por ejemplo, pr 4 x + y + z el m.c.m. (4,,6). Por tto: 4 x y x y 4 6 z z Los rdicles 4 x + y + z tiee e mismo ídice y so respectivmete igules los tres iíciles. Rciolizció de deomidores. Ls expresioes: 4 ; ; ; tiee el deomidor irrciol. Co frecueci es coveiete trsformrls e otrs expresioes equivletes que teg el deomidor Guí odulr de temátic Ficier 7 Ig. rco Guchimboz

10 rciol, co lo que se dice que se les h rciolizdo el deomidor, Pr ello se sigue distits estrtegis: 6 4 ( ) E los dos ejemplos teriores se h multiplicdo u deomidor del tipo m por otro rdicl del mismo ídice, p, y tl que el producto de sus bses, m, p, se u poteci de. E cosecueci, h hbido que multiplicr el umerdor por l mism expresió E clse: Resolver: x + i 9 0 y ( + 5) ( 5)( + 5) 9 ( 5) 9 5 4( 6 ) 4( 6 ) ( 6 + )( 6 ) ( 6) ( ( 6 ) 4( 6 ) 6.4 ECUACIONES Y SOLUCIÓN DE ECUACIONES L ecució es el resultdo de igulr dos expresioes lgebrics que se llm ldos o miembros de l ecució..4. Solució de ecucioes Resolver u ecució es ecotrr el vlor o los vlores de u icógit que hce que l iguldd se verdder. Tles vlores form l solució de l ecució. Pr resolver u ecució: ) Se sum, o se rest, culquier úmero los dos miembros de l ecució (propiedd ditiv). b) Se multiplic los dos ldos por culquier úmero que o se cero (propiedd multiplictiv). c) Culquier prte de l ecució se reemplz por otr igul (pricipio de sustitució).4. Ecucioes lieles De cuerdo co su form y ls icógits que preset, ls ecucioes so lieles, cudrátics, cúbics, expoeciles, logrítmics, etc. A cotiució se estudi ls lieles: Guí odulr de temátic Ficier 8 Ig. rco Guchimboz

11 Ls ecucioes lieles co u vrible x tiee l form: X + b 0 dode 0 Ejemplos: E todos los csos, el objetivo es islr l icógit dejádol sol e u ldo de l ecució: ) x x x + x 8 5 4x ó... x 4 Se sum u x mbos ldos de l ecució, o como comúmete se dice: l x que está restdo se ps sumdo ldo izquierdo. T bie se rest u 5 de cd ldo, se sum los térmios semejtes y se divide etre 4, filmete el cociete es l solució de l ecució. b) x x + 5 x x x x 9x 6 x 6 9 ó... x _,8 L test o líe horizotl sobre 8, idic que éste se repite idefiidmete, si límite. Auque hy otrs opcioes, se recomied comezr elimido ls frccioes. Pr esto se multiplic los miembros por 6, el comú deomidor. Después se rest u 4, y se sum x mbos ldos de l ecució. Por último todo se divide etre 9 pr obteer l solució. c) i + 4 i + 4., i +, i 0, i 0, / 4 i 0, Guí odulr de temátic Ficier 9 Ig. rco Guchimboz

12 E este cso hy que despejr l icógit i, por lo que debe quitrse l expoete, pr esto, se obtiee l ríz docev, después se rest l uidd y luego se multiplic por 4 los dos miembros de l ecució. d) 4 70 x 5 70 x 5 x x 95 ó... x 95 4 Pr elimir l ríz curt, se elev l poteci 4, después se rest el70 y por último se multiplic por ( ). L solució de cd ecució se comprueb reemplzádol e l origil. Por ejemplo, l comprobr l últim ecució, qued sí: x LOGARITOS.5. Defiició: Es el expoete o poteci l que u úmero fijo, llmdo bse, se h de elevr pr dr u úmero ddo, e l expresió expoete A. Esto se escribe como log x Y A X A Y, el logritmo de Y e bse X es el log log 5 5.., 5 5.., Logritmos comues y turles Los vlores posibles pr l bse de u logritmo so ilimitdos, si embrgo los dos más usules so el 0 y el úmero e. Este último es proximdmete igul.788. Los primeros se cooce como logritmos comues o vulgres (log), y los segudo como logritmos turles o eperios (l) dichos logritmos se expres respectivmete como: Log 0 (x) Log(x) y Log e (x) L (x) Nosotros os limitremos l estudio de los logritmos vulgres o de bse 0 Guí odulr de temátic Ficier 0 Ig. rco Guchimboz

13 log log log log log log log , ,...0 0,...0 0, , , , ,0 00 0, 0 0, Atilogritmos o expoecició Es el úmero que correspode u logritmo ddo. Cosiste e el problem iverso l cálculo del logritmo de u úmero. y log x y Ati log y x x Es decir cosiste e elevr l bse l úmero resultdo: Ejemplo: log49,690 Ati log, Opercioes co Logritmos. El logritmo de u producto es igul l sum de los logritmos de los fctores de dicho producto. ( A B) log log A + log B log( ) log + log log(6) 0,00 + 0,477 0,7785 0,7785 Ati log 0,7785 Ati log 0, El logritmo de u cociete es igul l logritmo del umerdor meos el logritmo del deomidor log ( A/ B) log(6 / ) log A log B log6 log log() 0,7785 0,00 0,477 0,477 Ati log 0,477 Ati log 0,477 Guí odulr de temátic Ficier Ig. rco Guchimboz

14 . El logritmo de u poteci es igul l poteci multiplicd por el logritmo de l bse log A log A log0 log0 log00 Ati log Ati log TANTO POR CIENTO Es l frcció de u úmero etero expresd e cetésims. Así, 0 por cieto sigific 0/00. Normlmete se represet co el símbolo %. Los cálculos de porcetjes se utiliz meudo e l idustri y ls fizs, y e el mudo cietífico pr evlur resultdos. Culquier úmero expresdo e form deciml puede ser escrito como porcetje, colocdo simplemete el puto deciml dos lugres hci l derech y gregdo el símbolo tto por cieto (%). Frcció Comú Frcció Deciml Porcetje /4 0,5 5% /8 0,5.5% /4,75 75% 5/ 5,00 500% Pr ecotrr el Tto Por Cieto se puede relizr de dos mers Ejemplo: Ecotrr el 5% de $00.00 ) Regl de tres: % x 5% ) Form direct 0, L formul seri: C % N Dode: CCtidd Ecotrd NNumero del cul se quiere ecotrr cierto porcetje. Guí odulr de temátic Ficier Ig. rco Guchimboz

15 Ejemplo. ) El 0% de 700 es 0 porque (0/00)700 0 b) 500 es el 5% de 400 porque (5/00) c) El 40% de 70 es 8 porque (40/00) PALABRAS CLAVES Números reles Números imgirios Eteros positivos Eteros egtivos Redodeo de úmeros Expoetes Bse Rdicl Deomidor Ecucioes Icógit Tto por cieto Logritmos Atilogritmos.8 PREGUNTAS DE REPASO ) Cuál es el cocepto de redodeo de úmeros? ) Idique dos propieddes de rdicles ) Qué es porcetje? 4) Cómo se expres el porcetje e form deciml? 5) Cómo se clcul el tto por cieto de u ctidd? 6) Qué so los logritmos eperios.9 EJERCICIOS PROPUESTOS E los siguietes problems despeje l icógit: ) 4 x O ) 5x 4 x/ ) 0,x 0,8 4) Y/5 + y 4/ 5) (/4) (x ) 5 x E los siguietes problems complete l frse ) 84,5 es. % del % de,50 ) El 98% de 98 es ) El 5% de Es 05,8 Guí odulr de temátic Ficier Ig. rco Guchimboz

16 4) es el 90% de 705 5) Cuáto se pg por u trje que tiee el 5% de descueto y su precio es de $ 4.750? 6) Cuál es el precio de u utomóvil uevo si el ño psdo costb $ y subió u 5,08%? Determie el porcetje de vrició pr los siguietes ejercicios: ) Los iterese se redujero de $ $ ) L tempertur mbietl umetó de 8, C e el occidete del pís. ) Ls exportcioes de u fábric de rtesís umetro de 5 9,5 milloes de pesos ules. 4) El úmero de profesores que tiee u posgrdo e el deprtmeto de mtemátics creció de 9. E los siguietes problems utilice clculdor ) Cuál es el úmero cuyo logritmo turl es,45? ) A qué es igul el logritmo turl de 04? ) Cuáles el vlor de l bse si log (8) 4. 5? 4) A qué es igul el logritmo deciml de,9? 5) Cuál es el úmero N cuyo logritmo bse 7 es 4,8? Despeje l icógit e los siguietes problems, utilice clculdor si es ecesrio. ) 9 + x x x ) (,008) ) l,8 x 4) Log (x),5 5) L (48,5) L (x 4) BIBLIOGRAFIA temátic Ficier, José Luis Villlobos, dedició temátic Ficier, Frk Ayres,Jr. Colecció Schum L Bibli de ls temátics Guí temátic Ficier, River Dooso, Septiembre 007 Guí odulr de temátic Ficier 4 Ig. rco Guchimboz

17 UNIDAD II UNIVERSIDAD TECNICA DE ABATO SERIES Y PROGRECIONES Ls Progresioes o sucesioes se emple e l resolució de ejercicios que tiee que ver co l trsfereci de cpitles e prtids sucesivs, como l mortizció de créditos, ls comprs plzos, l ret de vivieds o ls iversioes co depósitos periódicos. OBJETIVOS DE LA UNIDAD Coocer coceptos de progresioes Aplicció de progresioes ritmétics y geométrics. DEFINICION DE PROGRECIONES L Progresió o sucesió es el cojuto ordedo de úmeros, llmdos Térmios de l sucesió y se deot co dode le subídice idic l posició del térmio., A prtir de es defiició, se dice que l sucesió e geerl se represet como:,..., es el primer térmio, el segudo, y sí sucesivmete. Si el último térmio prece e l expresió, es u sucesió fiit; si o prece, es ifiit Etre los tipos más importtes de sucesioes se ecuetr ls sucesioes ritmétics (tmbié coocids como progresioes ritmétics) y ls sucesioes geométrics (tmbié coocids como progresioes geométrics), e ls que l rzó etre dos térmios sucesivos es costte Ejemplo. Sucesió, vets ules de u exportdor: Ls vets ules de l exportdor de Cítricos y Derivdos, SA e los últimos 7 ños so: 6807,5; 8,0; 8,60; 9,70; 0,5 y,45 Ctiddes que represet u sucesió, dode el primer térmio es 6 80, el segudo es 7,5 y el último es 7, 45. Guí odulr de temátic Ficier 5 Ig. rco Guchimboz. Ejemplo. Sucesió, ts de redimieto ul de los CETES L ts de redimieto ul de los CETES, (Certificdos de l Tesorerí de l Federció, 8 dís, durte ls sems compredids etre julio y septiembre de 997 correspodió los siguietes porcetjes: 0,90; 0,5; 9,95; 9,5; 8,80; 7,70; 8,5; 8,7; 9,0; 9,58y 7,7 Vlores que costituye u sucesió, cuyo primer térmio es 0 90 el segudo es 0,5 el oveo es 9, 9 0 y el udécimo es 7, 7.. Es comú expresr los térmios de ls sucesioes medite u fórmul e fució de o culquier otro literl, l cul se reemplz sucesivmete por los úmeros eteros positivos,,,.... PROGRESIONES ARITETICAS. Secueci ifiit de úmeros llmdos térmios, dode cd térmio es igul l terior más u costte d llmd difereci.

18 ), 4, 6, 8, 0, ) 7, 4,, 8,. Así teemos que el primer cso el úmero sumrse es el (), mietrs que e el segudo cso l el úmero es ( ). er termio ddifereci úmero de térmios último térmio Escribimos u progresió ritmétic e form geerl: er téremio do térmio ro térmio ( to 4 térmio ( + d + d) + d + d) + d + d + d E cosecueci progresioes ritmétics os quedrí de l siguiete form:, +d, +d, +d,. Si tuviérmos u progresió de térmios el último térmio seri: + ( ) d Ejemplo. Clculr el décimo térmio de l siguiete progresió ritmétic., 6, 9,, ( ) d d + ( ) d ( )? 0 Ejemplo. 0 Los primeros térmios de l progresió, 5 + so: 5( ) + 6; 5( ) + ; 5( ) + 6; 4 5( 4) + ; 5 5( 5) + 6 El ejemplo terior es u progresió ritmétic, y que cd térmio es igul l terior más 5, l difereci comú es 5. Ejemplo. Cuáles so los primeros tres térmios de l progresió ritmétic si el curto es 4 y el octvo es 8 7 Solució: Como se muestr e l figur siguiete, l difereci etre los térmios curto y octvo es igul 4 veces l difereci comú Guí odulr de temátic Ficier 6 Ig. rco Guchimboz

19 Por tto, d 7 4d 4d 4 + (5 ) d + (4) d 4 d 4 7 d... ó.. d,5 Los térmios teriores l curto, es decir los tres primeros se obtiee restdo sucesivmete l difereci. 4 d,5 9,5 d 9,5,5 6,. y d 6,5,5 E l mism figur los putos suspesivos idic que los térmios cotiú idefiidmete, se observ que pr obteer culquier térmio, se debe sumr l primero ( ) veces l difereci comú. Esto quiere decir que pr clculr el quicugésimo térmio se debe hcer lo siguiete: 50,5 + (50 )(,5) 74 Ejemplo 4. Ecuetre el vigésimo curto térmio de l progresió ritmétic 0, 4... Solució: Puesto que + d, l difereci es d, es decir d 4 0 o d 6. El Vigésimo curto térmio será: + ( ) d 0 + ( 4 )( 6) (4 )( 6) Ejemplo 5. Vlor de u térmio Obteg el vlor de x e l progresió ritmétic, x, 5,... Guí odulr de temátic Ficier 7 Ig. rco Guchimboz

20 Solució: L difereci etre el primero y el tercero es igul veces l difereci comú d, es decir: d 5 ( ), d 8 De dode d 8/ o d9 Por tto, x es igul l primero más l difereci x +9 o x 6.. Sum de los primeros térmios T útil como el eésimo térmio de ls progresioes ritmétics es l sum de los primeros térmios, est sum recibe el ombre de serie. Puesto que cd térmio es igul l terior más u costte d, tmbié es cierto que cd uo es igul l que le sigue meos d. Represetremos por S l sum de térmios de u progresió ritmétic, S + ( + d) + ( + d) ( d) + ( d) + d Si ivertimos el orde de est expresió: S d + ( d) + ( d) ( + d) + ( + d) + S S ( ( + + ) + ( ) + ) ( + ) + ( + ) Summos térmio térmio ests expresioes y tedremos, S ( + ) Sum de () térmios de u progresió ritmétic [ + + ( )d] S S [ + ( )d] Sum de () térmios cudo se descooce el último termio Ejemplo. Sum de térmios de u serie ritmétic Se dese ecotrr l sum de los primeros 0 térmios de l serie ritmétic: ( 8) + ( 4) +,... Solució: L difereci comú es + ( 4) ( 8) 4, el primer térmio es 8 y 0, etoces l sum es: S S ( ) 600 [ ( 8) + (0 )4] d Guí odulr de temátic Ficier 8 Ig. rco Guchimboz

21 Ejemplo Los primero 0 térmios e u serie ritmétic sum 75 y el primero es 5. Se dese obteer el décimo. Solució: 0 75 ( ) 75 5( 5 + )..divide etre Por lo que el décimo térmio es 0 0. PROGRESIÓN GEOÉTRICA. E mtemátics, sucesió de úmeros tles que l proporció etre culquier térmio (que o se el primero) y el térmio que le precede es u ctidd fij llmd rzó. Por ejemplo, l secueci de úmeros, 4, 8, 6,, 64, 8 es u progresió geométric co rzó, u progresió geométric se puede describir utilizdo l siguiete otció. U progresió geométric se puede describir utilizdo l siguiete otció: Primer térmio r Rzó Número de térmios Ultimo térmio U progresió geométric fiit de 5 térmios se escribe formlmete como: 4 5 er ro to to tére mi o do tér mi o tér mi o ( tér mi o ( tér mi o ( r r)r r r r )r r )r r 4 Esto sigific que u progresió geométric se escribirí: 4, r, r, r, r,..., r E geerl, si el térmio eésimo de u progresió geométric es que: r., se deduce de l defiició Ejemplo.Térmios de u progresió geométric Los primeros seis térmios de l progresió geométric co 4, el primer térmio, y r /, l rzó comú, so: Guí odulr de temátic Ficier 9 Ig. rco Guchimboz

22 (/ ) (/ ) (/ ) / (/ )(/ ) (/ 4)(/ ) / 4 / 8 Dode cd uo se obtiee multiplicdo el terior por l rzó r ½ Ejemplo. Cálculo del vlor de u térmio de u sucesió geométric Ecotrr el curto y el décimo térmio de l sucesió geométric,,... Solució: L rzó es: r UNIVERSIDAD TECNICA DE ABATO El curto térmio es igul l tercero multiplicdo por l rzó, y éste es igul l segudo por l rzó, es decir: ( (r) r)r..ó... ( /) 4 (r) 8/9...porque.. Pr llegr l décimo, el curto se multiplic 6 veces por l rzó (r) 6 (8/9)( /) 6 5/6.56 0, proximdmete Ejemplo. Cálculo del vlor de u térmio de u sucesió geométric Hllr el vigésimo térmio de l progresió geométric.0, (.0)³,... Solució: L rzó es: r (,0) /,0 (,0), el primer térmio es,0, 0, porque se pregut el vigésimo, etoces (,0)((,0) (,0)(,0) (,0) 9 8 ) 0-, proximdmete.. Sum de los primeros térmios L primer ecució de ls dos siguietes es l sum de los primeros térmios de u progresió geométric. L segud ecució se obtiee multiplicdo l primer por ( r). Después mbs se sum. S + r + r r + r + r - rs r r r... r r r Guí odulr de temátic Ficier 0 Ig. rco Guchimboz

23 Note que l multiplicr por ( r) se sum los expoetes de r e l primer ecució y, co excepció de y, todos los térmios se ccel l sumr ls dos ecucioes. Después, se fctoriz S e el miembro izquierdo de l ecució que resultó y e el derecho, es decir, S ( r) ( r ) ( r ) S r Est ecució o es válid pr r, y que o existe l divisió etre cero, pero si r todos los térmios so igules y l sum será simplemete S Ejemplo. Sum de térmios, de u progresió geométric Se dese obteer l sum de los primeros 5 térmios de l progresió geométric si el decimoquito y el decimoctvo so respectivmete y 6. Solució: El décimo quito térmio es 5, pr llegr l decimoctvo se multiplic éste veces por l rzó, esto es: r 8 ( r)( r)( r) 6 Por lo que l dividir etre y scr l ríz cúbic, esto qued como r 8, r 8, r Se reemplz:, 5, r, pr hllr l 4 () de dode 5 4 l sum de los primeros 5 es, por tto, r S S S ,00007('544.4) 4.096( redodedo) Es importte señlr que cudo el térmio es u porcetje myor o meor que el que precede, l sucesió será geométric. Ejemplo. Cálculo del vlor de u térmio y l sum de térmios determidos. Se pretede obteer el decimosexto térmio y l sum de los primeros térmios 6 de l progresió, dode cd térmio es 5% myor que el terior y el primero es 80. Solució: Guí odulr de temátic Ficier Ig. rco Guchimboz

24 ) El segudo, puesto que el primero es 80, es: + 0,05..l 5% se expres 0,05 ( + 0,05).. ó (,05) El tercer es + 0,05 (,05) ( (,05))(,05) (,05) y el decimosexto, puesto que l rzó es r.05, será: (,05) 80(,05) ó 66,454 b) L sum de los primeros 6 es S S S S 6 ( r ) r 6 (,05) 80,05 80(, ).89,5994 Note que l rzó r, e l progresió geométric es r + v, dode v represet el porcetje e que se icremet los térmios.4 PALABRAS CLAVES Sucesioes Progresió geométric Progresió ritmétic Secueci Difereci Rzó Series.5 PREGUNTAS DE REPASO. Que es u progresió ritmétic?. Qué es u progresió geométric?. Que sigific serie? 5. Cuál es l fórmul de l sum de u progresió ritmétic? 6. Cuál es l fórmul de l sum de u progresió geométric cuy rzó es myor que BIBLIOGRAFIA temátic Ficier, José Luis Villlobos, dedició temátic Ficier, Frk Ayres,Jr. Colecció Schum Guí odulr de temátic Ficier Ig. rco Guchimboz

25 UNIDAD III UNIVERSIDAD TECNICA DE ABATO INTERES Y DESCUENTO SIPLE Tods ls ctividdes ficiers descs e l costumbre de pgr iterés por el uso de diero prestdo. L myor prte de los igresos de los bcos y ls compñís iversioists, se deriv de los itereses sobre préstmos. E geerl tods ls opercioes comerciles está relciods co los itereses sobre los cpitles de operció. Tod perso que obtiee u préstmo qued obligd pgr u iterés por el uso del diero formdo e préstmo. OBJETIVOS DE LA UNIDAD Coocer el cálculo del iterés simple Coocer el cálculo de ls vribles: cpitl, ts de iterés, tiempo Relizr ejercicios prácticos de plicció. DEFINICION INTERES SIPLE Es el beeficio que se obtiee l efectur u préstmo de u ciert ctidd de diero y bjo cierts codicioes de tiempo y ts de imposició. Los elemetos que iterviee e el iterés simple so: Iterés Simple (I) Cpitl (C) Ts de iterés (i) Tiempo o periodo ul (t) oto () Número de prtes e que se divide el ño () Codicioes: L ts debe estr expresd e ts ul; e el cso de que l ts esté expresd e frccioes de ño, es decir: ts mesul, bimesul, trimestrl, etc. Pr efectur ls opercioes de cálculo, ls tss meciods se trsform ts ul. El cálculo de iterés simple viee ddo por l siguiete expresió: I C t i El moto está ddo por l siguiete expresió: C + I C + C t i C( + t i) Guí odulr de temátic Ficier Ig. rco Guchimboz

26 Ejemplo. Clculr el iterés Simple y el moto de u cpitl de $ 5000 u ts de iterés l 8% ños: C 5000 I C t i C + I C( + t i) I 8% t ños I 500 0, ( + 0,8) I ( + 0,54) Ejemplo. Si u cpitl de es prestdo u ts de iterés del 7,5% ul. Qué iterés producirá e 4 bimestres? C $ t I C i t 4 bimestres 6 bimestres / ño 4 I ,075 6 i 7,5% 0,075 I $.750 Ejemplo. Cuál será l ts (i) l cul h estdo impuesto u cpitl de $ si e 05 dís h producido u iterés de $ 000? C $ I I t i t 05 C C 65dís/ ño t I $ i ,05 i? I $,0% ul. INTERES SIPLE EXACTO Y ORDINARIO El iterés simple excto se clcul sobre l bse de 65 dís e el ño o 66 e el cso de ser bisiesto. El iterés simple ordirio se clcul e bse de tiempo de 60 dís; es decir e bse l ño comercil, si bie es cierto que cudo utilizmos el ño comercil los cálculos se simplific, tmbié que el iterés v umetr. Ejemplo. Clculr el iterés simple excto y ordirio de u cpitl de $ dólres durte 90 dís u ts de iterés del 0% ul. C $0.000 t 90 dís i 0% Guí odulr de temátic Ficier 4 Ig. rco Guchimboz

27 Iterés Simple Excto I I 49, ,0 Iterés Simple Ordirio I I ,0. CALCULO EXACTO Y APROXIADO DEL TIEPO.. Cálculo excto del tiempo. Como su ombre lo idic es el úmero excto de dís tl como lo se ecuetr e el cledrio.. Cálculo proximdo del tiempo. Se hce supoiedo que cd mes tiee 0 dís. Ejemplo. Determir el tiempo excto y proximdo trscurrido desde el de myo del 005 hst el 9 de oviembre del 005 Tiempo excto Tiempo proximdo yo Juio Julio Agosto / 6 6 Septiembre 0 6 meses + 6 dís Octubre 6 (0 dís) + 6 Noviembre dís 9 dís.4 CALCULO DEL INTERES SIPLE EXACTO Y ORDINARIO CON TIEPO EXACTO Y APROXIADO Ejemplo. Clculr el iterés simple que g u cpitl de $ l % ul, del 5 de mrzo del 005 l 5 de gosto del mismo ño Solució: Tiempo excto Tiempo proximdo rzo Abril yo Juio 0 / 5 / Julio 5 mese Agosto 5 5 (0 dís) TOTAL 5 dís 50 dís Se clcul tomdo u de ls dos fechs extrems El problem propuesto puede resolverse de cutro forms: ) Iterés Simple Excto(ño cledrio), co el tiempo excto I ( ) (0,) 5/65 $ 5.50,68 b) Iterés Simple Excto(ño cledrio), Co el tiempo proximdo I ( ) (0,) 50/65 $ 4.657,5 c) Iterés Simple Ordirio (ño comercil ), co el tiempo excto I( ) (0,) 5/60 $ d) Iterés Simple Ordirio (ño comercil ), co el tiempo proximdo I ( ) (0,) 50/60 $ Guí odulr de temátic Ficier 5 Ig. rco Guchimboz

28 Como podemos precir, el iterés más lto se d e el segudo cso, co el tiempo excto y el ño comercil, y equivle 5.500; mietrs que el más bjo está ddo e el tercer cso, co el tiempo proximdo y el ño cledrio, y es igul 4.657,5. Pr opercioes bcris, el más utilizdo es el segudo Ejemplo. Clculr el iterés que g u cpitl de $ l 6% de iterés semestrl durte 80dis. I (00.000) (0.06) 80/80 $ Ejemplo. Clculr el iterés que g u cpitl de $ l % de iterés mesul durte 80 dís. I (00.000) (0.0) 80/0 $ Clculo del cpitl Ejemplo 4. Qué cpitl produjo u iterés de $ u ts de iterés de 0% ul e 80 dís? I C i t 8000 C 80, Clculo de l ts de iterés Ejemplo 5. A qué ts de iterés ul se coloc u cpitl de $80,000 pr que produzc $8,000 e 80 dís? 8000 i i 0% ul Clculo del tiempo I t C i Ejemplo 6. E qué tiempo u cpitl de $ 850,000 grá u iterés de $ 45,000 l 8% ul? t dís; 06 proximdmete t meses y 6 dís, proximdmete Ejemplo 7. E qué tiempo u cpitl de $ grá u iterés de $ l,7% mesul? 8000 t dís t 5 meses y 0 dís, proximdmete Guí odulr de temátic Ficier 6 Ig. rco Guchimboz

29 .5 PAGARES (DEUDAS) U pgré es u promes escrit de pgo de u determid ctidd de diero, co itereses o si ellos, e u fech dd, suscrit por u deudor fvor de u creedor. E u pgré iterviee los siguietes elemetos:. Plzo: Es el tiempo especificdo e el documeto. Vlor omil: es l sum estipuld e el documeto. Fech de vecimieto: Es l fech e l cul debe ser pgd l deud. 4. Vlor de vecimieto: Es l sum que debe ser pgd e l fech de vecimieto (moto). E u pgré, e el cul o se estipule itereses, el vlor de vecimieto es igul l vlor omil. Si se especific el cobro de itereses e ese cso siempre el vlor de vecimieto será myor que el vlor omil. Pr determir l fech de vecimieto procedemos como sigue: ) Si el plzo está ddo e meses, el tiempo se determi de form proximd. b) Si el plzo está ddo e dís se clcul de form exct. Si embrgo, trbjremos siempre co el iterés simple ordirio (t/60) Ejemplo : U pgre se firm el 5 de bril co vecimieto e 5 meses por $ 0,000 u iterés del 8% ecotrr l fech de vecimieto y el vlor de vecimieto. t 5 meses C$ 0,000 I8% Fech de vecimieto: 5 de septiembre, Vlor de vecimieto: (método de lgrto) C( + i t) 0,00 + (0.08 0,00 0, ( + 0.0) ).6 DIAGRAAS DE TIEPO Y VALOR ACTUAL L gráfic de tiempos, cosiste e u líe rect e l cul se coloc los siguietes dtos: Bjo l líe: fech de suscripció, fech de egocició o de descueto y fech de vecimieto del documeto u obligció. E l gráfic se puede observr y clculr co fcilidd el tiempo compredido etre l fech de egocició y l de vecimieto, que es el tiempo pertiete pr el cálculo del vlor ctul. Guí odulr de temátic Ficier 7 Ig. rco Guchimboz

30 Sobre l líe: vlor omil, vlor ctul o precio y vlor del vecimieto o moto, como se observ e l gráfic: Vlor omil Vlor ctul moto Eero rzo 5 Julio Fech de suscripció Fech de egocició Fech de vecimieto Est gráfic es muy útil pr el pltemieto y resolució de problems de vlor ctul y otros tipos de problems e mtemátic ficier..6. Vlor ctul o presete L logitud de u escler es l mism cotd de rrib bjo como de bjo rrib. El vlor futuro (), puede cosiderrse como l cim vist desde bjo y el vlor ctul (C) como el fodo visto desde rrib. El vlor ctul de u ctidd co vecimieto e el futuro, es el cpitl que u tipo de iterés ddo, e períodos tmbié ddos, scederá l sum debid. Si coocemos el moto pr tiempo y ts ddos, el problem será etoces hllr el cpitl, e relidd o es otr cos que el vlor ctul del moto Existe dos csos e el cálculo del vlor ctul: ) Cudo se cooce el vlor de vecimieto o moto b) Cudo hy ecesidd de clculr el moto Fórmul pr clculr el vlor ctul: Ejemplo. Clculr el vlor ctul, l dí de hoy, de u documeto de $ 50,000 que vece e 0 dís plzo. Cosiderdo co u ts de iterés del 8% ul C ,6 ( + i t) 0 + ( 0,8) 60 E el mismo ejercicio, cosider el cálculo del vlor ctul, 90 dís tes del vecimieto C $4.540, ( 0.8) 60 El pltemieto y l solució grfic so: C( + i t)... VlorFutur o C... VlorActu l ( + i t) Guí odulr de temátic Ficier 8 Ig. rco Guchimboz

31 Ejemplo. El 5 del mrzo se suscribió u documeto de $ cotr el vecimieto de 80 dís plzo l % mesul. Clculr su vlor ctul l de gosto del mismo ño, cosiderdo u ts de iterés del 8%ul. Se plte el problem e form grfic y se sitú los dtos pr l solució del problem: $ C $ $ de mrzo de gosto de septiembre.7 DESCUENTO Es el proceso de deducir l ts de iterés u cpitl determido pr ecotrr el vlor presete de ese cpitl cudo el mismo es pgble futuro. Del mismo modo, plicmos l plbr descueto l ctidd sustríd del vlor omil de l letr de cmbio u otr promes de pgo, cudo cobrmos l mism tes de su vecimieto. L proporció deducid, o ts de iterés plicd, es l ts de descueto. L operció de descotr form prte de ls ctividdes ormles de los bcos. A estos cude los clietes cobrr ticipdmete el moto de ls obligcioes de sus creedores; los bcos etreg dichs ctiddes cmbio de reteer tss de descueto, esto form prte de sus igresos. Los bcos comerciles, su vez, ecesit descotr documetos, e este cso, so tomdos por el bco cetrl, tl operció es deomid, redescueto..7. Descueto Simple Es l operció ficier que tiee por objeto l represetció de u cpitl futuro por otro equivlete co vecimieto presete, trvés de l plicció de l fórmul del descueto simple. Es u procedimieto iverso l de cpitlizció Los procedimietos de descueto tiee u puto de prtid que es el vlor futuro coocido () cuyo vecimieto quisiérmos deltr. Es ecesrio coocer ls codicioes de est ticipció: durció de l operció (tiempo y el cpitl futuro) y l ts de iterés plicd.7. Descueto Simple U Ts de Iterés (rciol) L difereci etre l ctidd pgr y su vlor ctul recibe el ombre de descueto rciol o mtemático. Clculmos el descueto rciol, determido el vlor ctul de l sum l ts idicd y restdo este vlor ctul de dich ctidd. El resultdo es el descueto rciol. Guí odulr de temátic Ficier 9 Ig. rco Guchimboz

32 El descueto rciol es el iterés simple. L icógit buscd es el vlor ctul (cpitl iicil). Es decir, el descueto rciol es igul l ctidd pgr () meos el vlor ctul [C] del cpitl. Luego: Dr C (vlor ctul) C ( + i t) C( + i t) Ejemplo : Cuál es el vlor ctul de u serie de boos que totliz $.00 y cuyo vecimieto es detro de u mes, supoiedo u ts de iterés de 6%? Cuál es el descueto rciol? Solució:.00; i 0,06; t /; C?; Dr? C( vlorctu l) ( + i t) 00 ( + (0,06)(/) 00,005 $94,0 Dr C 00 94,0 $5,97 Ejemplo : Desemos ticipr l dí de hoy u cpitl de $ co vecimieto detro de ños u ts ul del 5%. Determir el vlor ctul y el descueto de l operció ficier Solució: (V Nomil) 5.000; t ; i 0,5; C?; Dr? C ( + 0,5) $.846,5 Dr ,5 $.5, Descueto Simple U Ts de Descueto (Bcrio) E este tipo de descueto, los itereses so clculdos sobre el vlor omil (VN) empledo u tipo de descueto d. Por est rzó, debemos determir primero el descueto Db y posteriormete el vlor ctul VA o cpitl iicil. El cpitl iicil es obteido por difereci etre el cpitl fil (VN) y el descueto (Db): Dc t d C Db C ( t d ) Dode: C: vlor ctul oto (): Vlor Nomil d: Ts de descueto Guí odulr de temátic Ficier 0 Ig. rco Guchimboz

33 Ejemplo UNIVERSIDAD TECNICA DE ABATO Hllr el descueto simple sobre u deud de $.500 co vecimieto e 9 meses u ts de descueto de 6% Cuál es el vlor ctul de l deud? Solució:.500, d0,06, t9//4 Db t d.500( 0,06) $67,50 4 C Db ,50 $4,50 Ejemplo: U bco crg el 6% de iterés por deltdo (6% de descueto simple). Si X firm u documeto por $,000 5 meses. Qué ctidd recibe el bco? y Qué ts de iterés simple pgr X? Solució: 000, d 0,06, t 5/; 5 C ( t d ) 000( 0,06) 000(0,975) $.950 Recibirá del bco X pg $50 de iterés por el uso de $,950 durte 5 meses por lo tto; De I C i t I 50 i 0,0654 *00 6,5% proximd mete C t Descueto de Pgres. U pgre puede ser vedido u o más veces tes de l fech de vecimieto. Cd comprdor descuet el vlor del documeto l vecimieto desde l fech de l vet hst l fech de vecimieto su ts de descueto figd. Ejemplo : El señor Jime Grcí firmo u pgre orde de Ju Pérez, el de eero de 007, por $000 u ts de iterés del 4% y u plzo de 8 meses. Si se vede dicho pgre l señor Toms rtíez, 5 meses tes del vecimieto, l ts de iterés de 8%, cuál es el importe de dich vet? Solució: U digrm de tiempo será de utilidd: + Iterés 8 meses l 4% / /4 /9 Vlor omil $,000 Importe de l vet $,977. Descueto por 5 meses l 8% Vlor l vecimieto $,080 ) Iterés sobre $000 l 4% durte 8 meses I Cit 000(0,04)(/) $80 Vlor l vecimieto $.080 Guí odulr de temátic Ficier Ig. rco Guchimboz

34 b) El periodo de descueto es 5 meses. Descueto sobre los $.080 l 8%, por 5 meses Db.080(0,08)(5/) $0,67 Importe de l vet.080 0,67 $977, Por lo que Toms rtíez le pg Pérez $977, y obtiee l posesió del documeto. Si rtíez le coserv hst el vecimieto (º de septiembre) recibirá de Jime Grcí el vlor l vecimieto, o se $ TASA DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES Si el tipo de iterés (i) utilizdo e el descueto rciol coicide e úmero co el tipo de descueto (d) plicdo pr el descueto comercil o bcrio, el resultdo o es el mismo porque estmos trbjdo sobre cpitles diferetes pr el cálculo de itereses; rzó por l cul el descueto comercil será myor l descueto rciol (DB > DR). Pr hcer comprcioes, buscr u relció etre tipos de iterés y de descueto que os resulte idiferetes u modlidd u otr; es ecesrio, ecotrr u ts de descueto equivlete uo de iterés, pr lo cul deberá cumplirse l iguldd etre mbs: DC Db. Ls fórmuls que os permite cumplir co est codició so i d + t i Fórmul que os permite coocer d prtir de i. d i t d Fórmul que os permite coocer i prtir de d. Ests fórmuls so de plicció sólo co tss periódics; quells tss utilizds e determido período pr clculr el iterés. L relció de equivleci etre tss de iterés y descueto, e el iterés simple, es u fució temporl, esto quiere decir, que u ts de descueto es equivlete tts tss de iterés como vlores tome t de l operció y l ivers (o hy u relció de equivleci úic etre u i y u d) Ejemplo. Clculdo l ts de descueto Si cosidermos e el ejemplo terior que os dice: 4, Desemos ticipr l dí de hoy u cpitl de $ 5000 co vecimieto detro de ños u ts ul del 5%. Clculr l ts de descueto ul que hg equivletes mbos tipos de descueto Solució: i 0.5; d? º Clculmos l ts de descueto ul equivlete: d + i t i Guí odulr de temátic Ficier Ig. rco Guchimboz

35 º Luego clculmos el vlor ctul y el descueto cosiderdo como ts de iterés el 5% (descueto rciol): 5000 C $.846,5 + (0,5) Dr $.5,86 º Clculmos el vlor ctul y el descueto cosiderdo l ts de descueto ecotrd del.54% (descueto comercil): Db 5000**0,54 $.5,86 C U.846 o tmbié: C 5000( *0,54) U PALABRAS CLAVES Iterés Cpitl Ts Tiempo oto Vlor Nomil Vlor Actul Descueto Vecimieto.0 PREGUNTAS DE REPASO. Cuál es l difereci etre ts de iterés e iterés?. Cuál es l difereci etre tiempo excto y tiempo proximdo?. Cuál es l fórmul del iterés? 4. Cómo se clcul el iterés? 5. Cudo se clcul el iterés simple de u determido cpitl co u ts de iterés semestrl, y el tiempo e dís, etre cuáto debe dividirse el tiempo e l fórmul del iterés simple? BIBLIOGRAFIA temátic Ficier, José Luis Villlobos, dedició temátic Ficier, Frk Ayres,Jr. Colecció Schum temátic Ficier, Armdo or Zmbro L Bibli de ls temátics Guí odulr de temátic Ficier Ig. rco Guchimboz

36 UNIDAD IV ECUACIONES DE VALOR OBJETIVOS DE LA UNIDAD Coocer el pltemieto de u ecució de vlor Estblecer l fech focl Resolver u ecució de vlor Aplicr ls ecucioes de vlor e problems prácticos Resolver u comprció de oferts pr comprr y veder 4. DEFINICIÓN So quells que se utiliz pr l resolució de problems de mtemátics ficiers e que se reemplz u cojuto de obligcioes, co diferetes fechs de vecimieto, por uo o vrios vlores co otr(s) fech(s) de refereci, previo cuerdo etre el creedor y el deudor. Se emple pr cosolidr o reemplzr dos o más deuds por u sol. Tmbié se utiliz pr el cálculo del moto de u serie de depósitos y pr clculr el vlor ctul de u serie de pgos. Aplicció de ls ecucioes de vlor Ls pliccioes de ls ecucioes de vlor se orgiz e cutro tipos: ) Remplzr u cojuto de obligcioes o deuds por u solo pgo b) Comprció de oferts pr comprr o veder c) Cálculo del moto de u serie de depósitos sucesivos corto plzo. d) Cálculo del vlor ctul o presete de u serie de pgos sucesivos corto plzo. 4. REPLAZAR UN CONJUNTO DE OBLIGACIONES O DEUDAS POR UN SOLO PAGO Ejemplo U empres tiee ls siguietes obligcioes o deuds: I $ dís plzo $ dís plzo $ dís plzo t $ dís plzo L empres dese remplzr sus obligcioes por u solo pgo 80 dís plzo, cosiderdo u ts de iterés del 8% ul. Clculr el vlor del pgo úico. Se tom como fech focl los 80 dís, que es l fech de pgo cosoliddo de tods ls deuds. Ls dos primers deuds los 60 y 0 dís y h vecido, por tto, debe Guí odulr de temátic Ficier 4 Ig. rco Guchimboz

37 clculrse como moto; mietrs que ls otrs deuds, los 40 y 00 dís, se pg por ticipdo, por lo que debe clculrse como vlor ctul presete. Se tom como fech focl los 80 dís, que es l fech de pgo cosoliddo de tods ls deuds. Ls dos primers deuds los 60 y 0 dís y h vecido, por tto, debe clculrse como moto; mietrs que ls otrs deuds, los 40 y 00 dís, se pg por ticipdo, por lo que debe clculrse como vlor ctul presete. Clculdo los tiempos e dís: Se puede plter l ecució de vlor: X ( + 0,8 (0/60)) ( + 0,8 (60/60)) / + 0,8 (60/60) / + 0,8 (0/60) X , ,7 X $.59.49,58 Se puede resolver co u ts de descueto y co vlores efectivos: X ( 0,8 (60/60)) ( 0,8 (0/60)) X X $ Ejemplo. U perso debe tres pgrés. Uo de $ dís de plzo; otr de $ dís de plzo y u tercero por $ dís plzo; l perso dese remplzr ests tres deuds por u sol, co vecimieto e 0 dís de plzo. Si se le plic u ts de iterés de 8%ul, clculr el vlor del uevo pgré. Guí odulr de temátic Ficier 5 Ig. rco Guchimboz

38 Se X el vlor del uevo pgré y 0 dís l fech focl, por ser l uev fech de pgo coveid. E cosecueci, como todos los vlores tiee fech de vecimieto posterior l fech focl, deberá pgr iterés hst los 0 dís: Etoces se tiee: X [[ (0/60)] [+ 0.8 (90 / 60)]] [ (0/60)] X $ COPARACIÓN DE OFERTAS PARA COPRAR VENDER Pr seleccior l mejor ofert, y se pr comprr o pr veder, se tom como fech focl el tiempo cero o vlor ctul de tods ls oferts. Ejemplo El propietrio de u terreo recibe tres oferts pr l vet; l primer, $ l cotdo y $ u ño plzo; l segud, $ l cotdo y dos letrs de $ y 6 meses de plzo, respectivmete; y l tercer, $ l cotdo, Cuál de ls tres oferts le coviee ceptr, si se cosider u ts de iterés de % mesul? Como se idic e el grfico, uestr fech focl debe ser el dí de hoy pr poder relcior cd ofert, puesto que se clculrá como vlores ctules. x / + 0,0 () x ,6 $ ,6 x / + (0.0) (5) / + (0.0) (6) x , ,4 $ 88.6,88 Guí odulr de temátic Ficier 6 Ig. rco Guchimboz

39 x /l + (0,0) () / + (0,0) (9) x , ,76 $ 80.7,46 Respuest: l segud ofert, por ser l de myor vlor 4.4 CÁLCULO DEL ONTO DE UNA SERIE DE DEPÓSITOS SUCESIVOS A CORTO PLAZO Cudo se d el cso de u serie de depósitos sucesivos de igul vlor corto plzo, se utiliz l fech focl l térmio de los depósitos. Ejemplo. U perso reliz depósitos de $ mesules durte tres meses, e u istitució ficier que recooce u ts de iterés de % mesul. Clculr el moto que cumulrá l fil de los tres meses ( (60/0)) ( (0/0)) $ CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL O PRESENTE DE UNA SERIE DE PAGOS SUCESIVOS A CORTO PLAZO Ejemplo. U perso reliz u serie de tres pgos mesules de $ pr ccelr u deud, co u ts de iterés de % mesul. Clculr el vlor origil de l deud. x / (0/0) / (60/0) / (90/0) x 48.54, , ,56 $ 4.585,06 Guí odulr de temátic Ficier 7 Ig. rco Guchimboz

40 Ejemplo. UNIVERSIDAD TECNICA DE ABATO U perso reliz pgos mesules de $ e form deltd durte tres meses, pr cubrir u deud. Clculr el vlor pgdo de l deud si se plic u ts de iterés de % mesul por deltdo. x / (0/0) / (60/0) x , ,8 $ 45.7, PALABARAS CLAVES Ecucioes de vlor Acreedor Deudor Depósitos Obligcioes Pgos sucesivos Fech focl Fech de vecimieto BIBLIOGRAFIA temátic Ficier, Armdo or Zmbro Guí odulr de temátic Ficier 8 Ig. rco Guchimboz

41 UNIDAD V UNIVERSIDAD TECNICA DE ABATO INTERÉS COPUESTO El cocepto y l fórmul geerl del iterés compuesto es u potete herrmiet e el álisis y evlució ficier de los movimietos de diero. El iterés compuesto es fudmetl pr eteder ls mtemátics ficiers. Co l plicció del iterés compuesto obteemos itereses sobre itereses, esto es l cpitlizció del diero e el tiempo. Clculmos el moto del iterés sobre l bse iicil más todos los itereses cumuldos e períodos teriores; es decir, los itereses recibidos so reivertidos y ps covertirse e uevo cpitl. OBJETIVOS DE LA UNIDAD Coocer y mejr los coceptos de cpitlizció y ts de iterés por períodos de cpitlizció. Coocer y mejr l fórmul del moto de iterés Coocer y plicr el cocepto de vlor ctul Resolver problems de iterés compuesto plicdo ecucioes de vlor 5. DEFINICION Es el iterés de u cpitl l que se v cumuldo los réditos pr que produzc otros. El iterés compuesto se difereci del iterés simple e que éste clcul los itereses por u sol vez, mietrs que e quél el iterés se v cumuldo l cpitl periódicmete es decir, los itereses se cpitliz. Geerlmete, el iterés simple se utiliz corto plzo, hst u ño, y el iterés compuesto lrgo plzo, más de u ño. 5. CONCEPTOS DE INTERÉS COPUESTO E el cálculo del iterés compuesto se debe tomr e cuet ls vribles i y, correspodietes l ts de iterés por periodo de cpitlizció (i) y el úmero de períodos de cpitlizció () Período de cpitlizció (). Se deomi periodo de cpitlizció, l espcio de tiempo e el que el iterés se dicio o cumul l cpitl. Este periodo puede ser ul, semestrl, trimestrl, mesul, etc. Ts de iterés (i). sigific l ts diri, mesul, bimestrl, trimestrl, semestrl, ul, etc.; depediedo de sí l cpitlizció es cd dí, mes, bimestre, trimestre, semestre, ño. Frecueci de Coversió (p). El úmero de veces que el iterés se covierte e u ño, ejemplo: mesul p veces, semestrl p veces. Guí odulr de temátic Ficier 9 Ig. rco Guchimboz

42 5. TASA DE INTERES POR PERIODO DE CONVERSION Y NÚERO DE PERIODOS DE CONVERSION E l myor prte de ejercicios se d el cso de que l ts de iterés y los periodos de coversió se expres de l siguiete mer Ts de iterés por periodo ts ul de iterés j de coversió frecueci de coversió p Tmbié es importte ecotrr el úmero de periodos de coversió que se expres por Numero de periodos úmero de ños x l frecueci de coversió x p de coversió Ejemplo: Sí ivertimos u ctidd durte 5½ ños l 8% covertible semestrlmete, obteemos: El período de coversió es: 6 meses L frecueci de coversió será: (u ño tiee semestres Ts de iterés por periodo ts ul de iterés 0,08 de coversió 0,04 frecueci de coversió Etoces el úmero de períodos de coversió es: (úmero de ños)*(frecueci de coversió) 5½ x 5.4 FORULA DEL ONTO DE INTERES COPUESTO El moto de u cpitl iterés compuesto, o moto compuesto, es el vlor del cpitl fil o cpitl cumuldo después de sucesivs dicioes de los itereses. A l difereci etre el moto compuesto y el cpitl origil se le cooce como iterés compuesto, es decir: ( i) C + I C L fórmul del moto tmbié puede expresrse tomdo e cuet los períodos de cpitlizció meores de u ño: semestrl, trimestrl, bimestrl, mesul, diri o cotiú. C + j p p moto C Cpitl iicil j ts de iterés omil cpitlizble vris veces Guí odulr de temátic Ficier 40 Ig. rco Guchimboz

43 p úmero de cpitlizcioes e el ño úmero de ños (t) Ejemplo. Clculr el moto iterés compuesto que produce u cpitl de $ 00,000 u ts del 0% durte 5 ños C ( + i) 00,000( + 0.0) (,488) $48.8 I $ Ejemplo. Clculr el moto de u cpitl de $ iterés compuesto durte 5 ños, si l ts de iterés es % ul cpitlizble e l siguiete form: Ts de % efectiv ( + 0,) 5 $5.468, 4 Ts de % ul cpitlizble semestrlmete 5 0, $ 58.69,54 Ts de % ul cpitlizble trimestrlmete 0, $ 6.,5 Ts de % ul cpitlizble bimestrlmete 0, $ 6.7, Ts de % ul cpitlizble mesulmete 0, $ 6.9,4 Ts de % ul cpitlizble dirimete $ 64.87, 60 Como se puede otr, cudo el período de cpitlizció umet, se icremet el moto y el iterés compuesto. Guí odulr de temátic Ficier 4 Ig. rco Guchimboz

44 5.5 TASA DE INTERÉS EFECTIVA Y TASA DE INTERÉS NOINAL Ts de Iterés Efectiv. Es quell que o sufre modificcioes lo lrgo de u ño y se deomi (i), ejemplo: 0 % ul. Ts de Iterés Nomil. Es l que se covierte o cpitlizrse más de u vez e el ño,, y se deomi (j), ejemplo: 8%, covertible trimestrlmete. Ls tss omil y efectiv so equivletes cudo produce l mism ctidd de diero l fil del ño Formul De Equivleci Ts Nomil Ts Efectiv Se dice que dos tss de iterés so equivletes si co diferetes periodos de cpitlizció produce igules itereses e el mismo plzo. Cosideremos u cpitl de $ u tiempo de ño: El moto seri: ( + i) ( + i) + i C El moto de $, l ts j co p cpitlizció e el ño, es: C + + j p j p p p + p j p Cosiderdo que los dos motos so igules, se puede plter l idetidd + i + p j p Que es l ecució de equivleci, co tss de iterés vecids. Ejemplo A qué ts efectiv de iterés equivle u ts omil de 5 % ul cpitlizble mesulmete? i?, j 5%, p + i + 0,05 + i + + i p j p (, ) i, , i 5,6897 % Guí odulr de temátic Ficier 4 Ig. rco Guchimboz