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1 Examen de Fíica-1, 1 Ingeniería Química Examen final Septiembre de 2011 Problema (Do punto por problema) Problema 1 (Primer parcial): Una lancha de maa m navega en un lago con velocidad En el intante t = 0 e deconecta el motor Suponiendo que la fuerza de reitencia del agua al movimiento de la lancha e proporcional a la velocidad f r = k v, determinar: (a) La velocidad en función del tiempo V 0 (b) Su velocidad en función de la ditancia recorrida, aí como la ditancia recorrida hata u parada = kv Determinar: (c) La velocidad media de la lancha en el trancuro del tiempo en el que la velocidad diminuye dede hata / 2 Si viajamo en una lancha cuyo peo total, incluido lo paajero, e de 400 kg a una velocidad =10m/ y comprobamo que para llegar al embarcadero con velocidad cero, tenemo que apagar el motor 20 m ante, (d) Cuánto vale k? Utiliza la ecuacione obtenida en lo apartado anteriore Solución: (a) Al deconectar el motor la única fuerza que actúa e la fuerza de rozamiento que e opone al movimiento, f r = k v Aplicando la egunda ley de Newton F = m a y teniendo en cuenta que el movimiento e reduce a una dimenión # F = ma " k v = m d v " k d t m d t = d v v (1) Integrando la Ecuación (1), lnv = k m t + c 1, (2) donde c 1 e una contante de integración Imponiendo que para t = 0, v =, entonce ln = c 1 (3) Sutituyendo la Ecuación (3) en la Ecuación (2), lnv = k m t + ln " lnv ln = k m t " ln # v & % ( = k $ ' m t

2 v = e ( k/m)t " v = e ( k/m)t (b) Para encontrar la relación entre la velocidad y la ditancia, partimo de nuevo de la egunda ley de Newton, pero expreando la aceleración en función de d x # F = ma " k v = m d v " k v = m d v d x d t d x d t " k v = m d v d x v " k m d x = d v Integrando la Ecuación (4), v = k m x + c 2, (5) donde c 2 e una contante de integración Imponiendo que para x = 0, v =, entonce c 2 = (6) Sutituyendo la Ecuación (6) en la ecuación (5) v = k m x Cuando la barca e detiene, la velocidad final vale cero, por lo que utituyendo ete valor en v encontramo el epacio recorrido x max, 0 = k m x max " x max = m k (7) (c) Primero determinamo el tiempo T que tarda en paar de a / 2, y el epacio X recorrido durante dicho intervalo Partiendo de la olución del apartado (a), 2 = v ( 0 e k/m) T # " ln 1 & % $ 2 ' ( = # k & % $ m ' ( T " T = m k ln # 1 & % $ 2 ( = m ' k ln2

3 Partiendo de la olución del apartado (b), 2 = k m X " 2 = k m X " X = m 2k La velocidad media erá el epacio recorrido dividido por el tiempo que tarda en recorrer dicho epacio m V m = X T = 2k v = 0 m k ln2 2ln2 = 0, 7213 (d) Utilizando la Ecuación (7) y depejando el valor de k, k = m = x max 20 kg = 200 kg

4 Problema 2 (Segundo parcial): Diponemo de una efera inhomogénea de radio, maa M, y denidad volúmica (r) = cr, donde c e una contante y r e la ditancia radial al centro de la efera (a) Determinar la maa de la efera en función de y c (b) Calcular el momento de inercia, repecto de un eje que pae por u centro (exprear el reultado en función de M y ) ecordar que ( y 2 + z 2 )dm + ( x 2 + z 2 )dm + ( x 2 + y 2 )dm = 2 ( x 2 + y 2 + z 2 )dm Si a dicha efera e la hace girar con una velocidad 0 y depué e coloca en una equina (ver figura), abiendo que el coeficiente de rozamiento con la pared y con el uelo e µ, calcular, expreándolo de la forma má imple poible, el valor de toda la fuerza que actúan obre la efera Solución: (a) Como la denidad depende de la ditancia al centro de la efera (imetría eférica), tomamo un dm encerrado en una corteza eférica de radio r y epeor dr, ya que en dicho volumen la denidad erá la mima r dr dv = 4r 2 dr dm = " dv = "4r 2 dr = cr4r 2 dr = 4cr 3 dr (1) Integrando la Ecuación (1) M = 4 cr 3 dr = 4c r " M = c 4 (b) La denidad no e contante, y por lo tanto no podemo coniderar la efera como una uma de dico, ya que no abemo cuánto vale el momento de inercia de cada dico (dentro de cada dico la denidad va variando) Como la denidad depende de la ditancia al centro, al igual que para la maa, la regione en la que la denidad e contante on corteza eférica, por lo que tenemo que relacionar el momento de inercia con una integral de dm ituada en corteza Ix Iz Iy Por imetría, I x = I y = I z = I Ademá I x = (y 2 + z 2 )dm, I y = ( x 2 + z 2 )dm, e I z = ( x 2 + y 2 )dm

5 Aplicando la relación ( y 2 + z 2 )dm + ( x 2 + z 2 )dm + ( x 2 + y 2 )dm = 2 ( x 2 + y 2 + z 2 )dm = 2 r 2 dm, vemo que " 3I = 2 r 2 dm I = 2 3 " r 2 dm Tomamo un dm igual que para el cálculo de la maa, por lo que el momento de inercia erá I = 2 3 r 2 dm = 2 r 2 4cr 3 dr = 2 4cr 5 dr = r6 4c = c6 I = 4 9 c 4 2 I = 4 9 M2 (c) En la figura e muetran la fuerza que actúan obre la efera Como el centro de maa no e deplaza, la uma de toda ea fuerza debe anulare, F = 0 # # F x = 0 N 2 " fr 1 = 0 (2) F y = 0 N 1 + fr 2 " mg = 0 (3) fr 2 N2 fr 1 mg N1 Ademá, como hay deplazamiento, actúa la fuerza de rozamiento máxima µn fr 1 = µn 1, fr 2 = µn 2 Sutituyendo eto valore en la ecuacione anteriore, (1) N 2 " µn 1 = 0, (2) N 1 + µn 2 " mg = 0 De la primera ecuación depejamo el valor de N 2, N 2 = µn 1, y lo introducimo en la egunda N 1 + µ µn 1 mg = 0 " N 1 ( 1+ µ 2 ) = mg " N 1 = Y utituyendo ete valor en N 2, fr 1, fr 2 mg ( 1+ µ 2 )

6 N 2 = mgµ 1+ µ 2 ( ), fr 1 = mgµ ( 1+ µ 2 ), fr 2 = mgµ 2 ( 1+ µ 2 )

7 Problema 3 (Segundo parcial): Un vehículo epacial de 200 kg paa para t = 0 por el origen de coordenada de un itema de referencia inercial Oxyz con velocidad =150 i m/ relativa al itema Tra la detonación de una carga exploiva, el vehículo e epara en tre parte A, B, y C de maa 100, 60, y 40 kg repectivamente Sabiendo que para t = 2, 5 la poicione de la parte A y B on repectivamente (555, -180, 240) y (255, 0, -120) donde la coordenada e exprean en m, determinar la poición de la parte C en ee intante Solución: Toda la fuerza implicada en la exploión on interna al itema Como no hay fuerza externa, la aceleración del centro de maa e anula, Por otra parte # # F ext = M a CM = 0 " a CM = 0 F ext = d dt p tot = 0 " p tot e conerva, donde p tot para un itema de n partícula e define como n p tot = " p i Ante de la exploión, olo teníamo una partícula, con lo que el momento total del itema vale p inicial tot = 200 kg 150 i m/ = i kg m/ Depué de la exploión, podemo coniderar que no actúan fuerza obre la parte A, B, y C, por lo que u velocidad e puede coniderar contante Si conideramo que el vehículo exploiona en el origen de coordenada, podemo calcular la velocidad y el momento de cada uno de lo fragmento por eparado Fragmento A: Maa: m A =100 kg Velocidad: v " A = 555 2, 5, 180 2, 5, 240 % $ ' m # 2, 5 & i=1 = ( 222, 72, 96) m Momento: p A = m A va =100 kg ( 222, " 72, 96) m ( ) kg m = 22200, " 7200, 9600

8 Fragmento B: Maa: m B = 60 kg Velocidad: v " B = 255 2, 5, 0 2, 5, 120 % $ ' m # 2, 5 & = ( 102, 0, 48) m Momento: p B = m B vb = 60 kg ( 102, 0, " 48) m Fragmento C: Maa: m C = 40 kg Velocidad: v C = ( v Cx, v Cy, v Cz ) m ( ) kg m = 6120, 0, " 2880 Momento: p C = m C vc = 40 kg ( v Cx, v Cy, v Cz ) m = ( 40v, 40v, 40v Cx Cy Cz) kg m El momento total del itema depué de la exploión erá entonce p final total = p A + p B + p C = v Cx, v Cy, v Cz ( ) kg m Como el momento total e tiene que conervar, igualando lo momento del itema ante y depué de la exploión llegamo a la iguiente ecuacione = v Cx v Cx = 42 m, 0 = v Cy " v Cy =180 m, 0 = v Cz v Cz = "168 m Por último, conociendo la velocidad de la partícula C, y abiendo que éta permanece contante tra la exploión, podemo conocer u poición al cabo de 2,5 x C = 2, 5 42 m =105 m, y C = 2, 5180 m = 450 m, z C = 2, 5 "168 ( ) m = " 420 m

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