EJERCICIOS DE MATRICES, DETERMINANTES Y PROBLEMAS. 1. (2001) De las matrices,,,

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1 EJERCICIOS DE MATRICES, DETERMINANTES Y PROBLEMAS SELECTIVIDAD 1. (2001) De las matrices,,, determina cuáles tienen inversa y en los casos en que exista, calcula el determinante de dichas matrices. 2. (2001) Considera, y a) Determina el rango de A en función del parámetro a. b) Discute en función de a el sistema, dado en forma matricial AX = B. c) Resuelve AX = B en los casos en que sea compatible indeterminado. 3. (2001) Sea. Para qué valores de x existe la matriz inversa de A?. Calcula dicha matriz inversa. 4. (2001) Considera la matriz a) Siendo I la matriz identidad 3 x 3 y O la matriz nula 3 x 3, prueba que A 3 + I = O. b) Calcula A (2001) Se sabe que la matriz verifica que det(a) = 1 y sus columnas son vectores perpendiculares dos a dos. a) Calcula los valores de a y b. b) Comprueba que para dichos valores se verifica que A 1 = A t donde A t denota la matriz traspuesta de A. 4. (2001) Determina la matriz X tal que AX 3B = O, siendo y 5. (2001) Considera la matriz a) Calcula el determinante de las matrices: 2A, A 31 y (A 31 ) -1. b) Halla la matriz A (2001) Resuelve el sistema de ecuaciones, dado en forma matricial, AX = - AX + B siendo, y. 7. (2001) Considera la matriz a) Determina para que valores del parámetro λ la matriz A no tiene inversa. b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de para λ - 2.

2 8. (2001) Determina a, b y c sabiendo que la matriz rango(a) = 2. - a - c verifica y 9. (2002) En el sector de las aceitunas sin hueso, tres empresas A, B y C, se encuentran en competencia. Calcula el precio por unidad dado por cada empresa sabiendo que verifican las siguientes relaciones: El precio de la empresa es 6 euros menos que la media de los precios establecidos por B y C. El precio dado por B es la media de los precios de A y C. El precio de la empresa C es igual a 2 euros mas 2/5 del precio dado por A mas 1/3 del precio dado por B. 10. (2002) Considera las matrices a) Calcula la matriz inversa de A. b) Calcula A 127 y A 128. c) Determina x e y tal que AB = BA. 11. (2002) Sean, - - -,, y. Determina, si es posible, para que los sistemas de ecuaciones (dados en forma matricial) AX = b, y BX = c, tengan infinitas soluciones (cada uno de ellos). 12. (2002) Considera la matriz - - a) Siendo I la matriz identidad 3 x 3 y O la matriz nula 3 x 3, prueba que A 3 + I = O. b) Calcula A (2002) Considera la matriz. Calcula los valores de t para los que el determinante de A es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante. 14. (2002) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que det A = - 7 y 15. (2002) Determina una matriz X que verifique la ecuación AX = X - B siendo. - y 16. (2002) Considera m, y.

3 a) Para qué valores de m tiene inversa la matriz A? b) Resuelve, para m = 2, el sistema de ecuaciones AX = C. 17. (2002) Denotamos por M t a la matriz traspuesta de una matriz M. Considera -, B = ( ) y C. a) Calcula (AB) t y (BA) t. b) Determina una matriz X que verifique la relación 1/2 X + (AB) t = C. 17. (2002) Sin desarrollarlo, calcula el valor del determinante de la matriz enuncia las propiedades que hayas utilizado. a y 18. (2003) Considera las matrices, y C. a) Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial A.X + 2B = 3C? b) Resuelve la ecuación matricial dada para m = (2003) Considera las matrices y a) Siendo I la matriz identidad de orden, calcula los valores de λ para los que la matriz λi no tiene inversa. b) Resuelve el sistema A.X = 3X e interpreta geométricamente el conjunto de todas sus soluciones. 20. (2003) a) Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale -2 Cuánto vale el determinante de la matriz 4A? b) Dada la matriz B, para qué valores de λ la matriz 2 no tiene inversa? 21. (2003) Dadas las matrices y cumple que A.X = (B.A t ) t. -, halla la matriz X que 22. (2003) Dada la matriz, se pide: m a) Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = (2003) Sean C 1, C 2 y C 3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula indicando las propiedades que utilices: a) El determinante de A 3.

4 b) El determinante de A -1. c) El determinante de 2A. d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente 3C 1 - C 3, 2C 3 y C (2003) Considera la matriz, donde x es un número real. a) Para qué valores de x existe (M(x)) -1? Para los valores de x obtenidos, calcula la matriz (M(x)) 1. b) Resuelve, si es posible, la ecuación M(3).M(x) = M(5). 25. (2003) Considera las matrices, y. a) Para qué valores de m existe la matriz A -1? b) Siendo m = 2, calcula A -1 y resuelve el sistema A.X = B. c) Resuelve el sistema A.X = B para m = (2003) Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios de entrada a estas salas son de 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un día la recaudación conjunta de las tres salas fue de 720 euros y el número total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudación de 20 euros más. Calcula el número de espectadores que acudió a cada una de las salas. 27. (2004) Sabiendo que = - 6, calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: a) b) c) 28. (2004) a) Sabiendo que la matriz tiene rango 2, cuál es el valor de a? b) Resuelve el sistema de ecuaciones. 29. (2004) Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C. El mencionado tendero observa que si vende a las botellas del tipo, a las del tipo a las del tipo C, entonces obtiene un total de. Pero si vende a las del tipo, a las del a 6 las del C, entonces obtiene un total de 5. a) Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el número de botellas de cada tipo que posee el tendero. b) Resuelve dicho sistema. c) Puede determinarse el número de botellas de cada tipo de que dispone el tendero? (Ten en cuenta que el número de botellas debe ser entero y positivo).

5 30. (2004) Sabiendo que y que det(a)=4, calcula los siguientes determinantes: det (3A t ) y. b) Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que B 3 = I. Calcula det(b). c) Sea C una matriz cuadrada tal que C -1 = C t. Puede ser det(c) = 3? Razona la respuesta. 31. (2004) Se sabe que. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: a) b) c) 32. (2004) Considera las matrices,, a) Calcula A.B, A.C, A t.b t y C t.a t, siendo A t, B t y C t las matrices transpuestas de A, B y C, respectivamente. b) Razona cuáles de las matrices A, B, C y AB tienen matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa. 33. (2005) Sean las matrices, y a) Tiene A inversa? En caso afirmativo, calcúlala b) Determina la matriz X que cumple que A.X + C.B t = B.B t, siendo B t la matriz transpuesta de B. 34. (2005) Halla la matriz X que cumple que A.X.A B =, siendo A = y B =. 35. (2005) Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea A =. a) Determina el valor de b para el que A 2 2A + I = O. b) Para b = 2 halla la matriz X que cumple que X de A. t = O, donde A t denota la matriz transpuesta 36. (2005) Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea A =. a) Halla los valores de para los que la matriz I no tiene inversa. b) Halla los valores de a y b para los que A 2 + aa + bi = O. 37. (2005) Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros. 38. (2005) En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3

6 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo. 39. (2005) Sabiendo que = 2, calcula indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: a) - 3A y A -1 b) c). 40. (2006) Resuelve AB t X = - 2C, siendo B t la matriz traspuesta de B y. 41. (2006) Considera, siendo a un número real. a) Calcula el valor de a para que A 2 A = b) Calcula, en función de a, los determinantes 2 A y A t, siendo A t la traspuesta de A. c) Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica? Razona la respuesta. 42. (2006) Resuelve. 43. (2006) Sea a) Determina los valores de m R para los que la matriz A tiene inversa. b) Para m = 0 y siendo X = ( x y z ), resuelve X.A = ( ). 44. (2006) Sea y sea I la matriz identidad de orden dos. a) Calcula los valores λ R tales que λ I. b) Calcula A 2 7A + 10 I. 45. (2006) Considera las matrices, y a) Halla el valor de m R para el que la matriz A no tiene inversa. b) Resuelve A X = O para m = (2006) Considera las matrices y a) Halla, si existe, la matriz inversa de AB + C. b) Calcula, si existen, los números reales x e y que verifican:

7 47. (2007) Sea I la matriz identidad de orden 2 y a) Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A I) 2 = O, donde O es la matriz nula de orden 2. b) Para m = 2,halla la matriz X tal que AX 2A t = O, donde A t denota la matriz traspuesta de A. 48. (2007) Considera la matriz. a) Determina la matriz B = A 2 2A b) Determina los valores de para los que la matriz B tiene inversa. c) Calcula B -1 para λ 49. (2007) a) Calcula la matriz inversa de A=. b) Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz A -1 hallada en el apartado anterior. 50. (2007) Considera las matrices y a) Determina los valores de para los que la matriz tiene inversa. b) Para, calcula -1 y resuelve la ecuación matricial AX = B. 51. (2007) a) Calcula el valor de m para el que la matriz verifica la relación 2A 2 - A = I y determina A -1 para dicho valor de m. b) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2M 2 - M = I, determina la expresión de M 1 en función de M y de I. 52. (2007) Sea A la matriz A= e I la matriz identidad de orden 3. a) Calcula los valores de λ para los que el determinante de I es cero. b) Calcula la matriz inversa de I para λ. 53. (2008) Dadas las matrices A=, y Calcula la matriz P que verifica P C t (C t es la matriz traspuesta de C). 54. (2008) Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros. a) Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50?

8 b) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuantos billetes hay de cada tipo. 55. (2008) Considera la matriz. a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3 b) Estudia si el sistema tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior. 56. (2008) Sea I la matriz identidad de orden 3 y A=. Calcula, si existe, el valor de k para el cual ( I) 2 es la matriz nula. 57. (2008) Dadas las matrices A= y B= a) Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B. b) Resuelve la ecuación matricial AX + B = A + I, donde I denota la matriz identidad de orden (2008) Dada la matriz A= a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k. b) Para k = 0, halla la matriz inversa de A. 59. (2009) Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos A, C Pista : Si compramos una unidad de, dos de una de C gastamos 8 euros Pista : Si compramos n unidades de A, n+3 de B y tres de C gastamos 390 euros a) Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles? b) Sabiendo que n = 4 y que el producto C cuesta el triple que el producto A, calcula el precio de cada producto 60. (2009) Sean A, B, C y X matrices que verifican AXB = C a) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el determinante de A es 3, el de B es -1 y el de C es 6, calcula el determinante de las matrices X y 2X b) Si y calcula la matriz X 61. (2009) Sean las matrices: A=, y. Determina la matriz X que verifica AX B t = 2C (B t es la matriz traspuesta de B). 62. (2009) Sean F 1, F 2, F 3, las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale -2. Calcula, indicando las propiedades que utilices:

9 a) El determinante de B -1. b) El determinante de (B t ) 4 (B t es la matriz traspuesta de B). c) El determinante de 2B. d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5F 1 - F 3, 3F 3, F (2009) Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30 % de las cajas. 64. (2009) Dada las matrices y a) Calcula, si existe, la matriz inversa de A. b) Calcula las matrices X e Y que satisfacen las ecuaciones matriciales XA = A + 2B y AY = A + 2B. 65.(2009) Considera las matrices A= y a) Calcula, si existe, A -1 b) Resuelve el sistema AX = 3X e interpreta geométricamente el conjunto de sus soluciones. 66. (2009) Se consideran las matrices y B = A-kI, donde k es una constante e I la matriz identidad de orden 2. a) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa. b) Calcula B -1 para k = -1. c) Determina la constantes β para las que se cumple βi. 67. (2010) Considera las matrices A= y a) Determina los valores de para los que tiene inversa. b) Calcula la inversa de para. c) Resuelve, para, el sistema de ecuaciones X. 68. (2010) Sean las matrices A=, y a) Indica los valores de m para los que A es invertible. b) Resuelve la ecuación XA B t = C para m = 0. (B t es la matriz traspuesta de B) 69. (2010) Considera las siguientes matrices y a) Calcula A -1. b) Resuelve la ecuación matricial AXA t B = 2I, donde I es la matriz identidad de orden 2 y A t es la matriz traspuesta de A.

10 70. (2010) Obtén un vector no nulo v =(a, b, c), de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2. A= y B= 71. (2010) Sea la matriz A=. a) Comprueba que se verifica 2 = I. b) Calcula A -1. (Sugerencia: Puedes utilizar la igualdad del apartado (a)). 72. (2010) Sean las matrices, B= y. Calcula la matriz X que cumpla la ecuación AXB = C. 73. (2010) De la matriz se sabe que det(a) = 4. Se pide: a) Halla det( t ) y det. Indica las propiedades que utilizas. (A t es la matriz traspuesta de A). b) Calcula det(a -1.A t ). c) Si B es una matriz cuadrada tal que B 3 = I, siendo I la matriz identidad, halla det(b). 74. (2011) Considera las matrices y a) Ha algún valor de λ para el que no tiene inversa?. b) Para λ, resuelve la ecuación matricial A -1.X.A = B. 75. (2011) Dadas las matrices y a) Calcula el rango de A según los diferentes valores de t. b) Razona para qué valores de t el sistema homogéneo AX = O tiene más de una solución. 76. (2011) Dadas las matrices y a) Calcula el rango de A dependiendo de los valores de. b) Para, resuelve la ecuación matricial.x 77. (2011) - Sean las matrices y a) Calcula los valores de para los que la matriz inversa de es ( / ).. b) Para -3, determina la matriz X que verifica la ecuación A t.x = B, siendo A t la matriz traspuesta de A

11 78. (2011) Sean A y B dos matrices que verifican : y a) Halla las matrices ( )( ) 2 B 2. b) Resuelve la ecuación matricial X X ( ) t =2I, siendo I la matriz identidad de orden 2 y (A + B) t la matriz traspuesta de A + B. 79. (2011) Sea la matriz a) Determina los valores de λ para los que la matriz I tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3. b) Para λ, resuelve la ecuación matricial X X I. 80. (2011) - Dada la matriz a) Demuestra que A 2 + 2A = I y que A 1 = A +2I, siendo I la matriz identidad de orden 2. b) Calcula la matriz X que verifica la ecuación A 2 + XA +5A =4I. 81. (2011) Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son A = 1/2 y B = -2. Halla: a) A 3. b) A -1. c) -2A. d) AB t, siendo B t la matriz traspuesta de B. e) El rango de B. 82. (2011) Dada la matriz a) Demuestra que se verifica la igualdad A 3 = - I, siendo I la matriz identidad de orden 3. b) Justifica que A es invertible y halla su inversa. c) Calcula razonadamente A (2011) Dada la matriz a) Determina los valores de λ para los que la matriz 2 + 3A no tiene inversa. b) Para λ, halla la matriz X que verifica la ecuación X I, siendo I la matriz identidad de orden (2012) Considera las matrices, y Determina, si existe, la matriz X que verifica AXB = C t, siendo C t la matriz traspuesta de C. 85. (2012) Encuentra la matriz X que satisface la ecuación XA + A 3 B = A, siendo y

12 86. (2012) - Sea la matriz a) Para qué valores del parámetro k no existe la matriz inversa de la matriz A? Justifica la respuesta. b) Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X + I).A = A t, donde I de nota la matriz identidad y A t la matriz traspuesta de A 87. (2012) Dada la matriz, sea B la matriz que verifica que a) Comprueba que las matrices A y B poseen inversas. b) Resuelve la ecuación matricial A -1 X - B = BA. 88. (2012) Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos. a) Es posible determinar de forma única el precio del libro? Y el de la calculadora? Razona las respuestas. b) Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50 %, un 20% y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo. 89. (2013) Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es det(m) = 2. Calcula: a) El rango de M 3. b) El determinante de 2M t (M t es la matriz traspuesta de M). c) El determinante de (M -1 ) 2. d) El determinante de N, donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de M 90. (2013) Considera las matrices y a) Halla, si es posible, A -1 y B -1. b) Halla el determinante de AB 2013 A t siendo At la matriz traspuesta de A. c) Calcula la matriz X que satisface AX - B = AB. 91. (2013) Sean, y a) Determina el rango de A según los valores del parámetro m. b) Discute el sistema AX = B según los valores del parámetro m. c) Resuelve el sistema AX = B para m = (2013) Sean A y B las matrices y a) Calcula las matrices X e Y para las que X Y X Y. b) Halla la matriz Z que verifica B 2 + ZA + B t = 3I (I denota la matriz identidad y B t la matriz traspuesta de B).

13 93. (2013) Considera las matrices y a) Calcula X e Y tales que X Y b) Calcula Z tal que AZ = BZ + A. t X Y ( t es la matriz traspuesta de A). 94. (2013) - Considera las matrices, y a) Halla A -1. b) Calcula la matriz X que satisface AX = B t C (B t es la matriz traspuesta de B). c) Halla el determinante de A 2013 B t B(A -1 ) (2013) Sabiendo que el determinante de una matriz es 4, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas: a) det(-2a) y det(a -1 ). b) y 96. (2013) Sea a) Determina los valores de m para que los vectores fila de M sean linealmente independientes. b) Estudia el rango de M según los valores de m. c) Para m = 1, calcula la inversa de M. 97. (2013) Sea a) Comprueba que A 2 = 2 I y calcula A -1. b) Calcula A 2013 y su inversa. 98. (2014) Considera las matrices y Determina, si existe, la matriz X que verifica A X + B = A (2014) Se sabe que el determinante de la matiz es - 3. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: a) det(-2a) y det(a -1 ). b) y 100. (2014) Considera las matrices, y

14 a) Calcula A -1. b) Hallar la matriz X que verifica A t X + B = I, siendo I la matriz identidad y A t la matriz traspuesta de A (2014) Considera las matrices, a) Para qué valores de m se verifica que A 2 = 2 A + I? (I denota la matriz identidad. b) Para m = 1, calcula A -1, y la matriz X que satisface A X - B = A B (2014) Sabiendo que el determinante de la matiz es 2, calcula los siguientes determinantes: a) det(3a). b) det(a -1 ). c) d) 103. (2014) Considera las matrices y Halla la matriz X que verifica A -1 X A = B A (2014) Se sabe que el determinante de la matriz es 3, halla los siguientes determinantes, indicando, en cada caso, las propiedades que utilices: a) det(a 3 ), det(a -1 ) y det(a + A t ). (A t indica la traspuesta de A). b) det c) det 105. (2015) Considera las matrices A = y B =. a) Halla la matriz X que verifica X I (I denota la matriz identidad de orden. b) Calcula el determinante de la matriz (A 2 B 1 ) (2015) Considera las matrices A = y B =. a) Halla el determinante de una matriz X que verifique la igualdad X 2 AX = B. b) Determina, si existe, la matriz Y que verifica la igualdad A 2 YB 1 = A.

15 107. (2015) Considera las matrices A = B =, y C =. a) Determina la matriz X para la que A t XB -1 = C, (A t la matriz traspuesta de A). b) Calcula el determinante de B -1 (C t C)B, (C t la matriz traspuesta de C) (2015) Considera las matrices A = y B =. a) Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango. b) Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante (2015) Halla la matriz X que verifica la igualdad AX A -1 + B = C A 1 sabiendo que A = y BA = 110. (2015) Considera la matriz A =. a) Halla el valor, o valores, de m para los que la matriz A tiene rango 2. b) Para m = 1, determina A 2015.