Matemática II Tema 4: matriz inversa y determinante

Transcripción

1 Mtemáti II Tem 4: mtriz invers y eterminnte Ínie Mtriz invertile 1 Definiión y propiees 1 Cómputo e l mtriz invers 3 Determinnte e un mtriz 4 Propiees e los eterminntes 4 Cómputo el eterminnte 7 Trjo prátio 10 Ejemplos on Sge 11 Mtriz invertile Cálulo e l invers e un mtriz 11 Cálulo el eterminnte e un mtriz 11 Definiión y propiees Oserviones preliminres D un mtriz ur A, usmos un mtriz invers A 1 el mismo tmño. Queremos que 1 0 A 1 A I one I es llm mtriz ienti. El prouto A 1 A no ee tener efeto lguno sore ningún vetor: A 1 Ax Ix x Pero ourre que A 1 puee no existir...

2 tem 4: invers y eterminnte 2 Definiión e mtriz invertile Definiión 1. L mtriz ur A es invertile si existe un mtriz A 1 tl que A 1 A I y AA 1 I No tos ls mtries urs tienen invers! Si A no es invertile se ie que es singulr. D un mtriz ur A lo primero que hy que preguntrse es: A es invertile? Pero en muhos prolems no he flt lulr A 1, on ser que existe es sufiiente. Seis oserviones er e l mtriz invers 1. Si A es invertile, l soluión el sistem e euiones lineles Ax es x A 1, y que multiplino Ax por A 1 se otiene x A 1 Ax A L invers existe si y solo si rngoa n. Pero, on el métoo e eliminión e Guss-Jorn, poemos siempre resolver Ax sin lulr explíitmente A L mtriz A no puee tener os inverss iferentes. Supongmos que BA I y que tmién AC I. Entones B C BAC BAC BI IC B C 4. Supongmos que existe un vetor x 0 tl que Ax 0. Entones A no es invertile. Ningun mtriz puee onvertir 0 en x. Si A es invertile, Ax 0 solo puee tener l soluión x A Un mtriz e 2 2 es invertile si y solo si El número es llmo eterminnte e A. Un mtriz A es invertile si y solo si eta Un mtriz igonl es invertile si ninguno e los oefiientes igonles es 0. Si A 1... n A 1. 1/1.. Mtriz on fils o olumns uplis 1 2 Ejemplo 1. L mtriz A no es invertile. 1 2 Se omprue que es igul / n

3 tem 4: invers y eterminnte 3 Si hemos que x 2 1 se omprue que Ax 0. Si restmos l primer fil l segun otenemos l mtriz eslon equivlente R, e one result que rngoa 1 2. L invers el prouto Invers el prouto AB Si A y B son invertiles, tmién lo es AB. L invers el prouto AB es AB 1 B 1 A 1 Invers e AB ABB 1 A 1 ABB 1 A 1 AIA 1 AA 1 I Invers e ABC oren revertio ABC 1 C 1 B 1 A 1 L invers e l trnspuest Invers e l trsnpuest A T Si A es invertile, tmién lo es A T. L invers e l trnspuest A T es A T 1 A 1 T Cómputo e l mtriz invers Invertir A e 3 3 on Guss-Jorn A A 1? 1? 0? ? ? ? 0? 0? 0? 1

4 tem 4: invers y eterminnte f 3 + 2/3 f /2 0 3/4 3/2 3/ /3 1/3 2/3 1 f 2 + 1/2 f /2 1 1/ /3 1/3 2/3 1 1/2 f 1 2/3 f 2 3/4 f /2 1 1/ f 2 + 3/4 f 3 f 1 + 2/3 f /2 1 1/2 0 3/2 0 3/4 3/2 3/ /3 1/3 2/ /4 1/2 1/ /2 1 1/ /4 1/2 3/4 A I I A 1 A {}}{{}}{ /4 1/2 1/ /2 1 1/ A 1 1/4 1/2 3/4 I {}}{ Repso e ies lve 1. L invers umple que AA 1 I y que A 1 A I. 2. A e n n es invertile si y solo si rngoa n. 3. Si Ax 0 pr un vetor no nulo x, entones A no es invertile. 4. Pr lulr A 1 hy que plir el métoo e Guss-Jorn A I hst otener I A 1. Determinnte e un mtriz Propiees e los eterminntes Oserviones preliminres El eterminnte e un mtriz ur A es un número. El eterminnte e A se esrie omo eta o tmién omo A. Este número ontiene muh informión sore A. Por ejemplo, si eta 0, entones A no es invertile. El eterminnte e l mtriz ienti Propie 1 El eterminnte e l mtriz ienti I e n n es 1.

5 tem 4: invers y eterminnte y y Intermio e os fils o e os olumns Propie 2 El eterminnte mi e signo uno os fils o os olumns son intermis. et et El eterminnte es un funión linel e líne Propie 3 El eterminnte es un funión linel e líne por sepro ls emás línes se mntienen sin mio. 1. Multiplino l fil 1 e A por el número t t t t 2. Sumno l fil 1 e A l fil 1 e A Mtriz on un fil o un olumn repeti Propie 4 Si os fils o os olumns e A son igules, entones eta 0. et 0 et p p q q p p q q pq pq 0 Mtriz on un fil o olumn e eros Propie 5 Un mtriz A que teng un fil o un olumn llen e eros tenrá eta

6 tem 4: invers y eterminnte 6 Determinnte e un mtriz tringulr Propie 6 Si A es tringulr, entones eta nn el prouto e los oefiientes igonles. si es tringulr si es igonl 0 y tmién nn 0 nn Sumr o restr el múltiplo e un fil otr Propie 7 Sumr o restr el múltiplo e un fil e A otr fil e A no mi el vlor e et A. f 2 t f 1 t t Conlusión: El eterminnte e A no mi uno plimos l téni e eliminión hst enontrr un mtriz tringulr U equivlente A. Entones et A et U. Pero, si pr enontrr U eimos intermir fils, result que et A ± et U Ejemplo 2. D A 4 9 3, enontrr el número eta multiplino los pivotes e l mtriz tringulr U. A f 3 2/2 f f 2 4/2 f 1 f 3 1/1 f U Entones eta etu

7 tem 4: invers y eterminnte 7 El eterminnte e mtries invertiles Propie 8 Si A es singulr, entones eta 0. Si A es invertile, entones eta 0. Aplimos eliminión l mtriz A pr enontrr U eta etu {}}{{}}{ 0 { 0 si si Propie 9 El eterminnte e AB es eta etb. p r q w p + r p + r 0 A es singulr 0 A es invertile q + s q + s Un so prtiulr es el eterminnte e l mtriz invers et AA 1 eta eta 1 eti eta eta 1 1 eta eta 1 1/etA eta 1 El eterminnte e l trnspuest Propie 10 L mtriz trnspuest A T tiene el mismo eterminnte que A. eta eta T {}}{{}}{ Repso e ies lve 1. Luego e plir el métoo e eliminión, el eta ±prouto e los pivotes e U. 2. El eterminnte es ero preismente uno A no es invertile. 3. Dos propiees importntes son etab eta etb y que eta T eta. Cómputo el eterminnte L grn formul pr el eterminnte Los pivotes e U son uenos pr los álulos, nos sirven pr lulr el eterminnte. Pero queremos enontrr un fórmul generl pr el eterminnte, iretmente on los oefiientes ij e A.

8 tem 4: invers y eterminnte 8 Est fórmul tiene n! términos. Su tmño ree muy rápio, porque n! 1, 2, 6, 24, 120, Pr n 11 l fórmul tiene si 40 millones e términos... En l práti, y pr mtries myores 3 3, es más onveniente utilizr los pivotes e U. Fórmul pr mtries e ! términos 1 es +, 1 es Fórmul pr mtries e 3 3 regl e Srrus ! términos 3 son +, 3 son

9 tem 4: invers y eterminnte 9 Fórmul pr mtries e 3 3 lterntiv El eterminnte e un mtriz e 3 3 puee lulrse tmién omo e f e f h i f g i + e g h g h i ei f h i+ f g+h eg 3! términos 3 son +, 3 son Fórmul pr mtries e ! términos 12 son +, 12 son y es imposile e memorizr! Repso e ies lve 1. Si no hemos intermio e fils, eta prouto e los pivotes e U. 2. L grn fórmul pr el eterminnte nun ee utilizrse pr mtries myores 3 3.

10 tem 4: invers y eterminnte 10 Trjo prátio 1. Aplino el métoo e eliminión e Guss-Jorn, lulr ls inverss e ls mtries A, B y C. 0 3 A B C 5 7 Pist: omiene por esriir l orresponientes mtries uments A I, B I y C I. 2. Invertir ests mtries A on el métoo e eliminión e Guss- Jorn, empezno on l mtriz ument A I A A Est mtriz tiene un invers interesnte. Clulr A 1 plino el métoo e eliminión e Guss-Jorn l mtriz ument A I. Luego, y utilizno A 1, resolver el sistem e euiones lineles Ax 1, 1, 1, 1. A Clulr A T y A 1 y A 1 T y A T A A Si el eterminnte e un mtriz e 4 4 es eta 1/2, lulr el vlor e et2a y et A y eta 2 y eta Aplino el métoo e eliminión, lulr l mtriz tringulr U equivlente A y luego lulr el eta omo el prouto e los pivotes e U. En los sos y, lulr tmién eta on l regl e Srrus A A A A

11 tem 4: invers y eterminnte 11 Ejemplos on Sge Cálulo e l invers e un mtriz Clulr l invers e un mtriz form numéri # rer l mtriz A A mtrix[4,1,2,3] # lulr l invers A 1 B A.inverse # mostrr el resulto print B Clulr l invers e un mtriz form lgeri # rer ls vriles "ls letrs" utilizr, vr"," # rer l mtriz A A mtrix[1,,,1] # lulr l invers A 1 B A.inverse # mostrr el resulto print B El óigo Sge en los siguientes reuros puee ser seleiono, opio y pego en un hoj e trjo e Sge, pr ejeutrlo y sí otener los resultos y los gráfios. Puee utilizr estos ejemplos e óigo Sge omo se pr ompror los resultos e los ejeriios el trjo prátio. Cálulo el eterminnte e un mtriz Clulr el eterminnte form numéri # rer l mtriz A A mtrix[1,1,0,2,2,0,0,1,2] # lulr el eterminnte eta A.et # mostrr el resulto print " ", # 0 Clulr el eterminnte form lgeri # rer ls vriles "ls letrs" utilizr,, vr",," # rer l mtriz A A mtrix[1,,**2,1,,**2,1,,**2] # lulr el eterminnte eta A.et # mostrr el resulto print " ", #