GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA # 1

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1 PÁGINA: 1 de 12 Nombres y Apellidos del Estudiante: Docente: ALEXANDRA URIBE Área: Matemáticas Grado: UNDÉCIMO Periodo: PRIMERO Duración: 20 horas Asignatura: Geometría ESTÁNDAR: Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada. Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos Reconozco la densidad e incompletitud de los números racionales a través de métodos numéricos, geométricos y algebraicos. Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Elabora y utiliza en diferentes contextos sus estrategias personales para resolver problemas que involucran conceptos geométricos. Cumple con los compromisos asumidos de acuerdo con las condiciones de tiempo y forma acordadas. EJE(S) TEMÁTICO(S): CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS APLICADAS EN LA UIS. MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA Cada acción genera una fuerza de energía que regresa a nosotros de igual manera Cosechamos lo que sembramos. Y cuando optamos por acciones que producen alegría y éxito a los demás, el fruto de nuestro karma es también alegría y éxito. Lee atentamente la guía. Sigue las instrucciones del docente. Resuelve las actividades en el cuaderno. Aclara tus dudas. ENCUENTRA LA SALIDA EN EL LABERINTO ORIENTACIONES EXPLORACIÓN CONCEPTUALIZACIÓN

2 PÁGINA: 2 de ANGULOS, TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS Definiciones. Angulo: Es la porción de plano limitado por dos semirrectas llamadas; lados y origen común llamado vértice del ángulo. Triángulo: Polígono de tres lados que se cortan simultáneamente. Cuadriláteros: Polígono de cuatro lados. 1.2 Clasificación ANGULOS. Según su posición. Consecutivos: Tienen un vértice y un lado común y los otros dos lados separados por el común. Adyacente: Son consecutivos con lados no comunes en línea recta. Opuesto por el vértice: Son los que el vértice común y los lados de cada uno en la prolongación del otro. Según su grado de elevación. Recto: Es el ángulo cuyo caso se dice que tiene lados perpendiculares, este ángulo mide 90. Agudo: Es el ángulo menor que un recto. Obtuso: Es al ángulo mayor de 90. Llano: Es el que vale dos rectos TRIÁNGULOS. En función de sus lados.

3 PÁGINA: 3 de 12 Equilátero: Triángulo que tiene sus tres lados y ángulos iguales. Isósceles: Es el triángulo que tiene dos lados iguales y también dos ángulos iguales. Escaleno: Es el triángulo que tiene sus lados y sus ángulos de diferente magnitud. En función de sus ángulos. Acutángulo: Sus tres lados son agudos. Rectángulo: Triángulo que posee un ángulo recto 90. El lado mayor se llama hipotenusa, los dos otros lados se llaman catetos. Obtusángulo: Es el triángulo que tiene un ángulo obtuso CUADRILÁTERO. Paralelogramo: Cuadriláteros cuyos lados Son paralelos entre si. El área del paralelogramo equivale al producto de su base por la altura. POLÍGONOS Trapecio: Cuadrilátero que solo tiene dos lados paralelos. Trapezoide: Cuadrilátero irregular que no posee ningún lado paralelo al otro. Axiomas. Figuras geométricas de varios lados, que se descomponen en varios triángulos llano tiene 180. POLÍGONO REGULAR Si todos sus lados y ángulos son congruentes CLASES TRIÁNGULOS Cuadrilátero: 4 lados CLASES Según sus Ángulos Acutángulo: 3 ángulos agudos Pentágono: 5 lados Obtusángulo: Un ángulo obtuso Hexágono: 6 lados Según sus lados Equilátero: 3 lados congruentes Isósceles: 2. CIRCUNFERENCIA. 2 lados congruentes Definición: Una circunferencia es la frontera de una región redonda en un plano. Curva plana cerrada cuyos puntos equidistante de otro, se le llama centro situado en el mismo plano, limita la superficie del círculo. Clasificación: En toda circunferencia hay que Considerar. Centro: Es el punto fijo, En donde se coloca el compás para trazarla. Radio: Es el segmento que determina el centro de ella. Diámetro: Segmento determinado por dos puntos de la circunferencia y que contiene al centro. Es igual a dos radios. Cuerda: Segmento determinado por dos puntos indiferentes de la circunferencia.

4 PÁGINA: 4 de 12 Arco: Porción de circunferencia determinada por dos puntos. Círculo: Parte de plano limitado por la circunferencia. Secante: Recta que corta la circunferencia en dos puntos cualesquiera. Tangente: Es la recta que toca un solo punto de la circunferencia. Axiomas. círculo se puede trazar un número indefinido de radios y diámetros. o es el doble del y es la mayor de las cuerdas. semicírculo. círculo en dos partes iguales, llamadas respectivamente semicircunferencia y PERÍMETROS Y AREAS: 3. RELACIONES MÉTRICAS. 3.1 Definición: Cuando en una figura es posible relacionar de alguna manera las medidas de sus distintos elementos tales como: lados, alturas, diagonales, etc. Se ha obtenido una relación métrica en dicha figura Proyección ortogonal: Para estudiar las relaciones métricas entre los elementos de los triángulos es necesario tener un concepto de proyección ortogonal. La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular que va del punto al plano. La proyección ortogonal de un segmento sobre una recta es un segmento cuyos extremos, son las proyecciones de los extremos del segmento dado sobre la recta. 3.2 Clasificación Relaciones métricas en el triángulo rectángulo. Al trazar una altura sobre la hipotenusa se forman dos triángulos semejantes al lado. Si se aumentan los catetos la hipotenusa aumenta proporcionalmente. En un triángulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que dicha altura determina sobre la hipotenusa. Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo se cumple. la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual ala suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos Relaciones métricas en circunferencia. Relaciones entre los segmentos de la cuerda : Si dos cuerdas se cortan en un punto inferior de la circunferencia, entonces el producto de los segmentos de una cuerda es igual al de los segmentos de otra cuerda Relación entre los segmentos de dos secantes: Si trazamos dos secantes desde un punto exterior a una circunferencia, entonces el producto de una de las secantes por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior. Relación entre una secante y una tangente: Si desde un punto exterior a una circunferencia trazamos una secante y una tangente, se cumple que la tangente al cuadrado es igual al producto de la secante por su segmento exterior Relaciones entre los polígonos regulares. Lado del cuadrado inscrito : El lado del cuadrado inscrito en una circunferencia de radio es igual al producto de R por l raíz cuadrada de dos, es decir : L4 = R "2 lado del hexágono regular inscrito : El lado del hexágono inscrito en una circunferencia es igual al radio : L6= R

5 PÁGINA: 5 de 12 Lado del triángulo equilátero inscrito: El lado equilátero inscrito en una circunferencia de radio F es igual al producto de radio por raíz cuadrada de tres: L3= R"3. 4 GEOMETRÍA DEL ESPACIO. 4.1 Definición. espacio: A diferencia de la geometría plana, o de dos dimensiones, que estudia las figuras cuyas partes están todas en mismo plano, la geometría del espacio o de tres dimensiones tratan las propiedades de las figuras cuyas partes no están todas en un mismo plano. Plano: es toda superficie indefinida que contiene enteramente cualquier recta que pasa por dos de sus puntos. El plano es ilimitado pero en la práctica suele representarse por un paralelogramo. Angulo poliedro: Es la figura formada por tres o más planos que concurre en un punto. Pirámide: Es un poliedro que tiene como base un polígono cualquiera y por caras laterales tres o mas triángulos que tienen un vértice común. 4.2 Clasificación Rectas y planos en el espacio Posición de dos planos : Si dos planos tienen tres puntos no alineados en común, entonces son el mismo plano ya que por los tres puntos no alineados pasa un plano y solo uno ; decidimos pues que los planos son coincidentes Posición de una recta y un plano : Sí una recta tiene dos puntos en un plano, entonces la recta esta contenida en el plano. Si la recta y el plano tiene un punto A en común, entonces la recta y el plano se cortan. Si la recta y el plano no tienen ningún punto en común, entonces la recta y el plano son paralelas Posición de dos rectas: Dos rectas en un espacio pueden ocupar distintas posiciones. Las dos rectas pueden tener un solo punto en común, en cuyo caso son coplanarias y se llaman secantes. Las dos rectas pueden no tener ningún punto en común y ser coplanarias en cuyo caso se llaman paralelas. Finalmente dos rectas pueden no tener ningún punto en común y no pertenecer al mismo plano, en cuyo caso se dicen que se cruzan o que son alabeadas Subconjuntos de puntos notables del espacio : Semiespacios: Un plano se divide al espacio en dos regiones llamadas Semiespacios. El plano se dice que es el origen de ambos semiplanos. Ángulo diedro: Dos planos que se cortan dividen el espacio en cuatro regiones llamadas ángulos directos. La recta en que se cortan las caras se llama arista de diedro. Ángulos poliedros: Si todos los puntos de un polígono convexo se unen con un punto exterior a su plano se obtienen diferentes semirrectas, cuya unión recibe el nombre del ángulo poliedro. Cuando el polígono es un triángulo se obtiene un triedro Los poliedros: Cuerpo físico limitado en su superficie por polígonos planos. Prismas: Es un poliedro limitado por varios paralelogramos y dos polígonos congruentes cuyos planos son paralelos. Los dos polígonos congruentes y paralelos se llaman bases y los paralelogramos se llaman caras laterales. Los prismas se clasifican de acuerdo con el números de los lados que tengan los polígonos de las bases, así: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales, etc. Atendiendo estas clasificaciones los primas también pueden ser : Prisma recto: Es la que tiene las aristas perpendiculares a las bases. Prisma oblicuo: Es el que no tiene las aristas laterales a los planos de la base. Prisma regular: Es el que tiene por base un polígono regular. 4.3 Axiomas. Toda recta paralela a una recta de un plano es paralela a este plano. GLOSARIO Arista. Línea de intersección de dos planos. Axioma. Proposición evidente que se admite sin demostración. Catetos. Cada uno de los lados que forma el ángulo recto de un triángulo rectángulo. Hipotenusa. Lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto, y que es el mayor de los tres lados. Magnitudes. Grandeza o importancia de algo en tamaño. Perpendicular. Dícese a la recta, plano, etc. que forman ángulos rectos con otros. Polígono. Línea cerrada que forma varios ángulos y porción de plano limitada por ella: en un polígono hay tantos vértices como lados. Porción. Cantidad separada de otra mayor. Punto. Dibujo o relieve redondeado muy pequeño. Intersección de dos líneas. Secante. Recta que corta una figura dada. Vértice. Punto donde se unen los lados de un ángulo. Punto donde concurren tres o más ángulos.

6 PÁGINA: 6 de 12 ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN RESUELVE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS: 1) un cuadrilátero es un paralelogramo si tiene: a) un par de lados consecutivos b) un par de lados paralelos c) dos ángulos consecutivos iguales d) dos pares de lados paralelos 2)la geometría se basa en diferentes axiomas, empezando por la existencia de infinitos puntos hasta concluir que el punto y la recta pertenecen al plano; la definición mas exacta de axioma es: a) una regla fundamental de la geometría b) norma de la matemática c) comparación entre postulados d) proposición evidente que no necesita demostración 3) la geometría utiliza diferentes elementos para su demostración, entre ello se encuentra el ángulo es correcto afirmar que el ángulo es: a) una abertura b) porción del plano limitado por dos semirrectas llamadas lados y origen común llamado vértice del ángulo. c) dos rectas unidas en un extremo d) porción de plano 4) La geometría consta de varias figuras que contribuyen al desarrollo de esta. Una de estas figuras es el triangulo; es correcto afirmar que el triangulo es: a) figuras básicas en geometría; es un polígono con tres puntos no colineales que forman sus vértices y tres segmentos de recta que definen sus lados y determinan un plano. b) figura geométrica c) tres rectas que encierran un espacio d) tres puntos unidos por rectas 5) un axioma es: a una proposición sobre lo mas básico de la geometría b una proposición evidente que no se demuestra c una regla básica y elemental d una norma fundamental para la geometría 6) los ángulos son la medida de la abertura entre 2 semirrectas que se cortan, la clasificación de estos son: a abertura medida posición b abertura medida dirección c Angulo medida internos d completo medida posición 7) una de las propiedades de los cuadriláteros son : a en todo cuadrilátero la sumatoria de los ángulos internos es 360 b en todo paralelogramo las diagonales son diferentes c las diagonales de un cuadrado do iguales d en todo paralelogramo loas ángulos son suplementarios 8) una recta es: a la unión de dos planos b es un plano formado por 3 puntos c conjunto de infinitos puntos d un conjunto de infinitos puntos por el cual pasan infinitos puntos 9) es correcto afirmar que la geometría estudia la relación entre a puntos y rectas y planos c segmentos y planos c planos rectas y varios planos d infinitas rectas 10) Que es una recta en geometría: a. es una línea infinita b. describe la imagen real de la forma idealizada de un rayo de luz c. es un concepto primitivo d. no se puede definir si no es recurriendo a otros conceptos que a su vez para ser definidos requieren la recta

7 PÁGINA: 7 de 12 11) una curva es: a. aquella línea que cambia continuamente de dirección b. no forma ángulos c. distinta a las líneas rectas y quebradas d. su trayectoria es descrita por un punto en movimiento 12) el numero pi es : a. el numero que adquiere su valor y depende del circulo b. equivalente a c. un numero al cual no se han hallado todas sus cifras d. en un circulo la relación entre el perímetro y el diámetro sin importar su magnitud 13) en un paralelogramo se cumple: a.los lados y ángulos opuestos son iguales b. tiene cuatro lados c. sus cuatro ángulos son congruentes d. cada diagonal divide a un paralelogramo en dos congruentes 14) la definición mas exacta de triangulo es: a. sus ángulos internos forman 180 grados b.es un espacio cerrado por tres semi rectas c.es la base de la geometría 15) la definición de Angulo es: a. inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta b. desviación de una línea recta c. porción de un plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común denominado vértice d. es una medida simplemente RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS GEOMÉTRICOS En parejas, resuelvan problemas geométricos como los siguientes, aplicando las conclusiones referidas a características de los triángulos, las alturas y bisectrices, estudiadas anteriormente: a) ABDE es un cuadrado. BCD es un triángulo equilátero. Sin medir, podrías encontrar el valor del ángulo CAB y explicar por qué llegas a ese resultado? b) ABC y DEF son triángulos rectángulos en B y en E, respectivamente; ángulo BEF = 30º. Sin medir los ángulos, encuentra el valor del ángulo α y explica por qué llegas a ese resultado. c) ABC es un triángulo equilátero y BPD es un triángulo rectángulo-isósceles. Sin medir los ángulos, encuentra el valor del ángulo CBD y explica cómo llegas a ese resultado.

8 PÁGINA: 8 de 12 d) Qué tipo de triángulo es el que forman las diagonales de las caras del cubo que muestra la figura? Justifica tu respuesta. E). En una industria construyen un tanque de forma cónica de radio 5 dm y altura 15 dm, para el almacenamiento de agua, pero por una falla en su construcción pierde agua a razón de 1 dm3 por minuto. Al cabo de t minutos, h(t) representa A. la profundidad del agua en un instante t. B. la altura del tanque en t minutos. C. el espacio desocupado en el tanque en un instante t. D. el tiempo que tardó en desocuparse una parte del tanque. RESPONDA LAS PREGUNTAS 1 Y 2 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Dos triángulos ABC y A B C son semejantes si se cumple uno cualquiera de los siguientes criterios: 1. Los ángulos correspondientes son congruentes, es decir 2. Dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos son congruentes, es decir 3. Lados correspondientes son proporcionales, es decir 1. En cada figura se muestra un par de triángulos. De los pares de triángulos, son semejantes, los mostrados en las figuras

9 PÁGINA: 9 de 12 A. 1 y 2 B. 2 y 4 C. 1 y 3 D. 3 Y 4 5. Sea ABC un triángulo, D un punto de AB y E un punto de AC, como se muestra en la figura Si DE es paralelo a BC se puede concluir que A. B. AB = BC y AD = DE. C. el triángulo ADE es semejante al triángulo ABC. D. el ángulo ACB es congruente con el triángulo BAC., porque 6. Los triángulos sombreados que aparecen en cada figura son rectángulos. Sobre los lados de cada triángulo se han construido figuras planas semejantes. Si las áreas de los semicírculos 1 y 2 son respectivamente 9/2 π cm 2 y 8π cm 2, el diámetro del semicírculo 3 es A. 6 cm. B. 8 cm. C. 9 cm. D. 10 cm. TALLER DE APLICACIÓN EN GEOMETRÍA PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA (TIPO I) 1. Si tenemos un triángulo escaleno cuyos lados miden 6.5cm y 7cm respectivamente, podemos afirmar que uno de sus lados fue hallado mediante el teorema de Pitágoras. De lo anterior podemos afirmar A. sí porque conocidos dos lados del triángulo podemos calcular la longitud del tercero. B. no, porque el teorema de Pitágoras no se cumple para triángulos que no son rectángulos. C. sí porque el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

10 PÁGINA: 10 de 12 D. no, porque al elevar al cuadrado el valor de los lados, la suma de ellos siempre va a ser mayor al otro. 2. Si la suma de las medidas de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360, entonces la suma de los ángulos internos en un hexágono es A. 540 B. 360 C. 720 D Si se tienen dos ángulos suplementarios y la razón del ángulo mayor con respecto al ángulo menor es de 4/3, entonces la medida de cada ángulo está dada por x 4 ; x 3 4 x ( 180 x) ; 180 x 3 A. x 4 B. x ( x 180) 180; x 180 C. 180 x; x x D. 4. Del punto medio de un segmento determinado, podemos decir que A. divide en dos partes congruentes el segmento B. representa un valor numérico de un intervalo determinado C. divide el segmento en dos, de manera que el segmento original es el doble de la medida de cada uno de ellos D. fracciona el segmento en partes iguales formándose así dos nuevos segmentos 5. Para hallar el área de un triángulo equilátero de 10cm de lado, es posible hallar el valor de la altura mediante el teorema de Pitágoras? A. No, porque desconocemos el valor del cateto adyacente B. Si, porque se forma un triángulo rectángulos C. Si, porque se conoce el valor del cateto adyacente D. No, porque es un rectángulo cuyas medidas son iguales 6. Para hallar el área de un hexágono regular cuyos lados miden 5cm procedemos a A. hallar el perímetro del polígono y calcular el valor del apotema B. dividir el hexágono en regiones triangulares iguales para así hallar el área de una porción y el resultado multiplicarlo por el número de porciones C. trazar una circunferencia que sea circunscrita al hexágono y hallar el valor del radio para luego trazar vértices con el centro del polígono D. dividir el hexágono en dos partes triangulares y hallar el área de una de las partes y multiplicar el resultado por dos 7. Si dos ángulos son complementarios y la medida en grados de uno de ellos es 28 más que tres veces la medida en grados del otro, el sistema de ecuaciones que nos representa el problema es A. x y 90 x 28 3y B. x y 180 3y x 28 C. x y 180 3x 28 y D. x y 90 3x 28 y 8. De la gráfica podemos afirmar que las rectas L y M son paralelas porque A. tanto la recta L como la recta M, están siendo cortadas por una recta transversal formándose así ángulos alternos internos congruentes B. están separadas y van hacia la misma dirección C. hay una recta que las corta formándose así ángulos rectos D. cada una de las rectas contienen un punto de corte que les permite mantener iguales distancias 9. La suma de las áreas de dos cuadrados es 100 y el lado de uno de ellos es igual a 8/5 el lado del otro. La ecuación que representa el enunciado es A. 8 x x B x x C. x x 100 D. x x En la figura, si el ángulo 1 mide 150 y el ángulo 2 mide 80, la medida del ángulo 3 es 2

11 PÁGINA: 11 de 12 A. 50 B. 60 C. 70 D La lámina mostrada en la figura se corta diagonal para obtener dos pedazos triangulares. El perímetro en dm de cada uno de estos triángulos es A. 48 B. 36 C. 24 D En el dibujo, si AB // CD, entonces podemos asegurar que A. a = b B. b = d C. a = d D. c = d 13. El área sombreada del siguiente gráfico está dada por A. 5/36 R 2 B. 7/48 R 2 C. 9/92 R 2 D. 11/186 R Si los triángulos de la pirámide son todos equiláteros, su volumen a 3/ B. a 3 / 12 C. a 2 D. a 6 / 3 2 A. 4 VOLUMEN: PROBLEMAS VERBALES 1.- Calcula el área de una esfera de 10 cm. de diámetro. 2.- Calcula el área de una esfera de 25 cm. de radio. 3.- Si el área de una esfera es 100 p cm 2, determina su diámetro 4.- Encuentra el perímetro de un círculo máximo de una esfera cuya área es 36 cm Si el volumen de un cubo es 512 cm 3, encuentra su área total y la dimensión de su arista. 6.- Calcula el volumen de un cilindro de altura 10 cm. y de radio basal 2 cm. 7.- Calcula el área total y el volumen de un paralelepípedo de aristas 2 cm., 5 cm. y 8 cm. 8.- Determina el área total y el volumen de un cubo: a) de arista 2 cm. b) en que el área de una de sus caras es 36 cm. c) en que el perímetro de una cara es 36 cm. d) cuya diagonal de una cara es Calcula el volumen de: a) un cilindro de altura 9 m. Y de diámetro basal 2 m.

12 PÁGINA: 12 de 12 b) Un cono de altura 8 cm. y perímetro basal 12 p cm Cuál es la arista de un cubo cuya área total es de 54 cm 2? Determina el volumen de un cubo donde la suma de sus aristas es 72 cm Encuentra las dimensiones de la base de un paralelepípedo rectangular de 720 cm 3 y 15 cm. de altura, si el largo de la base es el triple del ancho Si las dimensiones de un paralelepípedo son 4 cm., 5 cm. y 6 cm. Determina la medida de las diagonales de las tres caras diferentes Determina la medida de la generatriz de un cono recto, si el radio de la base es 3 cm. Y su altura es 4 cm Calcula el volumen de un cono recto si su generatriz mide 12 cm. y el radio basal es igual a cm El radio basal de un cilindro es 35 cm. y su altura es el doble del diámetro de la base. Calcula el volumen total del cilindro. SOCIALIZACIÓN Resolver algunos ejercicios en el tablero para aclarar las dudas presentadas. COMPROMISO Resolver Todos los ejercicios de la guía en el cuaderno y entregarlo una vez se termine la guía. ELABORÓ REVISÓ APROBÓ NOMBRES Aura Alexandra Uribe Rozo Aura Alexandra Uribe Rozo Oscar Mendoza CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico DD MM AAAA

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