Números Primos. (según la propuesta del Dr. Sergio Aschero)

Transcripción

1 Números Primos (según la propuesta del Dr. Sergio Aschero) Buenos Aires,

2 PROLOGO Para Pitágoras la armonía del mundo se reflejaba en la armonía de los números. La ciencia moderna le ha dado la razón en buena parte. El sistema de los números ocupa un lugar muy especial en la percepción humana, y la comprensión del Universo en términos numéricos se considera una de las grandes hazañas del intelecto. De entre los números enteros, los llamados números primos han ejercido siempre una fascinación misteriosa en los matemáticos por su comportamiento azaroso y su significación como pilares de la construcción aritmética. Euclides de Alejandría, famoso por elaborar el primer sistema deductivo bajo la forma de una teoría científica la geometría expresada en su libro Elementos- fue quien además demostró que existen infinitos números primos. Los números primos son los números naturales que sólo se pueden dividir exactamente por sí mismos y por la unidad, o sea por el número 1. Por ejemplo, el 3 se puede dividir de manera exacta solo por 3 y por 1, así que califica como número primo. Los números compuestos son aquellos números naturales que se pueden dividir exactamente por algún otro número natural, además del 1 y de sí mismos. Demostrar algo es ofrecer un argumento que nos permita llegar a una afirmación a partir de otras con rigor deductivo. Podemos pensar en brindar un razonamiento que permita, a partir de ciertas premisas verdaderas, llegar a una conclusión verdadera: precisamente aquello que se desea demostrar. Esto es característico de lo que se denomina demostración directa, por ejemplo, el argumento "todos los hombres son mortales" y "Sócrates es hombre", por lo tanto "Sócrates es mortal" garantiza que si las primeras afirmaciones (premisas) son verdaderas, también será verdadera la conclusión con toda certeza. Pero existe una manera diferente de demostrar una cierta afirmación, que es la demostración por el absurdo. Consiste en partir de la hipótesis de que lo que queremos demostrar es verdadero, no como premisa del razonamiento sino como un supuesto, una conjetura. Se supone que si lo que queremos demostrar es verdadero (que existen infinitos números primos en el caso de Euclides), entonces si planteamos un argumento o razonamiento que incluya la negación de nuestra conjetura entre sus premisas se arribará a una contradicción. En el caso de la demostración de la existencia de infinitos números primos por parte de Euclides, si se plantea que "existe un número primo que es el mayor de todos" ello es la negación de que existen infinitos números primos, pues esto último significa que no hay un número primo, cualquiera que sea, que es el mayor de todos los números primos. 2

3 Según Leonhard Euler los matemáticos han intentado en vano desde hace mucho tiempo descubrir alguna secuencia en el orden de los números primos, pero tengo razones para creer que éste es un misterio en el que la mente humana jamás podrá penetrar. El Doctor Sergio Aschero en este estudio propone 9 miradas diferentes sobre el tema para intentar solucionar el enigma (o por lo menos aclararlo), aportando su razonamiento ante este fenómeno aritmético tan apasionante y enigmático. Son sus capítulos: 1. Números Primos y Compuestos a través de una geometría diferenciada 2. Números Primos: la fórmula ternaria 3. El Reloj de 18 horas de los Números Primos 4. Números Primos: las fórmulas aritméticas 5. Simetría de los Números Compuestos y Asimetría de los Números Primos 6. La Concatenación de los Números Compuestos 7. De la Criba de Eratóstenes a la Criba de Aschero 8. La Matriz de los Números Primos 9. Los Ultranúmeros Primos 3

4 1. Números Primos y Compuestos a través de una geometría diferenciada A través de la suma de números impares correlativos, se puede descubrir si un número es compuesto. Para hacerlo sólo hay que sumar una sección consecutiva de números impares tratando de igualar la cifra del número inicial que no debe ser sumada. Si el resultado es coincidente, el número es compuesto. No se pueden sumar números no consecutivos y el mínimo de cifras a sumar son tres. Los números primos, en cambio, no se consiguen por la suma de números impares, es necesario integrar también a los números pares que en este modelo se deben repetir dos veces = 9 (compuesto) = 5 (primo) Evidentemente los números compuestos también pueden resolverse por la suma de un número impar y dos impares repetidos, pero se descartan debido a que son los únicos que se pueden construir también mediante la suma de impares sucesivos, tal como se ha indicado = 9 (compuesto) = = 9 Con estas combinaciones se pueden construir polígonos regulares e irregulares. Se considera que un polígono regular es una figura plana y cerrada formada al unir tres o más segmentos rectilíneos. Un polígono regular es aquél cuyos lados y ángulos interiores son todos iguales. Por ejemplo el triángulo equilátero. En cambio un polígono irregular es una figura plana que no tiene los lados iguales. Por ejemplo un triángulo isósceles. Lo que tienen de común estos dos ejemplos numerales es que con ambos podemos construir dos triángulos: uno equilátero para los números compuestos y otro isósceles para los números primos. Todos los números compuestos tienen un centro divisible (número rojo) a partir del cual se genera un modelo simétrico que siempre es impar: A + B + C A + B + C + D + E Además siempre el número de cifras (1, 3, 5 = 3 cifras) multiplicado por el centro es igual al número inicial: (3 x 3 = 9). 4

5 En la geometría de los números compuestos (figuras equiláteras de lados impares), el resultado puede establecerse mediante la suma de sus números consecutivos siempre impares que se desplazan. En ese proceso, paso a paso, va aumentando su tamaño. También es importante destacar que cada número al cuadrado genera un nuevo polígono regular = 9 (3 2 ) (el triángulo regular más pequeño) = = = = 33 Sin embargo con figuras geométricas pares (en este caso el cuadrado), esto no ocurre y el resultado de la suma siempre es un número par, que por supuesto queda descartado = = = = = 48 Con el pentágono regular se vuelve al modelo de los números compuestos: 5

6 = 25 (5 2 ) (el pentágono regular más pequeño) = = = = 65 Y también con el heptágono, el eneágono, el endecágono y todas las demás figuras geométricas de las mismas características: = 49 (7 2 ) (el heptágono regular más pequeño) = = = = = 81 (9 2 ) (el eneágono regular más pequeño) = = = = = 121 (11 2 ) (el endecágono regular más pequeño) = = = = 209 A diferencia de los números compuestos que necesitan variar las figuras geométricas regulares aumentando su número de lados (triángulo, pentágono, heptágono, etc.), con el triángulo isósceles de los números primos no es necesario hacerlo. Sólo va aumentando el tamaño de la misma figura (el número de la base (1) nunca cambia). El 6

7 procedimiento para encontrar el número par o impar que se duplica, es dividir el número de la serie por dos, multiplicando a continuación el decimal por dos (0,5) y transformándolo siempre en 1. Geometría de los primeros 1000 números impares 1 = (1) 3 = (3) 5 = ( ) (5/2 = 2,5) (0,5 x 2 = 1) (2 2) (1 2 2) (se cuentan todos los números) (triángulo irregular) 7 = ( ) (7/2 = 3,5) (0,5 x 2 = 1) (3 3) (1 3 3) (triángulo irregular) 9 = ( = 9) (3 2 ) (triángulo regular) (3 3 3) 11 = ( ) (triángulo irregular) 13 = ( ) (triángulo irregular) 15 = ( = 15) (triángulo regular) 17 = ( ) (triángulo irregular) 19 = ( ) (triángulo irregular) 21 = ( = 21) (triángulo regular) 23 = ( ) (triángulo irregular) 25 = ( = 25) (5 2 ) (pentágono regular) ( ) 27 = ( = 27) (triángulo regular) 29 = ( ) (triángulo irregular) 31 = ( ) (triángulo irregular) 33 = ( = 33) (triángulo regular) 35 = ( = 35) (pentágono regular) 37 = ( ) (triángulo irregular) 39 = ( = 39) (triángulo regular) 41 = ( ) (triángulo irregular) 43 = ( ) (triángulo irregular) 45 = ( = 45) (pentágono regular) 47 = ( ) (triángulo irregular) 7

8 49 = ( = 49) (7 2 ) (heptágono regular) 51 = ( = 51) triángulo regular) 53 = ( ) (triángulo irregular) 55 = ( = 55) (pentágono regular) 57 = ( = 57) (triángulo regular) 59 = ( ) (triángulo irregular) 61 = ( ) (triángulo irregular) 63 = ( = 63) (triángulo regular) 65 = ( = 65) (pentágono regular) 67 = ( ) (triángulo irregular) 69 = ( = 69) (triángulo regular) 71 = ( ) (triángulo irregular) 73 = ( ) (triángulo irregular) 75 = ( = 75) (triángulo regular) 77 = ( = 77) (heptágono regular) 79 = ( ) (triángulo irregular) 81 = ( = 81) (9 2 ) (eneágono regular) 83 = ( ) (triángulo irregular) 85 = ( = 85) (pentágono regular) 87 = ( = 87) (triángulo regular) 89 = ( ) (triángulo irregular) 91 = ( = 91) (heptágono regular) 93 = ( = 93) (triángulo regular) 95 = ( = 95) (pentágono regular) 97 = ( ) (triángulo irregular) 99 = ( = 99) (triángulo regular) 101 = ( ) (triángulo irregular) 103 = ( ) (triángulo irregular) 8

9 105 = ( = 105) (pentágono regular) 107 = ( ) (triángulo irregular) 109 = ( ) (triángulo irregular) 111 = ( = 111) (triángulo regular) 113 = ( ) (triángulo irregular) 115 = ( = 115) (pentágono regular) 117 = ( = 117) (triángulo regular) 119 = ( = 119) (heptágono regular) 121 = ( = 121) (11 2 ) (endecágono regular) 123 = ( = 123) (triángulo regular) 125 = ( = 125) (pentágono regular) 127 = ( ) (triángulo irregular) 129 = ( = 129) (triángulo regular) 131 = ( ) (triángulo irregular) 133 = ( = 133) (heptágono regular) 135 = ( = 135) (pentágono regular) 137 = ( ) (triángulo irregular) 139 = ( ) (triángulo irregular) 141 = ( = 141) (triángulo regular) 143 = ( = 143) (endecágono regular) 145 = ( = 145) (pentágono regular) 147 = ( = 147) (triángulo regular) 149 = ( ) (triángulo irregular) 151 = ( ) (triángulo irregular) 153 = ( = 153) (triángulo regular) 155 = ( = 155) (pentágono regular) 157 = ( ) (triángulo irregular) 9

10 159 = ( = 159) ) (triángulo regular) 161 = ( = 161) (heptágono regular) 163 = ( ) (triángulo irregular) 165 = ( = 165) (pentágono regular) 167 = ( ) (triángulo irregular) 169 = ( = 169) (13 2 ) (tridecágono regular) 171 = ( = 171) (triángulo regular) 173 = ( ) (triángulo irregular) 175 = ( = 175) (pentágono regular) 177 = ( = 177) (triángulo regular) 179 = ( ) (triángulo irregular) 181 = ( ) (triángulo irregular) 183 = ( = 183) (triángulo regular) 185 = ( = 185) (pentágono regular) 187 = ( = 187) (endecágono regular) 189 = ( = 189) (triángulo regular) 191 = ( ) (triángulo irregular) 193 = ( ) (triángulo irregular) 195 = ( = 195) (pentágono regular) 197 = ( ) (triángulo irregular) 199 = ( ) (triángulo irregular) 201 = ( = 201) (triángulo regular) 203 = ( = 203) (heptágono regular) 205 = ( = 205) (pentágono regular) 207 = ( = 207) (triángulo regular) 209 = ( = 209) (endecágono regular) 10

11 211 = ( ) (triángulo irregular) 213 = ( = 213) (triángulo regular) 215 = ( = 215) (pentágono regular) 217 = ( = 217) (heptágono regular) 219 = ( = 219) (triángulo regular) 221 = ( = 221) (tridecágono regular) 223 = ( ) (triángulo irregular) 225 = ( = 225) (15 2 ) (pentadecágono regular) 227 = ( ) (triángulo irregular) 229 = ( ) (triángulo irregular) 231 = ( = 231) (triángulo regular) 233 = ( ) (triángulo irregular) 235 = ( = 235) (pentágono regular) 237 = ( = 237) (triángulo regular) 239 = ( ) (triángulo irregular) 241 = ( ) (triángulo irregular) 243 = ( = 243) (triángulo regular) 245 = ( = 245) (pentágono regular) 247 = ( = 247) (tridecágono regular) 249 = ( = 249) (triángulo regular) 251 = ( ) (triángulo irregular) 253 = ( = 253) (endecágono regular) 255 = ( = 255) (pentágono regular) 257 = ( ) (triángulo irregular) 259 = ( = 259) (heptágono regular) 261 = ( = 261) (triángulo regular) 11

12 263 = ( ) (triángulo irregular) 265 = ( = 265) (pentágono regular) 267 = ( = 267) (triángulo regular) 269 = ( ) (triángulo irregular) 271 = ( ) (triángulo irregular) 273 = ( = 273) (triángulo regular) 275 = ( = 275) (pentágono regular) 277 = ( ) (triángulo irregular) 279 = ( = 279) (triángulo regular) 281 = ( ) (triángulo irregular) 283 = ( ) (triángulo irregular) 285 = ( = 285) (pentágono regular) 287 = ( = 287) (heptágono regular) 289 = ( = 289) (17 2 ) (heptadecágono regular) 291 = ( = 291) (triángulo regular) 293 = ( ) (triángulo irregular) 295 = ( = 295) (pentágono regular) 297 = ( = 297) (triángulo regular) 299 = ( = 299) (tridecágono regular) 301 = ( = 301) (heptágono regular) 303 = ( = 303) (triángulo regular) 305 = ( = 305) (pentágono regular) 307 = ( ) (triángulo irregular) 309 = ( = 309) (triángulo regular) 311 = ( ) (triángulo irregular) 313 = ( ) (triángulo irregular) 12

13 315 = ( = 315) (pentágono regular) 317 = ( ) (triángulo irregular) 319 = ( = 319) (endecágono regular) 321 = ( = 321) (triángulo regular) 323 = ( = 323) (heptadecágono regular) 325 = ( = 325) (pentágono regular) 327 = ( = 327) (triángulo regular) 329 = ( = 329) (heptágono regular) 331 = ( ) (triángulo irregular) 333 = ( = 333) (triángulo regular) 335 = ( = 335) (pentágono regular) 337 = ( ) (triángulo irregular) 339 = ( = 339) (triángulo regular) 341 = ( = 341) (endecágono regular) 343 = ( = 343) (heptágono regular) 345 = ( = 345) (pentágono regular) 347 = ( ) (triángulo irregular) 349 = ( ) (triángulo irregular) 351 = ( = 351) (triángulo regular) 353 = ( ) (triángulo irregular) 355 = ( = 355) (pentágono regular) 357 = ( = 357) (triángulo regular) 359 = ( ) (triángulo irregular) 361 = ( = 361) (19 2 ) (eneadecágono regular) 13

14 363 = ( = 363) (triángulo regular) 365 = ( = 365) (pentágono regular) 367 = ( ) (triángulo irregular) 369 = ( = 369) (triángulo regular) 371 = ( = 371) (heptágono regular) 373 = ( ) (triángulo irregular) 375 = ( = 375) (pentágono regular) 377 = ( = 377) (tridecágono regular) 379 = ( ) (triángulo irregular) 381 = ( = 381 (triángulo regular) 383 = ( ) (triángulo irregular) 385 = ( = 385) (pentágono regular) 387 = ( = 387) (triángulo regular) 389 = ( ) (triángulo irregular) 391 = ( = 391) (heptadecágono regular) 393 = ( = 393) (triángulo regular) 395 = ( = 395) (pentágono regular) 397 = ( ) (triángulo irregular) 399 = ( = 399) (triángulo regular) 401 = ( ) (triángulo irregular) 403 = ( = 403) (tridecágono regular) 405 = ( = 405) (pentágono regular) 407 = ( = 407) (endecágono regular) 409 = ( ) (triángulo irregular) 411 = ( = 411) (triángulo regular) 14

15 413 = ( = 413) (heptágono regular) 415 = ( = 415) (pentágono regular) 417 = ( = 417) (triángulo regular) 419 = ( ) (triángulo irregular) 421 = ( ) (triángulo irregular) 423 = ( = 423) (triángulo regular) 425 = ( = 425) (pentágono regular) 427 = ( = 427) (heptágono regular) 429 = ( = 429) (triángulo regular) 431 = ( ) (triángulo irregular) 433 = ( ) (triángulo irregular) 435 = ( = 435) (pentágono regular) 437 = ( = 437) (eneadecágono regular) 439 = ( ) (triángulo irregular) 441 = ( = 441) (21 2 ) (icosakaihenágono regular) 443 = ( ) (triángulo irregular) 445 = ( = 445) (pentágono regular) 447 = ( = 447) (triángulo regular) 449 = ( ) (triángulo irregular) 451 = ( = 451) (endecágono regular) 453 = ( = 453) (triángulo regular) 455 = ( = 455) (pentágono regular) 457 = ( ) (triángulo irregular) 459 = ( = 459) (triángulo regular) 461 = ( ) (triángulo irregular) 463 = ( ) (triángulo irregular) 15

16 465 = ( = 465) (pentágono regular) 467 = ( ) (triángulo irregular) 469 = ( = 469) (heptágono regular) 471 = ( = 471) (triángulo regular) 473 = ( = 473) (endecágono regular) 475 = ( = 475) (pentágono regular) 477 = ( = 477) (triángulo regular) 479 = ( ) (triángulo irregular) 481 = ( = 481) (tridecágono regular) 483 = ( = 483) (triángulo regular) 485 = ( = 485) (pentágono regular) 487 = ( ) (triángulo irregular) 489 = ( = 489) (triángulo regular) 491 = ( ) (triángulo irregular) 493 = ( = 493) (heptadecágono regular) 495 = ( = 495) (pentágono regular) 497 = ( = 497) (heptágono regular) 499 = ( ) (triángulo irregular) 501 = ( = 501) (triángulo regular) 503 = ( ) (triángulo irregular) 505 = ( = 505) (pentágono regular) 507 = ( = 507) (triángulo regular) 509 = ( ) (triángulo irregular) 511 = ( = 513) (heptágono regular) 513 = ( = 513) (triángulo regular) 515 = ( = 515) (pentágono regular) 16

17 517 = ( = 517) (endecágono regular) 519 = ( = 519) (triángulo regular) 521 = ( ) (triángulo irregular) 523 = ( ) (triángulo irregular) 525 = ( = 525) (pentágono regular) 527 = ( = 527) (heptadecágono regular) 529 = ( = 529) (23 2 ) (icosakaitrígono regular) 531 = ( = 531) (triángulo regular) 533 = ( = 533) (tridecágono regular) 535 = ( = 535) (pentágono regular) 537 = ( = 537) (triángulo regular) 539 = ( = 539) (heptágono regular) 541 = ( ) (triángulo irregular) 543 = ( = 543) (triángulo regular) 545 = ( = 545) (pentágono regular) 547 = ( ) (triángulo irregular) 549 = ( = 549) (triángulo regular) 551 = ( = 551) (eneadecágono regular) 553 = ( = 553) (heptágono regular) 555 = ( = 555) (pentágono regular) 557 = ( ) (triángulo irregular) 559 = ( = 559) (tridecágono regular) 561 = ( = 561) (triángulo regular) 17

18 563 = ( ) (triángulo irregular) 565 = ( = 565) (pentágono regular) 567 = ( = 567) (triángulo regular) 569 = ( ) (triángulo irregular) 571 = ( ) (triángulo irregular) 573 = ( = 573) (triángulo regular) 575 = ( = 575) (pentágono regular) 577 = ( ) (triángulo irregular) 579 = ( = 579) (triángulo regular) 581 = ( = 581) (heptágono regular) 583 = ( = 583) (endecágono regular) 585 = ( = 585) (pentágono regular) 587 = ( ) (triángulo irregular) 589 = ( = 589) (eneadecágono regular) 591 = ( = 591) (triángulo regular) 593 = ( ) (triángulo irregular) 595 = ( = 595) (pentágono regular) 597 = ( = 597) (triángulo regular) 599 = ( ) (triángulo irregular) 601 = ( ) (triángulo irregular) 603 = ( = 603) (triángulo regular) 605 = ( = 605) (pentágono regular) 607 = ( ) (triángulo irregular) 609 = ( = 609) (triángulo regular) 611 = ( = 611) (tridecágono regular) 18

19 613 = ( ) (triángulo irregular) 615 = ( = 615) (pentágono regular) 617 = ( ) (triángulo irregular) 619 = ( ) (triángulo irregular) 621 = ( = 621) (triángulo regular) 623 = ( = 623) (heptágono regular) 625 = ( = 625) (25 2 ) (icosakaipentágono regular) 627 = ( = 627) (triángulo regular) 629 = ( = 629) (heptadecágono regular) 631 = ( ) (triángulo irregular) 633 = ( = 633) (triángulo regular) 635 = ( = 635) (pentágono regular) 637 = ( = 637) (heptágono regular) 639 = ( = 639) (triángulo regular) 641 = ( ) (triángulo irregular) 643 = ( ) (triángulo irregular) 645 = ( = 645) (pentágono regular) 647 = ( ) (triángulo irregular) 649 = ( = 649) (endecágono regular) 651 = ( = 651) (triángulo regular) 653 = ( ) (triángulo irregular) 655 = ( = 655) (pentágono regular) 657 = ( = 657) (triángulo regular) 659 = ( ) (triángulo irregular) 661 = ( ) (triángulo irregular) 19

20 663 = ( = 663) (triángulo regular) 665 = ( = 665) (pentágono regular) 667 = ( = 667) (icosakaitrígono regular) 669 = ( = 669) (triángulo regular) 671 = ( = 671) (endecágono regular) 673 = ( ) (triángulo irregular) 675 = ( = 675) (pentágono regular) 677 = ( ) (triángulo irregular) 679 = ( = 679) (heptágono regular) 681 = ( = 681) (triángulo regular) 683 = ( ) (triángulo irregular) 685 = ( = 685) (pentágono regular) 687 = ( = 687) (triángulo regular) 689 = ( = 689) (tridecágono regular) 691 = ( ) (triángulo irregular) 693 = ( = 693) (triángulo regular) 695 = ( = 695) (pentágono regular) 697 = ( = 697) (heptadecágono regular) 699 = ( = 699) (triángulo regular) 701 = ( ) (triángulo irregular) 703 = ( = 703) (eneadecágono regular) 705 = ( = 705) (pentágono regular) 707 = ( = 707) (heptágono regular) 709 = ( ) (triángulo irregular) 20

21 711 = ( = 711) (triángulo regular) 713 = ( = 713) (icosakaitrígono regular) 715 = ( = 715) (pentágono regular) 717 = ( = 717) (triángulo regular) 719 = ( ) (triángulo irregular) 721 = ( = 721) (heptágono regular) 723 = ( = 723) (triángulo regular) 725 = ( = 725) (pentágono regular) 727 = ( ) (triángulo irregular) 729 = ( = 729) (27 2 ) (icosakaiheptágono regular) 731 = ( = 731) (heptadecágono regular) 733 = ( ) (triángulo irregular) 735 = ( = 735) (pentágono regular) 737 = ( = 737) (endecágono regular) 739 = ( ) (triángulo irregular) 741 = ( = 741) (triángulo regular) 743 = ( ) (triángulo irregular) 745 = ( = 745) (pentágono regular) 747 = ( = 747) (triángulo regular) 749 = ( = 749) (heptágono regular) 751 = ( ) (triángulo irregular) 753 = ( = 753) (triángulo regular) 755 = ( = 755) (pentágono regular) 21

22 757 = ( ) (triángulo irregular) 759 = ( = 759) (triángulo regular) 761 = ( ) (triángulo irregular) 763 = ( = 763) (heptágono regular) 765 = ( = 765) (pentágono regular) 767 = ( = 767) (tridecágono regular) 769 = ( ) (triángulo irregular) 771 = ( = 771) (triángulo regular) 773 = ( ) (triángulo irregular) 775 = ( = 775) (pentágono regular) 777 = ( = 777) (triángulo regular) 779 = ( = 779) (eneadecágono regular) 781 = ( = 781) (endecágono regular) 783 = ( = 783) (triángulo regular) 785 = ( = 785) (pentágono regular) 787 = ( ) (triángulo irregular) 789 = ( = 789) (triángulo regular) 791 = ( = 791) (heptágono regular) 793 = ( = 793) (tridecágono regular) 795 = ( = 795) (pentágono regular) 797 = ( ) (triángulo irregular) 799 = ( = 799) (heptadecágono regular) 801 = ( = 801) (triángulo regular) 803 = ( = 803) (endecágono regular) 22

23 805 = ( = 805) (pentágono regular) 807 = ( = 807) (triángulo regular) 809 = ( ) (triángulo irregular) 811 = ( ) (triángulo irregular) 813 = ( = 813) (triángulo regular) 815 = ( = 815) (pentágono regular) 817 = ( = 817) (eneadecágono regular) 819 = ( = 819) (triángulo regular) 821 = ( ) (triángulo irregular) 823 = ( ) (triángulo irregular) 825 = ( = 825) (pentágono regular) 827 = ( ) (triángulo irregular) 829 = ( ) (triángulo irregular) 831 = ( = 831) (triángulo regular) 833 = ( = 833) (heptágono regular) 835 = ( = 835) (pentágono regular) 837 = ( = 837) (triángulo regular) 839 = ( ) (triángulo irregular) 841 = ( = 841) (29 2 ) (icosakaieneágono regular) 843 = ( = 843) (triángulo regular) 845 = ( = 845) (pentágono regular) 847 = ( = 847) (heptágono regular) 849 = ( = 849) (triángulo regular) 851 = (

24 = 851) (icosakaitrígono regular) 853 = ( ) (triángulo irregular) 855 = ( = 855) (pentágono regular) 857 = ( ) (triángulo irregular) 859 = ( ) (triángulo irregular) 861 = ( = 861) (triángulo regular) 863 = ( ) (triángulo irregular) 865 = ( = 865) (pentágono regular) 867 = ( = 867) (triángulo regular) 869 = ( = 869) (endecágono regular) 871 = ( = 871) (tridecágono regular) 873 = ( = 873) (triángulo regular) 875 = ( = 875) (pentágono regular) 877 = ( ) (triángulo irregular) 879 = ( = 879) (triángulo regular) 881 = ( ) (triángulo irregular) 883 = ( ) (triángulo irregular) 885 = ( = 885) (pentágono regular) 887 = ( ) (triángulo irregular) 889 = ( = 889) (heptágono regular) 891 = ( = 891) (triángulo regular) 893 = ( = 893) (eneadecágono regular) 895 = ( = 895) (pentágono regular) 897 = ( = 897) (triángulo regular) 899 = (

25 = 899) (icosakaieneágono regular) 901 = ( = 901) (heptadecágono regular) 903 = ( = 903) (triángulo regular) 905 = ( = 905) (pentágono regular) 907 = ( ) (triángulo irregular) 909 = ( = 909) (triángulo regular) 911 = ( ) (triángulo irregular) 913 = ( = 913) (endecágono regular) 915 = ( = 915) (pentágono regular) 917 = ( = 917) (heptágono regular) 919 = ( ) (triángulo irregular) 921 = ( = 921) (triángulo regular) 923 = ( = 923) (tridecágono regular) 925 = ( = 925) (pentágono regular) 927 = ( = 927) (triángulo regular) 929 = ( ) (triángulo irregular) 931 = ( = 931) (heptágono regular) 933 = ( = 933) (triángulo regular) 935 = ( = 935) (pentágono regular) 937 = ( ) (triángulo irregular) 939 = ( = 939) (triángulo regular) 941 = ( ) (triángulo irregular) 943 = ( = 943) (icosakaitrígono regular) 945 = ( = 945) (pentágono regular) 25

26 947 = ( ) (triángulo irregular) 949 = ( = 949) (tridecágono regular) 951 = ( = 951) (triángulo regular) 953 = ( ) (triángulo irregular) 955 = ( = 955) (pentágono regular) 957 = ( = 957) (triángulo regular) 959 = ( = 959) (heptágono regular) 961 = ( = 961) (31 2 ) (tricontakaihenágono regular) 963 = ( = 963) (triángulo regular) 965 = ( = 965) (pentágono regular) 967 = ( ) (triángulo irregular) 969 = ( = 969) (triángulo regular) 971 = ( ) (triángulo irregular) 973 = ( = 973) (heptágono regular) 975 = ( = 975) (pentágono regular) 977 = ( ) (triángulo irregular) 979 = ( = 979) (endecágono regular) 981 = ( = 981) (triángulo regular) 983 = ( ) (triángulo irregular) 985 = ( = 985) (pentágono regular) 987 = ( = 987) (triángulo regular) 989 = ( = 989) (icosakaitrígono regular) 991 = ( ) (triángulo irregular) 993 = ( = 993) (triángulo regular) 26

27 995 = ( = 995) (pentágono regular) 997 = ( ) (triángulo irregular) 999 = ( = 999) (triángulo regular) NÚMEROS MAYORES 9779 = ( = 9779) (heptágono regular) 9781 = ( ) (triángulo irregular) 9783 = ( = 9783) (triángulo regular) = ( = 10003) (heptágono regular) = ( = 10005) (pentágono regular) = ( ) (triángulo irregular) = ( = ) (triángulo regular) = ( ) (triángulo irregular) = ( = ) (endecágono regular) = ( = ) (icosakaitrígono regular) = ( ) (triángulo irregular) = ( = ) (triángulo regular) = (

28 = ) (heptadecágono regular) = ( ) (triángulo irregular) = ( = ) (pentágono regular) = ( = ) (eneágono regular) = ( ) (triángulo irregular) = ( = ) (pentágono regular) 28

29 2. Números Primos: la fórmula ternaria Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. También podemos definirlo como aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma. Conviene observar que con cualquiera de las dos definiciones el número 1 queda excluido del conjunto de los números primos. El término primo deriva del latín "primus" que significa primero (protos en griego). El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número entero se expresa de forma única como producto de números primos. Por eso se les considera los "primeros", porque a partir de ellos obtenemos todos los demás números enteros. (El 15 se obtiene multiplicando los primos 3 y 5). Hasta ahora la sucesión de los números primos ha sido poco predecible. Aschero aporta un camino que hace totalmente clara su aparición en un modelo aritmético simple y poderoso. Durante siglos, las mentes más preclaras intentaron poner fin a esta situación pero sin éxito. Leonhard Euler comentó en una ocasión: "Los matemáticos han intentado en vano hasta la fecha descubrir algún orden en la sucesión de los números primos, y tenemos razones para creer que es un misterio en el que la mente no podrá penetrar nunca". En una conferencia dada por D. Zagier en 1.975, éste dijo: "Hay dos hechos en torno a la distribución de los números primos que espero crean tan abrumadoramente, que quedarán por siempre grabadas en sus corazones. La primera es que a pesar de su sencilla definición y de su papel como ladrillos que construyen los números naturales, los números primos crecen como la mala hierba alrededor de los números naturales, simulando no obedecer otra ley que la del azar, y nadie puede predecir donde brotará el siguiente. El segundo hecho es incluso más asombroso, porque dice justamente lo opuesto: que los números primos hacen gala de una pasmosa regularidad, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen esas leyes con una precisión casi militar". Aschero demuestra la veracidad del segundo hecho con el siguiente análisis: al sumar dos números impares sucesivos, iniciando el proceso con el número 1 y continuándolo con número 3, se produce como resultado inicial el número 4, definiéndose de esta manera el principio del modelo que se aplicará en todos los números primos sucesiva y progresivamente en unión con la base ternaria de la multiplicación que la fórmula de Aschero propone. Todos los números primos estarán ubicados rigurosamente en la cifra anterior y posterior del resultado de la multiplicación por tres. También los números compuestos impares responden a este principio multiplicativo impar que en este caso parte de tres y paulatinamente con los cuadrados de 5, 7, 9, 11 se irá ampliando a otros números, dando siempre un resultado exacto, equivalente a la suma sucesiva de los números impares, donde además la cantidad de cifras impares multiplicada por el número central será idéntica a la suma impar y por consiguiente al número compuesto. Finalmente se establece una diferencia entre los números impares que se multiplican por otros impares para descubrir los compuestos (exceptuando la dualidad operativa en los "vacíos primos") y los pares que se multiplican siempre por tres en el caso de los primos. Y esto es aplicable a todos los números primos y compuestos conocidos y por conocer. Se puede asegurar entonces que los números primos tienen una secuencia regular ternaria que los conecta y ordena. 29

30 1 = (1) (no primo) 2 = (2) (excepción binaria) 3 = (1 + 3 = 4) (3 x 1) (excepción por la multiplicación por 1 (no primo) 5 = (1 + 3 = 4) (3 x 2-1) 7 = (3 + 5 = 8) (3 x 2 + 1) 9 = ( = 9) (3 2 ) (3 x 3) 11 = (5 + 7 = 12) (3 x 4-1) 13 = (5 + 7 = 12) (3 x 4 + 1) 15 = ( = 15) (3 x 5) 17 = (7 + 9 = 16) (3 x 6-1) 19 = ( = 20) (3 x 6 + 1) 21 = ( = 21) (3 x 7) 23 = ( = 24) (3 x 8-1) 25 = ( = 25) (5 2 ) (5 x 5) 27 = ( = 27) (3 x 9) 29 = ( = 28) (3 x 10-1) 31 = ( = 32) (3 x ) 33 = ( = 33) (3 x 11) 35 = ( = 35) (5 x 7) 37 = ( = 36) (3 x ) 39 = ( = 39) (3 x 13) 41 = ( = 40) (3 x 14-1) 43 = ( = 44) (3 x ) 45 = ( = 45) (3 x 15) (5 x 9) 47 = ( = 48) (3 x 16-1) 49 = ( = 49) (7 2 ) (7 x 7) 51 = ( = 51) (3 x 17) 53 = ( = 52) (3 x 18-1) 30

31 55 = ( = 55) (5 x 11) 57 = ( = 57) (3 x 19) 59 = ( = 56) ( = 60) (3 x 20-1) 61 = ( = 60) (3 x 20-1) 63 = ( = 63) (3 x 21) (7 x 9) 65 = ( = 65) (5 x 13) 67 = ( = 64) ( = 68) (3 x ) 69 = ( = 69) (3 x 23) 71 = ( = 72) (3 x 24-1) 73 = ( = 72) (3 x ) 75 = ( = 75) (3 x 25) (5 x 15) 77 = ( = 77) (7 x 11) 79 = ( = 76) ( = 80) (3 x ) 81 = ( = 81) (9 2 ) (3 x 27) (9 x 9) 83 = ( = 84) (3 x 28-1) 85 = ( = 85) (5 x 17) 87 = ( = 87) (3 x 29) 89 = ( = 88) (3 x 30-1) 91 = ( = 91) (7 x 13) 93 = ( = 93) (3 x 31) 95 = ( = 95) (5 x 19) 97 = ( = 92) ( = 96) (3 x ) 99 = ( = 99) (3 x 33) (9 x 11) 101 = ( = 100) ( = 104) (3 x 34-1) 103 = ( = 104) (3 x ) 105 = ( = 105) (3 x 35) (5 x 21) (7 x 15) 107 = ( = 108) (3 x 36-1) 109 = ( = 108) ( = 112) (3 x ) 31

32 111 = ( = 111) (3 x 37) 113 = ( = 112) ( = 116) (3 x 38-1) 115 = ( = 115) (5 x 23) 117 = ( = 117) (3 x 39) (9 x 13) 119 = ( = 119) (7 x 17) (3 x 40-1) 121 = ( = 121) (11 2 ) (11 x 11) (3 x ) 123 = ( = 123) (3 x 41) 125 = ( = 125) (5 x 25) 127 = ( = 120) ( = 124) ( = 128) (3 x 42-1) 129 = ( = 129) (3 x 43) 131 = ( = 132) (3 x 44-1) 133 = ( = 133) (7 x 19) 135 = ( = 135) (3 x 45) (5 x 27) (9 x 15) 137 = ( = 136) (3 x 46-1) 139 = ( = 140) (3 x 46-1) 141 = ( = 141) (3 x 47) 143 = ( = 143) (11 x 13) (3 x 48-1) 145 = ( = 145) (5 x 29) (3 x ) 147 = ( = 147) (3 x 49) (7 x 21) 149 = ( = 144) ( = 148) (3 x 50-1) 151 = ( = 152) (3 x ) 153 = ( = 153) (3 x 51) (9 x 17) 155 = ( = 155) (5 x 31) 157 = ( = 156) (3 x ) 159 = ( = 159) (3 x 53) 161 = ( = 161) (7 x 23) 163 = ( = 160) ( = 164) (3 x ) 32

33 165 = ( = 165) (3 x 55) (5 x 33) (11 x 15) 167 = ( = 168) (3 x 56-1) 169 = ( = 169) (13 2 ) (13 x 13) 171 = ( = 171) (3 x 57) (9 x 19) 173 = ( = 172) (3 x 58-1) 175 = ( = 175) (5 x 35) (7 x 25) 177 = ( = 177) (3 x 59) 179 = ( = 176) ( = 180) (3 x 60-1) 181 = ( = 180) (3 x ) 183 = ( = 183) (3 x 61) 185 = ( = 185) (5 x 37) (3 x 62-1) 187 = ( = 187) (11 x 17) (3 x ) 189 = ( = 189) (3 x 63) (7 x 27) (9 x 21) 191 = ( = 184) ( = 188) ( = 192) (3 x 64-1) 193 = ( = 192) (3 x ) 195 = ( = 195) (3 x 65) (5 x 39) (13 x 15) 197 = ( = 196) (3 x 66-1) 199 = ( = 200) (3 x ) 201 = ( = 201) (3 x 67) 203 = ( = 203) (7 x 29) (3 x 68-1) 205 = ( = 205) (5 x 41) (3 x ) 207 = ( = 207) (3 x 69) (9 x 23) 209 = ( = 209) (11 x 19) 211 = ( = 204) ( = 208) ( = 212) (3 x ) 213 = ( = 213) (3 x 71) 215 = ( = 215) (5 x 43) (3 x 72-1) 217 = ( = 217) (7 x 31) (3 x ) 219 = ( = 219) (3 x 73) 33

34 221 = ( = 221) (13 x 17) 223 = ( = 216) ( = 220) ( = 224) (3 x ) 225 = ( = 225) (15 2 ) (3 x 75) (5 x 45) (9 x 25) (15 x 15) 227 = ( = 228) (3 x 76-1) 229 = ( = 228) (3 x ) 231 = ( = 231) (3 x 77) (7 x 33) (11 x 21) 233 = ( = 232) (3 x 78-1) 235 = ( = 235) (5 x 47) 237 = ( = 237) (3 x 79) 239 = ( = 236) ( = 240) (3 x 80-1) 241 = ( = 240) (3 x ) 243 = ( = 243) (3 x 81) (9 x 27) 245 = ( = 245) (5 x 49) (7 x 35) 247 = ( = 247) (13 x 19) (3 x ) 249 = ( = 249) (3 x 83) 251 = ( = 244) ( = 248) ( = 252) (3 x 84-1) 253 = ( = 253) (11 x 23) 255 = ( = 255) (3 x 85) (5 x 51) (15 x 17) 257 = ( = 256) (3 x 86-1) 259 = ( = 259) (7 x 37) 261 = ( = 261) (3 x 87) (9 x 29) 263 = ( = 260) ( = 264) (3 x 88-1) 265 = ( = 265) (5 x 53) 267 = ( = 267) (3 x 89) 269 = ( = 268) (3 x 90-1) 271 = ( = 272) (3 x ) 34

35 273 = ( = 273) (3 x 91) (7 x 39) (13 x 21) 275 = ( = 275) (5 x 55) (11 x 25) 277 = ( = 276) (3 x ) 279 = ( = 279) (3 x 93) (9 x 31) 281 = ( = 280) (3 x 94-1) 283 = ( = 284) (3 x ) 285 = ( = 285) (3 x 95) (5 x 57) (15 x 19) 287 = ( = 287) (7 x 41) 289 = ( = 289) (17 2 ) (17 x 17) (3 x ) 291 = ( = 291) (3 x 97) 293 = ( = 288) ( = 292) (3 x 98-1) 295 = ( = 295) (5 x 59) 297 = ( = 297) (3 x 99) (9 x 33) (11 x 27) 299 = ( = 299) (13 x 23) 301 = ( = 301) (7 x 43) (3 x ) 303 = ( = 303) (3 x 101) 305 = ( = 305) (5 x 61) 307 = ( = 296) ( = 300) ( = 304) ( = 308) (3 x ) 309 = ( = 309) (3 x 103) 311 = ( = 312) (3 x 104-1) 313 = ( = 312) (3 x ) 315 = ( = 315) (3 x 105) (5 x 63) (7 x 45) (9 x 35) (15 x 21) 317 = ( = 316) (3 x 106-1) 319 = ( = 319) (11 x 29) 35

36 321 = ( = 321) (3 x 107) 323 = ( = 323) (17 x 19) (3 x 108-1) 325 = ( = 325) (5 x 65) (13 x 25) 327 = ( = 327) (3 x 109) 329 = ( = 329) (7 x 47) 331 = ( = 320) ( = 324) ( = 328) ( = 332) (3 x ) 333 = ( = 333) (3 x 111) (9 x 37) 335 = ( = 335) (5 x 67) 337 = ( = 336) (3 x ) 339 = ( = 339) (3 x 113) 341 = ( = 341) (11 x 31) 343 = ( = 343) (7 x 49) (3 x ) 345 = ( = 345) (3 x 115) (5 x 69) (15 x 23) 347 = ( = 340) ( = 344) ( = 348) (3 x 116-1) 349 = ( = 348) (3 x ) 351 = ( = 351) (3 x 117) (9 x 39) (13 x 27) 353 = ( = 352) (3 x 118-1) 355 = ( = 355) (5 x 71) 357 = ( = 357) (3 x 119) (7 x 51) (17 x 21) 359 = ( = 356) ( = 360) (3 x 120-1) 361 = ( = 361) (19 2 ) (19 x 19) 363 = ( = 363) (3 x 121) (11 x 33) 365 = ( = 365) (5 x 73) 367 = ( = 356) ( = 360) ( = 364) ( = 368) 36

37 (3 x ) 369 = ( = 369) (3 x 123) (9 x 41) 371 = ( = 371) (7 x 53) 373 = ( = 372) (3 x ) 375 = ( = 375) (3 x 125) (5 x 75) (15 x 25) 377 = ( = 377) (13 x 29) 379 = ( = 376) ( = 380) (3 x ) 381 = ( = 381) (3 x 127) 383 = ( = 384) (3 x 128-1) 385 = ( = 385) (5 x 77) (7 x 55) (11 x 35) 387 = ( = 387) (3 x 129) (9 x 43) 389 = ( = 388) (3 x 130-1) 391 = ( = 391) (17 x 23) 393 = ( = 393) (3 x 131) 395 = ( = 395) (5 x 79) 397 = ( = 392) ( = 396) (3 x ) 399 = ( = 399) (3 x 133) (7 x 57) (19 x 21) 401 = ( = 400) (3 x 134-1) 403 = ( = 403) (13 x 31) 405 = ( = 405) (3 x 135) (5 x 81) (9 x 45) (15 x 27) 407 = ( = 407) (11 x 37) 409 = ( = 404) ( = 408) (3 x 136-1) 411 = ( = 411) (3 x 137) 413 = ( = 413) (7 x 59) 37

38 415 = ( = 415) (5 x 83) (3 x ) 417 = ( = 417) (3 x 139) 419 = ( = 412) ( = 416) ( = 420) (3 x 140-1) 421 = ( = 420) (3 x ) 423 = ( = 423) (3 x 141) (9 x 47) 425 = ( = 425) (5 x 85) (17 x 25) 427 = ( = 427) (7 x 61) (3 x ) 429 = ( = 429) (3 x 143) (11 x 39) (13 x 33) 431 = ( = 424) ( = 428) ( = 432) (3 x 144-1) 433 = ( = 432) (3 x ) 435 = ( = 435) (3 x 145) (5 x 87) (15 x 29) 437 = ( = 437) (19 x 23) 439 = ( = 436) ( = 440) (3 x ) 441 = ( = 441) (21 2 ) (3 x 147) (7 x 63) (9 x 49) (21 x 21) 443 = ( = 444) (3 x 148-1) 445 = ( = 445) (5 x 89) 447 = ( = 447) (3 x 149) 449 = ( = 448) (3 x 150-1) 451 = ( = 451) (11 x 41) 453 = ( = 453) (3 x 151) 455 = ( = 455) (5 x 91) (7 x 65) (13 x 35) 457 = ( = 452) ( = 456) (3 x ) 459 = ( = 459) (3 x 153) (9 x 51) (17 x 27) 461 = ( = 460) (3 x 154-1) 463 = ( = 464) (3 x ) 465 = ( = 465) (3 x 155) (5 x 93) (15 x 31) 38

39 467 = ( = 468) (3 x 156-1) 469 = ( = 469) (7 x 67) 471 = ( = 471) (3 x 157) 473 = ( = 473) (11 x 43) 475 = ( = 475) (5 x 95) (19 x 25) (3 x ) 477 = ( = 477) (3 x 159) (9 x 53) 479 = ( = 472) ( = 476) ( = 480) (3 x 160-1) 481 = ( = 481) (13 x 37) 483 = ( = 483) (3 x 161) (7 x 69) (21 x 23) 485 = ( = 485) (5 x 97) 487 = ( = 484) ( = 488) (3 x ) 489 = ( = 489) (3 x 163) 491 = ( = 492) (3 x 164-1) 493 = ( = 493) (17 x 29) 495 = ( = 495) (3 x 165) (5 x 99) (9 x 55) (11 x 45) (15 x 33) 497 = ( = 497) (7 x 71) 499 = ( = 496) ( = 500) (3 x ) 501 = ( = 501) (3 x 167) 503 = ( = 504) (3 x ) (3 x 168-1) 505 = ( = 505) (5 x 101) 507 = ( = 507) (3 x 169) (13 x 39) 509 = ( = 508) (3 x 170-1) 511 = ( = 513) (7 x 73) 513 = ( = 513) (3 x 171) (9 x 57) (19 x 27) 515 = ( = 515) (5 x 103) 39

40 517 = ( = 517) (11 x 47) (3 x ) 519 = ( = 519) (3 x 173) 521 = ( = 512) ( = 516) ( = 520) (3 x 174-1) 523 = ( = 524) (3 x ) 525 = ( = 525) (3 x 175) (5 x 105) (7 x 75) (15 x 35) (21 x 25) 527 = ( = 527) (17 x 31) 529 = ( = 529) (23 2 ) (23 x 23) (3 x ) 531 = ( = 531) (3 x 177) (9 x 59) 533 = ( = 533) (13 x 41) 535 = ( = 535) (5 x 107) (3 x ) 537 = ( = 537) (3 x 179) 539 = ( = 539) (7 x 77) (11 x 49) 541 = ( = 528) ( = 532) ( = 536) ( = 540) (3 x ) 543 = ( = 543) (3 x 181) 545 = ( = 545) (5 x 109) 547 = ( = 544) ( = 548) (3 x ) 549 = ( = 549) (3 x 183) (9 x 61) 551 = ( = 551) (19 x 29) 553 = ( = 553) (7 x 79) (3 x ) 555 = ( = 555) (3 x 185) (5 x 111) (15 x 37) 40

41 557 = ( = 552) ( = 556) (3 x 186-1) 559 = ( = 559) (13 x 43) 561 = ( = 561) (3 x 187) (11 x 51) (17 x 33) 563 = ( = 560) ( = 564) (3 x 188-1) 565 = ( = 565) (5 x 113) 567 = ( = 567) (3 x 189) (7 x 81) (9 x 63) (21 x 27) 569 = ( = 568) (3 x 190-1) 571 = ( = 572) (3 x ) 573 = ( = 573) (3 x 191) 575 = ( = 575) (5 x 115) (23 x 25) 577 = ( = 576) (3 x ) 579 = ( = 579) (3 x 193) 581 = ( = 581) (7 x 83) 583 = ( = 583) (11 x 53) (3 x ) 585 = ( = 585) (3 x 195) (5 x 117) (9 x 65) (13 x 45) (15 x 39) 587 = ( = 580) ( = 584) ( = 588) (3 x 196-1) 589 = ( = 589) (19 x 31) 591 = ( = 591) (3 x 197) 593 = ( = 592) (3 x 198-1) 595 = ( = 595) (5 x 119) (7 x 85) (17 x 35) 597 = ( = 597) (3 x 199) 599 = ( = 596) ( = 600) (3 x 200-1) 601 = ( = 600) (3 x ) 41

42 603 = ( = 603) (3 x 201) (9 x 67) 605 = ( = 605) (5 x 121) (11 x 55) 607 = ( = 604) ( = 608) (3 x ) 609 = ( = 609) (3 x 203) (7 x 87) (21 x 29) 611 = ( = 611) (13 x 47) 613 = ( = 612) (3 x ) 615 = ( = 615) (3 x 205) (5 x 123) (15 x 41) 617 = ( = 616) (3 x 206-1) 619 = ( = 620) (3 x ) 621 = ( = 621) (3 x 207) (9 x 69) (23 x 27) 623 = ( = 623) (7 x 89) 625 = ( = 625) (25 2 ) (5 x 125) (25 x 25) (3 x ) 627 = ( = 627) (3 x 209) (11 x 57) (19 x 33) 629 = ( = 629) (17 x 37) 631 = ( = 624) ( = 628) ( = 632) (3 x ) 633 = ( = 633) (3 x 211) 635 = ( = 635) (5 x 127) 637 = ( = 637) (7 x 91) (13 x 49) (3 x ) 639 = ( = 639) (3 x 213) (9 x 71) 641 = ( = 636) ( = 640) (3 x 214-1) 643 = ( = 644) (3 x ) 645 = ( = 645) (3 x 215) (5 x 129) (15 x 43) 647 = ( = 648) (3 x 216-1) 42

43 649 = ( = 649) (11 x 59) 651 = ( = 651) (3 x 217) (7 x 93) (21 x 31) 653 = ( = 652) (3 x 218-1) 655 = ( = 655) (5 x 131) 657 = ( = 657) (3 x 219) (9 x 73) 659 = ( = 656) ( = 660) (3 x 220-1) 661 = ( = 660) (3 x ) 663 = ( = 663) (3 x 221) (13 x 51) (17 x 39) 665 = ( = 665) (5 x 133) (7 x 95) (19 x 35) 667 = ( = 667) (23 x 29) (3 x ) 669 = ( = 669) (3 x 223) 671 = ( = 671) (11 x 61) 673 = ( = 664) ( = 668) ( = 672) (3 x ) 675 = ( = 675) (3 x 225) (5 x 135) (9 x 75) (15 x 45) (25 x 27) 677 = ( = 676) (3 x 226-1) 679 = ( = 679) (7 x 97) 681 = ( = 681) (3 x 227) 683 = ( = 680) ( = 684) (3 x 228-1) 685 = ( = 685) (5 x 137) 687 = ( = 687) (3 x 229) 689 = ( = 689) (13 x 53) 691 = ( = 688) ( = 692) (3 x ) 693 = ( = 693) (3 x 231) (7 x 99) (9 x 77) (11 x 63) (21 x 33) 695 = ( = 695) (5 x 139) 697 = (

44 = 697) (17 x 41) (3 x ) 699 = ( = 699) (3 x 233) 701 = ( = 696) ( = 700) (3 x 234-1) 703 = ( = 703) (19 x 37) 705 = ( = 705) (3 x 235) (5 x 141) (15 x 47) 707 = ( = 707) (7 x 101) 709 = ( = 704) ( = 708) (3 x ) 711 = ( = 711) (3 x 237) (9 x 79) 713 = ( = 713) (23 x 31) 715 = ( = 715) (5 x 143) (11 x 65) (13 x 55) (3 x ) 717 = ( = 717) (3 x 239) 719 = ( = 712) ( = 716) ( = 720) (3 x 240-1) 721 = ( = 721) (7 x 103) 723 = ( = 723) (3 x 241) 725 = ( = 725) (5 x 145) (25 x 29) 727 = ( = 724) ( = 728) (3 x ) 729 = ( = 729) (27 2 ) (3 x 243) (9 x 81) (27 x 27) 731 = ( = 731) (17 x 43) 733 = ( = 732) (3 x ) 735 = ( = 735) (3 x 245) (5 x 147) (7 x 105) (15 x 49) (21 x 35) 737 = ( = 737) (11 x 67) 739 = ( = 736) ( = 740) (3 x ) 44

45 741 = ( = 741) (3 x 247) (13 x 57) (19 x 39) 743 = ( = 744) (3 x 248-1) 745 = ( = 745) (5 x 149) 747 = ( = 747) (3 x 249) (9 x 83) 749 = ( = 749) (7 x 107) 751 = ( = 748) ( = 752) (3 x ) 753 = ( = 753) (3 x 251) 755 = ( = 755) (5 x 151) 757 = ( = 756) (3 x ) 759 = ( = 759) (3 x 253) (11 x 69) (23 x 33) 761 = ( = 760) (3 x 254-1) 763 = ( = 763) (7 x 109) 765 = ( = 765) (3 x 255) (5 x 153) (9 x 85) (15 x 51) (17 x 45) 767 = ( = 767) (13 x 59) 769 = ( = 764) ( = 768) (3 x ) 771 = ( = 771) (3 x 257) 773 = ( = 772) (3 x 258-1) 775 = ( = 775) (5 x 155) (25 x 31) 777 = ( = 777) (3 x 259) (7 x 111) (21 x 37) 779 = ( = 779) (19 x 41) 781 = ( = 781) (11 x 71) (3 x ) 783 = ( = 783) (3 x 261) (9 x 87) (27 x 29) 785 = ( = 785) (5 x 157) 787 = ( = 776) ( = 780) ( = 784) ( = 788) 45

46 (3 x ) 789 = ( = 789) (3 x 263) 791 = ( = 791) (7 x 113) 793 = ( = 793) (13 x 61) (3 x ) 795 = ( = 795) (3 x 265) (5 x 159) (15 x 53) 797 = ( = 792) ( = 796) (3 x 266-1) 799 = ( = 799) (17 x 47) 801 = ( = 801) (3 x 267) (9 x 89) 803 = ( = 803) (11 x 73) 805 = ( = 805) (5 x 161) (7 x 115) (23 x 35) (3 x ) 807 = ( = 807) (3 x 269) 809 = ( = 800) ( = 804) ( = 808) (3 x 270-1) 811 = ( = 812) (3 x ) 813 = ( = 813) (3 x 271) 815 = ( = 815) (5 x 163) 817 = ( = 817) (19 x 43) (3 x ) 819 = ( = 819) (3 x 273) (7 x 117) (9 x 91) (13 x 63) (21 x 39) 821 = ( = 816) ( = 820) (3 x 274-1) 823 = ( = 824) (3 x ) 825 = ( = 825) (3 x 275) (5 x 165) (11 x 75) (15 x 55) (25 x 33) 827 = ( = 828) (3 x 276-1) 829 = ( = 828) (3 x ) 831 = ( = 831) (3 x 277) 833 = ( = 833) (7 x 119) (17 x 49) 46

47 835 = ( = 835) (5 x 167) (3 x ) 837 = ( = 837) (3 x 279) (9 x 93) (27 x 31) 839 = ( = 832) ( = 836) ( = 840) (3 x 280-1) 841 = ( = 841) (29 2 ) (29 x 29) 843 = ( = 843) (3 x 281) 845 = ( = 845) (5 x 169) (13 x 65) 847 = ( = 847) (7 x 121) (11 x 77) (3 x ) 849 = ( = 849) (3 x 283) 851 = ( = 851) (23 x 37) 853 = ( = 844) ( = 848) ( = 852) (3 x ) 855 = ( = 855) (3 x 285) (5 x 171) (9 x 95) (15 x 57) (19 x 45) 857 = ( = 856) (3 x 286-1) 859 = ( = 860) (3 x ) 861 = ( = 861) (3 x 287) (7 x 123) (21 x 41) 863 = ( = 864) (3 x 288-1) 865 = ( = 865) (5 x 173) 867 = ( = 867) (3 x 289) (17 x 51) 869 = ( = 869) (11 x 79) 871 = ( = 871) (13 x 67) (3 x ) 873 = ( = 873) (3 x 291) (9 x 97) 875 = ( = 875) (5 x 175) (7 x 125) (25 x 35) 877 = ( = 868) ( = 872) ( = 876) (3 x ) 879 = ( = 879) (3 x 293) 47

48 881 = ( = 880) (3 x 294-1) 883 = ( = 884) (3 x ) 885 = ( = 885) (3 x 295) (5 x 177) (15 x 59) 887 = ( = 888) (3 x 296-1) 889 = ( = 889) (7 x 127) 891 = ( = 891) (3 x 297) (9 x 99) (11 x 81) (27 x 33) 893 = ( = 893) (19 x 47) 895 = ( = 895) (5 x 179) (3 x ) 897 = ( = 897) (3 x 299) (13 x 69) (23 x 39) 899 = ( = 899) (29 x 31) 901 = ( = 901) (17 x 53) (3 x ) 903 = ( = 903) (3 x 301) (7 x 129) (21 x 43) 905 = ( = 905) (5 x 181) 907 = ( = 892) ( = 896) ( = 900) ( = 904) ( = 908) (3 x ) 909 = ( = 909) (3 x 303) (9 x 101) 911 = ( = 912) (3 x 304-1) 913 = ( = 913) (11 x 83) 915 = ( = 915) (3 x 305) (5 x 183) (15 x 61) 917 = ( = 917) (7 x 131) 919 = ( = 916) ( = 920) (3 x ) 921 = ( = 921) (3 x 307) 923 = ( = 923) (13 x 71) 925 = ( = 925) (5 x 185) (25 x 37) (3 x ) 48

49 927 = ( = 927) (3 x 309) (9 x 103) 929 = ( = 924) ( = 928) (3 x 310-1) 931 = ( = 931) (7 x 133) (19 x 49) 933 = ( = 933) (3 x 311) 935 = ( = 935) (5 x 187) (11 x 85) (17 x 55) 937 = ( = 932) ( = 936) (3 x ) 939 = ( = 939) (3 x 313) 941 = ( = 940) (3 x 314-1) 943 = ( = 943) (23 x 41) 945 = ( = 945) (3 x 315) (5 x 189) (7 x 135) (9 x 105) (15 x 63) (21 x 45) (27 x 35) 947 = ( = 944) ( = 948) (3 x 316-1) 949 = ( = 949) (13 x 73) 951 = ( = 951) (3 x 317) 953 = ( = 952) (3 x 318-1) 955 = ( = 955) (5 x 191) 957 = ( = 957) (3 x 319) (11 x 87) (29 x 33) 959 = ( = 959) (7 x 137) 961 = ( = 961) (31 2 ) (31 x 31) (3 x ) 963 = ( = 963) (3 x 321) (9 x 107) 965 = ( = 965) (5 x 193) 967 = ( = 956) ( = 960) ( = 964) ( = 968) (3 x ) 49

50 969 = ( = 969) (3 x 323) (17 x 57) (19 x 51) 971 = ( = 972) (3 x 324-1) 973 = ( = 973) (7 x 139) 975 = ( = 975) (3 x 325) (5 x 195) (13 x 75) (15 x 65) (25 x 39) 977 = ( = 976) (3 x 326-1) 979 = ( = 979) (11 x 89) 981 = ( = 981) (3 x 327) (9 x 109) 983 = ( = 980) ( = 984) (3 x 328-1) 985 = ( = 985) (5 x 197) 987 = ( = 987) (3 x 329) (7 x 141) (21 x 47) 989 = ( = 989) (23 x 43) 991 = ( = 988) ( = 992) (3 x ) 993 = ( = 993) (3 x 331) 995 = ( = 995) (5 x 199) 997 = ( = 996) (3 x ) 999 = ( = 999) (3 x 333) (9 x 111) (27 x 37) Análisis de los números primos comprendidos entre 1 y = (1) 2 = (2) 3 = (3 x 1) (excepción) 5 = (3 x 2-1) 7 = (3 x 2 + 1) 9 11 = (3 x 4-1) 13 = (3 x 4 + 1) = (3 x 6-1) 50

51 19 = (3 x 6 + 1) = (3 x 8-1) = (3 x 10-1) 31 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 14-1) 43 = (3 x ) = (3 x 16-1) = (3 x ) = (3 x 20-1) 61 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 24-1) 73 = (3 x ) 51

52 = (3 x ) = (3 x 28-1) = (3 x 30-1) = (3 x ) = (3 x 34-1) 103 = (3 x ) = (3 x 36-1) 109 = (3 x ) = (3 x 38-1)

53 127 = (3 x 42-1) = (3 x 44-1) = (3 x 46-1) 139 = (3 x 46-1) = (3 x 50-1) 151 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 56-1) = (3 x 58-1)

54 179 = (3 x 60-1) 181 = (3 x ) = (3 x 64-1) 193 = (3 x ) = (3 x 66-1) 199 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 76-1) 229 = (3 x ) 54

55 = (3 x 78-1) = (3 x 80-1) 241 = (3 x ) = (3 x 84-1) = (3 x 86-1) = (3 x 88-1) = (3 x 90-1) 271 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 94-1) 55

56 283 = (3 x ) = (3 x 98-1) = (3 x ) = (3 x 104-1) 313 = (3 x ) = (3 x 106-1) = (3 x )

57 = (3 x ) = (3 x 116-1) 349 = (3 x ) = (3 x 118-1) = (3 x 120-1) = (3 x ) = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 128-1)

58 = (3 x 130-1) = (3 x ) = (3 x 134-1) = (3 x 136-1) = (3 x 140-1) 421 = (3 x ) = (3 x 144-1) 433 = (3 x )

59 439 = (3 x ) = (3 x 148-1) = (3 x 150-1) = (3 x ) = (3 x 154-1) 463 = (3 x ) = (3 x 156-1) = (3 x 160-1) = (3 x )

60 491 = (3 x 164-1) = (3 x ) = (3 x 168-1) = (3 x 170-1) = (3 x 174-1) 523 = (3 x ) = (3 x ) 60

61 = (3 x ) = (3 x 186-1) = (3 x 188-1) = (3 x 190-1) 571 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 196-1) = (3 x 198-1) 61

62 = (3 x 200-1) 601 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 206-1) 619 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 214-1) 643 = (3 x )

63 647 = (3 x 216-1) = (3 x 218-1) = (3 x 220-1) 661 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 226-1) = (3 x 228-1) = (3 x )

64 = (3 x 234-1) = (3 x ) = (3 x 240-1) = (3 x ) = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 248-1)

65 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 254-1) = (3 x ) = (3 x 258-1) = (3 x ) = (3 x 266-1)

66 = (3 x 270-1) 811 = (3 x ) = (3 x 274-1) 823 = (3 x ) = (3 x 276-1) 829 = (3 x ) = (3 x 280-1) = (3 x ) 66

67 = (3 x 286-1) 859 = (3 x ) = (3 x 288-1) = (3 x ) = (3 x 294-1) 883 = (3 x ) = (3 x 296-1) = (3 x ) = (3 x 304-1)

68 = (3 x ) = (3 x 310-1) = (3 x ) = (3 x 314-1) = (3 x 316-1) = (3 x 318-1) = (3 x )

69 971 = (3 x 324-1) = (3 x 326-1) = (3 x 328-1) = (3 x ) = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 338-1) = (3 x 340-1) 1021 = (3 x ) 69

70 = (3 x 344-1) 1033 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 350-1) 1051 = (3 x ) = (3 x 354-1) 1063 = (3 x ) = (3 x )

71 = (3 x ) = (3 x 364-1) 1093 = (3 x ) = (3 x 366-1) = (3 x 368-1) = (3 x 370-1) = (3 x ) = (3 x )

72 = (3 x ) = (3 x 384-1) 1153 = (3 x ) = (3 x 388-1) = (3 x )

73 = (3 x 394-1) = (3 x 396-1) = (3 x 398-1) = (3 x ) = (3 x 404-1) = (3 x 406-1) = (3 x 408-1) = (3 x 410-1) 73

74 1231 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 420-1) = (3 x 426-1) 1279 = (3 x ) = (3 x 428-1) 74

75 = (3 x 430-1) 1291 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 434-1) 1303 = (3 x ) = (3 x 436-1) = (3 x 440-1) 1321 = (3 x ) = (3 x )

76 = (3 x 454-1) = (3 x 456-1) = (3 x 458-1) = (3 x )

77 = (3 x ) = (3 x 470-1) = (3 x ) = (3 x 476-1) 1429 = (3 x ) = (3 x 478-1) = (3 x 480-1) 77

78 = (3 x ) = (3 x 484-1) 1453 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 494-1) 1483 = (3 x ) = (3 x 496-1) 1489 = (3 x )

79 1493 = (3 x 498-1) = (3 x 500-1) = (3 x 504-1) = (3 x 508-1) = (3 x ) = (3 x ) 79

80 = (3 x ) = (3 x 518-1) = (3 x 520-1) = (3 x ) = (3 x 524-1) = (3 x ) = (3 x 528-1)

81 1597 = (3 x ) = (3 x 534-1) = (3 x 536-1) 1609 = (3 x ) = (3 x 538-1) = (3 x 540-1) 1621 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 546-1)

82 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 556-1) 1669 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 566-1) 1699 = (3 x ) 82

83 = (3 x 570-1) = (3 x 574-1) 1723 = (3 x ) = (3 x 578-1) = (3 x ) = (3 x )

84 1753 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 596-1) 1789 = (3 x ) = (3 x )

85 = (3 x 604-1) = (3 x 608-1) = (3 x ) = (3 x 616-1)

86 = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 624-1) 1873 = (3 x ) = (3 x 626-1) 1879 = (3 x ) = (3 x 630-1) 1901 = (3 x 634-1) = (3 x 636-1) = (3 x 638-1)

87 = (3 x 644-1) 1933 = (3 x ) = (3 x 650-1) 1951 = (3 x )

88 = (3 x 658-1) = (3 x 660-1) = (3 x ) = (3 x ) = (3 x 666-1) 1999 = (3 x ) = a) : 3 = , b) convertir en el número par siguiente: c) 3 x = d) = (3 x ) = ( = ) 88

89 3. El Reloj de 18 horas de los Números Primos Análisis: a) el reloj de los números primos tiene 18 horas. b) los números primos aparecen en 6 horas determinadas y su expansión hacia el infinito se produce solamente en 6 de esas horas. c) las horas del reloj: 1, 5, 7, 11, 13, 17. Todo número primo es congruente con 1,5,7,11,13,17 (módulo 18), ie, que todo número primo es de la forma, con Sabemos que, dados que únicos tales Esto es lo que se conoce como división entera (de entre ), con cociente, residuo. También sabemos que, por definición, no será primo si es producto de dos números, de modo que no será primo si o cualquiera de sus múltiplos debido a que 18=2 3 3, de manera que en estos casos podríamos sacar factor común y expresar como producto de dos números. Sin embargo, si, no 89

90 podremos sacar factor común, de modo que en estos casos r podrá tomar el valor 2,3, que son los primos que no vienen dados por el reloj. Por tanto, todo número primo en este Reloj, puede expresarse de la forma aquí establecida. d) y a las mismas 6 horas aparecen todos. e) los intervalos del reloj (en el primer giro de su aguja) son los siguientes: 4, 2, 4, 2, 4, 2. 90

91 f) la suma de los dígitos de cada uno de los números primos superpuestos, se transforma en el número inicial de cada superposición. Los pseudoprimos completan el diagrama. 91

92 g) análisis de los primeros números primos. 19, 37, 73, 109, 127, 163, 181, 199, 271, 307, 379, 397, 433, 487, 523, 541, 577, 613, 631, 739, 757, 811, 829, 883, 919, 937, 991, 1009 = 1 (2) (3) 23, 41, 59, 113, 131, 149, 167, 239, 257, 293, 311, 347, 383, 401, 419, 491, 509, 563, 599, 617, 653, 743, 761, 797, 887, 941, 977 = 5 43, 61, 79, 97, 151, 223, 241, 277, 313, 331, 349, 367, 421, 439, 457, 547, 601, 619, 709, 727, 853, 907, 997 = 7 29, 47, 83, 101, 137, 173, 191, 227, 263, 281, 317, 353, 389, 443, 461, 479, 569, 587, 641, 659, 677, 821, 839, 857, 911, 929, 947, 983 = 11 31, 67, 103, 139, 157, 193, 211, 229, 283, 337, 373, 409, 463, 499, 571, 607, 643, 661, 733, 751, 769, 787,823, 859, 877, 967 = 13 53, 71, 89, 107, 179, 197, 233, 251, 269, 359, 431, 449, 467, 503, 521, 557, 593, 647, 683, 701, 719, 773, 809, 827, 863, 881, 953, 971 = = 10 = = = = 4 = = = = 13 92

93 1049 = 14 = = = 8 = = 10 = = 16 = = 16 = = = = = = = 10 = = = = 8 = = 10 = = = 10 = = = = 14 = = 4 = = = = 8 = = 14 = = = = 16 = 7 93

94 1259 = = = 19 = = 14 = = 20 = 2 = = = 19 = = = = = 14 = = = = = = 14 = = = 22 = 4 = = = 10 = = 14 = = 16 = = = = 16 = = = 14 = = 19 = = 13 94

95 1481 = 14 = = 16 = = 20 = 2 = = 22 = 4 = = = 23 = = 8 = = = 10 = = = 19 = = 14 = = 20 = 2 = = 19 = = 14 = = 22 = 4 = = = 22 = 4 = = 8 = = 14 = = 16 = = = = 10 = = 16 = = = 19 = = 16 = = 20 = 2 = 11 95

96 1669 = 22 = 4 = = 19 = = 23 = = 25 = = = = = 14 = = = 19 = = 16 = = 22 = 4 = = 22 = 4 = = 19 = = 23 = = 25 = = 10 = = = 14 = = = 20 = 4 = = 16 = = 22 = 4 = = = 19 = = 23 = = 25 = = 26 = 8 = = 11 96

97 1907 = = 14 = = 14 = = 16 = = 23 = = 16 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 25 = = 22 = 4 = = 26 = 8 = = 28 = 10 = = = 4 = = 10 = = = = 14 = = 10 = = = = = = = 19 = = 20 = 2 = = = = 14 = 5 97

98 2131 = = = 8 = = 10 = = = 10 = = 19 = = = = 8 = = = 14 = = 16 = = = = = 19 = = 14 = = = 19 = = 16 = = 20 = 2 = = 14 = = = = = 10 = = 16 = = 11 98

99 2357 = = = 19 = = 14 = = 16 = = 22 = 4 = = = 23 = = 8 = = 14 = = = 16 = = = = 20 = 2 = = 19 = = 16 = = 20 = 2 = = 10 = = 10 = = = 19 = = 14 = = 20 = 2 = = = 19 = = 23 = = = 19 = 1 99

100 2609 = = 16 = = = 14 = = 19 = = 20 = 2 = = 22 = 4 = = = 16 = = 22 = 4 = = 19 = = 23 = = 25 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 16 = = = = 19 = = 20 = 2 = = = 14 = = 22 = 4 = = = 22 = 4 = = 23 = = 26 = 8 = = 19 = = 25 = 7 100

101 2801 = = = 20 = 2 = = 16 = = 20 = 2 = = = 16 = = 22 = 4 = = = 26 = 8 = = 25 = = 26 = 8 = = 14 = = 20 = 2 = = 19 = = 20 = 2 = = 23 = = 19 = = 23 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 19 = = 29 = = 4 = = = = 6 = = = 8 =

102 3049 = 16 = = 10 = = 16 = = 19 = = 14 = = 20 = 2 = = = 14 = = = 14 = = = = 19 = = = 19 = = 14 = = 8 = = 14 = = = 8 = = 16 = = = = = 20 = 2 = = = 23 = = =

103 3313 = 10 = = 16 = = = = 10 = = = = 20 = 2 = = = 14 = = 16 = = 23 = = 16 = = 14 = = = = 20 = 2 = = 19 = = 14 = = 16 = = 20 = 2 = = 22 = 4 = = = 25 = = 10 = = 16 = = = 19 = = 14 = 5 103

104 3539 = 20 = 2 = = = 19 = = 20 = 2 = = 22 = 4 = = 16 = = = 19 = = 20 = 2 = = 16 = = = = 14 = = = 19 = = 16 = = 23 = = = 19 = = 23 = = 19 = = 25 = = = 19 = = 20 = 2 = = 19 = = 16 = = 22 = 4 = =

105 3767 = 23 = = 25 = = 26 = 8 = = 22 = 4 = = 26 = 8 = = 14 = = 14 = = 16 = = = 22 = 4 = = = 19 = = 20 = 2 = = 25 = = 20 = = 28 = 10 = = 19 = = 14 = = 20 = 2 = = 22 = 4 = = = 23 = = 16 = = 19 = = 23 = = 25 = = 29 = = = 7 105

106 4007 = = 8 = = 14 = = = = = 10 = = 16 = = 14 = = 20 = 2 = = 14 = = 16 = = 22 = 4 = = = 14 = = 16 = = = = = = 19 = = 19 = = = 8 = = 14 = = 16 = = = 10 = =

107 4243 = = 14 = = 20 = 2 = = = 14 = = 16 = = = 23 = = 22 = 4 = = 16 = = = 19 = = 20 = 2 = = 19 = = 16 = = = = 22 = 4 = = = = = = 19 = = 14 = = 20 = 2 = = = = 19 = = 20 = 2 =

108 4507 = 16 = = = = 19 = = 14 = = 20 = 2 = = 22 = 4 = = 16 = = 22 = 4 = = 20 = 2 = = 19 = = 25 = = = = 20 = 2 = = 22 = 4 = = = 23 = = 16 = = 22 = 4 = = 19 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 20 = 2 = = 14 = = 14 = = 16 = = 22 = 4 = =

109 4751 = = 25 = = 22 = 4 = = 26 = 8 = = 28 = 10 = = 23 = = 29 = = = 16 = = 20 = 2 = = 16 = = 19 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 29 = = 16 = = 22 = 4 = = 23 = = = 19 = = 23 = = 20 = 2 = = 19 = = 25 = = 26 = 8 = = 28 = 10 = = 23 = = 28 = 10 = = 25 = 7 109

110 4999 = 31 = 4 = = 8 = = 14 = = = 8 = = 10 = = = = 19 = = 19 = = 14 = = 20 = 2 = = 23 = = = = 10 = = 16 = = = 14 = = 19 = = 14 = = 22 = 4 = = 23 = = 22 = 4 = = 16 = = 16 = = = =

111 5261 = 14 = = = 23 = = 16 = = 23 = = = = = 14 = = 19 = = 14 = = = 23 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 16 = = = = 19 = = = 19 = = 14 = = 16 = = 22 = 4 = = = 23 = = 25 = = 20 = 2 = =

112 5503 = = = 20 = 2 = = = 19 = = 14 = = 22 = 4 = = 19 = = 25 = = 20 = 2 = = 19 = = 20 = 2 = = 16 = = 23 = = 16 = = 22 = 4 = = = 19 = = 23 = = 25 = = 26 = 8 = = 22 = 4 = = 28 = 10 = = 23 = = = 14 = = 20 = 2 = = 22 = 4 = =

113 5743 = 19 = = 25 = = 28 = 10 = = 23 = = 22 = 4 = = 14 = = 20 = 2 = = = 16 = = 22 = 4 = = 25 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 19 = = 25 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 28 = 10 = = 29 = = 22 = 4 = = 29 = = = 19 = = 23 = = 26 = 8 = = 22 = 4 = = 23 = = 29 = =

114 6011 = 8 = = = 16 = = = = 14 = = 19 = = 16 = = 22 = 4 = = 23 = = 16 = = 8 = = = 10 = = = = 14 = = = 16 = = = 23 = = 25 = = = 10 = = 16 = = = 19 = = 19 = = 20 = 2 =

115 6263 = = 23 = = 16 = = 22 = 4 = = 23 = = 26 = 8 = = 10 = = = = 14 = = 20 = 2 = = 19 = = 16 = = = 23 = = 16 = = 22 = 4 = = 19 = = 25 = = 26 = 8 = = 25 = = = 19 = = 23 = = 16 = = 25 = = 20 = 2 = = 19 = = 20 = 2 =

116 6521 = 14 = = 22 = 4 = = 22 = 4 = = = 19 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 19 = = 25 = = 20 = 2 = = 29 = = 19 = = 22 = 4 = = 22 = 4 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 19 = = 22 = 4 = = 28 = 10 = = 29 = = 22 = 4 = = 14 = = 16 = = 22 = 4 = = 23 = = 19 = = 23 = = 20 = 2 = = 22 = 4 =

117 6779 = 29 = = 22 = = 23 = = 25 = = = 19 = = 23 = = 25 = = 20 = 2 = = 19 = = 26 = 8 = = 23 = = 29 = = 22 = 4 = = 25 = = 32 = = 22 = 4 = = = 23 = = 26 = 8 = = 28 = 10 = = 29 = = 22 = 4 = = 28 = 10 = = 23 = = 29 = = 26 = 8 = = 25 = = 31 = 4 =

118 7001 = 8 = = = = 16 = = 19 = = 14 = = 19 = = 22 = 4 = = 23 = = = = = = 19 = = 14 = = 22 = 4 = = 22 = 4 = = 23 = = 20 = 2 = = 16 = = = = 19 = = 20 = 2 = = 19 = = 16 = = 20 = 2 = = = 20 = 2 =

119 7297 = 25 = = = 19 = = = 14 = = 16 = = 23 = = 16 = = 25 = = 22 = 4 = = = 19 = = = = 23 = = 25 = = 25 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 28 = 19 = = 29 = = 19 = = 20 = 2 = = = 23 = = 22 = 4 = = = 23 = = 25 = 7 119

120 7559 = 26 = 8 = = 19 = = 22 = 4 = = 26 = 8 = = 23 = = 29 = = 22 = 4 = = 16 = = 20 = 2 = = 16 = = 25 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 28 = 10 = = 23 = = 22 = 4 = = 28 = 10 = = 23 = = 31 = 4 = = = 22 = 4 = = 19 = = 23 = = 19 = = 22 = 4 = = 26 = 8 = = 28 = 10 = = 31 = 4 = = 26 = 8 =

121 7817 = 23 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 20 = 2 = = 23 = = 28 = 10 = = 25 = = 29 = = 31 = 4 = = 26 = 8 = = = 23 = = 26 = 8 = = 25 = = 22 = 4 = = 26 = 8 = = 29 = = 22 = 4 = = 25 = = 28 = 10 = = = 10 = = 16 = = 20 = 2 = = 16 = = 22 = 4 = = 23 = = = 23 = 5 121

122 8089 = 25 = = 20 = 2 = = 10 = = = = 14 = = 20 = 2 = = 16 = = 22 = 4 = = = 25 = = 19 = = 19 = = 20 = 2 = = = 14 = = 16 = = 20 = 2 = = = 19 = = 25 = = 20 = 2 = = 25 = = 20 = 2 = = 22 = 4 = = 26 = 8 = = = 19 = = 22 = 4 =

123 8353 = 19 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 25 = = 26 = 8 = = 28 = 10 = = 22 = 4 = = = 23 = = 16 = = 19 = = 23 = = 19 = = 25 = = 14 = = = 16 = = 22 = 4 = = 23 = = 25 = = 20 = 2 = = 22 = 4 = = 23 = = 22 = 4 = = 29 = = 31 = 4 = = 23 = = 19 = = 23 = 5 123

124 8629 = 25 = = 19 = = 25 = = 23 = = 29 = = 28 = 10 = = 23 = = 31 = 4 = = 26 = 8 = = 32 = = 22 = 4 = = 19 = = 25 = = 19 = = 25 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 23 = = 22 = 4 = = 31 = 4 = = 26 = 8 = = 19 = = 23 = = 26 = 8 = = 19 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 28 = 10 = = 29 =

125 8861 = 23 = = 25 = = 29 = = 31 = 4 = = 28 = 10 = = 22 = 4 = = 28 = 10 = = 23 = = 22 = 4 = = 23 = = 26 = 8 = = 32 = = 25 = = 35 = 8 = = 10 = = 16 = = = = 20 = 2 = = 14 = = 16 = = 22 = 4 = = 23 = = 22 = 4 = = 19 = = = 19 = = 19 = = 16 = 7 125

126 9137 = 20 = 2 = = 16 = = 22 = 4 = = = 20 = 2 = = 19 = = 25 = = 28 = 10 = = 14 = = 20 = 2 = = 14 = = 20 = 2 = = 23 = = 16 = = 23 = = 25 = = 20 = 2 = = 22 = 4 = = 23 = = 14 = = 22 = 4 = = = 22 = 4 = = = 19 = = 25 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 22 = 4 =

127 9397 = 28 = 10 = = 16 = = = 23 = = 16 = = = 19 = = 23 = = 25 = = 20 = 2 = = 22 = 4 = = 26 = 8 = = 23 = = 29 = = 23 = = 29 = = 16 = = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 25 = = 20 = 2 = = 29 = = 16 = = 19 = = 20 = 2 = = 26 = 8 = = 19 = = 22 = 4 =

128 9649 = 28 = 10 = = 22 = 4 = = 29 = = 31 = 4 = = 32 = = 31 = 4 = = 26 = 8 = = 19 = = 22 = 4 = = 28 = 10 = = 23 = = 29 = = 29 = = 31 = 4 = = 25 = = 31 = 4 = = 26 = 8 = = 20 = 2 = = 19 = = 25 = = 28 = 10 = = 23 = = 29 = = 23 = = 29 = = 31 = 4 = = 25 = = 28 = 10 = = 32 = 5 128

129 9901 = 19 = = 25 = = 23 = = 29 = = 22 = 4 = = 23 = = 31 = 4 = = 31 = 4 = = 28 = 10 = = 8 = 17 h) análisis de números primos más grandes , , , , = , = = = , , , = , , , , 129

130 , , = = 6037 = 16 =

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150 = = 28 = 1 150

151 (En un reloj de 18 horas las superposiciones de los números primos son correctas) (31 = = 4 = = 4) (53 = = 8 = = 8) 151

152 (En relojes de otras horas las superposiciones de los números primos son incorrectas: (24, 29 )

153 (31 = = 4 7) (53 = = 8 5) (31 = = 4 2) (53 = = ) i) y este análisis es aplicable a todos los números primos conocidos y por conocer. j) veamos como final la descomposición horaria del reloj de 18 horas en los primeros 1000 números y el modelo de borrado de los números compuestos: (Hora 1) 1 = (NUMERO PRIMO) (Giro 1º) (Hora 5) 5 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 7 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 11 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 13 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 17 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 19 = (NUMERO PRIMO) (Giro 2º) (Hora 5) 23 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 25 = (5x5) (Hora 11) 29 = (NUMERO PRIMO) 153

154 (Hora 13) 31 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 35 = (5x7) (Hora 1) 37 = (NUMERO PRIMO) (Giro 3º) (Hora 5) 41 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 43 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 47 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 49 = (7x7) (Hora 17) 53 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 55 = (5x11) (Giro 4º) (Hora 5) 59 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 61 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 65 = (5x13) (Hora 13) 67 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 71 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 73 = (NUMERO PRIMO) (Giro 5º) (Hora 5) 77 = (7x11) (Hora 7) 79 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 83 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 85 = (5x17) 154

155 (Hora 17) 89 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 91 = (7x13) (Giro 6º) (Hora 5) 95 = (5x19) (Hora 7) 97 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 101 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 103 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 107 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 109 = (NUMERO PRIMO) (Giro 7º) (Hora 5) 113 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 115 = (5x23) (Hora 11) 119 = (7x17) (Hora 13) 121 = (11x11) (Hora 17) 125 = (5x25) (Hora 1) 127 = (NUMERO PRIMO) (Giro 8º) (Hora 5) 131 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 133 = (7x19) (Hora 11) 137 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 139 = (NUMERO PRIMO) 155

156 (Hora 17) 143 = (11x13) (Hora 1) 145 = (5x29) (Giro 9º) (Hora 5) 149 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 151 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 155 = (5x31) (Hora 13) 157 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 161 = (7x23) (Hora 1) 163 = (NUMERO PRIMO) (Giro 10º) (Hora 5) 167 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 169 = (13x13) (Hora 11) 173 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 175 = (5x35) (7x25) (Hora 17) 179 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 181 = (NUMERO PRIMO) (Giro 11º) (Hora 5) 185 = (5x37) (Hora 7) 187 = (11x17) (Hora 11) 191 = (NUMERO PRIMO) 156

157 (Hora 13) 193 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 197 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 199 = (NUMERO PRIMO) (Giro 12º) (Hora 5) 203 = (7x29) (Hora 7) 205 = (5x41) (Hora 11) 209 = (11x19) (Hora 13) 211 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 215 = (5x43) (Hora 1) 217 = (7x31) (Giro 13º) (Hora 5) 221 = (13x17) (Hora 7) 223 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 227 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 229 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 233 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 235 = (5x47) (Giro 14º) (Hora 5) 239 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 241 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 245 = (5x49) 157

158 (Hora 13) 247 = (13x19) (Hora 17) 251 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 253 = (11x23) (Giro 15º) (Hora 5) 257 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 259 = (7x37) (Hora 11) 263 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 265 = (5x53) (Hora 17) 269 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 271 = (NUMERO PRIMO) (Giro 16º) (Hora 5) 275 = (5x55) (Hora 7) 277 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 281 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 283 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 287 = (7x41) (Hora 1) 289 = (17x17) (Giro 17º) (Hora 5) 293 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 295 = (5x59) (Hora 11) 299 = (13x23) 158

159 (Hora 13) 301 = (7x43) (Hora 17) 305 = (5x61) (Hora 1) 307 = (NUMERO PRIMO) (Giro 18º) (Hora 5) 311 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 313 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 317 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 319 = (11x 29) (Hora 17) 323 = (17x19) (Hora 1) 325 = (5x 65) (Giro 19º) (Hora 5) 329 = (7x 47) (Hora 7) 331 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 335 = (5x67) (Hora 13) 337 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 341 = (11x31) (Hora 1) 343 = (7x 49) (Giro 20º) (Hora 5) 347 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 349 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 353 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 355 = (5x71) 159

160 (Hora 17) 359 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 361 = (19x19) (Giro 21º) (Hora 5) 365 = (5x73) (Hora 7) 367 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 371 = (7x53) (Hora 13) 373 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 377 = (13x29) (Hora 1) 379 = (NUMERO PRIMO) (Giro 22º) (Hora 5) 383 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 385 = (5x77) (Hora 11) 389 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 391 = (17x23) (Hora 17) 395 = (5x79) (Hora 1) 397 = (NUMERO PRIMO) (Giro 23º) (Hora 5) 401 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 403 = (13x31) (Hora 11) 407 = (11x37) (Hora 13) 409 = (NUMERO PRIMO) 160

161 (Hora 17) 413 = (7x59) (Hora 1) 415 = (5x83) (Giro 24º) (Hora 5) 419 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 421 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 425 = (5x85) (Hora 13) 427 = (7x61) (Hora 17) 431 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 433 = (NUMERO PRIMO) (Giro 25º) (Hora 5) 437 = (19x23) (Hora 7) 439 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 443 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 445 = (5x 89) (Hora 17) 449 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 451 = (11x41) (Giro 26º) (Hora 5) 455 = (5x91) (Hora 7) 457 = (NUMERO PRIMO) 161

162 (Hora 11) 461 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 463 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 467 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 469 = (7x67) (Giro 27º) (Hora 5) 473 = (11x43) (Hora 7) 475 = (5x95) (Hora 11) 479 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 481 = (13x37) (Hora 17) 485 = (5x 97) (Hora 1) 487 = (NUMERO PRIMO) (Giro 28º) (Hora 5) 491 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 493 = (17x29) (Hora 11) 497 = (7x71) (Hora 13) 499 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 503 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 505 = (5x101) (Giro 29º) (Hora 5) 509 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 511 = (7x73) (Hora 11) 515 = (5x103) 162

163 (Hora 13) 517 = (11x 47) (Hora 17) 521 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 523 = (NUMERO PRIMO) (Giro 30º) (Hora 5) 527 = (17x31) (Hora 7) 529 = (23x23) (Hora 11) 533 = (13x41) (Hora 13) 535 = (5x107) (Hora 17) 539 = (7x77) (Hora 1) 541 = (NUMERO PRIMO) (Giro 31º) (Hora 5) 545 = (5x109) (Hora 7) 547 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 551 = (19x29) (Hora 13) 553 = (7x79) (Hora 17) 557 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 559 = (13x43) (Giro 32º) (Hora 5) 563 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 565 = (5x113) (Hora 11) 569 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 571 = (NUMERO PRIMO) 163

164 (Hora 17) 575 = (5x115) (Hora 1) 577 = (NUMERO PRIMO) (Giro 33º) (Hora 5) 581 = (7x83) (Hora 7) 583 = (11x 53) (Hora 11) 587 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 589 = (19x31) (Hora 17) 593 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 595 = (5x119) (Giro 34º) (Hora 5) 599 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 601 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 605 = (5x121) (Hora 13) 607 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 611 = (13x47) (Hora 1) 613 = (NUMERO PRIMO) (Giro 35º) (Hora 5) 617 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 619 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 623 = (7x89) (Hora 13) 625 = (5x125) (Hora 17) 629 = (17x37) 164

165 (Hora 1) 631 = (NUMERO PRIMO) (Giro 36º) (Hora 5) 635 = (5x127) (Hora 7) 637 = (7x91) (Hora 11) 641 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 643 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 647 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 649 = (11x59) (Giro 37º) (Hora 5) 653 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 655 = (5x131) (Hora 11) 659 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 661 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 665 = (5x133) (Hora 1) 667 = (23x29) (Giro 38º) (Hora 5) 671 = (11x61) (Hora 7) 673 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 677 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 679 = (7x97) (Hora 17) 683 = (NUMERO PRIMO) 165

166 (Hora 1) 685 = (5x137) (Giro 39º) (Hora 5) 689 = (13x53) (Hora 7) 691 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 695 = (5x139) (Hora 13) 697 = (17x41) (Hora 17) 701 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 703 = (19x37) (Giro 40º) (Hora 5) 707 = (7x101) (Hora 7) 709 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 713 = (23x31) (Hora 13) 715 = (5x143) (Hora 17) 719 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 721 = (7x103) (Giro 41º) (Hora 5) 725 = (5x145) (Hora 7) 727 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 731 = (17x43) (Hora 13) 733 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 737 = (11x67) 166

167 (Hora 1) 739 = (NUMERO PRIMO) (Giro 42º) (Hora 5) 743 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 745 = (5x149) (Hora 11) 749 = (7x107) (Hora 13) 751 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 755 = (5x151) (Hora 1) 757 = (NUMERO PRIMO) (Giro 43º) (Hora 5) 761 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 763 = (7x109) (Hora 11) 767 = (13x59) (Hora 13) 769 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 773 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 775 = (5x155) (Giro 44º) (Hora 5) 779 = (19x41) (Hora 7) 781 = (11x71) (Hora 11) 785 = (5x157) (Hora 13) 787 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 791 = (7x113) 167

168 (Hora 1) 793 = (13x61) (Giro 45º) (Hora 5) 797 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 799 = (17x47) (Hora 11) 803 = (11x73) (Hora 13) 805 = (5x161) (Hora 17) 809 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 811 = (NUMERO PRIMO) (Giro 46º) (Hora 5) 815 = (5x163) (Hora 7) 817 = (19x43) (Hora 11) 821 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 823 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 827 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 829 = (NUMERO PRIMO) (Giro 47º) (Hora 5) 833 = (7x 119) (Hora 7) 835 = (5x167) (Hora 11) 839 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 841 = (29x29) 168

169 (Hora 17) 845 = (5x169) (Hora 1) 847 = (7x121) (Giro 48º) (Hora 5) 851 = (23x37) (Hora 7) 853 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 857 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 859 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 863 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 865 = (5x173) (Giro 49º) (Hora 5) 869 = (11x79) (Hora 7) 871 = (13x67) (Hora 11) 875 = (5x175) (Hora 13) 877 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 881 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 883 = (NUMERO PRIMO) (Giro 50º) (Hora 5) 887 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 889 = (7x127) (Hora 11) 893 = (19x47) (Hora 13) 895 = (5x179) 169

170 (Hora 17) 899 = (29x31) (Hora 1) 901 = (17x53) (Giro 51º) (Hora 5) 905 = (5x181) (Hora 7) 907 = (NUMERO PRIMO) (Hora 11) 911 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 913 = (11x83) (Hora 17) 917 = (7x 131) (Hora 1) 919 = (NUMERO PRIMO) (Giro 52º) (Hora 5) 923 = (13x71) (Hora 7) 925 = (5x185) (Hora 11) 929 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 931 = (7x133) (Hora 17) 935 = (5x187) (Hora 1) 937 = (NUMERO PRIMO) (Giro 53º) (Hora 5) 941 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 943 = (23x41) (Hora 11) 947 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 949 = (13x73) (Hora 17) 953 = (NUMERO PRIMO) 170

171 (Hora 1) 955 = (5x191) (Giro 54º) (Hora 5) 959 = (7x137) (Hora 7) 961 = (31x31) (Hora 11) 965 = (5x193) (Hora 13) 967 = (NUMERO PRIMO) (Hora 17) 971 = (NUMERO PRIMO) (Hora 1) 973 = (7x139) (Giro 55º) (Hora 5) 977 = (NUMERO PRIMO) (Hora 7) 979 = (11x89) (Hora 11) 983 = (NUMERO PRIMO) (Hora 13) 985 = (5x197) (Hora 17) 989 = (23x43) (Hora 1) 991 = (NUMERO PRIMO) (Giro 56º) (Hora 5) 995 = (5x199) (Hora 7) 997 = (NUMERO PRIMO) 171

172 172

173 173

174 174

175 175

176 176

177 177

178 178

179 179

180 180

181 181

182 4.- Números Primos: las fórmulas aritméticas Una fórmula simple y poderosa para descubrir si un número es primo o compuesto es la siguiente: a) Se multiplica un número impar x 1357 y se le resta a continuación el mismo número impar. b) Si el resultado sumado y simplificado es (3) ó (6), el número es primo. Ordenadamente todos los números impares compuestos se deben descartar mediante la Matriz de los Números de Aschero. Ejemplo: 177 = (es un número compuesto de la matriz de 24) ( = 24) 24 = 123, 222, 321, 420, 519, 618, 717, 816, 915, 1014, 1113, 1212, 1311, 1410, 159, 168, 177, 186, 195, 204, 213, 222, = 1 x = 1356 (6) 2 = 2 x = 2712 (3) 3 = (es un número primo) (y el origen de los números compuestos impares) 5 = 5 x = 6780 (3) 7 = 7 x = 9492 (6) 9 = (9 es el primer número compuesto impar sin matriz) 11 = 11 x = (3) 13 = 13 x = (6) 15 = (es un número compuesto de la matriz de 6) 17 = 17 x = (3) 19 = 19 x = (6) 21 = (es un número compuesto de la matriz de 3) 23 = 23 x = (3) 25 = (es un número compuesto de la matriz de 7) 27 = (es un número compuesto de la matriz de 9) 29 = 29 x = (3) 31 = 31 x = (6) 182

183 33 = (es un número compuesto de la matriz de 6) 35 = (es un número compuesto de la matriz de 8) 37 = 37 x = (6) 39 = (es un número compuesto de la matriz de 12) 41 = 41 x = (3) 43 = 43 x = (6) 45 = (es un número compuesto de la matriz de 9) 47 = 47 x = (3) 49 = (es un número compuesto de la matriz de 13) 51 = (es un número compuesto de la matriz de 6) 53 = 53 x = (3) 55 = (es un número compuesto de la matriz de 10) 57 = (es un número compuesto de la matriz de 12) 59 = 59 x = (3) 61 = 61 x = (6) 63 = (es un número compuesto de la matriz de 9) 65 = (es un número compuesto de la matriz de 11) 67 = 67 x = (6) 69 = (es un número compuesto de la matriz de 15) 71 = 71 x = (3) 73 = 73 x = (6) 75 = (es un número compuesto de la matriz de 12) 77 = (es un número compuesto de la matriz de 14) 79 = 79 x = (6) 81 = (es un número compuesto de la matriz de 9) 83 = 83 x = (3) 85 = (es un número compuesto de la matriz de 13) 87 = (es un número compuesto de la matriz de 15) 89 = 89 x = (3) 183

184 91 = (es un número compuesto de la matriz de 10) 93 = (es un número compuesto de la matriz de 12) 95 = (es un número compuesto de la matriz de 14) 97 = 97 x = (6) 99 = (es un número compuesto de la matriz de 18) 101 = 101 x = (3) 103 = 103 x = (6) 105 = (es un número compuesto de la matriz de 15) 107 = 107 x = (3) 109 = 109 x = (6) 111 = (es un número compuesto de la matriz de 12) 113 = 113 x = (3) 115 = (es un número compuesto de la matriz de 16) 117 = (es un número compuesto de la matriz de 18) 119 = 119 x = (3) 121 = (es un número compuesto de la matriz de 13) 123 = (es un número compuesto de la matriz de 15) 125 = (es un número compuesto de la matriz de 18) 127 = 127 x = (6) 129 = (es un número compuesto de la matriz de 21) 131 = 131 x = (3) 133 = 133 x = (6) 135 = (es un número compuesto de la matriz de 18) 137 = 137 x = (3) 139 = 139 x = (6) 141 = (es un número compuesto de la matriz de 15) 143 = 143 x = (3) 145 = (es un número compuesto de la matriz de 19) 147 = (es un número compuesto de la matriz de 21) 184

185 149 = 149 x = (3) 151 = 151 x = (6) 153 = (es un número compuesto de la matriz de 18) 155 = (es un número compuesto de la matriz de 20) 157 = 157 x = (6) 159 = (es un número compuesto de la matriz de 24) 161 = (es número compuesto de la matriz de 17) 163 = 163 x = (6) 165 = (es un número compuesto de la matriz de 21) 167 = 167 x = (3) 169 = (es un número compuesto de la matriz de 25) 171 = (es un número compuesto de la matriz de 18) 173 = 173 x = (3) 175 = (es un número compuesto de la matriz de 22) 177 = (es un número compuesto de la matriz de 24) 179 = 179 x = (3) 181 = 181 x = (6) 183 = (es un número compuesto de la matriz de 21) 185 = (es un número compuesto de la matriz de 23) 187 = (es número compuesto de la matriz de 25) 189 = (es un número compuesto de la matriz de 27) 191 = 191 x = (3) 193 = 193 x = (6) 195 = (es un número compuesto de la matriz de 24) 197 = 197 x = (3) 199 = 199 x = (6) 201 = (es un número compuesto de la matriz de 21) 203 = (es número compuesto de la matriz de 23) 205 = (es un número compuesto de la matriz de 25) 185

186 207 = (es un número compuesto de la matriz de 27) 209 = (es número compuesto de la matriz de 29) 211 = 211 x = (6) 213 = (es número compuesto de la matriz de 24) 215 = (es un número compuesto de la matriz de 26) 217 = (es un número compuesto de la matriz de 28) 219 = (es número compuesto de la matriz de 30) 221 = (es un número compuesto de la matriz de 13) 223 = 223 x = (6) 225 = (es un número compuesto de la matriz de 27) 227 = 227 x = (6) 229 = 229 x = (6) 231 = (es número compuesto de la matriz de 24) 233 = 233 x = (3) 235 = (es un número compuesto de la matriz de 28) 237 = (es número compuesto de la matriz de 30) 239 = 239 x = (3) 241 = 241 x = (6) 243 = (es un número compuesto de la matriz de 27) 245 = (es un número compuesto de la matriz de 29) 247 = (es un número compuesto de la matriz de 31) 249 = (es un número compuesto de la matriz de 33) 251 = 251 x = (3) 253 = (es un número compuesto de la matriz de 28) 255 = (es un número compuesto de la matriz de 30) 257 = 257 x = (3) 259 = (es un número compuesto de la matriz de 34) 261 = (es número compuesto de la matriz de 27) 263 = 263 x = (3) 186

187 265 = (es un número compuesto de la matriz de 31) 267 = (es un número compuesto de la matriz de 33) 269 = 269 x = (3) 271 = 271 x = (6) 273 = (es un número compuesto de la matriz de 30) 275 = (es un número compuesto de la matriz de 32) 277 = 277 x = (6) 279 = (es un número compuesto de la matriz de 36) 281 = 281 x = (3) 283 = 283 x = (6) 285 = (es un número compuesto de la matriz de 33) 287 = (es número compuesto de la matriz de 35) 289 = (es un número compuesto de la matriz de 37) 291 = (es un número compuesto de la matriz de 30) 293 = 293 x = (3) 295 = (es un número compuesto de la matriz de 34) 297 = (es un número compuesto de la matriz de 36) 299 = (es un número compuesto de la matriz de 38) = x = (6) = x = (3) = x = = (6) = x = (6) = x = (6) 187

188 Otras fórmulas numéricas son: 1) Se eliminan los números pares con excepción del 2. 2) Se multiplican todos los números impares por 3 y luego por 7, siendo sus resultados, en el caso de los números primos, luego de ser simplificados, 3 ó 6. 3) Se eliminan todos los números impares cuyo resultado contenga la multiplicación del propio número: 315 = 3 x 5 (extremos) = 15, con la excepción del 5. 4) Se eliminan todos los números compuestos impares cuyo resultado final sumado y simplificado sea 9, con la excepción del 3. 5) Se eliminan los números impares al cuadrado y todos los números repetidos excepto el = (excepción) 2 = (único número par) 3 = (3 x 3) = 9 x 7 = 63 (primo) (único 9 permitido) 5 = (5 x 3) = 15 x 7 = 105 (primo) (6) 7 = (7 x 3) = 21 x 7 = 147 (primo) (12 = = 3) 9 = (9 x 3) = 27 x 7 = 189 (compuesto) (9) 11 = (11 x 3) = 33 x 7 = 231 (primo) (6) 13 = (13 x 3) = 39 x 7 = 273 (primo) (3) 15 = (15 x 3) = 45 x 7 = 315 (compuesto) (3 x 5 = 15) (9) 17 = (17 x 3) = 51 x 7 = 357 (primo) (6) 19 = (19 x 3) = 57 x 7 = 399 (primo) (3) 21 = (21 x 3) = 63 x 7 = 441 (compuesto) (9) 23 = (23 x 3) = 69 x 7 = 483 (primo) (6) 25 = (25 x 3) = 75 x 7 = 525 (compuesto) (5 x 5 = 25) (5 2 ) 27 = (27 x 3) = 81 x 7 = 567 (compuesto) (9) 29 = (29 x 3) = 87 x 7 = 609 (primo) (6) 31 = (31 x 3) = 93 x 7 = 651 (primo) (3) 33 = (33 x 3) = 99 x 7 = 693 (compuesto) (9) (número repetido) 35 = (35 x 3) = 105 x 7 = 735 (compuesto) (7 x 5 = 35) 37 = (37 x 3) = 111 x 7 = 777 (primo) (3) 188

189 39 = (39 x 3) = 117 x 7 = 819 (compuesto) (9) 41 = (41 x 3) = 123 x 7 = 861 (primo) (6) 43 = (43 x 3) = 129 x 7 = 903 (primo) (3) 45 = (45 x 3) = 135 x 7 = 945 (compuesto) (9 x 5 = 45) 47 = (47 x 3) = 141 x 7 = 987 (primo) (6) 49 = (7 2 ) 51 = (51 x 3) = 153 x 7 = 1071 (compuesto) (9) 53 = (53 x 3) = 159 x 7 = 1113 (primo) (6) 55 = (55 x 3) = 165 x 7 = 1155 (compuesto) (11 x 5 = 55) (número repetido) 57 = (57 x 3) = 171 x 7 = 1197 (compuesto) (9) 59 = (59 x 3) = 177 x 7 = 1239 (primo) (6) 61 = (61 x 3) = 183 x 7 = 1281 (primo) (3) 63 = (63 x 3) = 189 x 7 = 1323 (compuesto) (9) 65 = (65 x 3) = 195 x 7 = 1365 (compuesto) (13 x 5 = 65) 67 = (67 x 3) = 201 x 7 = 1407 (primo) (3) 69 = (69 x 3) = 207 x 7 = 1449 (compuesto) (9) 71 = (71 x 3) = 213 x 7 = 1491 (primo) (6) 73 = (73 x 3) = 219 x 7 = 1533 (primo) (3) 75 = (75 x 3) = 225 x 7 = 1575 (compuesto) (15 x 5 = 75) 77 = (número repetido) 79 = (79 x 3) = 237 x 7 = 1659 (primo) (3) 81 = (9 2 ) 83 = (83 x 3) = 249 x 7 = 1743 (primo) (6) 85 = (85 x 3) = 255 x 7 = 1785 (compuesto) (17 x 5 = 85) 87 = (87 x 3) = 261 x 7 = 1827 (compuesto) (9) 89 = (89 x 3) = 267 x 7 = 1869 (primo) (6) 91 = (91 x 3) = 273 x 7 = 1911 (compuesto) 189

190 93 = (93 x 3) = 279 x 7 = 1953 (compuesto) (9) 95 = (95 x 3) = 285 x 7 = 1995 (compuesto) (19 x 5 = 95) 97 = (97 x 3) = 291 x 7 = 2037 (primo) (3) 99 = (99 x 3) = 297 x 7 = 2079 (compuesto) (9) (número repetido) Y aquí va otra que se basa en la paridad numérica que enmarca a la imparidad de los primos: 1 = (NUMERO PRIMO) (único número 1) 2 = (NUMERO PRIMO) (único número par) (2) 3 = (NUMERO PRIMO) 24 / 2 = 12 (3) (único número 3) 5 = (NUMERO PRIMO 46 / 2 = 23 (5) (único número 5) 7 = (NUMERO PRIMO) 68 / 2 = 34 (7) 9 = 3 2 (cuadrados exentos) 11 = (NUMERO PRIMO) 1012 / 2 = 506 (11) (único número repetido permitido) 13 = (NUMERO PRIMO) 1214 / 2 = 607 (13) 15 = (5 exento) 17 = (NUMERO PRIMO) 1618 / 2 = 809 (17) 19 = (NUMERO PRIMO) 1820 / 2 = 910 (91 inverso 19) (única inversión permitida) 21 = ( = 21) 2022 / 2 = 1011 (3) 23 = (NUMERO PRIMO) 2224 / 2 = 1112 (5) 25 = 5 2 (5 exento) 27 = ( = 27) 2628 / 2 = 1314 (9) 29 = (NUMERO PRIMO) 2830 / 2 = 1415 (11) 31 = (NUMERO PRIMO) 3032 / 2 = 1516 (13) 33 = (número repetido) 35 = (5 exento) 37 = (NUMERO PRIMO) 3638 / 2 = 1819 (19) 39 = ( = 39) 3840 / 2 = 1920 (3) 190

191 41 = (NUMERO PRIMO) 4042 / 2 = 2021 (5) 43 = (NUMERO PRIMO) 4244 / 2 = 2122 (7) 45 = (5 exento) 47 = (NUMERO PRIMO) 4648 / 2 = 2324 (11) 49 = = ( = 51) 5052 / 2 = 2526 (15) 53 = (NUMERO PRIMO) 5254 / 2 = 2627 (17) 55 = (5 exento) (número repetido) 57 = ( = 57) 5658 / 2 = 2829 (3) 59 = (NUMERO PRIMO) 5860 / 2 = 2930 (5) 61 = (NUMERO PRIMO) 6062 / 2 = 3031 (7) 63 = ( = 63) 6264 / 2 = 3132 (9) 65 = (5 exento) 67 = (NUMERO PRIMO) 6668 / 2 = 3334 (13) 69 = ( = 69) 6870 / 2 = 3435 (15) 71 = (NUMERO PRIMO) 7072 / 2 = 3536 (17 inverso 71) (única inversión permitida) 73 = (NUMERO PRIMO) 7274 / 2 = 3637 (19) 75 = (5 exento) 77 = (número repetido) 79 = (NUMERO PRIMO) 7880 / 2 = 3940 (7) 81 = (9 2 ) 83 = (NUMERO PRIMO) 8284 / 2 = 4142 (11) 85 = (5 exento) 87 = ( = 87) 89 = (NUMERO PRIMO) 91 = ( = 91) 9092 / 2 = 4546 (19 inverso 91) 93 = ( = 93) 9294 / 2 = 4647 (3) 95 = (5 exento) 191

192 97 = (NUMERO PRIMO) 9698 / 2 = 4849 (7) 99 = ( = 99) / 2 = (9) 192

193 5. Simetría de los Números Compuestos y Asimetría de los Números Primos Simetría. Una palabra que envuelve y está inmersa en diversos conceptos. Belleza, arte y ciencia. La Teoría de Grupos, por ejemplo, desarrollada por los matemáticos a servido a los físicos para hallar simetrías como la materia antimateria; los quarks y sus curiosos números cuánticos (sabor, color, extrañeza, encanto, spin ). Los químicos, por su parte, la utilizan para arrancar los secretos que encierran los centros quirales de los compuestos orgánicos levógiros y dextrógiros, o del ADN y el ARN. Los matemáticos hablan de un sinnúmero de simetrías, pero es la simetría bilateral la que más llena los gustos del ser humano. Esta simetría es muy común en el arte de las primeras culturas. Fue muy cultivada en las culturas de la América precolombina. La mentalidad moderna la considera simplista y demodé, empero estamos rodeados de una gran cantidad de formas agradables de simetría bilateral: árboles, jarrones, sillas, autos, mujeres, hombres y en general la mayoría de los animales presentan una simetría bilateral, al menos externamente. Muchas marcas comerciales deben su popularidad gracias a que sus emblemas muestran una simetría bilateral. Casi siempre la simetría bilateral se da en un eje Norte Sur o Arriba Abajo. Esto es normal porque la mayor parte de los objetos naturales que presentan este tipo de simetría, lo hacen por estar sujetos a la ley de la gravedad. Hay una excepción: los paisajes reflejados en un embalse de agua. Los diseños con simetría bilateral orientados en un eje Izquierda Derecha causan cierto malestar. Los psicólogos alemanes Heinrich Wölfflin y Teodora Haack se atreven a afirmar que las obras de arte asimétricas, pierden su valor estético si son reflejados en un espejo o si se invierten horizontalmente. Ese valor estético parece estar influenciado por aspectos culturales. Los pueblos que leen de izquierda a derecha tienen gustos estéticos diferentes a los que leen de derecha a izquierda. Caso particular es el pueblo japonés. El arte japonés, influenciado por las doctrinas taoístas y zen, evitan a toda costa las simetrías por sugerirles repetición y exceso. La simetría también se da en el cine. Una película puede invertirse de izquierda a derecha sin que nos demos cuenta. Solo la lectura de carteles, anuncios o la posición del conductor del auto (en conjunción con el país en el que se conduce), nos puede indicar que se hizo una inversión. Algo diferente es la asimetría en cuanto al tiempo. Aquí es más fácil determinar el sentido correcto de la película observando el sentido en el que se mueven las personas y los coches. Aún más. La misma Segunda Ley de la Termodinámica nos ayuda a saber cuál es el sentido del tiempo: en donde los objetos se encuentran más ordenados será el inicio; y en donde hay más desorden o entropía será el final (una taza que cae y sus fragmentos). 193

194 Un material cristalino es aquel en el que los átomos se estructuran en redes basadas en la repetición tridimensional de sus componentes. A la estructura que se repite se le denomina célula o celda cristalina. Los cristales se clasifican según sean las propiedades de simetría de la célula cristalina. Estas propiedades de simetría también se manifiestan en ocasiones en simetrías macroscópicas de los cristales, como formas geométricas o planos de fractura. El estudio de la cristalografía requiere un cierto conocimiento del grupo de simetría. Las celdas fundamentales de un cristal presentan elementos de simetría, que son: Eje de simetría: es una línea imaginaria que pasa a través del cristal, alrededor de la cual, al realizar éste un giro completo, repite dos o más veces el mismo aspecto. Los ejes pueden ser: monarios, si giran el motivo una vez (360º); binarios, si lo giran dos veces (180º); ternarios, si lo giran tres veces (120º); cuaternarios, si lo giran cuatro veces (90º); o senarios, si giran el motivo seis veces (60º). Plano de simetría: es un plano imaginario que divide el cristal en dos mitades simétricas especulares, como el reflejo en un espejo, dentro de la celda. Puede haber múltiples planos de simetría. Se representa con la letra m. Centro de simetría: es un punto dentro de la celda que, al unirlo con cualquiera de la superficie, repite al otro lado del centro y a la misma distancia un punto similar. Sistemas cristalinos: todas la redes cristalinas, al igual que los cristales, que son una consecuencia de las redes, presentan elementos de simetría. Si se clasifican los 230 grupos espaciales según los elementos de simetría que poseen, se obtienen 32 clases de simetría (cada una de las cuales reúne todas las formas cristalinas que poseen los mismos elementos de simetría) es decir, regular o cúbico, tetragonal, hexagonal, romboédrico, rómbico, monoclínico y triclínico. Simetrías en la Naturaleza La materia se presenta en el universo de múltiples formas. Tenemos galaxias, estrellas, planetas, rocas, seres vivos, cada uno compuesto por una cierta combinación de sólidos, líquidos, gases o plasma (una clase de materia parecida a un gas muy caliente). Parte de esa materia tiene una curiosa propiedad: si la dividimos en dos por cierto sitio, las dos mitades son iguales; o, lo que es lo mismo, se ven iguales desde un lado y desde otro. Es lo que llamamos simetría. Los seres humanos (su exterior) somos buenos ejemplos de esto. Tenemos una casi igualdad entre las dos partes de nuestro cuerpo que se obtendrían dividiéndolo por una línea que pasa por el centro de la nariz y por el centro del ombligo. La siguiente figura muestra el famoso estudio sobre la simetría del cuerpo humano de Leonardo da Vinci. 194

195 El hombre de Vitrubio Leonardo da Vinci Esta simetría puede ser mucho más espectacular si nos fijamos en otros fenómenos de la Naturaleza. Las telas de araña y las celdas hexagonales de los panales de las abejas son buenos ejemplos. En Geología, la simetría es tan perfecta que da lugar a un tipo de clasificación mediante el cual se reconocen los minerales: la Cristalografía. La simetría de un mineral cristalizado (por ejemplo los cristales de sal de cocina cuando los vemos al microscopio) refleja la ordenación simétrica de los átomos en su interior. También muchas de las obras del ser humano (muebles, casas, puentes, coches...) son simétricas. Es divertido buscar su simetría y preguntarnos por qué las hacemos simétricas. En la siguiente figura se muestra el espejo segmentado de un telescopio formado por 36 células hexagonales, el Gran Telescopio CANARIAS, que está en el Observatorio del Roque de los Muchachos, en la isla de La Palma. Cada segmento hexagonal es simétrico y la propia combinación de segmentos es igualmente simétrica. También es muy interesante discutir la relación entre la simetría y la estética e incluso entre la simetría y la elección de pareja entre los seres vivos, incluidos los humanos. Pero volvamos a nuestro tema, la gravitación y generalicemos el concepto de simetría, ampliándolo a las fórmulas matemáticas. Veamos de nuevo la fórmula de Newton, pero expresémosla ahora con palabras, de esta manera: la fuerza de atracción entre dos cuerpos es proporcional al producto de dos términos: el primero es la masa de un cuerpo dividido por su distancia al otro. El segundo término es la masa del otro cuerpo dividido por su distancia al primero. 195

196 Con símbolos matemáticos escribiríamos: F (M/d) (m/d) Es la misma fórmula de siempre, pero la hemos puesto así para visualizar que la gravitación se puede expresar con una fórmula bastante simétrica: los dos términos de la derecha de la ecuación son "casi" simétricos no es verdad? Este concepto más general de simetría es muy profundo, porque nos lleva a pensar que la Naturaleza y las leyes físicas que la describen también obedecen a las leyes de la simetría, igual que la materia, en sus manifestaciones externas, las obedece en muchos casos. Sería posible que la simetría material tuviera un paralelismo en la abstracción intelectual que son las leyes físicas? Desde luego hace falta un esfuerzo mental considerable para pasar de lo material a lo intelectual, pero veremos enseguida que sí es posible. Vamos a generalizar un paso más el concepto de simetría, planteándonos ahora si es posible que una ley física se cumpla en cualquier lugar. En cualquier lugar... de dónde?, de nuestra ciudad?, de nuestro planeta? No: del universo. Una ley que fuera válida en cualquier lugar del universo sería una ley simétrica respecto al espacio. Se cumpliría dondequiera que se hiciese un experimento para comprobarla. Fíjense que nuestra idea de simetría se va haciendo más compleja y más profunda. Ahora no nos detenemos en ver si la forma material de un objeto es simétrica, ni de si la escritura de una fórmula matemática es simétrica. Ahora nos preguntamos si una ley física es válida en todo el Universo. La otra simetría interesante para una ley física es la que se refiere al tiempo. Cierta ley física se cumple ahora; antes también?, se cumplirá pasado algún tiempo? Una ley que fuera cierta en cualquier instante de la historia del universo sería una ley simétrica respecto al tiempo. Lo que ahora nos preguntamos es: son simétricas o no las leyes de la física? Hasta donde alcanzan nuestras medidas, las leyes físicas (y, por tanto, la interacción gravitatoria) sí son simétricas respecto al espacio y respecto al tiempo. En cualquier lugar y momento temporal del universo, la Naturaleza se comporta igual que aquí y ahora en lo que se refiere a estas leyes. Esta simetría es un arma muy poderosa para investigar hacia el pasado y hacia el futuro, ya que nos permite suponer (y, en la medida en que confiemos en la seguridad de la simetría, conocer) condiciones locales donde jamás podremos llegar por la distancia espacial y temporal que nos separa de muchas partes del universo. Así, por ejemplo, gracias a esta simetría, podemos calcular que el Sol lleva millones de años produciendo energía y que le quedan, probablemente, otros millones hasta que consuma toda su masa. Esto lo podemos aventurar suponiendo que en ese enorme tramo de = millones de años las leyes físicas que determinan los procesos mediante los cuales el Sol consume su propia masa como 196

197 combustible (las reacciones nucleares que le permiten producir energía), fueron, son y serán las mismas. Por tanto, en cierto modo, la simetría se vuelve tan importante o más que la propia ley física. La simetría es la exacta correspondencia de todas las partes de una figura respecto de un centro, un eje o un plano. La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios. En condiciones formales, decimos que un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada, si, cuando aplicado al objeto, esta operación no cambia el objeto o su aspecto. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan. La simetría también se encuentra en organismos vivos. Asimetría se refiere a la propiedad de determinados cuerpos, funciones matemáticas y otros tipos de elementos en los que, al aplicarles una regla de transformación efectiva, se observan cambios respecto al elemento original. Surge una discordia cuando no somos capaces de reconocer qué parte es la original de la asimetría. Además de la posición y la dispersión de un conjunto de datos, es común usar medidas de forma en su descripción. Una de estas medidas es una estadística que busca expresar la simetría (o falta de ella) que manifiestan los datos, denominada coeficiente de asimetría. La diferencia de una observación respecto del promedio de los datos se encuentra elevada al cubo. Esto tiene como resultado que, observaciones alejadas del promedio, aportan un gran valor a la suma; ya sea positivo o negativo. En consecuencia, si los grandes valores de la diferencia. En punteado negro: la media, en punteado gris: la moda. Las medidas de asimetría son indicadores que permiten establecer el grado de simetría (o asimetría) que presenta una distribución de probabilidad de una variable aleatoria sin tener que hacer su representación gráfica. 197

198 Como eje de simetría consideramos una recta paralela al eje de ordenadas que pasa por la media de la distribución. Si una distribución es simétrica, existe el mismo número de valores a la derecha que a la izquierda de la media, por tanto, el mismo número de desviaciones con signo positivo que con signo negativo. Decimos que hay asimetría positiva (o a la derecha) si la "cola" a la derecha de la media es más larga que la de la izquierda, es decir, si hay valores más separados de la media a la derecha. Diremos que hay asimetría negativa (o a la izquierda) si la "cola" a la izquierda de la media es más larga que la de la derecha, es decir, si hay valores más separados de la media a la izquierda. La asimetría resulta útil en muchos campos. Muchos modelos simplistas asumen una distribución normal, esto es, simétrica en torno a la media. La distribución normal tiene una asimetría cero. Pero en realidad, los valores no son nunca perfectamente simétricos y la asimetría de la distribución proporciona una idea sobre si las desviaciones de la media son positivas o negativas. Una asimetría positiva implica que hay más valores distintos a la derecha de la media. Las medidas de asimetría, sobre todo el coeficiente de asimetría de Fisher, junto con las medidas de apuntamiento o curtosis se utilizan para contrastar si se puede aceptar que una distribución estadística sigue la distribución normal. Esto es necesario para realizar numerosos contrastes estadísticos en la teoría de inferencia estadística. A continuación consideraremos una operación de simetría, la más sencilla de todas. En ella, tomamos una recta AB, y la hacemos girar en el plano de modo tal que el punto A sea movido a la posición que ocupaba el punto B y el punto B sea movido a la posición que ocupaba el punto A, como se muestra a continuación: Esta es una operación de simetría auténtica, porque si borramos las letras, no tendremos forma alguna de distinguir la línea de la izquierda de la línea de la derecha. Obsérvese aquí que hemos identificado dos operaciones básicas: la operación I, la operación identidad, que dejará a la línea tal y como estaba, y la operación r, una operación de rotación que cambiará los puntos extremos de la línea. Existen unos grupos extremadamente importantes en las matemáticas de la simetría, conocidos como los grupos de permutación. Para empezar, supóngase que tenemos un arreglo inicial que consta de seis objetos acomodados en forma ordenada en sus casilleros respectivos, un arreglo en donde 198

199 aún no se ha llevado a cabo ninguna permutación sobre dichos objetos. Esta configuración inicial, la cual identificaremos como la permutación identidad I, usualmente se representa en los textos de matemáticas de la siguiente manera: Sin embargo, con la intención de dar una mayor claridad y amenidad a lo que estaremos estudiando aquí, se utilizará una representación equivalente complementada con varios colores que nos ayudarán a distinguir mejor cada movimiento que se estará llevando a cabo sobre los elementos individuales. De este modo, la anterior representación será manejada del modo siguiente: enfatizándose que las dos representaciones son completamente equivalentes. Ahora llevaremos a cabo una permutación de elementos, la cual identificaremos con el símbolo k. Todos los cambios los llevaremos a cabo en el renglón inferior, mientras que el renglón superior permanecerá inalterado. El elemento que está en la posición 1 será relocalizado a la posición 5, el elemento que está en la posición 2 se dejará en su mismo lugar, el elemento que está en la posición 3 será relocalizado a la posición 4, el elemento que está en la posición 1 será relocalizado a la posición 1, el elemento que está en la posición 5 será relocalizado a la posición 3, y el elemento que está en la posición 6 se dejará en su mismo lugar. Una vez que se han llevado a cabo estos movimientos, nuestro arreglo rectangular presentará el siguiente aspecto: De este modo, bajo la operación k, cada uno de los elementos inferiores del arreglo han sido reasignados según el siguiente esquema: k(1) 4 k(2) 2 k(3) 5 199

200 k(4) 3 k(5) 1 k(6) 6 Esta transformación es lo que en matemáticas se conoce como un mapeo (mapping), llamado también aplicación (en el sentido matemático de que se aplica una transformación al elemento convirtiéndolo en otro elemento). El término es apropiado, porque bajo una operación o transformación como k, cada elemento del conjunto original es mapeado hacia una nueva configuración. Una vez que el concepto anterior ha quedado claro, podemos proceder a llevar a cabo una sucesión de permutaciones, o si queremos utilizar terminología más elegante, una composición. Para simplificar la explicación, lo haremos utilizando dos permutaciones sobre cinco elementos en lugar de seis, las cuales llamaremos h y d. La permutación h la podemos representar de la siguiente manera: Del mismo modo, la permutación d la podemos representar de la siguiente manera: Ahora llevaremos a cabo la siguiente secuencia de permutaciones: h d 200

201 Para poder llevar a cabo esta secuencia combinada de permutaciones, podemos reacomodar las columnas de la permutación d de modo tal que el primer renglón de la permutación d coincida con el segundo renglón de la permutación h. De este modo, la permutación d: quedará representada de la siguiente manera: Este reacomodo de columnas es una operación completamente válida y siempre la podemos llevar a cabo, puesto que el orden de las columnas en cualquier permutación no tiene relevancia alguna, en el caso que nos ocupa ambos arreglos representan la misma aplicación: d(1) 1 d(2) 5 d(3) 3 d(4) 4 d(5) 2 De este modo, la operación binaria h d representa ahora el siguiente aspecto: Hecho esto, el último paso es inmediato. Podemos ver que las entradas del renglón inferior de la primera permutación h cancelan las entradas del renglón superior de la 201

202 segunda permutación d, con lo cual tenemos la resultante final de esta composición de permutaciones: A continuación, aplicaremos el mismo procedimiento para obtener la resultante de la operación combinada d h: Nuevamente, podemos llevar a cabo un reacomodo de las columnas en la segunda permutación, la permutación h, de modo tal que el primer renglón de la segunda permutación h coincida con el segundo renglón de la primera permutación d, llevando a cabo tras esto la cancelación de dichos renglones para obtener el efecto final de la permutación combinada: o en notación convencional sin usar los adornos didácticos que hemos venido utilizando: Como puede apreciarse, lo que obtenemos con la operación h d no es igual a lo que obtenemos con la operación d h. En general, la secuencia sucesiva de dos o más permutaciones no es una operación conmutativa. 202

203 Aunque el ejemplo anterior fue llevado a cabo sobre un conjunto de cinco elementos, el procedimiento se puede extender sin problema alguno hacia un conjunto mayor de elementos. A continuación tenemos otro ejemplo en el cual llevamos a cabo dos permutaciones sucesivas sobre un conjunto de seis elementos: o en notación convencional: Mediante la representación que hemos venido utilizando, es extremadamente fácil obtener la permutación inversa de una permutación dada. Dada una permutación cualesquiera m como la que se muestra a continuación, todo lo que tenemos que hacer para obtener la permutación inversa m -1 es intercambiar el renglón superior y el renglón inferior, y tras esto reacomodar las columnas de modo tal que los números del renglón superior tengan una secuencia de orden ascendente: 203

204 Llevando a cabo operaciones de composición binaria para permutaciones como las que vimos arriba, el lector pueden comprobar por cuenta propia lo siguiente: m m -1 = I m -1 m = I Lo mismo ocurre al tomar como referencia lo señalado en la Matriz de los Números de Sergio Aschero. (capítulo 8) Empecemos ahora a hablar de la Simetría y Asimetría de los Números: En primer lugar, si en el análisis numérico de la "matriz" aparece un múltiplo (puede ser más de uno), el número es compuesto y si no aparece ningún múltiplo el número es primo. Como ya se señaló con anterioridad, el número 1 queda exceptuado de esta fórmula. Empecemos con los números pares: 6 = 15, 24, 33, 42, 51 El número 6 es compuesto ya que todos los números pares tienen un número repetido en su centro (en este caso es: 3 3) al que se agrega 2 4 ya que 4 es múltiplo de 2 con lo cual se pueden obtener las simetrías de: 3 3 y Siguiendo con los impares no primos: 9 = 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 En este caso el número 9 es compuesto ya que 6 es múltiplo de 3 y tiene su inversión equivalente en 6 y

205 La simetría está dada en que partiendo del primer número: 3 se obtiene el segundo por repetición del primero: 3 3 y con ello el modelo simétrico normativo de todos los números compuestos. En este caso: Y finalizando con los primos: 5 = 14, 23, 32, 41 En este caso el número 5 es primo ya que no tiene ningún múltiplo en su "matriz". 1 = 1 2 = 11 3 = 12, 21 5 = 14, 23, 32, 41 7 = 16, 25, 34, 43, 52, 61 9 = 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 (3 3 3) 11 = 110, 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92, = 112, 211, 310, 49, 58, 67, 76, 85, 94, 103, 112, = 114, 213, 312, 411, 510, 69, 78, 87, 96, 105, 114, 123, 132, 141 ( ) (5 5 5) 17 = 116, 215, 314, 413, 512, 611, 710, 89, 98, 107, 116, 125, 134, 143, 152, = 118, 217, 316, 415, 514, 613, 712, 811, 910, 109, 118, 127, 136, 145, 154, 163, 172, = 120, 219, 318, 417, 516, 615, 714, 813, 912, 1011, 1110, 129, 138, 147, 156, 165, 174, 183, 192, 201 ( ) (7 7 7) 23 = 122, 221, 320, 419, 518, 617, 716, 815, 914, 1013, 1112, 1211, 1310, 149, 158, 167, 176, 185, 194, 203, 212, = 124, 223, 322, 421, 520, 619, 718, 817, 916, 1015, 1114, 1213, 1312, 1411, 1510, 169, 178, 187, 196, 205, 214, 223, 232, 241 ( ) 27 = 126, 225, 324, 423, 522, 621, 720, 819, 918, 1017, 1116, 1215, 1314, 1413, 1512, 1611, 1710, 189, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261 ( ) (9 9 9) 29 = 128, 227, 326, 425, 524, 623, 722, 821, 920, 1019, 1118, 1217, 1316, 1415, 1514, 1613, 1712, 1811, 1910, 209, 218, 227, 236, 245, 254, 263, 272, = 130, 229, 328, 427, 526, 625, 724, 823, 922, 1021, 1120, 1219, 1318, 1417, 1516, 1615, 1714, 1813, 1912, 2011, 2110, 229, 238, 247, 256, 265, 274, 283, 292, = 132, 231, 330, 429, 528, 627, 726, 825, 924, 1023, 1122, 1221, 1320, 1419, 1518, 1617, 1716, 1815, 1914, 2013, 2112, 2211, 2310, 249, 258, 267, 276, 285, 294, 303, 312, 321 ( ) ( ) 35 = 134, 233, 332, 431, 530, 629, 728, 827, 926, 1025, 1124, 1223, 1322, 1421, 1520, 1619, 1718, 1817, 1916, 2015, 2114, 2213, 2312, 2411, 2510, 269, 278, 287, 296, 305, 314, 323, 332, 341 ( ) ( ) 37 = 136, 235, 334, 433, 532, 631, 730, 829, 928, 1027, 1126, 1225, 1324, 1423, 1522, 1621, 1720, 1819, 1918, 2017, 2116, 2215, 2314, 2413, 2512, 2611, 2710, 289, 298, 307, 316, 325, 334, 343, 352, = 138, 237, 336, 435, 534, 633, 732, 831, 930, 1029, 1128, 1227, 1326, 1425, 1524, 1623, 1722, 1821, 1920, 2019, 2118, 2217, 2316, 2415, 2514, 2613, 2712, 2811, 2910, 309, 318, 327, 336, 345, 354, 363, 372, 381 ( ) ( ) 205

206 41 = 140, 239, 338, 437, 536, 635, 734, 833, 932, 1031, 1130, 1229, 1328, 1427, 1526, 1625, 1724, 1823, 1922, 2021, 2120, 2219, 2318, 2417, 2516, 2615, 2714, 2813, 2912, 3011, 3110, 329, 338, 347, 356, 365, 374, 383, 392, = 142, 241, 340, 439, 538, 637, 736, 835, 934, 1033, 1132, 1231, 1330, 1429, 1528, 1627, 1726, 1825, 1924, 2023, 2122, 2221, 2320, 2419, 2518, 2617, 2716, 2815, 2914, 3013, 3112, 3211, 3310, 349, 358, 367, 376, 385, 394, 403, 412, = 144, 243, 342, 441, 540, 639, 738, 837, 936, 1035, 1134, 1233, 1332, 1431, 1530, 1629, 1728, 1827, 1926, 2025, 2124, 2223, 2322, 2421, 2520, 2619, 2718, 2817, 2916, 3015, 3114, 3213, 3312, 3411, 3510, 369, 378, 387, 396, 405, 414, 423, 432, 441 ( ) ( ) ( ) ( ) 47 = 146, 245, 344, 443, 542, 641, 740, 839, 938, 1037, 1136, 1235, 1334, 1433, 1532, 1631, 1730, 1829, 1928, 2027, 2126, 2225, 2324, 2423, 2522, 2621, 2720, 2819, 2918, 3017, 3116, 3215, 3314, 3413, 3512, 3611, 3710, 389, 398, 407, 416, 425, 434, 443, 452, = 148, 247, 346, 445, 544, 643, 742, 841, 940, 1039, 1138, 1237, 1336, 1435, 1534, 1633, 1732, 1831, 1930, 2029, 2128, 2227, 2326, 2425, 2524, 2623, 2722, 2821, 2920, 3019, 3118, 3217, 3316, 3415, 3514, 3613, 3712, 3811, 3910, 409, 418, 427, 436, 445, 454, 463, 472, 481 ( ) 206

207 6. La Concatenación de los Números Compuestos Al definir lo que "no es" (números compuestos), se descubre "lo que es" (números primos). La concatenación es un acto de unir partes para formar un todo. Los números primos se concatenan con los compuestos. Ambos son partes necesarias de un mismo sistema. A través de la suma de números impares sucesivos, se puede descubrir si un número es primo o compuesto. Para hacerlo sólo hay que sumar una sección consecutiva de números impares que igualarán la cifra del número inicial que no debe ser sumada. Si el resultado es coincidente, el número es compuesto y si no lo es, el número es primo = 9 (número compuesto) En cambio, los números primos son aquellos que no se obtienen por la suma de dos o tres o más números impares consecutivos y en consecuencia son números que carecen de un "centro impar". 3 = = 4 (se pasó) 5 = = 4 (no llega) 5 = = 8 (se pasó) 7 = = 4 (no llega) 7 = = 8 (se pasó) 9 = = 9 El "centro impar" multiplicado por la cantidad de cifras previas al resultado, produce el número compuesto = 9 (3 x 3 = 9) = = = 4 207

208 El número 7 es primo ya que los resultados de las sumas no son coincidentes con el número inicial (7) = 9 El número 9 es compuesto (3 2 ) ya que el resultado coincide con el número inicial. Es de destacar que solamente los cuadrados de los números contienen al número 1. Los números compuestos tienen un centro divisible (número rojo) a partir del cual se genera un modelo simétrico que siempre es impar: A + B + C A + B + C + D + E ANÁLISIS DE LOS PRIMEROS 1000 NÚMEROS IMPARES 1 = (NUMERO PRIMO) 2 = (NUMERO PRIMO) (único número par) 3 = (NUMERO PRIMO) 5 = (NUMERO PRIMO) 7 = (NUMERO PRIMO) 9 = ( = 9) (3 2 ) 11 = (NUMERO PRIMO) 13 = (NUMERO PRIMO) 15 = ( = 15) 17 = (NUMERO PRIMO) 19 = (NUMERO PRIMO) 21 = ( = 21) 23 = (NUMERO PRIMO) 208

209 25 = ( = 25) (5 2 ) 27 = ( = 27) 29 = (NUMERO PRIMO) 31 = (NUMERO PRIMO) 33 = ( = 33) 35 = ( = 35) 37 = (NUMERO PRIMO) 39 = ( = 39) 41 = (NUMERO PRIMO) 43 = (NUMERO PRIMO) 45 = ( = 45) 47 = (NUMERO PRIMO) 49 = ( = 49) (7 2 ) 51 = ( = 51) 53 = (NUMERO PRIMO) 55 = ( = 55) 57 = ( = 57) 59 = (NUMERO PRIMO) 61 = (NUMERO PRIMO) 63 = ( = 63) 65 = ( = 65) 67 = (NUMERO PRIMO) 69 = ( = 69) 71 = (NUMERO PRIMO) 73 = (NUMERO PRIMO) 75 = ( = 75) 77 = ( = 77) 79 = (NUMERO PRIMO) 209

210 81 = ( = 81) (9 2 ) 83 = (NUMERO PRIMO) 85 = ( = 85) 87 = ( = 87) 89 = (NUMERO PRIMO) 91 = ( = 91) 93 = ( = 93) 95 = ( = 95) 97 = (NUMERO PRIMO) 99 = ( = 99) 101 = (NUMERO PRIMO) 103 = (NUMERO PRIMO) 105 = ( = 105) 107 = (NUMERO PRIMO) 109 = (NUMERO PRIMO) 111 = ( = 111) 113 = (NUMERO PRIMO) 115 = ( = 115) 117 = ( = 117) 119 = ( = 119) 121 = ( = 121) (11 2 ) 123 = ( = 123) 125 = ( = 125) 127 = (NUMERO PRIMO) 129 = ( = 129) 131 = (NUMERO PRIMO) 133 = ( = 133) 135 = ( = 135) 210

211 137 = (NUMERO PRIMO) 139 = (NUMERO PRIMO) 141 = ( = 141) 143 = ( = 143) 145 = ( = 145) 147 = ( = 147) 149 = (NUMERO PRIMO) 151 = (NUMERO PRIMO) 153 = ( = 153) 155 = ( = 155) 157 = (NUMERO PRIMO) 159 = ( = 159) 161 = ( = 161) 163 = (NUMERO PRIMO) 165 = ( = 165) 167 = (NUMERO PRIMO) 169 = ( = 169) (13 2 ) 171 = ( = 171) 173 = (NUMERO PRIMO) 175 = ( = 175) 177 = ( = 177) 179 = (NUMERO PRIMO) 181 = (NUMERO PRIMO) 183 = ( = 183) 185 = ( = 185) 187 = ( = 187) 189 = ( = 189) 191 = (NUMERO PRIMO) 211

212 193 = (NUMERO PRIMO) 195 = ( = 195) 197 = (NUMERO PRIMO) 199 = (NUMERO PRIMO) 201 = ( = 201) 203 = ( = 203) 205 = ( = 205) 207 = ( = 207) 209 = ( = 209) 211 = (NUMERO PRIMO) 213 = ( = 213) 215 = ( = 215) 217 = ( = 217) 219 = ( = 219) 221 = ( = 221) 223 = (NUMERO PRIMO) 225 = ( = 225) (15 2 ) 227 = (NUMERO PRIMO) 229 = (NUMERO PRIMO) 231 = ( = 231) 233 = (NUMERO PRIMO) 235 = ( = 235) 237 = ( = 237) 239 = (NUMERO PRIMO) 241 = (NUMERO PRIMO) 243 = ( = 243) 212

213 245 = ( = 245) 247 = ( = 247) 249 = ( = 249) 251 = (NUMERO PRIMO) 253 = ( = 253) 255 = ( = 255) 257 = (NUMERO PRIMO) 259 = ( = 259) 261 = ( = 261) 263 = (NUMERO PRIMO) 265 = ( = 265) 267 = ( = 267) 269 = (NUMERO PRIMO) 271 = (NUMERO PRIMO) 273 = ( = 273) 275 = ( = 275) 277 = (NUMERO PRIMO) 279 = ( = 279) 281 = (NUMERO PRIMO) 283 = (NUMERO PRIMO) 285 = ( = 285) 287 = ( = 287) 289 = ( = 289) (17 2 ) 291 = ( = 291) 293 = (NUMERO PRIMO) 295 = ( = 295) 213

214 297 = ( = 297) 299 = ( = 299) 301 = ( = 301) 303 = ( = 303) 305 = ( = 305) 307 = (NUMERO PRIMO) 309 = ( = 309) 311 = (NUMERO PRIMO) 313 = (NUMERO PRIMO) 315 = ( = 315) 317 = (NUMERO PRIMO) 319 = ( = 319) 321 = ( = 321) 323 = ( = 323) 325 = ( = 325) 327 = ( = 327) 329 = ( = 329) 331 = (NUMERO PRIMO) 333 = ( = 333) 335 = ( = 335) 337 = (NUMERO PRIMO) 339 = ( = 339) 341 = ( = 341) 343 = ( = 343) 345 = ( = 345) 347 = (NUMERO PRIMO) 349 = (NUMERO PRIMO) 214

215 351 = ( = 351) 353 = (NUMERO PRIMO) 355 = ( = 355) 357 = ( = 357) 359 = (NUMERO PRIMO) 361 = ( = 361) (19 2 ) 363 = ( = 363) 365 = ( = 365) 367 = (NUMERO PRIMO) 369 = ( = 369) 371 = ( = 371) 373 = (NUMERO PRIMO) 375 = ( = 375) 377 = ( = 377) 379 = (NUMERO PRIMO) 381 = ( = 381) 383 = (NUMERO PRIMO) 385 = ( = 385) 387 = ( = 387) 389 = (NUMERO PRIMO) 391 = ( = 391) 393 = ( = 393) 395 = ( = 395) 397 = (NUMERO PRIMO) 399 = ( = 399) 401 = (NUMERO PRIMO) 215

216 403 = ( = 403) 405 = ( = 405) 407 = ( = 407) 409 = (NUMERO PRIMO) 411 = ( = 411) 413 = ( = 413) 415 = ( = 415) 417 = ( = 417) 419 = (NUMERO PRIMO) 421 = (NUMERO PRIMO) 423 = ( = 423) 425 = ( = 425) 427 = ( = 427) 429 = ( = 429) 431 = (NUMERO PRIMO) 433 = (NUMERO PRIMO) 435 = ( = 435) 437 = ( = 437) 439 = (NUMERO PRIMO) 441 = ( = 441) (21 2 ) 443 = (NUMERO PRIMO) 445 = ( = 445) 447 = ( = 447) 449 = (NUMERO PRIMO) 451 = ( = 451) 453 = ( = 453) 216

217 455 = ( = 455) 457 = (NUMERO PRIMO) 459 = ( = 459) 461 = (NUMERO PRIMO) 463 = (NUMERO PRIMO) 465 = ( = 465) 467 = (NUMERO PRIMO) 469 = ( = 469) 471 = ( = 471) 473 = ( = 473) 475 = ( = 475) 477 = ( = 477) 479 = (NUMERO PRIMO) 481 = ( = 481) 483 = ( = 483) 485 = ( = 485) 487 = (NUMERO PRIMO) 489 = ( = 489) 491 = (NUMERO PRIMO) 493 = ( = 493) 495 = ( = 495) 497 = ( = 497) 499 = (NUMERO PRIMO) 501 = ( = 501) 503 = (NUMERO PRIMO) 505 = ( = 505) 507 = ( = 507) 217

218 509 = (NUMERO PRIMO) 511 = ( = 511) 513 = ( = 513) 515 = ( = 515) 517 = ( = 517) 519 = ( = 519) 521 = (NUMERO PRIMO) 523 = (NUMERO PRIMO) 525 = ( = 525) 527 = ( = 527) 529 = ( = 529) (23 2 ) 531 = ( = 531) 533 = ( = 533) 535 = ( = 535) 537 = ( = 537) 539 = ( = 539) 541 = (NUMERO PRIMO) 543 = ( = 543) 545 = ( = 545) 547 = (NUMERO PRIMO) 549 = ( = 549) 551 = ( = 551) 553 = ( = 553) 555 = ( = 555) 557 = (NUMERO PRIMO) 218

219 559 = ( = 559) 561 = ( = 561) 563 = (NUMERO PRIMO) 565 = ( = 565) 567 = ( = 567) 569 = (NUMERO PRIMO) 571 = (NUMERO PRIMO) 573 = ( = 573) 575 = ( = 575) 577 = (NUMERO PRIMO) 579 = ( = 579) 581 = ( = 581) 583 = ( = 583) 585 = ( = 585) 587 = (NUMERO PRIMO) 589 = ( = 589) 591 = ( = 591) 593 = (NUMERO PRIMO) 595 = ( = 595) 597 = ( = 597) 599 = (NUMERO PRIMO) 601 = (NUMERO PRIMO) 603 = ( = 603) 605 = ( = 605) 607 = (NUMERO PRIMO) 609 = ( = 609) 219

220 611 = ( = 611) 613 = (NUMERO PRIMO) 615 = ( = 615) 617 = (NUMERO PRIMO) 619 = (NUMERO PRIMO) 621 = ( = 621) 623 = ( = 623) 625 = ( = 625) (25 2 ) 627 = ( = 627) 629 = ( = 629) 631 = (NUMERO PRIMO) 633 = ( = 633) 635 = ( = 635) 637 = ( = 637) 639 = ( = 639) 641 = (NUMERO PRIMO) 643 = (NUMERO PRIMO) 645 = ( = 645) 647 = (NUMERO PRIMO) 649 = ( = 649) 651 = ( = 651) 653 = (NUMERO PRIMO) 655 = ( = 655) 657 = ( = 657) 659 = (NUMERO PRIMO) 220

221 661 = (NUMERO PRIMO) 663 = ( = 663) 665 = ( = 665) 667 = ( = 667) 669 = ( = 669) 671 = ( = 671) 673 = (NUMERO PRIMO) 675 = ( = 675) 677 = (NUMERO PRIMO) 679 = ( = 679) 681 = ( = 681) 683 = (NUMERO PRIMO) 685 = ( = 685) 687 = ( = 687) 689 = ( = 689) 691 = (NUMERO PRIMO) 693 = ( = 693) 695 = ( = 695) 697 = ( = 697) 699 = ( = 699) 701 = (NUMERO PRIMO) 703 = ( = 703) 705 = ( = 705) 707 = ( = 707) 709 = (NUMERO PRIMO) 221

222 711 = ( = 711) 713 = ( = 713) 715 = ( = 715) 717 = ( = 717) 719 = (NUMERO PRIMO) 721 = ( = 721) 723 = ( = 723) 725 = ( = 725) 727 = (NUMERO PRIMO) 729 = ( = 729) (27 2 ) 731 = ( = 731) 733 = (NUMERO PRIMO) 735 = ( = 735) 737 = ( = 737) 739 = (NUMERO PRIMO) 741 = ( = 741) 743 = (NUMERO PRIMO) 745 = ( = 745) 747 = ( = 747) 749 = ( = 749) 751 = (NUMERO PRIMO) 753 = ( = 753) 755 = ( = 755) 757 = (NUMERO PRIMO) 759 = ( = 759) 222

223 761 = (NUMERO PRIMO) 763 = ( = 763) 765 = ( = 765) 767 = ( = 767) 769 = (NUMERO PRIMO) 771 = ( = 771) 773 = (NUMERO PRIMO) 775 = ( = 775) 777 = ( = 777) 779 = ( = 779) 781 = ( = 781) 783 = ( = 783) 785 = ( = 785) 787 = (NUMERO PRIMO) 789 = ( = 789) 791 = ( = 791) 793 = ( = 793) 795 = ( = 795) 797 = (NUMERO PRIMO) 799 = ( = 799) 801 = ( = 801) 803 = ( = 803) 805 = ( = 805) 807 = ( = 807) 809 = (NUMERO PRIMO) 811 = (NUMERO PRIMO) 223

224 813 = ( = 813) 815 = ( = 815) 817 = ( = 817) 819 = ( = 819) 821 = (NUMERO PRIMO) 823 = (NUMERO PRIMO) 825 = ( = 825) 827 = (NUMERO PRIMO) 829 = (NUMERO PRIMO) 831 = ( = 831) 833 = ( = 833) 835 = ( = 835) 837 = ( = 837) 839 = (NUMERO PRIMO) 841 = ( = 841) (29 2 ) 843 = ( = 843) 845 = ( = 845) 847 = ( = 847) 849 = ( = 849) 851 = ( = 851) 853 = (NUMERO PRIMO) 855 = ( = 855) 857 = (NUMERO PRIMO) 859 = (NUMERO PRIMO) 861 = ( = 861) 224

225 863 = (NUMERO PRIMO) 865 = ( = 865) 867 = ( = 867) 869 = ( = 869) 871 = ( = 871) 873 = ( = 873) 875 = ( = 875) 877 = (NUMERO PRIMO) 879 = ( = 879) 881 = (NUMERO PRIMO) 883 = (NUMERO PRIMO) 885 = ( = 885) 887 = (NUMERO PRIMO) 889 = ( = 889) 891 = ( = 891) 893 = ( = 893) 895 = ( = 895) 897 = ( = 897) 899 = ( = 899) 901 = ( = 901) 903 = ( = 903) 905 = ( = 905) 907 = (NUMERO PRIMO) 909 = ( = 909) 911 = (NUMERO PRIMO) 225

226 913 = ( = 913) 915 = ( = 915) 917 = ( = 917) 919 = (NUMERO PRIMO) 921 = ( = 921) 923 = ( = 923) 925 = ( = 925) 927 = ( = 927) 929 = (NUMERO PRIMO) 931 = ( = 931) 933 = ( = 933) 935 = ( = 935) 937 = (NUMERO PRIMO) 939 = ( = 939) 941 = (NUMERO PRIMO) 943 = ( = 943) 945 = ( = 945) 947 = (NUMERO PRIMO) 949 = ( = 949) 951 = ( = 951) 953 = (NUMERO PRIMO) 955 = ( = 955) 957 = ( = 957) 959 = ( = 959) 961 = ( = 961) 226

227 (31 2 ) 963 = ( = 963) 965 = ( = 965) 967 = (NUMERO PRIMO) 969 = ( = 969) 971 = (NUMERO PRIMO) 973 = ( = 973) 975 = ( = 975) 977 = (NUMERO PRIMO) 979 = ( = 979) 981 = ( = 981) 983 = (NUMERO PRIMO) 985 = ( = 985) 987 = ( = 987) 989 = ( = 989) 991 = (NUMERO PRIMO) 993 = ( = 993) 995 = ( = 995) 997 = (NUMERO PRIMO) 999 = ( = 999) OTROS EJEMPLOS 9779 = ( = 9779) 9781 = (NUMERO PRIMO) 9783 = ( = 9783) 227

228 10003 = ( = 10003) = ( = 10005) = (NUMERO PRIMO) = ( = ) = (NUMERO PRIMO) = ( = ) = ( = ) = (NUMERO PRIMO) = ( = ) = ( = ) = (NUMERO PRIMO) = ( = ) = ( = ) = (NUMERO PRIMO) = ( = ) 228

229 7. De la Criba de Eratóstenes a la Criba de Aschero La Criba de Aschero presenta un modelo matemático que supera al de la Criba de Eratóstenes, obteniendo un resultado similar con respecto a la obtención de números primos y eliminación de números compuestos pero con una mayor simplicidad operativa. Criba de Eratóstenes La Criba de Eratóstenes es un procedimiento para determinar todos los números primos hasta cierto número natural dado. Esto se hace recorriendo una tabla de números usando el siguiente algoritmo para los 1000 primeros números naturales: Empezamos en el número 2, resaltamos el número 2 como primo pero desechamos todos los múltiplos de 2 (es decir, desechamos 4, 6, 8, etc.). Se continua con el siguiente número no desechado en la tabla, en este caso el número 3, resaltamos el número 3 como primo y desechamos todos los múltiplos de 3 (es decir desechamos 6, 9, 12, etc.). El siguiente número no desechado en la tabla es el 5, resaltamos el número 5 como primo y todos los múltiplos de 5 (es decir desechamos 10, 15, 20, etc.). Y así, paso a paso se tachan todos los números que no son primos. Análisis numeral Veamos a continuación los 1000 números primos y compuestos con todas sus características: 1 = {1} (1 divisor) 2 = {2} (NUMERO PRIMO) 3 = {3} (NUMERO PRIMO) 4 = {2, 4} (2 divisores) 5 = {5} (NUMERO PRIMO) 6 = {2, 3, 6} (3 divisores) 7 = {7} (NUMERO PRIMO) 8 = {2, 4, 8} (3 divisores) 9 = {3, 9} (2 divisores) 10 = {2, 5, 10} (3 divisores) 11 = {11} (NUMERO PRIMO) 12 = {2, 3, 4, 6, 12} (5 divisores) 13 = {13} (NUMERO PRIMO) 14 = {2, 7, 14} (3 divisores) 15 = {3, 5, 15} (3 divisores) 16 = {2, 4, 8, 16} (4 divisores) 17 = {17} (NUMERO PRIMO) 18 = {2, 3, 6, 9, 18} (5 divisores) 229

230 19 = {19} (NUMERO PRIMO) 20 = {2, 4, 5, 10, 20} (5 divisores) 21 = {3, 7, 21} (3 divisores) 22 = {2, 11, 22} (3 divisores) 23 = {23} (NUMERO PRIMO) 24 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} (7 divisores) 25 = {5, 25} (2 divisores) 26 = {2, 13, 26} (3 divisores) 27 = {3, 9, 27} (3 divisores) 28 = {2, 4, 7, 14, 28} (5 divisores) 29 = {29} (NUMERO PRIMO) 30 = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} (7 divisores) 31 = {31} (PRIMO NUMERO) 32 = {2, 4, 8, 16, 32} (5 divisores) 33 = {3, 11, 33} (3 divisores) 34 = {2, 17, 34} (3 divisores) 35 = {5, 7, 35} (3 divisores) 36 = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} (8 divisores) 37 = {37} (NUMERO PRIMO) 38 = {2, 19, 38} (3 divisores) 39 = {3, 13, 39} (3 divisores) 40 = {2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} (7 divisores) 41 = {41} (NUMERO PRIMO) 42 = {2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} (7 divisores) 43 = {43} (NUMERO PRIMO) 44 = {2, 4, 11, 22, 44} (5 divisores) 45 = {3, 5, 9, 15, 45} (5 divisores) 46 = {2, 23, 46} (3 divisores) 47 = {47} (NUMERO PRIMO) 48 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} (9 divisores) 49 = {7, 49} (2 divisores) 50 = {2, 5, 10, 25, 50} (5 divisores) 51 = {3, 17, 51} (3 divisores) 52 = {2, 4, 13, 26, 52} (5 divisores) 53 = {53} (NUMERO PRIMO) 54 = {2, 3, 6, 9, 18, 27, 54} (7 divisores) 55 = {5, 11, 55} (3 divisores) 56 = {2, 4, 7, 8, 14, 28, 56} (7 divisores) 57 = {3, 19, 57} (3 divisores) 58 = {2, 29, 58} (3 divisores) 59 = {59} (NUMERO PRIMO) 60 = {2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} (11 divisores) 61 = {61} (NUMERO PRIMO) 62 = {2, 31, 62} (3 divisores) 63 = {3, 7, 9, 21, 63} (5 divisores) 230

231 64 = {2, 4, 8, 16, 32, 64} (6 divisores) 65 = {5, 13, 65} (3 divisores) 66 = {2, 3, 6, 11, 22, 33, 66} (7 divisores) 67 = {67} (NUMERO PRIMO) 68 = {2, 4, 17, 34, 68} (5 divisores) 69 = {3, 23, 69} (3 divisores) 70 = {2, 5, 7, 10, 14, 35, 70} (7 divisores) 71 = {71} (NUMERO PRIMO) 72 = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} (11 divisores) 73 = {73} (NUMERO PRIMO) 74 = {2, 37, 74} (3 divisores) 75 = {3, 5, 15, 25, 75} (5 divisores) 76 = {2, 4, 19, 38, 76} (5 divisores) 77 = {7, 11, 77} (3 divisores) 78 = {2, 3, 6, 13, 26, 39, 78} (7 divisores) 79 = {79} (NUMERO PRIMO) 80 = {2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80} (9 divisores) 81 = {3, 9, 27, 81} (4 divisores) 82 = {2, 41, 82} (3 divisores) 83 = {83} (PRIMO NUMERO) 84 = {2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84} (11 divisores) 85 = {5, 17, 85} (3 divisores) 86 = {2, 43, 86} (3 divisores) 87 = {3, 29, 87} (3 divisores) 88 = {2, 4, 8, 11, 22, 44, 88} (7 divisores) 89 = {89} (PRIMO NUMERO) 90 = {2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} (11 divisores) 91 = {7, 13, 91} (3 divisores) 92 = {2, 4, 23, 46, 92} (5 divisores) 93 = {3, 31, 93} (3 divisores) 94 = {2, 47, 94} (3 divisores) 95 = {5, 19, 95} (3 divisores) 96 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96} (11 divisores) 97 = {97} (NUMERO PRIMO) 98 = {2, 7, 14, 49, 98} (5 divisores) 99 = {3, 9, 11, 33, 99} (5 divisores) 100 = {2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} (8 divisores) 101 = {101} (NUMERO PRIMO) 102 = {2, 3, 6, 17, 34, 51, 102} (7 divisores) 103 = {103} (NUMERO PRIMO) 104 = {2, 4, 8, 13, 26, 52, 104} (7 divisores) 105 = {3, 5, 7, 15, 21, 35, 105} (7 divisores) 106 = {2, 53, 106} (3 divisores) 107 = {107} (NUMERO PRIMO) 108 = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108} (11 divisores) 231

232 109 = {109} (NUMERO PRIMO) 110 = {2, 5, 10, 11, 22, 55, 110} (7 divisores) 111 = {3, 37, 111} (3 divisores) 112 = {2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 112} (9 divisores) 113 = {113} (NUMERO PRIMO) 114 = {2, 3, 6, 19, 38, 57, 114} (7 divisores) 115 = {5, 23, 115} (3 divisores) 116 = {2, 4, 29, 58, 116} (5 divisores) 117 = {3, 9, 13, 39, 117} (5 divisores) 118 = {2, 59, 118} (3 divisores) 119 = {7, 17, 119} (3 divisores) 120 = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120} (15 divisores) 121 = {11, 121} (2 divisores) 122 = {2, 61, 122} (3 divisores) 123 = {3, 41, 123} (3 divisores) 124 = {2, 4, 31, 62, 124} (5 divisores) 125 = {5, 25, 125} (3 divisores) 126 = {2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126} (11 divisores) 127 = {127} (NUMERO PRIMO) 128 = {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128} (7 divisores) 129 = {3, 43, 129} (3 divisores) 130 = {2, 5, 10, 13, 26, 65, 130} (7 divisores) 131 = {131} (NUMERO PRIMO) 132 = {2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132} (11 divisores) 133 = {7, 19, 133} (3 divisores) 134 = {2, 67, 134} (3 divisores) 135 = {3, 5, 9, 15, 27, 45, 135} (7 divisores) 136 = {2, 4, 8, 17, 34, 68, 136} (7 divisores) 137 = {137} (NUMERO PRIMO) 138 = {2, 3, 6, 23, 46, 69, 138} (7 divisores) 139 = {139} (NUMERO PRIMO) 140 = {2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140} (11 divisores) 141 = {3, 47, 141} (3 divisores) 142 = {2, 71, 142} (3 divisores) 143 = {11, 13, 143} (3 divisores) 144 = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144} (14 divisores) 145 = {5, 29, 145} (3 divisores) 146 = {2, 73, 146} (3 divisores) 147 = {3, 7, 21, 49, 147} (5 divisores) 148 = {2, 4, 37, 74, 148} (5 divisores) 149 = {149} (NUMERO PRIMO) 150 = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150} (11 divisores) 151 = {151} (NUMERO PRIMO) 152 = {2, 4, 8, 19, 38, 76, 152} (7 divisores) 153 = {3, 9, 17, 51, 153} (5 divisores) 232

233 154 = {2, 7, 11, 14, 22, 77, 154} (7 divisores) 155 = {5, 31, 155} (3 divisores) 156 = {2, 3, 4, 6, 12, 13, 26, 39, 52, 78, 156} (11 divisores) 157 = {157} (NUMERO PRIMO) 158 = {2, 79, 158} (3 divisores) 159 = {3, 53, 159} (3 divisores) 160 = {2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160} (11 divisores) 161 = {7, 23, 161} (3 divisores) 162 = {2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162} (9 divisores) 163 = {163} (NUMERO PRIMO) 164 = {2, 4, 41, 82, 164} (5 divisores) 165 = {3, 5, 11, 15, 33, 55, 165} (7 divisores) 166 = {2, 83, 166} (3 divisores) 167 = {167} (NUMERO PRIMO) 168 = {2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168} (15 divisores) 169 = {13, 169} (2 divisores) 170 = {2, 5, 10, 17, 34, 85, 170} (7 divisores) 171 = {3, 9, 19, 57, 171} (5 divisores) 172 = {2, 4, 43, 86, 172} (5 divisores) 173 = {173} (NUMERO PRIMO) 174 = {2, 3, 6, 29, 58, 87, 174} (7 divisores) 175 = {5, 7, 25, 35, 175} (5 divisores) 176 = {2, 4, 8, 11, 16, 22, 44, 88, 176} (9 divisores) 177 = {3, 59, 177} (3 divisores) 178 = {2, 89, 178} (3 divisores) 179 = {179} (NUMERO PRIMO) 180 = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180} (17 divisores) 181 = {181} (NUMERO PRIMO) 182 = {2, 7, 13, 14, 26, 91, 182} (7 divisores) 183 = {3, 61, 183} (3 divisores) 184 = {2, 4, 8, 23, 46, 92, 184} (7 divisores) 185 = {5, 37, 185} (3 divisores) 186 = {2, 3, 6, 31, 62, 93, 186} (7 divisores) 187 = {11, 17, 187} (3 divisores) 188 = {2, 4, 47, 94, 188} (5 divisores) 189 = {3, 7, 9, 21, 27, 63, 189} (7 divisores) 190 = {2, 5, 10, 19, 38, 95, 190} (7 divisores) 191 = {191} (NUMERO PRIMO) 192 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 192} (13 divisores) 193 = {193} (NUMERO PRIMO) 194 = {2, 97, 194} (3 divisores) 195 = {3, 5, 13, 15, 39, 65, 195} (7 divisores) 196 = {2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196} (8 divisores) 197 = {197} (NUMERO PRIMO) 198 = {2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 33, 66, 99, 198} (11 divisores) 233

234 199 = {199} (NUMERO PRIMO) 200 = {2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200} (11 divisores) 201 = {3, 67, 201} (3 divisores) 202 = {2, 101, 202} (3 divisores) 203 = {7, 29, 203} (3 divisores) 204 = {2, 3, 4, 6, 12, 17, 34, 51, 68, 102, 204} (11 divisores) 205 = {5, 41, 205} (3 divisores) 206 = {2, 103, 206} (3 divisores) 207 = {3, 9, 23, 69, 207} (5 divisores) 208 = {2, 4, 8, 13, 16, 26, 52, 104, 208} (9 divisores) 209 = {11, 19, 209} (3 divisores) 210 = {2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210} (15 divisores) 211 = {211} (NUMERO PRIMO) 212 = {2, 4, 53, 106, 212} (5 divisores) 213 = {3, 71, 213} (3 divisores) 214 = {2, 107, 214} (3 divisores) 215 = {5, 43, 215} (3 divisores) 216 = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216} (15 divisores) 217 = {7, 31, 217} (3 divisores) 218 = {2, 109, 218} (3 divisores) 219 = {3, 73, 219} (3 divisores) 220 = {2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220} (11 divisores) 221 = {13, 17, 221} (3 divisores) 222 = {2, 3, 6, 37, 74, 111, 222} (7 divisores) 223 = {223} (NUMERO PRIMO) 224 = {2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 32, 56, 112, 224} (11 divisores) 225 = {3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225} (8 divisores) 226 = {2, 113, 226} (3 divisores) 227 = {227} (NUMERO PRIMO) 228 = {2, 3, 4, 6, 12, 19, 38, 57, 76, 114, 228} (11 divisores) 229 = {229} (NUMERO PRIMO) 230 = {2, 5, 10, 23, 46, 115, 230} (7 divisores) 231 = {3, 7, 11, 21, 33, 77, 231} (7 divisores) 232 = {2, 4, 8, 29, 58, 116, 232} (7 divisores) 233 = {233} (NUMERO PRIMO) 234 = {2, 3, 6, 9, 13, 18, 26, 39, 78, 117, 234} (11 divisores) 235 = {5, 47, 235} (3 divisores) 236 = {2, 4, 59, 118, 236} (5 divisores) 237 = {3, 79, 237} (3 divisores) 238 = {2, 7, 14, 17, 34, 119, 238} (7 divisores) 239 = {239} (NUMERO PRIMO) 240 = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240} (19 divisores) 241 = {241} (NUMERO PRIMO) 242 = {2, 11, 22, 121, 242} (5 divisores) 234

235 243 = {3, 9, 27, 81, 243} (5 divisores) 244 = {2, 4, 61, 122, 244} (5 divisores) 245 = {5, 7, 35, 49, 245} (5 divisores) 246 = {2, 3, 6, 41, 82, 123, 246} (7 divisores) 247 = {13, 19, 247} (3 divisores) 248 = {2, 4, 8, 31, 62, 124, 248} (7 divisores) 249 = {3, 83, 249} (3 divisores) 250 = {2, 5, 10, 25, 50, 125, 250} (7 divisores) 251 = {251} (NUMERO PRIMO) 252 = {2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 28, 36, 42, 63, 84, 126, 252} (17 divisores) 253 = {11, 23, 253} (3 divisores) 254 = {2, 127, 254} (3 divisores) 255 = {3, 5, 15, 17, 51, 85, 255} (7 divisores) 256 = {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256} (8 divisores) 257 = {257} (NUMERO PRIMO) 258 = {2, 3, 6, 43, 86, 129, 258} (7 divisores) 259 = {7, 37, 259} (3 divisores) 260 = {2, 4, 5, 10, 13, 20, 26, 52, 65, 130, 260} (11 divisores) 261 = {3, 9, 29, 87, 261} (5 divisores) 262 = {2, 131, 262} (3 divisores) 263 = {263} (NUMERO PRIMO) 264 = {2, 3, 4, 6, 8, 11, 12, 22, 24, 33, 44, 66, 88, 132, 264} (15 divisores) 265 = {5, 53, 265} (3 divisores) 266 = {2, 7, 14, 19, 38, 133, 266} (7 divisores) 267 = {3, 89, 267} (3 divisores) 268 = {2, 4, 67, 134, 268} (5 divisores) 269 = {269} (NUMERO PRIMO) 270 = {2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 135, 270} (15 divisores) 271 = {271} (NUMERO PRIMO) 272 = {2, 4, 8, 16, 17, 34, 68, 136, 272} (9 divisores) 273 = {3, 7, 13, 21, 39, 91, 273} (7 divisores) 274 = {2, 137, 274} (3 divisores) 275 = {5, 11, 25, 55, 275} (5 divisores) 276 = {2, 3, 4, 6, 12, 23, 46, 69, 92, 138, 276} (11 divisores) 277 = {277} (NUMERO PRIMO) 278 = {2, 139, 278} (3 divisores) 279 = {3, 9, 31, 93, 279} (5 divisores) 280 = {2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 140, 280} (15 divisores) 281 = {281} (NUMERO PRIMO) 282 = {2, 3, 6, 47, 94, 141, 282} (7 divisores) 283 = {283} (NUMERO PRIMO) 284 = {2, 4, 71, 142, 284} (5 divisores) 285 = {3, 5, 15, 19, 57, 95, 285} (7 divisores) 286 = {2, 11, 13, 22, 26, 143, 286} (7 divisores) 287 = {7, 41, 287} (3 divisores) 235

236 288 = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 72, 96, 144, 288} (17 divisores) 289 = {17, 289} (2 divisores) 290 = {2, 5, 10, 29, 58, 145, 290} (7 divisores) 291 = {3, 97, 291} (3 divisores) 292 = {2, 4, 73, 146, 292} (5 divisores) 293 = {293} (NUMERO PRIMO) 294 = {2, 3, 6, 7, 14, 21, 42, 49, 98, 147, 294} (11 divisores) 295 = {5, 59, 295} (3 divisores) 296 = {2, 4, 8, 37, 74, 148, 296} (7 divisores) 297 = {3, 9, 11, 27, 33, 99, 297} (7 divisores) 298 = {2, 149, 298} (3 divisores) 299 = {13, 23, 299} (3 divisores) 300 = {2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300} (17 divisores) 301 = {7, 43, 301} (3 divisores) 302 = {2, 151, 302} (3 divisores) 303 = {3, 101, 303} (3 divisores) 304 = {2, 4, 8, 16, 19, 38, 76, 152, 304} (9 divisores) 305 = {5, 61, 305} (3 divisores) 306 = {2, 3, 6, 9, 17, 18, 34, 51, 102, 153, 306} (11 divisores) 307 = {307} (NUMERO PRIMO) 308 = {2, 4, 7, 11, 14, 22, 28, 44, 77, 154, 308} (11 divisores) 309 = {3, 103, 309} (3 divisores) 310 = {2, 5, 10, 31, 62, 155, 310} (7 divisores) 311 = {311} (NUMERO PRIMO) 312 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 13, 24, 26, 39, 52, 78, 104, 156, 312} (15 divisores) 313 = {313} (NUMERO PRIMO) 314 = {2, 157, 314} (3 divisores) 315 = {3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 63, 105, 315} (11 divisores) 316 = {2, 4, 79, 158, 316} (5 divisores) 317 = {317} (NUMERO PRIMO) 318 = {2, 3, 6, 53, 106, 159, 318} (7 divisores) 319 = {11, 29, 319} (3 divisores) 320 = {2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 160, 320} (13 divisores) 321 = {3, 107, 321} (3 divisores) 322 = {2, 7, 14, 23, 46, 161, 322} (7 divisores) 323 = {17, 19, 323} (3 divisores) 324 = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108, 162, 324} (14 divisores) 325 = {5, 13, 25, 65, 325} (5 divisores) 326 = {2, 163, 326} (3 divisores) 327 = {3, 109, 327} (3 divisores) 328 = {2, 4, 8, 41, 82, 164, 328} (7 divisores) 329 = {7, 47, 329} (3 divisores) 330 = {2, 3, 5, 6, 10, 11, 15, 22, 30, 33, 55, 66, 110, 165, 330} (15 divisores) 331 = {331} (NUMERO PRIMO) 332 = {2, 4, 83, 166, 332} (5 divisores) 236

237 333 = {3, 9, 37, 111, 333} (5 divisores) 334 = {2, 167, 334} (3 divisores) 335 = {5, 67, 335} (3 divisores) 336 = {2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 16, 21, 24, 28, 42, 48, 56, 84, 112, 168, 336} (19 divisores) 337 = {337} (NUMERO PRIMO) 338 = {2, 13, 26, 169, 338} (5 divisores) 339 = {3, 113, 339} (3 divisores) 340 = {2, 4, 5, 10, 17, 20, 34, 68, 85, 170, 340} (11 divisores) 341 = {11, 31, 341} (3 divisores) 342 = {2, 3, 6, 9, 18, 19, 38, 57, 114, 171, 342} (11 divisores) 343 = {7, 49, 343} (3 divisores) 344 = {2, 4, 8, 43, 86, 172, 344} (7 divisores) 345 = {3, 5, 15, 23, 69, 115, 345} (7 divisores) 346 = {2, 173, 346} (3 divisores) 347 = {347} (NUMERO PRIMO) 348 = {2, 3, 4, 6, 12, 29, 58, 87, 116, 174, 348} (11 divisores) 349 = {349} (NUMERO PRIMO) 350 = {2, 5, 7, 10, 14, 25, 35, 50, 70, 175, 350} (11 divisores) 351 = {3, 9, 13, 27, 39, 117, 351} (7 divisores) 352 = {2, 4, 8, 11, 16, 22, 32, 44, 88, 176, 352} (11 divisores) 353 = {353} (NUMERO PRIMO) 354 = {2, 3, 6, 59, 118, 177, 354} (7 divisores) 355 = {5, 71, 355} (3 divisores) 356 = {2, 4, 89, 178, 356} (5 divisores) 357 = {3, 7, 17, 21, 51, 119, 357} (7 divisores) 358 = {2, 179, 358} (3 divisores) 359 = {359} (NUMERO PRIMO) 360 = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360} ( 23 divisores) 361 = {19, 361} (2 divisores) 362 = {2, 181, 362} (3 divisores) 363 = {3, 11, 33, 121, 363} (5 divisores) 364 = {2, 4, 7, 13, 14, 26, 28, 52, 91, 182, 364} (11 divisores) 365 = {5, 73, 365} (3 divisores) 366 = {2, 3, 6, 61, 122, 183, 366} (7 divisores) 367 = {367} (NUMERO PRIMO) 368 = {2, 4, 8, 16, 23, 46, 92, 184, 368} (9 divisores) 369 = {3, 9, 41, 123, 369} (5 divisores) 370 = {2, 5, 10, 37, 74, 185, 370} (7 divisores) 371 = {7, 53, 371} (3 divisores) 372 = {2, 3, 4, 6, 12, 31, 62, 93, 124, 186, 372} (11 divisores) 373 = {373} (NUMERO PRIMO) 374 = {2, 11, 17, 22, 34, 187, 374} (7 divisores) 375 = {3, 5, 15, 25, 75, 125, 375} (7 divisores) 237

238 376 = {2, 4, 8, 47, 94, 188, 376} (7 divisores) 377 = {13, 29, 377} (3 divisores) 378 = {2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 27, 42, 54, 63, 126, 189, 378} (15 divisores) 379 = {379} (NUMERO PRIMO) 380 = {2, 4, 5, 10, 19, 20, 38, 76, 95, 190, 380} (11 divisores) 381 = {3, 127, 381} (3 divisores) 382 = {2, 191, 382} (3 divisores) 383 = {383} (NUMERO PRIMO) 384 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128, 192, 384} (15 divisores) 385 = {5, 7, 11, 35, 55, 77, 385} (7 divisores) 386 = {2, 193, 386} (3 divisores) 387 = {3, 9, 43, 129, 387} (5 divisores) 388 = {2, 4, 97, 194, 388} (5 divisores) 389 = {389} (NUMERO PRIMO) 390 = {2, 3, 5, 6, 10, 13, 15, 26, 30, 39, 65, 78, 130, 195, 390} (15 divisores) 391 = {17, 23, 391} (3 divisores) 392 = {2, 4, 7, 8, 14, 28, 49, 56, 98, 196, 392} (11 divisores) 393 = {3, 131, 393} (3 divisores) 394 = {2, 197, 394} (3 divisores) 395 = {5, 79, 395} (3 divisores) 396 = {2, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 18, 22, 33, 36, 44, 66, 99, 132, 198, 396} (17 divisores) 397 = {397} (NUMERO PRIMO) 398 = {2, 199, 398} (3 divisores) 399 = {3, 7, 19, 21, 57, 133, 399} (7 divisores) 400 = {2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 200, 400} (14 divisores) 401 = {401} (NUMERO PRIMO) 402 = {2, 3, 6, 67, 134, 201, 402} (7 divisores) 403 = {13, 31, 403} (3 divisores) 404 = {2, 4, 101, 202, 404} (5 divisores) 405 = {3, 5, 9, 15, 27, 45, 81, 135, 405} (9 divisores) 406 = {2, 7, 14, 29, 58, 203, 406} (7 divisores) 407 = {11, 37, 407} (3 divisores) 408 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 17, 24, 34, 51, 68, 102, 136, 204, 408} (15 divisores) 409 = {409} (NUMERO PRIMO) 410 = {2, 5, 10, 41, 82, 205, 410} (7 divisores) 411 = {3, 137, 411} (3 divisores) 412 = {2, 4, 103, 206, 412} (5 divisores) 413 = {7, 59, 413} (3 divisores) 414 = {2, 3, 6, 9, 18, 23, 46, 69, 138, 207, 414} (11 divisores) 415 = {5, 83, 415} (3 divisores) 416 = {2, 4, 8, 13, 16, 26, 32, 52, 104, 208, 416} (11 divisores) 417 = {3, 139, 417} (3 divisores) 418 = {2, 11, 19, 22, 38, 209, 418} (7 divisores) 419 = {419} (NUMERO PRIMO) 420 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 238

239 420} ( 23 divisores) 421 = {421} (NUMERO PRIMO) 422 = {2, 211, 422} (3 divisores) 423 = {3, 9, 47, 141, 423} (5 divisores) 424 = {2, 4, 8, 53, 106, 212, 424} (7 divisores) 425 = {5, 17, 25, 85, 425} (5 divisores) 426 = {2, 3, 6, 71, 142, 213, 426} (7 divisores) 427 = {7, 61, 427} (3 divisores) 428 = {2, 4, 107, 214, 428} (5 divisores) 429 = {3, 11, 13, 33, 39, 143, 429} (7 divisores) 430 = {2, 5, 10, 43, 86, 215, 430} (7 divisores) 431 = {431} (NUMERO PRIMO) 432 = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 36, 48, 54, 72, 108, 144, 216, 432} (19 divisores) 433 = {433} (NUMERO PRIMO) 434 = {2, 7, 14, 31, 62, 217, 434} (7 divisores) 435 = {3, 5, 15, 29, 87, 145, 435} (7 divisores) 436 = {2, 4, 109, 218, 436} (5 divisores) 437 = {19, 23, 437} (3 divisores) 438 = {2, 3, 6, 73, 146, 219, 438} (7 divisores) 439 = {439} (NUMERO PRIMO) 440 = {2, 4, 5, 8, 10, 11, 20, 22, 40, 44, 55, 88, 110, 220, 440} (15 divisores) 441 = {3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441} (8 divisores) 442 = {2, 13, 17, 26, 34, 221, 442} (7 divisores) 443 = {443} (NUMERO PRIMO) 444 = {2, 3, 4, 6, 12, 37, 74, 111, 148, 222, 444} (11 divisores) 445 = {5, 89, 445} (3 divisores) 446 = {2, 223, 446} (3 divisores) 447 = {3, 149, 447} (3 divisores) 448 = {2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 32, 56, 64, 112, 224, 448} (13 divisores) 449 = {449} (NUMERO PRIMO) 450 = {2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 25, 30, 45, 50, 75, 90, 150, 225, 450} (17 divisores) 451 = {11, 41, 451} (3 divisores) 452 = {2, 4, 113, 226, 452} (5 divisores) 453 = {3, 151, 453} (3 divisores) 454 = {2, 227, 454} (3 divisores) 455 = {5, 7, 13, 35, 65, 91, 455} (7 divisores) 456 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 19, 24, 38, 57, 76, 114, 152, 228, 456} (15 divisores) 457 = {457} (NUMERO PRIMO) 458 = {2, 229, 458} (3 divisores) 459 = {3, 9, 17, 27, 51, 153, 459} (7 divisores) 460 = {2, 4, 5, 10, 20, 23, 46, 92, 115, 230, 460} (11 divisores) 461 = {461} (NUMERO PRIMO) 462 = {2, 3, 6, 7, 11, 14, 21, 22, 33, 42, 66, 77, 154, 231, 462} (15 divisores) 463 = {463} (NUMERO PRIMO) 239

240 464 = {2, 4, 8, 16, 29, 58, 116, 232, 464} (9 divisores) 465 = {3, 5, 15, 31, 93, 155, 465} (7 divisores) 466 = {2, 233, 466} (3 divisores) 467 = {467} (NUMERO PRIMO) 468 = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 13, 18, 26, 36, 39, 52, 78, 117, 156, 234, 468} (17 divisores) 469 = {7, 67, 469} (3 divisores) 470 = {2, 5, 10, 47, 94, 235, 470} (7 divisores) 471 = {3, 157, 471} (3 divisores) 472 = {2, 4, 8, 59, 118, 236, 472} (7 divisores) 473 = {11, 43, 473} (3 divisores) 474 = {2, 3, 6, 79, 158, 237, 474} (7 divisores) 475 = {5, 19, 25, 95, 475} (5 divisores) 476 = {2, 4, 7, 14, 17, 28, 34, 68, 119, 238, 476} (11 divisores) 477 = {3, 9, 53, 159, 477} (5 divisores) 478 = {2, 239, 478} (3 divisores) 479 = {479} (NUMERO PRIMO) 480 = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 80, 96, 120, 160, 240, 480} ( 23 divisores) 481 = {13, 37, 481} (3 divisores) 482 = {2, 241, 482} (3 divisores) 483 = {3, 7, 21, 23, 69, 161, 483} (7 divisores) 484 = {2, 4, 11, 22, 44, 121, 242, 484} (8 divisores) 485 = {5, 97, 485} (3 divisores) 486 = {2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162, 243, 486} (11 divisores) 487 = {487} (NUMERO PRIMO) 488 = {2, 4, 8, 61, 122, 244, 488} (7 divisores) 489 = {3, 163, 489} (3 divisores) 490 = {2, 5, 7, 10, 14, 35, 49, 70, 98, 245, 490} (11 divisores) 491 = {491} (NUMERO PRIMO) 492 = {2, 3, 4, 6, 12, 41, 82, 123, 164, 246, 492} (11 divisores) 493 = {17, 29, 493} (3 divisores) 494 = {2, 13, 19, 26, 38, 247, 494} (7 divisores) 495 = {3, 5, 9, 11, 15, 33, 45, 55, 99, 165, 495} (11 divisores) 496 = {2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496} (9 divisores) 497 = {7, 71, 497} (3 divisores) 498 = {2, 3, 6, 83, 166, 249, 498} (7 divisores) 499 = {499} (NUMERO PRIMO) 500 = {2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, 500} (11 divisores) 501 = {3, 167, 501} (3 divisores) 502 = {2, 251, 502} (3 divisores) 503 = {503} (NUMERO PRIMO) 504 = {2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 56, 63, 72, 84, 126, 168, 252, 504} ( 23 divisores) 505 = {5, 101, 505} (3 divisores) 506 = {2, 11, 22, 23, 46, 253, 506} (7 divisores) 240

241 507 = {3, 13, 39, 169, 507} (5 divisores) 508 = {2, 4, 127, 254, 508} (5 divisores) 509 = {509} (NUMERO PRIMO) 510 = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 17, 30, 34, 51, 85, 102, 170, 255, 510} (15 divisores) 511 = {7, 73, 511} (3 divisores) 512 = {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512} (9 divisores) 513 = {3, 9, 19, 27, 57, 171, 513} (7 divisores) 514 = {2, 257, 514} (3 divisores) 515 = {5, 103, 515} (3 divisores) 516 = {2, 3, 4, 6, 12, 43, 86, 129, 172, 258, 516} (11 divisores) 517 = {11, 47, 517} (3 divisores) 518 = {2, 7, 14, 37, 74, 259, 518} (7 divisores) 519 = {3, 173, 519} (3 divisores) 520 = {2, 4, 5, 8, 10, 13, 20, 26, 40, 52, 65, 104, 130, 260, 520} (15 divisores) 521 = {521} (NUMERO PRIMO) 522 = {2, 3, 6, 9, 18, 29, 58, 87, 174, 261, 522} (11 divisores) 523 = {523} (NUMERO PRIMO) 524 = {2, 4, 131, 262, 524} (5 divisores) 525 = {3, 5, 7, 15, 21, 25, 35, 75, 105, 175, 525} (11 divisores) 526 = {2, 263, 526} (3 divisores) 527 = {17, 31, 527} (3 divisores) 528 = {2, 3, 4, 6, 8, 11, 12, 16, 22, 24, 33, 44, 48, 66, 88, 132, 176, 264, 528} (19 divisores) 529 = {23, 529} (2 divisores) 530 = {2, 5, 10, 53, 106, 265, 530} (7 divisores) 531 = {3, 9, 59, 177, 531} (5 divisores) 532 = {2, 4, 7, 14, 19, 28, 38, 76, 133, 266, 532} (11 divisores) 533 = {13, 41, 533} (3 divisores) 534 = {2, 3, 6, 89, 178, 267, 534} (7 divisores) 535 = {5, 107, 535} (3 divisores) 536 = {2, 4, 8, 67, 134, 268, 536} (7 divisores) 537 = {3, 179, 537} (3 divisores) 538 = {2, 269, 538} (3 divisores) 539 = {7, 11, 49, 77, 539} (5 divisores) 540 = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540} ( 23 divisores) 541 = {541} (NUMERO PRIMO) 542 = {2, 271, 542} (3 divisores) 543 = {3, 181, 543} (3 divisores) 544 = {2, 4, 8, 16, 17, 32, 34, 68, 136, 272, 544} (11 divisores) 545 = {5, 109, 545} (3 divisores) 546 = {2, 3, 6, 7, 13, 14, 21, 26, 39, 42, 78, 91, 182, 273, 546} (15 divisores) 547 = {547} (NUMERO PRIMO) 548 = {2, 4, 137, 274, 548} (5 divisores) 549 = {3, 9, 61, 183, 549} (5 divisores) 241

242 550 = {2, 5, 10, 11, 22, 25, 50, 55, 110, 275, 550} (11 divisores) 551 = {19, 29, 551} (3 divisores) 552 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 23, 24, 46, 69, 92, 138, 184, 276, 552} (15 divisores) 553 = {7, 79, 553} (3 divisores) 554 = {2, 277, 554} (3 divisores) 555 = {3, 5, 15, 37, 111, 185, 555} (7 divisores) 556 = {2, 4, 139, 278, 556} (5 divisores) 557 = {557} (NUMERO PRIMO) 558 = {2, 3, 6, 9, 18, 31, 62, 93, 186, 279, 558} (11 divisores) 559 = {13, 43, 559} (3 divisores) 560 = {2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 16, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 80, 112, 140, 280, 560} (19 divisores) 561 = {3, 11, 17, 33, 51, 187, 561} (7 divisores) 562 = {2, 281, 562} (3 divisores) 563 = {563} (NUMERO PRIMO) 564 = {2, 3, 4, 6, 12, 47, 94, 141, 188, 282, 564} (11 divisores) 565 = {5, 113, 565} (3 divisores) 566 = {2, 283, 566} (3 divisores) 567 = {3, 7, 9, 21, 27, 63, 81, 189, 567} (9 divisores) 568 = {2, 4, 8, 71, 142, 284, 568} (7 divisores) 569 = {569} (NUMERO PRIMO) 570 = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 19, 30, 38, 57, 95, 114, 190, 285, 570} (15 divisores) 571 = {571} (NUMERO PRIMO) 572 = {2, 4, 11, 13, 22, 26, 44, 52, 143, 286, 572} (11 divisores) 573 = {3, 191, 573} (3 divisores) 574 = {2, 7, 14, 41, 82, 287, 574} (7 divisores) 575 = {5, 23, 25, 115, 575} (5 divisores) 576 = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 144, 192, 288, 576} (20 divisores) 577 = {577} (NUMERO PRIMO) 578 = {2, 17, 34, 289, 578} (5 divisores) 579 = {3, 193, 579} (3 divisores) 580 = {2, 4, 5, 10, 20, 29, 58, 116, 145, 290, 580} (11 divisores) 581 = {7, 83, 581} (3 divisores) 582 = {2, 3, 6, 97, 194, 291, 582} (7 divisores) 583 = {11, 53, 583} (3 divisores) 584 = {2, 4, 8, 73, 146, 292, 584} (7 divisores) 585 = {3, 5, 9, 13, 15, 39, 45, 65, 117, 195, 585} (11 divisores) 586 = {2, 293, 586} (3 divisores) 587 = {587} (NUMERO PRIMO) 588 = {2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 49, 84, 98, 147, 196, 294, 588} (17 divisores) 589 = {19, 31, 589} (3 divisores) 590 = {2, 5, 10, 59, 118, 295, 590} (7 divisores) 591 = {3, 197, 591} (3 divisores) 592 = {2, 4, 8, 16, 37, 74, 148, 296, 592} (9 divisores) 242

243 593 = {593} (NUMERO PRIMO) 594 = {2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 27, 33, 54, 66, 99, 198, 297, 594} (15 divisores) 595 = {5, 7, 17, 35, 85, 119, 595} (7 divisores) 596 = {2, 4, 149, 298, 596} (5 divisores) 597 = {3, 199, 597} (3 divisores) 598 = {2, 13, 23, 26, 46, 299, 598} (7 divisores) 599 = {599} (NUMERO PRIMO) 600 = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 40, 50, 60, 75, 100, 120, 150, 200, 300, 600} ( 23 divisores) 601 = {601} (NUMERO PRIMO) 602 = {2, 7, 14, 43, 86, 301, 602} (7 divisores) 603 = {3, 9, 67, 201, 603} (5 divisores) 604 = {2, 4, 151, 302, 604} (5 divisores) 605 = {5, 11, 55, 121, 605} (5 divisores) 606 = {2, 3, 6, 101, 202, 303, 606} (7 divisores) 607 = {607} (NUMERO PRIMO) 608 = {2, 4, 8, 16, 19, 32, 38, 76, 152, 304, 608} (11 divisores) 609 = {3, 7, 21, 29, 87, 203, 609} (7 divisores) 610 = {2, 5, 10, 61, 122, 305, 610} (7 divisores) 611 = {13, 47, 611} (3 divisores) 612 = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 17, 18, 34, 36, 51, 68, 102, 153, 204, 306, 612} (17 divisores) 613 = {613} (NUMERO PRIMO) 614 = {2, 307, 614} (3 divisores) 615 = {3, 5, 15, 41, 123, 205, 615} (7 divisores) 616 = {2, 4, 7, 8, 11, 14, 22, 28, 44, 56, 77, 88, 154, 308, 616} (15 divisores) 617 = {617} (NUMERO PRIMO) 618 = {2, 3, 6, 103, 206, 309, 618} (7 divisores) 619 = {619} (NUMERO PRIMO) 620 = {2, 4, 5, 10, 20, 31, 62, 124, 155, 310, 620} (11 divisores) 621 = {3, 9, 23, 27, 69, 207, 621} (7 divisores) 622 = {2, 311, 622} (3 divisores) 623 = {7, 89, 623} (3 divisores) 624 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 13, 16, 24, 26, 39, 48, 52, 78, 104, 156, 208, 312, 624} (19 divisores) 625 = {5, 25, 125, 625} (4 divisores) 626 = {2, 313, 626} (3 divisores) 627 = {3, 11, 19, 33, 57, 209, 627} (7 divisores) 628 = {2, 4, 157, 314, 628} (5 divisores) 629 = {17, 37, 629} (3 divisores) 630 = {2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 14, 15, 18, 21, 30, 35, 42, 45, 63, 70, 90, 105, 126, 210, 315, 630} ( 23 divisores) 631 = {631} (NUMERO PRIMO) 632 = {2, 4, 8, 79, 158, 316, 632} (7 divisores) 633 = {3, 211, 633} (3 divisores) 634 = {2, 317, 634} (3 divisores) 243

244 635 = {5, 127, 635} (3 divisores) 636 = {2, 3, 4, 6, 12, 53, 106, 159, 212, 318, 636} (11 divisores) 637 = {7, 13, 49, 91, 637} (5 divisores) 638 = {2, 11, 22, 29, 58, 319, 638} (7 divisores) 639 = {3, 9, 71, 213, 639} (5 divisores) 640 = {2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 128, 160, 320, 640} (15 divisores) 641 = {641} (NUMERO PRIMO) 642 = {2, 3, 6, 107, 214, 321, 642} (7 divisores) 643 = {643} (NUMERO PRIMO) 644 = {2, 4, 7, 14, 23, 28, 46, 92, 161, 322, 644} (11 divisores) 645 = {3, 5, 15, 43, 129, 215, 645} (7 divisores) 646 = {2, 17, 19, 34, 38, 323, 646} (7 divisores) 647 = {647} (NUMERO PRIMO) 648 = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 81, 108, 162, 216, 324, 648} (19 divisores) 649 = {11, 59, 649} (3 divisores) 650 = {2, 5, 10, 13, 25, 26, 50, 65, 130, 325, 650} (11 divisores) 651 = {3, 7, 21, 31, 93, 217, 651} (7 divisores) 652 = {2, 4, 163, 326, 652} (5 divisores) 653 = {653} (NUMERO PRIMO) 654 = {2, 3, 6, 109, 218, 327, 654} (7 divisores) 655 = {5, 131, 655} (3 divisores) 656 = {2, 4, 8, 16, 41, 82, 164, 328, 656} (9 divisores) 657 = {3, 9, 73, 219, 657} (5 divisores) 658 = {2, 7, 14, 47, 94, 329, 658} (7 divisores) 659 = {659} (NUMERO PRIMO) 660 = {2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 15, 20, 22, 30, 33, 44, 55, 60, 66, 110, 132, 165, 220, 330, 660} ( 23 divisores) 661 = {661} (NUMERO PRIMO) 662 = {2, 331, 662} (3 divisores) 663 = {3, 13, 17, 39, 51, 221, 663} (7 divisores) 664 = {2, 4, 8, 83, 166, 332, 664} (7 divisores) 665 = {5, 7, 19, 35, 95, 133, 665} (7 divisores) 666 = {2, 3, 6, 9, 18, 37, 74, 111, 222, 333, 666} (11 divisores) 667 = {23, 29, 667} (3 divisores) 668 = {2, 4, 167, 334, 668} (5 divisores) 669 = {3, 223, 669} (3 divisores) 670 = {2, 5, 10, 67, 134, 335, 670} (7 divisores) 671 = {11, 61, 671} (3 divisores) 672 = {2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 16, 21, 24, 28, 32, 42, 48, 56, 84, 96, 112, 168, 224, 336, 672} ( 23 divisores) 673 = {673} (NUMERO PRIMO) 674 = {2, 337, 674} (3 divisores) 675 = {3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 135, 225, 675} (11 divisores) 676 = {2, 4, 13, 26, 52, 169, 338, 676} (8 divisores) 244

245 677 = {677} (NUMERO PRIMO) 678 = {2, 3, 6, 113, 226, 339, 678} (7 divisores) 679 = {7, 97, 679} (3 divisores) 680 = {2, 4, 5, 8, 10, 17, 20, 34, 40, 68, 85, 136, 170, 340, 680} (15 divisores) 681 = {3, 227, 681} (3 divisores) 682 = {2, 11, 22, 31, 62, 341, 682} (7 divisores) 683 = {683} (NUMERO PRIMO) 684 = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 19, 36, 38, 57, 76, 114, 171, 228, 342, 684} (17 divisores) 685 = {5, 137, 685} (3 divisores) 686 = {2, 7, 14, 49, 98, 343, 686} (7 divisores) 687 = {3, 229, 687} (3 divisores) 688 = {2, 4, 8, 16, 43, 86, 172, 344, 688} (9 divisores) 689 = {13, 53, 689} (3 divisores) 690 = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 23, 30, 46, 69, 115, 138, 230, 345, 690} (15 divisores) 691 = {691} (NUMERO PRIMO) 692 = {2, 4, 173, 346, 692} (5 divisores) 693 = {3, 7, 9, 11, 21, 33, 63, 77, 99, 231, 693} (11 divisores) 694 = {2, 347, 694} (3 divisores) 695 = {5, 139, 695} (3 divisores) 696 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 29, 58, 87, 116, 174, 232, 348, 696} (15 divisores) 697 = {17, 41, 697} (3 divisores) 698 = {2, 349, 698} (3 divisores) 699 = {3, 233, 699} (3 divisores) 700 = {2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 25, 28, 35, 50, 70, 100, 140, 175, 350, 700} (17 divisores) 701 = {701} (NUMERO PRIMO) 702 = {2, 3, 6, 9, 13, 18, 26, 27, 39, 54, 78, 117, 234, 351, 702} (15 divisores) 703 = {19, 37, 703} (3 divisores) 704 = {2, 4, 8, 11, 16, 22, 32, 44, 64, 88, 176, 352, 704} (13 divisores) 705 = {3, 5, 15, 47, 141, 235, 705} (7 divisores) 706 = {2, 353, 706} (3 divisores) 707 = {7, 101, 707} (3 divisores) 708 = {2, 3, 4, 6, 12, 59, 118, 177, 236, 354, 708} (11 divisores) 709 = {709} (NUMERO PRIMO) 710 = {2, 5, 10, 71, 142, 355, 710} (7 divisores) 711 = {3, 9, 79, 237, 711} (5 divisores) 712 = {2, 4, 8, 89, 178, 356, 712} (7 divisores) 713 = {23, 31, 713} (3 divisores) 714 = {2, 3, 6, 7, 14, 17, 21, 34, 42, 51, 102, 119, 238, 357, 714} (15 divisores) 715 = {5, 11, 13, 55, 65, 143, 715} (7 divisores) 716 = {2, 4, 179, 358, 716} (5 divisores) 717 = {3, 239, 717} (3 divisores) 718 = {2, 359, 718} (3 divisores) 719 = {719} (NUMERO PRIMO) 720 = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720} (29 divisores) 245

246 721 = {7, 103, 721} (3 divisores) 722 = {2, 19, 38, 361, 722} (5 divisores) 723 = {3, 241, 723} (3 divisores) 724 = {2, 4, 181, 362, 724} (5 divisores) 725 = {5, 25, 29, 145, 725} (5 divisores) 726 = {2, 3, 6, 11, 22, 33, 66, 121, 242, 363, 726} (11 divisores) 727 = {727} (NUMERO PRIMO) 728 = {2, 4, 7, 8, 13, 14, 26, 28, 52, 56, 91, 104, 182, 364, 728} (15 divisores) 729 = {3, 9, 27, 81, 243, 729} (6 divisores) 730 = {2, 5, 10, 73, 146, 365, 730} (7 divisores) 731 = {17, 43, 731} (3 divisores) 732 = {2, 3, 4, 6, 12, 61, 122, 183, 244, 366, 732} (11 divisores) 733 = {733} (NUMERO PRIMO) 734 = {2, 367, 734} (3 divisores) 735 = {3, 5, 7, 15, 21, 35, 49, 105, 147, 245, 735} (11 divisores) 736 = {2, 4, 8, 16, 23, 32, 46, 92, 184, 368, 736} (11 divisores) 737 = {11, 67, 737} (3 divisores) 738 = {2, 3, 6, 9, 18, 41, 82, 123, 246, 369, 738} (11 divisores) 739 = {739} (NUMERO PRIMO) 740 = {2, 4, 5, 10, 20, 37, 74, 148, 185, 370, 740} (11 divisores) 741 = {3, 13, 19, 39, 57, 247, 741} (7 divisores) 742 = {2, 7, 14, 53, 106, 371, 742} (7 divisores) 743 = {743} (NUMERO PRIMO) 744 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 31, 62, 93, 124, 186, 248, 372, 744} (15 divisores) 745 = {5, 149, 745} (3 divisores) 746 = {2, 373, 746} (3 divisores) 747 = {3, 9, 83, 249, 747} (5 divisores) 748 = {2, 4, 11, 17, 22, 34, 44, 68, 187, 374, 748} (11 divisores) 749 = {7, 107, 749} (3 divisores) 750 = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 125, 150, 250, 375, 750} (15 divisores) 751 = {751} (NUMERO PRIMO) 752 = {2, 4, 8, 16, 47, 94, 188, 376, 752} (9 divisores) 753 = {3, 251, 753} (3 divisores) 754 = {2, 13, 26, 29, 58, 377, 754} (7 divisores) 755 = {5, 151, 755} (3 divisores) 756 = {2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 27, 28, 36, 42, 54, 63, 84, 108, 126, 189, 252, 378, 756} ( 23 divisores) 757 = {757} (NUMERO PRIMO) 758 = {2, 379, 758} (3 divisores) 759 = {3, 11, 23, 33, 69, 253, 759} (7 divisores) 760 = {2, 4, 5, 8, 10, 19, 20, 38, 40, 76, 95, 152, 190, 380, 760} (15 divisores) 761 = {761} (NUMERO PRIMO) 762 = {2, 3, 6, 127, 254, 381, 762} (7 divisores) 763 = {7, 109, 763} (3 divisores) 764 = {2, 4, 191, 382, 764} (5 divisores) 246

247 765 = {3, 5, 9, 15, 17, 45, 51, 85, 153, 255, 765} (11 divisores) 766 = {2, 383, 766} (3 divisores) 767 = {13, 59, 767} (3 divisores) 768 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128, 192, 256, 384, 768} (17 divisores) 769 = {769} (NUMERO PRIMO) 770 = {2, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 35, 55, 70, 77, 110, 154, 385, 770} (15 divisores) 771 = {3, 257, 771} (3 divisores) 772 = {2, 4, 193, 386, 772} (5 divisores) 773 = {773} (NUMERO PRIMO) 774 = {2, 3, 6, 9, 18, 43, 86, 129, 258, 387, 774} (11 divisores) 775 = {5, 25, 31, 155, 775} (5 divisores) 776 = {2, 4, 8, 97, 194, 388, 776} (7 divisores) 777 = {3, 7, 21, 37, 111, 259, 777} (7 divisores) 778 = {2, 389, 778} (3 divisores) 779 = {19, 41, 779} (3 divisores) 780 = {2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 13, 15, 20, 26, 30, 39, 52, 60, 65, 78, 130, 156, 195, 260, 390, 780} ( 23 divisores) 781 = {11, 71, 781} (3 divisores) 782 = {2, 17, 23, 34, 46, 391, 782} (7 divisores) 783 = {3, 9, 27, 29, 87, 261, 783} (7 divisores) 784 = {2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 49, 56, 98, 112, 196, 392, 784} (14 divisores) 785 = {5, 157, 785} (3 divisores) 786 = {2, 3, 6, 131, 262, 393, 786} (7 divisores) 787 = {787} (NUMERO PRIMO) 788 = {2, 4, 197, 394, 788} (5 divisores) 789 = {3, 263, 789} (3 divisores) 790 = {2, 5, 10, 79, 158, 395, 790} (7 divisores) 791 = {7, 113, 791} (3 divisores) 792 = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 18, 22, 24, 33, 36, 44, 66, 72, 88, 99, 132, 198, 264, 396, 792} ( 23 divisores) 793 = {13, 61, 793} (3 divisores) 794 = {2, 397, 794} (3 divisores) 795 = {3, 5, 15, 53, 159, 265, 795} (7 divisores) 796 = {2, 4, 199, 398, 796} (5 divisores) 797 = {797} (NUMERO PRIMO) 798 = {2, 3, 6, 7, 14, 19, 21, 38, 42, 57, 114, 133, 266, 399, 798} (15 divisores) 799 = {17, 47, 799} (3 divisores) 800 = {2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 80, 100, 160, 200, 400, 800} (17 divisores) 801 = {3, 9, 89, 267, 801} (5 divisores) 802 = {2, 401, 802} (3 divisores) 803 = {11, 73, 803} (3 divisores) 804 = {2, 3, 4, 6, 12, 67, 134, 201, 268, 402, 804} (11 divisores) 805 = {5, 7, 23, 35, 115, 161, 805} (7 divisores) 806 = {2, 13, 26, 31, 62, 403, 806} (7 divisores) 807 = {3, 269, 807} (3 divisores) 247

248 808 = {2, 4, 8, 101, 202, 404, 808} (7 divisores) 809 = {809} (NUMERO PRIMO) 810 = {2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 81, 90, 135, 162, 270, 405, 810} (19 divisores) 811 = {811} (NUMERO PRIMO) 812 = {2, 4, 7, 14, 28, 29, 58, 116, 203, 406, 812} (11 divisores) 813 = {3, 271, 813} (3 divisores) 814 = {2, 11, 22, 37, 74, 407, 814} (7 divisores) 815 = {5, 163, 815} (3 divisores) 816 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 17, 24, 34, 48, 51, 68, 102, 136, 204, 272, 408, 816} (19 divisores) 817 = {19, 43, 817} (3 divisores) 818 = {2, 409, 818} (3 divisores) 819 = {3, 7, 9, 13, 21, 39, 63, 91, 117, 273, 819} (11 divisores) 820 = {2, 4, 5, 10, 20, 41, 82, 164, 205, 410, 820} (11 divisores) 821 = {821} (NUMERO PRIMO) 822 = {2, 3, 6, 137, 274, 411, 822} (7 divisores) 823 = {823} (NUMERO PRIMO) 824 = {2, 4, 8, 103, 206, 412, 824} (7 divisores) 825 = {3, 5, 11, 15, 25, 33, 55, 75, 165, 275, 825} (11 divisores) 826 = {2, 7, 14, 59, 118, 413, 826} (7 divisores) 827 = {827} (NUMERO PRIMO) 828 = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 23, 36, 46, 69, 92, 138, 207, 276, 414, 828} (17 divisores) 829 = {829} (NUMERO PRIMO) 830 = {2, 5, 10, 83, 166, 415, 830} (7 divisores) 831 = {3, 277, 831} (3 divisores) 832 = {2, 4, 8, 13, 16, 26, 32, 52, 64, 104, 208, 416, 832} (13 divisores) 833 = {7, 17, 49, 119, 833} (5 divisores) 834 = {2, 3, 6, 139, 278, 417, 834} (7 divisores) 835 = {5, 167, 835} (3 divisores) 836 = {2, 4, 11, 19, 22, 38, 44, 76, 209, 418, 836} (11 divisores) 837 = {3, 9, 27, 31, 93, 279, 837} (7 divisores) 838 = {2, 419, 838} (3 divisores) 839 = {839} (NUMERO PRIMO) 840 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 56, 60, 70, 84, 105, 120, 140, 168, 210, 280, 420, 840} (31 divisores) 841 = {29, 841} (2 divisores) 842 = {2, 421, 842} (3 divisores) 843 = {3, 281, 843} (3 divisores) 844 = {2, 4, 211, 422, 844} (5 divisores) 845 = {5, 13, 65, 169, 845} (5 divisores) 846 = {2, 3, 6, 9, 18, 47, 94, 141, 282, 423, 846} (11 divisores) 847 = {7, 11, 77, 121, 847} (5 divisores) 848 = {2, 4, 8, 16, 53, 106, 212, 424, 848} (9 divisores) 849 = {3, 283, 849} (3 divisores) 248

249 850 = {2, 5, 10, 17, 25, 34, 50, 85, 170, 425, 850} (11 divisores) 851 = {23, 37, 851} (3 divisores) 852 = {2, 3, 4, 6, 12, 71, 142, 213, 284, 426, 852} (11 divisores) 853 = {853} (NUMERO PRIMO) 854 = {2, 7, 14, 61, 122, 427, 854} (7 divisores) 855 = {3, 5, 9, 15, 19, 45, 57, 95, 171, 285, 855} (11 divisores) 856 = {2, 4, 8, 107, 214, 428, 856} (7 divisores) 857 = {857} (NUMERO PRIMO) 858 = {2, 3, 6, 11, 13, 22, 26, 33, 39, 66, 78, 143, 286, 429, 858} (15 divisores) 859 = {859} (NUMERO PRIMO) 860 = {2, 4, 5, 10, 20, 43, 86, 172, 215, 430, 860} (11 divisores) 861 = {3, 7, 21, 41, 123, 287, 861} (7 divisores) 862 = {2, 431, 862} (3 divisores) 863 = {863} (NUMERO PRIMO) 864 = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 72, 96, 108, 144, 216, 288, 432, 864} ( 23 divisores) 865 = {5, 173, 865} (3 divisores) 866 = {2, 433, 866} (3 divisores) 867 = {3, 17, 51, 289, 867} (5 divisores) 868 = {2, 4, 7, 14, 28, 31, 62, 124, 217, 434, 868} (11 divisores) 869 = {11, 79, 869} (3 divisores) 870 = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 29, 30, 58, 87, 145, 174, 290, 435, 870} (15 divisores) 871 = {13, 67, 871} (3 divisores) 872 = {2, 4, 8, 109, 218, 436, 872} (7 divisores) 873 = {3, 9, 97, 291, 873} (5 divisores) 874 = {2, 19, 23, 38, 46, 437, 874} (7 divisores) 875 = {5, 7, 25, 35, 125, 175, 875} (7 divisores) 876 = {2, 3, 4, 6, 12, 73, 146, 219, 292, 438, 876} (11 divisores) 877 = {877} (NUMERO PRIMO) 878 = {2, 439, 878} (3 divisores) 879 = {3, 293, 879} (3 divisores) 880 = {2, 4, 5, 8, 10, 11, 16, 20, 22, 40, 44, 55, 80, 88, 110, 176, 220, 440, 880} (19 divisores) 881 = {881} (NUMERO PRIMO) 882 = {2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 441, 882} (17 divisores) 883 = {883} (NUMERO PRIMO) 884 = {2, 4, 13, 17, 26, 34, 52, 68, 221, 442, 884} (11 divisores) 885 = {3, 5, 15, 59, 177, 295, 885} (7 divisores) 886 = {2, 443, 886} (3 divisores) 887 = {887} (NUMERO PRIMO) 888 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 37, 74, 111, 148, 222, 296, 444, 888} (15 divisores) 889 = {7, 127, 889} (3 divisores) 890 = {2, 5, 10, 89, 178, 445, 890} (7 divisores) 891 = {3, 9, 11, 27, 33, 81, 99, 297, 891} (9 divisores) 892 = {2, 4, 223, 446, 892} (5 divisores) 249

250 893 = {19, 47, 893} (3 divisores) 894 = {2, 3, 6, 149, 298, 447, 894} (7 divisores) 895 = {5, 179, 895} (3 divisores) 896 = {2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 32, 56, 64, 112, 128, 224, 448, 896} (15 divisores) 897 = {3, 13, 23, 39, 69, 299, 897} (7 divisores) 898 = {2, 449, 898} (3 divisores) 899 = {29, 31, 899} (3 divisores) 900 = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30, 36, 45, 50, 60, 75, 90, 100, 150, 180, 225, 300, 450, 900} (26 divisores) 901 = {17, 53, 901} (3 divisores) 902 = {2, 11, 22, 41, 82, 451, 902} (7 divisores) 903 = {3, 7, 21, 43, 129, 301, 903} (7 divisores) 904 = {2, 4, 8, 113, 226, 452, 904} (7 divisores) 905 = {5, 181, 905} (3 divisores) 906 = {2, 3, 6, 151, 302, 453, 906} (7 divisores) 907 = {907} (NUMERO PRIMO) 908 = {2, 4, 227, 454, 908} (5 divisores) 909 = {3, 9, 101, 303, 909} (5 divisores) 910 = {2, 5, 7, 10, 13, 14, 26, 35, 65, 70, 91, 130, 182, 455, 910} (15 divisores) 911 = {911} (NUMERO PRIMO) 912 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 19, 24, 38, 48, 57, 76, 114, 152, 228, 304, 456, 912}(19 divisores) 913 = {11, 83, 913}(3 divisores) 914 = {2, 457, 914}(3 divisores) 915 = {3, 5, 15, 61, 183, 305, 915}(7 divisores) 916 = {2, 4, 229, 458, 916}(5 divisores) 917 = {7, 131, 917}(3 divisores) 918 = {2, 3, 6, 9, 17, 18, 27, 34, 51, 54, 102, 153, 306, 459, 918}(15 divisores) 919 = {919} (NUMERO PRIMO) 920 = {2, 4, 5, 8, 10, 20, 23, 40, 46, 92, 115, 184, 230, 460, 920}(15 divisores) 921 = {3, 307, 921}(3 divisores) 922 = {2, 461, 922}(3 divisores) 923 = {13, 71, 923}(3 divisores) 924 = {2, 3, 4, 6, 7, 11, 12, 14, 21, 22, 28, 33, 42, 44, 66, 77, 84, 132, 154, 231, 308, 462, 924}(23 divisores) 925 = {5, 25, 37, 185, 925}(5 divisores) 926 = {2, 463, 926}(3 divisores) 927 = {3, 9, 103, 309, 927}(5 divisores) 928 = {2, 4, 8, 16, 29, 32, 58, 116, 232, 464, 928}(11 divisores) 929 = {929} (NUMERO PRIMO) 930 = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, 31, 62, 93, 155, 186, 310, 465, 930}(15 divisores) 931 = {7, 19, 49, 133, 931}(5 divisores) 932 = {2, 4, 233, 466, 932}(5 divisores) 933 = {3, 311, 933}(3 divisores) 934 = {2, 467, 934}(3 divisores) 250

251 935 = {5, 11, 17, 55, 85, 187, 935}(7 divisores) 936 = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 18, 24, 26, 36, 39, 52, 72, 78, 104, 117, 156, 234, 312, 468, 936}(23 divisores) 937 = {937} (NUMERO PRIMO) 938 = {2, 7, 14, 67, 134, 469, 938}(7 divisores) 939 = {3, 313, 939}(3 divisores) 940 = {2, 4, 5, 10, 20, 47, 94, 188, 235, 470, 940}(11 divisores) 941 = {941} (NUMERO PRIMO) 942 = {2, 3, 6, 157, 314, 471, 942}(7 divisores) 943 = {23, 41, 943}(3 divisores) 944 = {2, 4, 8, 16, 59, 118, 236, 472, 944}(9 divisores) 945 = {3, 5, 7, 9, 15, 21, 27, 35, 45, 63, 105, 135, 189, 315, 945}(15 divisores) 946 = {2, 11, 22, 43, 86, 473, 946}(7 divisores) 947 = {947} (NUMERO PRIMO) 948 = {2, 3, 4, 6, 12, 79, 158, 237, 316, 474, 948}(11 divisores) 949 = {13, 73, 949}(3 divisores) 950 = {2, 5, 10, 19, 25, 38, 50, 95, 190, 475, 950}(11 divisores) 951 = {3, 317, 951}(3 divisores) 952 = {2, 4, 7, 8, 14, 17, 28, 34, 56, 68, 119, 136, 238, 476, 952}(15 divisores) 953 = {953} (NUMERO PRIMO) 954 = {2, 3, 6, 9, 18, 53, 106, 159, 318, 477, 954}(11 divisores) 955 = {5, 191, 955}(3 divisores) 956 = {2, 4, 239, 478, 956}(5 divisores) 957 = {3, 11, 29, 33, 87, 319, 957}(7 divisores) 958 = {2, 479, 958}(3 divisores) 959 = {7, 137, 959}(3 divisores) 960 = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 64, 80, 96, 120, 160, 192, 240, 320, 480, 960}(27 divisores) 961 = {31, 961}(2 divisores) 962 = {2, 13, 26, 37, 74, 481, 962}(7 divisores) 963 = {3, 9, 107, 321, 963}(5 divisores) 964 = {2, 4, 241, 482, 964}(5 divisores) 965 = {5, 193, 965}(3 divisores) 966 = {2, 3, 6, 7, 14, 21, 23, 42, 46, 69, 138, 161, 322, 483, 966}(15 divisores) 967 = {967} (NUMERO PRIMO) 968 = {2, 4, 8, 11, 22, 44, 88, 121, 242, 484, 968}(11 divisores) 969 = {3, 17, 19, 51, 57, 323, 969}(7 divisores) 970 = {2, 5, 10, 97, 194, 485, 970}(7 divisores) 971 = {971} (NUMERO PRIMO) 972 = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108, 162, 243, 324, 486, 972}(17 divisores) 973 = {7, 139, 973}(3 divisores) 974 = {2, 487, 974}(3 divisores) 975 = {3, 5, 13, 15, 25, 39, 65, 75, 195, 325, 975}(11 divisores) 976 = {2, 4, 8, 16, 61, 122, 244, 488, 976}(9 divisores) 977 = {977} (NUMERO PRIMO) 251

252 978 = {2, 3, 6, 163, 326, 489, 978}(7 divisores) 979 = {11, 89, 979}(3 divisores) 980 = {2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 49, 70, 98, 140, 196, 245, 490, 980}(17 divisores) 981 = {3, 9, 109, 327, 981}(5 divisores) 982 = {2, 491, 982}(3 divisores) 983 = {983} (NUMERO PRIMO) 984 = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 41, 82, 123, 164, 246, 328, 492, 984}(15 divisores) 985 = {5, 197, 985}(3 divisores) 986 = {2, 17, 29, 34, 58, 493, 986}(7 divisores) 987 = {3, 7, 21, 47, 141, 329, 987}(7 divisores) 988 = {2, 4, 13, 19, 26, 38, 52, 76, 247, 494, 988}(11 divisores) 989 = {23, 43, 989}(3 divisores) 990 = {2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 15, 18, 22, 30, 33, 45, 55, 66, 90, 99, 110, 165, 198, 330, 495, 990}(23 divisores) 991 = {991} (NUMERO PRIMO) 992 = {2, 4, 8, 16, 31, 32, 62, 124, 248, 496, 992}(11 divisores) 993 = {3, 331, 993}(3 divisores) 994 = {2, 7, 14, 71, 142, 497, 994}(7 divisores) 995 = {5, 199, 995}(3 divisores) 996 = {2, 3, 4, 6, 12, 83, 166, 249, 332, 498, 996}(11 divisores) 997 = {997} (NUMERO PRIMO) 998 = {2, 499, 998}(3 divisores) 999 = {3, 9, 27, 37, 111, 333, 999}(7 divisores) 1000 = {2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000}(15 divisores) Criba de Aschero La Criba de Aschero presenta un modelo que parte de un principio distinto, obteniendo el mismo resultado pero con un procedimiento mucho más simplificado que el de Eratóstenes para descubrir en este caso los 168 números primos dentro de los primeros 1000 números naturales. Veamos como: Empezamos por escribir una cruz numeral con los tres primeros números impares dejando el 1 y el 5 como inicio y el 3 como centro (número primo que junto al 2 quedan separados de la operatoria). 252

253 A continuación sumamos el número superior con los dos laterales centrales: = 7 obteniendo un resultado. Hacemos lo mismo con el número inferior sumado a los dos laterales centrales: = 11. El resultado de estos dos primeros trinomios es: 1 = = 11 A esto se le agrega una segunda cruz que se inicia con el número central de la anterior: 3 = = 17 Y así se van obteniendo dos resultados por cada cruz que sucesivamente generan una serie numérica de dos niveles de lectura. La separación entre el número superior y el inferior es siempre cuatro y la de cada binomio (en orden), dos

254 En la Criba de Aschero hay 333 números impares (en lugar de los 1000 de la Criba de Eratóstenes). Procedimiento para cribar los números compuestos. A) El modelo a seguir es el fijado por la secuencia numeral establecida: 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29 y 31 B) Partiendo de dos primeras multiplicaciones: 5 x 5 = 25 (línea superior) y 5 x 7 = 35 (línea inferior), obtenemos dos resultados que significan el punto de partida de la primera criba. Todos los números que se encuentran a un intervalo de cinco (5) casilleros del resultado de cada una de las dos multiplicaciones, deben ser coloreados de rojo ya que no son primos. 254

255 C) Se sigue con las multiplicaciones: 7 x 7 = 49 (línea superior) y 7 x 11 = 77 (línea inferior), con lo que obtenemos dos resultados que significan el punto de partida de una segunda criba. Todos los números que se encuentran a un intervalo de siete (7) casilleros del resultado de cada una de las dos multiplicaciones, deben ser coloreados de rojo ya que no son primos. D) Se produce superposición en el borrado de los siguientes números: 245 (5 y 7) 255

256 385 (5 y 7) 455 (5 y 7) 595 (5 y 7) 665 (5 y 7) 805 (5 y 7) 875 (5 y 7)

257 E) Se sigue con las multiplicaciones: 11 x 11 = 121 (línea superior) y 11 x 13 = 143 (línea inferior), con lo que obtenemos dos resultados que significan el punto de partida de una tercera criba. Todos los números que se encuentran a un intervalo de once (11) casilleros del resultado de cada una de las dos multiplicaciones, deben ser coloreados de rojo ya que no son primos. F) Se produce superposición en el borrado de los siguientes números: 275 (5 y 11) 385 (5, 7 y 11) 539 (7 y 11) 605 (5 y 11) 715 (5 y 11) 847 (7 y 11) 935 (5 y 11)

258 G) Se sigue con las multiplicaciones: 13 x 13 = 169 (línea superior) y 13 x 17 = 221 (línea inferior), con lo que obtenemos dos resultados que significan el punto de partida de una cuarta criba. Todos los números que se encuentran a un intervalo de trece (13) casilleros del resultado de cada una de las dos multiplicaciones, deben ser coloreados de rojo ya que no son primos. H) Se produce superposición en el borrado de los siguientes números: 325 (5 y 13) 455 (5, 7 y 13) 637 (7 y 13) 715 (5, 11 y 13) 845 (5 y 13)

259 I) Se sigue con las multiplicaciones: 17 x 17 = 289 (línea superior) y 17 x 19 = 221 (línea inferior), con lo que obtenemos dos resultados que significan el punto de partida de una quinta criba. Todos los números que se encuentran a un intervalo de diecisiete (17) casilleros del resultado de cada una de las dos multiplicaciones, deben ser coloreados de rojo ya que no son primos. J) Se produce superposición en el borrado de los siguientes números: 425 (5 y 17) 595 (5, 7 y 17) 833 (7 y 17) 935 (5, 11 y 17)

260 K) Se sigue con las multiplicaciones: 19 x 19 = 361 (línea superior) y 19 x 23 = 437 (línea inferior), con lo que obtenemos dos resultados que significan el punto de partida de una sexta criba. Todos los números que se encuentran a un intervalo de diecinueve (19) casilleros del resultado de cada una de las dos multiplicaciones, deben ser coloreados de rojo ya que no son primos. L) Se produce superposición en el borrado de los siguientes números: 475 (5 y 19) 665 (5, 7 y 19) 931 (7 y 19)

261 M) Se sigue con las multiplicaciones: 23 x 23 = 529 (línea superior) y 23 x 25 = 575 (línea inferior), con lo que obtenemos dos resultados que significan el punto de partida de una séptima criba. Todos los números que se encuentran a un intervalo de veintitrés (23) casilleros del resultado de cada una de las dos multiplicaciones, deben ser coloreados de rojo ya que no son primos. N) Se produce superposición en el borrado de los siguientes números: 575 (5 y 23) 805 (5, 7 y 23)

262 O) Se sigue con las multiplicaciones: 29 x 29 = 841(línea superior) y 29 x 31 = 899 (línea inferior), con lo que obtenemos sólo dos resultados de números compuestos en la octava criba

263 P) La última multiplicación y novena criba es de: 31 x 31= 961(línea superior) y con esto finaliza este análisis de la Criba de Aschero. (El número 1 no se considera primo y el 2 y 3 quedan exceptuados de esta Criba)

264 Color amarillo: números primos (168) Color rojo: números compuestos (165) Con esto se finaliza esta muestra aritmética con el resultado de que para analizar los números primos comprendidos dentro de los1000 primeros números naturales, se parte de 333 números que al cribarse se sintetizan en 168 números primos y 165 números compuestos. Este modelo matemático simplifica el propuesto por Eratóstenes por contener menos operadores y mayor simplicidad en su resolución. 264

265 8. La Matriz de los Números Primos Desde hace mucho tiempo, los científicos se han planteado cómo vemos el mundo a través de nuestros ojos. Pese a lo cotidiano que nos resulta la vista, lo cierto es que el funcionamiento de la visión del ser humano a nivel cerebral es todavía un enigma en muchas de sus facetas. Y así, muchas cuestiones formuladas hace bastante tiempo aún siguen vigentes: Vemos las cosas como algo innato o hemos aprendido a verlas a lo largo del comienzo de nuestra vida? Qué capacidad tiene el hombre para adaptarse a un cambio drástico en la visión? Buena parte de estas preguntas pueden responderse, en parte. Por ejemplo, hoy en día sabemos que no nacemos con la habilidad de distinguir caras o percibir la profundidad de los objetos. Eso sí, poseemos la capacidad para aprender a desarrollar estas habilidades tras el nacimiento. Pero si algo fuera mal en los periodos de tiempo críticos para el aprendizaje visual (si el bebé quedase ciego o no recibiera los suficientes estímulos visuales) esas habilidades quedarían ausentes para siempre, sin la posibilidad de volverlas a aprender en épocas más tardías de su vida. Por otro lado, también poseemos habilidades visuales que podríamos llamar innatas. Por ejemplo, somos capaces de percibir movimientos al poco tiempo de nacer, sin un aprendizaje visual previo. Una de las cuestiones más relevantes, planteada desde hace siglos, trata sobre la forma en la que nuestro cerebro nos permite ver las imágenes en la forma en la que las vemos. Resulta paradójico que las imágenes que capta la retina procedentes de la córnea y el cristalino son totalmente invertidas. Es decir, a la retina llegan imágenes donde lo que está arriba se ve como si estuviera abajo y lo que está a la derecha se ve a la izquierda, y viceversa. Y esto tiene que ver con la mirada. Hay dos maneras de crear con la mirada: hacia adentro, haciendo surgir ideas; o hacia fuera; reinventando la realidad; y en ambas actúa la curiosidad como la luz que ilumina la mente y la impulsa a pensar y a funcionar de diferentes maneras. La palabra "mirada" proviene del verbo mirar. Este acto infiere que hay un sujeto (el que mira) y un objeto (lo mirado). Habitualmente, cuando hablamos de mirar o de mirada, tendemos a observar el objeto de dicha mirada. Por tanto, la mirada interna se podría entender como la mirada "hacia adentro". Sin embargo, en este caso, cuando hablo de mirada no estoy pensando en aquello que es mirado, sino en aquel que mira. Algo se puede definir por lo que es, o bien por lo que no es, o bien por su opuesto. Por tanto, podemos intentar definir la mirada interna diciendo que es aquello distinto a la mirada externa. En rigor, la diferencia está en los adjetivos "interna" y "externa", ya que el acto de mirar es el mismo. Si el acto es el mismo, al diferenciar la mirada interna de la externa, debemos buscar dicha diferencia en el objeto mirado o bien en el sujeto que mira. Según la acepción de mirada interna como "mirada hacia dentro", la diferencia está en el objeto. La mirada interna mira hacia dentro del sujeto que mira (yo me miro a mí mismo) y la mirada externa mira hacia fuera del sujeto (yo miro a aquello que no soy yo). Si, en cambio, ponemos el acento en el sujeto y no en el objeto mirado, encontramos que el sujeto es siempre el mismo. Tanto si mi mirada es interna como externa, sigo siendo yo quien mira. No obstante, hay una diferencia en el mirar, yo no miro de cualquier manera. Creo que, en última instancia, la diferencia entre mirada interna y externa radica en la forma de mirar, sin importar quién mira ni qué es lo mirado. La observación creativa es 265

266 la clave del progreso: durante siglos se quiso medir el tiempo separando el día de la noche, pero ambos variaban su duración. Recién lo consiguieron al dividir la jornada total en veinticuatro horas. Se necesitó cambiar la discontinuidad por lo continuo para romper con la costumbre. La lógica automatiza y redefine lo que ingresa a la mente, las palabras etiquetan los conceptos y éstos condicionan la conducta. El arte de la observación es vivencial pero se nutre de la historia del conocimiento. El sistema perceptivo humano filtra, organiza, dirige la información y promueve el desenlace. Para aprender a mirar hay que reconfigurarlo para que no se mecanice, manejando intuitiva o lógicamente la llave de la atención, tomando conciencia y registrando los procesos para rediseñarlos. La capacidad de observación depende también de la calidad de las experiencias de vida. Cuanto más se fragmente una cultura, cuanto más se aísle, menor será la posibilidad de aceptar la diversidad que ensancha la capacidad de atención. Si todo juicio es un prejuicio es necesario atender a lo que nos pasa cuando algo nos impacta o lo ignoramos. Es imprescindible separar los datos de los fetiches y de los espejitos de colores. El hábito de diferir aplicado a la percepción desaprovecha la primera mirada pensando en la segunda, así se pierde la frescura de la primera ocasión. Cómo no existe una segunda oportunidad para la primera impresión la mirada debe ser siempre nueva aun para dirigirse a la misma realidad. Una idea nueva, un descubrimiento o una observación creativa nos asemejan a la gallina de los huevos de oro. Al aprender a mirar todos los días entrenaremos esa mirada y no dejaremos que nos atrape la rutina y sentiremos como una sangre diferente recorre nuestras venas transportando el líquido amniótico de la aventura creativa. Los números naturales son los números que utilizamos a diario para contar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. Están formados por el número 1, los números primos y los números compuestos. Los números primos son los números que tienen 2 divisores: Sólo pueden dividirse en forma exacta por la unidad y por sí mismos. Entre los primeros 10 números naturales encontramos 4 primos: 2, 3, 5 y 7. Del 1 al 100 hay 25 primos. Del 1 al 1000 hay 168 y a medida que avanzamos por la recta se hacen cada vez más escasos, siendo su distribución muy irregular. Los números primos son importantes porque son los átomos de la matemática. Todos los demás números se construyen a partir de ellos. Los números primos son infinitos como lo demostró Euclides alrededor del año 300 a.c. Los primos menores que 10 son extraordinarios: el 2 es el único primo par. El 2 y el 3 son los únicos primos contiguos. El 5 es el único primo terminado en 5. Por último: 3, 5 y 7 forman la única tríada de primos gemelos en toda la recta numérica. Las lagunas, desiertos o boquetes son los sectores de la recta numérica en donde no aparece ningún primo. Por ejemplo; una pequeña laguna está localizada en el intervalo que contiene a los números 8, 9 y 10. Se sabe que estas regiones formadas por números compuestos pueden llegar a tener cualquier longitud que se desee. Los números compuestos son los que tienen más de 2 divisores. Los divisores de un número son los números que pueden dividirlo en forma exacta (sin generar resto). Por ejemplo: Los divisores del 4 son: 1, 2 y 4. Los divisores del 6 son: 1, 2, 3 y 6. Entre los primeros 10 números naturales se encuentran los siguientes compuestos: 4, 6, 8, 9 y 10. En esta nueva mirada sobre los números, yo sostengo que tienen una "matriz" (invisible para la mirada externa), constituido por la articulación de todas sus combinaciones numéricas. Y esta mirada interna me induce a replantear algunos modelos numerales. 266

267 El primer paso consiste en descubrir el número de combinaciones que cada número posee. Veamos el caso del número 6: 6 = 1,5 = 2,4 = 3,3 = 4,2 = 5,1 = 1,2,3 = 1,3,2 = 2,1,3 = 2,3,1 = 3,1,2 = 3,2,1 En esta obra el proceso de descomposición numérica se realizará separando en dos partes complementarias el número analizado. Esa separación se denomina variable. En la lógica proposicional las conectivas lógicas son tratadas como funciones de verdad. 6 = 1^5 (^) significa "y" El número 6 es igual a la suma de 1 y 5. El número seis es igual a uno y cinco. 1^5 se puede leer como 15 siendo en ese caso un número compuesto. El número 6 tiene 6 variables y su escritura es: 6 = 1^5, 2^4, 3^3, 4^2, 5^1 (estos números configuran su "matriz"). En esta obra se escribirán y leerán como sigue: 6 = 15, 24, 33, 42, 51. En el caso de los números primos y en los números compuestos impuros, se da la propiedad de que en su "matriz" aparecen otro u otros números también primos que todavía no nacieron. Estos números generadores de otros de su misma especie "son fértiles". Su "ubicación placentaria" sólo se produce: en los números primos y en los números compuestos impuros impares, en las posiciones pares de su "matriz" y en los números compuestos impuros pares en las posiciones impares. Existen números compuestos puros que no tienen en su interior a ningún número primo, estos números "son infértiles a la primalidad": 15 = 114, 213, 312, 411, 510, 69, 78, 87, 96, 105, 114, 123, 132, 141. Por otro lado, los números compuestos impuros albergan también en su interior a los números primos, "una parte de su matriz es fértil a la primalidad y la otra no": 49 = 148, 247, 346, 445, 544, 643, 742, 841, 940, 1039, 1138, 1237, 1336, 1435, 1534, 1633, 1732, 1831, 1930, 2029, 2128, 2227, 2326, 2425, 2524, 2623, 2722, 2821, 2920, 3019, 3118, 3217, 3316, 3415, 3514, 3613, 3712, 3811, 3910, 409, 418, 427, 436, 445, 454, 463, 472, 481. Al igual que ocurre con los propios números primos alojando en su interior a los compuestos impuros: 17 = 116, 215, 314, 413, 512, 611, 710, 89, 98, 107, 116, 125, 134, 143, 152, 161. Los números compuestos puros e impuros tienen algún tipo de simetría articulatoria producida por su divisibilidad, en cambio los números primos son inarticulados y asimétricos en su estructura. La primera articulación (división por uno) queda 267

268 exceptuada de este modelo por su característica no diferenciadora entre los números compuestos y los primos: todos son divisibles por uno. Ejemplos de números primos, compuestos puros e impuros: 1 = 1 2 = 11 (es el único primo par con un primo impar en su matriz) 3 = 12, 21 (es el único primo impar con dos números compuestos puros en su matriz que da origen a los números compuestos puros) (3 x 1) 4 = 13, 22, 31 (compuesto impuro) 5 = 14, 23, 32, 41 (primo) 6 = 15, 24, 33, 42, 51 (compuesto puro) (3 x 2) 7 = 16, 25, 34, 43, 52, 61 (primo) 8 = 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71 (compuesto impuro) 9 = 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 (compuesto puro) (3 x 3) 10 = 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91 (compuesto impuro) 11 = 110, 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92, 101 (primo) 12 = 111, 210, 39, 48, 57, 66, 75, 84, 93, 102, 111 (compuesto puro) (3 x 4) 13 = 112, 211, 310, 49, 58, 67, 76, 85, 94, 103, 112, 121 (primo) 14 = 113, 212, 311, 410, 59, 68, 77, 86, 95, 104, 113, 122, 131 (compuesto impuro) 15 = 114, 213, 312, 411, 510, 69, 78, 87, 96, 105, 114, 123, 132, 141 (compuesto puro) (3 x 5) 16 = 115, 214, 313, 412, 511, 610, 79, 88, 97, 106, 115, 124, 133, 142, 151 (compuesto impuro) 17 = 116, 215, 314, 413, 512, 611, 710, 89, 98, 107, 116, 125, 134, 143, 152, 161 (primo) 18 = 117, 216, 315, 414, 513, 612, 711, 810, 99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171 (compuesto puro) (3 x 6) 19 = 118, 217, 316, 415, 514, 613, 712, 811, 910, 109, 118, 127, 136, 145, 154, 163, 172, 181 (primo) 20 = 119, 218, 317, 416, 515, 614, 713, 812, 911, 1010, 119, 128, 137, 146, 155, 164, 173, 182, 191 (compuesto impuro) 21 = 120, 219, 318, 417, 516, 615, 714, 813, 912, 1011, 1110, 129, 138, 147, 156, 165, 174, 183, 192, 201 (compuesto puro) (3 x 7) 268

269 22 = 121, 220, 319, 418, 517, 616, 715, 814, 913, 1012, 1111, 1210, 139, 148, 157, 166, 175, 184, 193, 202, 211 (compuesto impuro) 23 = 122, 221, 320, 419, 518, 617, 716, 815, 914, 1013, 1112, 1211, 1310, 149, 158, 167, 176, 185, 194, 203, 212, 221 (primo) 24 = 123, 222, 321, 420, 519, 618, 717, 816, 915, 1014, 1113, 1212, 1311, 1410, 159, 168, 177, 186, 195, 204, 213, 222, 231 (compuesto puro) (3 x 8) 25 = 124, 223, 322, 421, 520, 619, 718, 817, 916, 1015, 1114, 1213, 1312, 1411, 1510, 169, 178, 187, 196, 205, 214, 223, 232, 241 (compuesto impuro) 26 = 125, 224, 323, 422, 521, 620, 719, 818, 917, 1016, 1115, 1214, 1313, 1412, 1511, 1610, 179, 188, 197, 206, 215, 224, 233, 242, 251 (compuesto impuro) 27 = 126, 225, 324, 423, 522, 621, 720, 819, 918, 1017, 1116, 1215, 1314, 1413, 1512, 1611, 1710, 189, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261 (compuesto puro) (3 x 9) 28 = 127, 226, 325, 424, 523, 622, 721, 820, 919, 1018, 1117, 1216, 1315, 1414, 1513, 1612, 1711, 1810, 199, 208, 217, 226, 235, 244, 253, 262, 271 (compuesto impuro) 29 = 128, 227, 326, 425, 524, 623, 722, 821, 920, 1019, 1118, 1217, 1316, 1415, 1514, 1613, 1712, 1811, 1910, 209, 218, 227, 236, 245, 254, 263, 272, 281 (primo) 30 = 129, 228, 327, 426, 525, 624, 723, 822, 921, 1020, 1119, 1218, 1317, 1416, 1515, 1614, 1713, 1812, 1911, 2010, 219, 228, 237, 246, 255, 264, 273, 282, 291 (compuesto puro) (3 x 10) 31 = 130, 229, 328, 427, 526, 625, 724, 823, 922, 1021, 1120, 1219, 1318, 1417, 1516, 1615, 1714, 1813, 1912, 2011, 2110, 229, 238, 247, 256, 265, 274, 283, 292, 301 (primo) 32 = 131, 230, 329, 428, 527, 626, 725, 824, 923, 1022, 1121, 1220, 1319, 1418, 1517, 1616, 1715, 1814, 1913, 2012, 2111, 2210, 239, 248, 257, 266, 275, 284, 293, 302, 311 (compuesto impuro) 33 = 132, 231, 330, 429, 528, 627, 726, 825, 924, 1023, 1122, 1221, 1320, 1419, 1518, 1617, 1716, 1815, 1914, 2013, 2112, 2211, 2310, 249, 258, 267, 276, 285, 294, 303, 312, 321 (compuesto puro) (3 x 11) 34 = 133, 232, 331, 430, 529, 628, 727, 826, 925, 1024, 1123, 1222, 1321, 1420, 1519, 1618, 1717, 1816, 1915, 2014, 2113, 2212, 2311, 2410, 259, 268, 277, 286, 295, 304, 313, 322, 331 (compuesto impuro) 35 = 134, 233, 332, 431, 530, 629, 728, 827, 926, 1025, 1124, 1223, 1322, 1421, 1520, 1619, 1718, 1817, 1916, 2015, 2114, 2213, 2312, 2411, 2510, 269, 278, 287, 296, 305, 314, 323, 332, 341 (compuesto impuro) 269

270 36 = 135, 234, 333, 432, 531, 630, 729, 828, 927, 1026, 1125, 1224, 1323, 1422, 1521, 1620, 1719, 1818, 1917, 2016, 2115, 2214, 2313, 2412, 2511, 2610, 279, 288, 297, 306, 315, 324, 333, 342, 351 (compuesto puro) (3 x 12) 37 = 136, 235, 334, 433, 532, 631, 730, 829, 928, 1027, 1126, 1225, 1324, 1423, 1522, 1621, 1720, 1819, 1918, 2017, 2116, 2215, 2314, 2413, 2512, 2611, 2710, 289, 298, 307, 316, 325, 334, 343, 352, 361 (primo) 38 = 137, 236, 335, 434, 533, 632, 731, 830, 929, 1028, 1127, 1226, 1325, 1424, 1523, 1622, 1721, 1820, 1919, 2018, 2117, 2216, 2315, 2414, 2513, 2612, 2711, 2810, 299, 308, 317, 326, 335, 344, 353, 362, 371 (compuesto impuro) 39 = 138, 237, 336, 435, 534, 633, 732, 831, 930, 1029, 1128, 1227, 1326, 1425, 1524, 1623, 1722, 1821, 1920, 2019, 2118, 2217, 2316, 2415, 2514, 2613, 2712, 2811, 2910, 309, 318, 327, 336, 345, 354, 363, 372, 381 (compuesto puro) (3 x 13) 40 = 139, 238, 337, 436, 535, 634, 733, 832, 931, 1030, 1129, 1228, 1327, 1426, 1525, 1624, 1723, 1822, 1921, 2020, 2119, 2218, 2317, 2416, 2515, 2614, 2713, 2812, 2911, 3010, 319, 328, 337, 346, 355, 364, 373, 382, 391 (compuesto impuro) 41 = 140, 239, 338, 437, 536, 635, 734, 833, 932, 1031, 1130, 1229, 1328, 1427, 1526, 1625, 1724, 1823, 1922, 2021, 2120, 2219, 2318, 2417, 2516, 2615, 2714, 2813, 2912, 3011, 3110, 329, 338, 347, 356, 365, 374, 383, 392, 401 (primo) 42 = 141, 240, 339, 438, 537, 636, 735, 834, 933, 1032, 1131, 1230, 1329, 1428, 1527, 1626, 1725, 1824, 1923, 2022, 2121, 2220, 2319, 2418, 2517, 2616, 2715, 2814, 2913, 3012, 3111, 3210, 339, 348, 357, 366, 375, 384, 393, 402, 411 (compuesto puro) (3 x 14) 43 = 142, 241, 340, 439, 538, 637, 736, 835, 934, 1033, 1132, 1231, 1330, 1429, 1528, 1627, 1726, 1825, 1924, 2023, 2122, 2221, 2320, 2419, 2518, 2617, 2716, 2815, 2914, 3013, 3112, 3211, 3310, 349, 358, 367, 376, 385, 394, 403, 412, 421 (primo) 44 = 143, 242, 341, 449, 539, 638, 737, 836, 935, 1034, 1133, 1232, 1331, 1430, 1529, 1628, 1727, 1826, 1925, 2024, 2123, 2222, 2321, 2420, 2519, 2618, 2717, 2816, 2915, 3014, 3113, 3212, 3311, 3410, 359, 368, 377, 386, 395, 404, 413, 422, 431 (compuesto impuro) 45 = 144, 243, 342, 441, 540, 639, 738, 837, 936, 1035, 1134, 1233, 1332, 1431, 1530, 1629, 1728, 1827, 1926, 2025, 2124, 2223, 2322, 2421, 2520, 2619, 2718, 2817, 2916, 3015, 3114, 3213, 3312, 3411, 3510, 369, 378, 387, 396, 405, 414, 423, 432, 441 (compuesto puro) (3 x 15) 46 = 145, 244, 343, 442, 541, 640, 739, 838, 937, 1036, 1135, 1234, 1333, 1432, 1531, 1630, 1729, 1828, 1927, 2026, 2125, 2224, 2323, 2422, 2521, 2620, 2719, 2818, 2917, 3016, 3115, 3214, 3313, 3412, 3511, 3610, 379, 388, 397, 406, 415, 424, 433, 442, 451 (compuesto impuro) 47 = 146, 245, 344, 443, 542, 641, 740, 839, 938, 1037, 1136, 1235, 1334, 1433, 1532, 1631, 1730, 1829, 1928, 2027, 2126, 2225, 2324, 2423, 2522, 2621, 2720, 2819, 270

271 2918, 3017, 3116, 3215, 3314, 3413, 3512, 3611, 3710, 389, 398, 407, 416, 425, 434, 443, 452, 461 (primo) 48 = 147, 246, 345, 444, 543, 642, 741, 840, 939, 1038, 1137, 1236, 1335, 1434, 1533, 1632, 1731, 1830, 1929, 2028, 2127, 2226, 2325, 2424, 2523, 2622, 2721, 2820, 2919, 3018, 3117, 3216, 3315, 3414, 3513, 3612, 3711, 3810, 399, 408, 417, 426, 435, 444, 453, 462, 471 (compuesto puro) (3 x 16) 49 = 148, 247, 346, 445, 544, 643, 742, 841, 940, 1039, 1138, 1237, 1336, 1435, 1534, 1633, 1732, 1831, 1930, 2029, 2128, 2227, 2326, 2425, 2524, 2623, 2722, 2821, 2920, 3019, 3118, 3217, 3316, 3415, 3514, 3613, 3712, 3811, 3910, 409, 418, 427, 436, 445, 454, 463, 472, 481 (compuesto impuro) 50 = 149, 248, 347, 446, 545, 644, 743, 842, 941, 1040, 1139, 1238, 1337, 1436, 1535, 1634, 1733, 1832, 1931, 2030, 2129, 2228, 2327, 2426, 2525, 2624, 2723, 2822, 2921, 3020, 3119, 3218, 3317, 3416, 3515, 3614, 3713, 3812, 3911, 4010, 419, 428, 437, 446, 455, 464, 473, 482, 491 (compuesto impuro) Modelo demostrativo de la indivisibilidad de los números primos y la divisibilidad de los compuestos impares: 1 = 1 2 = 11 3 = 12, 21 5 = 14, 23, 32, 41 7 = 16, 25, 34, 43, 52, 61 9 = 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 (3, 6, 9) 11 = 110, 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92, = 112, 211, 310, 49, 58, 67, 76, 85, 94, 103, 112, = 114, 213, 312, 411, 510, 69, 78, 87, 96, 105, 114, 123, 132, 141 (3, 6, 9, 12, 15) (5, 10, 15) 17 = 116, 215, 314, 413, 512, 611, 710, 89, 98, 107, 116, 125, 134, 143, 152, = 118, 217, 316, 415, 514, 613, 712, 811, 910, 109, 118, 127, 136, 145, 154, 163, 172, = 120, 219, 318, 417, 516, 615, 714, 813, 912, 1011, 1110, 129, 138, 147, 156, 165, 174, 183, 192, 201 (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) (7, 14, 21) 23 = 122, 221, 320, 419, 518, 617, 716, 815, 914, 1013, 1112, 1211, 1310, 149, 158, 167, 176, 185, 194, 203, 212, = 124, 223, 322, 421, 520, 619, 718, 817, 916, 1015, 1114, 1213, 1312, 1411, 1510, 169, 178, 187, 196, 205, 214, 223, 232, 241 (5, 10, 15, 20, 25) (10, 15, 20, 25) 271

272 27 = 126, 225, 324, 423, 522, 621, 720, 819, 918, 1017, 1116, 1215, 1314, 1413, 1512, 1611, 1710, 189, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261 (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27) (9, 18, 27) 29 = 128, 227, 326, 425, 524, 623, 722, 821, 920, 1019, 1118, 1217, 1316, 1415, 1514, 1613, 1712, 1811, 1910, 209, 218, 227, 236, 245, 254, 263, 272, = 130, 229, 328, 427, 526, 625, 724, 823, 922, 1021, 1120, 1219, 1318, 1417, 1516, 1615, 1714, 1813, 1912, 2011, 2110, 229, 238, 247, 256, 265, 274, 283, 292, = 132, 231, 330, 429, 528, 627, 726, 825, 924, 1023, 1122, 1221, 1320, 1419, 1518, 1617, 1716, 1815, 1914, 2013, 2112, 2211, 2310, 249, 258, 267, 276, 285, 294, 303, 312, 321 (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33) (11, 22, 33) 35 = 134, 233, 332, 431, 530, 629, 728, 827, 926, 1025, 1124, 1223, 1322, 1421, 1520, 1619, 1718, 1817, 1916, 2015, 2114, 2213, 2312, 2411, 2510, 269, 278, 287, 296, 305, 314, 323, 332, 341 (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35) (7, 14, 21, 28, 35) 37 = 136, 235, 334, 433, 532, 631, 730, 829, 928, 1027, 1126, 1225, 1324, 1423, 1522, 1621, 1720, 1819, 1918, 2017, 2116, 2215, 2314, 2413, 2512, 2611, 2710, 289, 298, 307, 316, 325, 334, 343, 352, = 138, 237, 336, 435, 534, 633, 732, 831, 930, 1029, 1128, 1227, 1326, 1425, 1524, 1623, 1722, 1821, 1920, 2019, 2118, 2217, 2316, 2415, 2514, 2613, 2712, 2811, 2910, 309, 318, 327, 336, 345, 354, 363, 372, 381 (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39) (13, 26, 39) 41 = 140, 239, 338, 437, 536, 635, 734, 833, 932, 1031, 1130, 1229, 1328, 1427, 1526, 1625, 1724, 1823, 1922, 2021, 2120, 2219, 2318, 2417, 2516, 2615, 2714, 2813, 2912, 3011, 3110, 329, 338, 347, 356, 365, 374, 383, 392, = 142, 241, 340, 439, 538, 637, 736, 835, 934, 1033, 1132, 1231, 1330, 1429, 1528, 1627, 1726, 1825, 1924, 2023, 2122, 2221, 2320, 2419, 2518, 2617, 2716, 2815, 2914, 3013, 3112, 3211, 3310, 349, 358, 367, 376, 385, 394, 403, 412, = 144, 243, 342, 441, 540, 639, 738, 837, 936, 1035, 1134, 1233, 1332, 1431, 1530, 1629, 1728, 1827, 1926, 2025, 2124, 2223, 2322, 2421, 2520, 2619, 2718, 2817, 2916, 3015, 3114, 3213, 3312, 3411, 3510, 369, 378, 387, 396, 405, 414, 423, 432, 441 (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45) (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45) (9, 18, 27, 36, 45) (15, 30, 45) 47 = 146, 245, 344, 443, 542, 641, 740, 839, 938, 1037, 1136, 1235, 1334, 1433, 1532, 1631, 1730, 1829, 1928, 2027, 2126, 2225, 2324, 2423, 2522, 2621, 2720, 2819, 2918, 3017, 3116, 3215, 3314, 3413, 3512, 3611, 3710, 389, 398, 407, 416, 425, 434, 443, 452, = 148, 247, 346, 445, 544, 643, 742, 841, 940, 1039, 1138, 1237, 1336, 1435, 1534, 1633, 1732, 1831, 1930, 2029, 2128, 2227, 2326, 2425, 2524, 2623, 2722, 2821, 272

273 2920, 3019, 3118, 3217, 3316, 3415, 3514, 3613, 3712, 3811, 3910, 409, 418, 427, 436, 445, 454, 463, 472, 481 (7, 14, 21, 28, 35, 42, 49) Dentro de la "matriz" de los números primos y de los compuestos impuros, se encuentra un modelo ordenado de primalidad fácilmente detectable: ( = 23) (la búsqueda se puede realizar dentro del número 23) 149 ( = 50) (la búsqueda se puede realizar dentro del número 50) En los dos casos se encuentra el número 149 Los números compuestos puros son los únicos regulares: su intervalo siempre es 3. El tres es un número reverenciado desde la antigüedad, aquél del cual Virgilio decía que era el número perfecto. Las filosofías, las religiones, la propia vida humana, la matemática y la física moderna hacen continua alusión al ternario. En las teorías alquímicas se contempla la existencia de tres mundos: el arquetípico, el macrocosmos y el microcosmos. Las teogonías más elaboradas consideran también la existencia de un ternario original. Si seguimos profundizando en el concepto, lo encontramos en la medida: longitud, latitud y profundidad; en el universo: espacio, materia y movimiento; en la geometría: punto, línea y plano, en la naturaleza: animal, vegetal y mineral, etc. En la antigüedad para muchos matemáticos, el número tres era considerado un número perfecto, ya que tenía un comienzo, un medio y un fin. Inclusive se le trató de dar un significado religioso a este número, fue así que le hicieron la analogía con los tres elementos de la Santísima Trinidad: el Padre, el Hijo y el Espíritu Santo. Hasta el tiempo transcurre claramente en tres dimensiones: pasado, presente y futuro. La religión hinduista es por naturaleza politeísta, es decir que creen en varios dioses, existen pocos dioses mayores y varios dioses menores, el número tres está directamente relacionado con la triada hindú, mejor conocida como Trimurtuti, que está conformada por tres divinidades las cuales son: Brahma, el dios creador; Vishnu el dios de la bondad y Shiva al cual se le conoce como el dios destructor. Aunque este número especial también se le atribuye al dios Shiva, porque tiene tres ojos, carga tres armas, tiene tres trenzas, domina los tres mundos (cielo, tierra, infierno) y conoce los tres tiempos (pasado, presente, futuro). "Lo corpóreo no tiene, fuera del número tres, ninguna otra magnitud; todo se determina por medio de la trinidad, pues el principio, el medio y el fin son el número del todo, que es el número tres." (Aristóteles) A través de los números compuestos puros se puede establecer un ordenamiento de los números primos ya que por un lado, siempre aparece un número compuesto puro antes, en el centro de un primo anterior y otro posterior, o después de un número primo. La regularidad de los números compuestos puros con su base tres ayuda a entender el aparente desorden de los primos. Como segundo dato significativo tenemos la propia interválica de los números compuestos puros, con un modelo regular en su diseño: 3 x 1, 3 x 2, 3 x 4, 3 x 6 273

274 Números Primos y Números Compuestos Puros 2, 3 3, 5, 6, 7, 11, 12, 17, 18, 19, 23, 24, 29, 30, 31, 36, 37, 41, 42, 47, , 53, 54, 59, 60, 61, 66, 67, 71, 72, 73, 78, 79, 83, 84, 89, 90, 96, 97, , 102, 103, 107, 108, 109, 113, 114, 126, 127, 131, 132, 137, 138, , 149, 150, 151, 156, 157, 162, 163, 167, 168, 173, 174, 179, 180, , 191, 192, 193, 197, 198, 199, 210, 211, 222, 223, 227, 228, 229, , 240, 241, 251, 252, 257, 258, 263, 264, 269, 270, 271, 276, 277, , 282, 283, 293, 294, 306, 307, 311, 312, 313, 317, 318, 330, 331, , 337, 347, 348, 349, 353, 354, 359, 360, 366, 367, 372, 373, 378, , 383, 384, 389, 390, 396, 397, 401, 402, 408, 409, 419, 420, 421, , 432, 433, 438, 439, 443, 444, 449, 450, 456, 457, 461, 462, 463, , 468, 479, 480, 486, 487, 491, 492, 498, 499, 503, 504, 509, 510, , 522, 523, 540, 541, 546, 547, 557, 558, 563, 564, 569, 570, 571, , 577, 587, 588, 593, 594, 599, 600, 601, 606, 607, 612, 613, 617, , 619, 630, 631, 641, 642, 643, 647, 648, 653, 654, 659, 660, 661, , 673, 677, 678, 683, 684, 690, 691, 701, 702, 708, 709, 719, 720, , 727, 732, 733, 738, 739, 743, 744, 750, 751, 756, 757, 761, 762, , 769, 773, 774, 786, 787, 797, 798, 809, 810, 811, 821, 822, 823, , 828, 829, 839, 840, 852, 853, 857, 858, 859, 863, 864, 876, 877, , 882, 883, 887, 888, 906, 907, 911, 912, 918, 919, 929, 930, 936, , 941, 942, 947, 948, 953, 954, 960, 961, 966, 967, 971, 972, 977, , 983, 984, 990, 991, 996,

275 Esta clasificación de los números establece la posibilidad de determinar que existe un único primo puro: el 3. El 2 sin embargo, es el único y primer número par aceptado en el listado de los primos que contiene en su matriz a un número primo (11) pero que en su descendencia genera compuestos impuros: 2 = 11 4 = 13, 22, 31, 112, 121, 211, 1111 En cambio, el número 3 es el primer impar primo y único primo puro, que posee la extraordinaria y única condición de no contener a ningún número primo en su matriz ni en ninguno de sus descendientes que son todos compuestos puros y divisibles por 3. 3 = 12, 21, = 15, 24, 33, 42, 51, 114, 141, 411, 123, 132, 213, 231, 312, 321, 1113, 1131, 1311, 3111, 11112, 11121, 11211, 12111, 21111, Los demás números primos y compuestos (con excepción del 3 y todos los que se generan a través suyo: (3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, etc.), son primos y compuestos impuros: 5 = 14, 23, 32, 41, 113, 131, 311, 1112, 1121, 1211, 2111, Los números primos y compuestos tienen entonces esta nueva clasificación: Primo Puro (3) Primos Impuros (todos los demás) Compuestos Puros (los múltiplos de 3) Compuestos Impuros (todos los demás) 275

276 9.- Los Ultranúmeros Primos Tomando como punto de partida el plano numérico tradicional con todos sus atributos, que como sabemos es de posición horizontal, Sergio Aschero propone insertar un segundo plano perpendicular al anterior en posición de atravesar centradamente el primer plano. Esto implica un cambio espacial en la definición del campo aritmético que se define en principio con cuatro zonas: la del semiplano de los números racionales positivos (derecha), la del semiplano de los números racionales negativos (izquierda), la del semiplano de los infranúmeros (abajo) y la del semiplano de los ultranúmeros (arriba). En el campo numérico de Aschero, existen tres tipos de cero, todos ellos ubicados en el mismo punto de intersección de los dos planos: el lugar del cero tradicional. Estos son: el cero tradicional en su posición conocida, el infra cero habilitante del espacio inferior (entrante) y el ultra cero que completa esta trilogía permitiendo el uso del espacio superior (saliente). 276

277 Con respecto a los infinitos, estos son cuatro: el infinito de los números reales positivos, el infinito de los números reales negativos, el infra infinito de los infranúmeros reales y el ultra infinito de los ultranúmeros reales. El campo imaginario también se integra en el mismo modelo de cuatro variables. Los infranúmeros con su capacidad de cuantificar las pérdidas y los ultranúmeros con la suya de establecer un lugar preciso para los números imposibles de fijar mediante la matemática tradicional, hacen de esta dualidad algo similar a la capacidad del dios Jano con su posibilidad de ver simultáneamente el ayer y el mañana. 277

278 Así como el infranúmero cuestiona la existencia del cero como único símbolo representativo de la nada, el ultranúmero actúa como símbolo inverso de aproximación al concepto del todo, identificado tradicionalmente por el infinito. Un mismo punto bidireccional de polo positivo y negativo, origina y finaliza lo incontable, que se extiende más allá y más acá de toda serie numérica, tanto como se desee. Si el número avanza, el ultranúmero retrocede y en la medida que se aleja su magnitud decrece, con lo cual se invierten todas las operaciones aritméticas. Con el número y el infranúmero se cuenta, con el ultranúmero se descuenta. El absoluto es inoperativo en los dos sentidos por inabarcable, y por ello es tan importante definir los límites que ayuden de una vez por todas a solucionar alguno de los enigmas y contradicciones más importantes del lenguaje matemático. Para esto se establece la serie ultranumeral. Es tan lógico contar a partir de la nada como descontar a partir del todo. Cada ultranúmero que proceda del todo es algo que debe ser medido con exactitud, para así establecer su magnitud, que tiene una progresión decreciente en la medida que se aleja de su punto de partida: el ultra cero. La serie ultranumeral es ilimitada y se utiliza indistintamente para los ultranúmeros reales y los imaginarios. 1 : 0 = 1 (uno dividido cero es igual a ultra uno) De esta forma la Ecuación de Wallis se resuelve: ultra uno es el uno más grande que existe ya que es el número uno más próximo al ultra infinito. En cambio, lo que es imposible de determinar es el ultranúmero menor (el de mayor cantidad de cifras). 278

279 Un tema que queda pendiente es el de fijar la frontera (o el puente) que vincula a los números con los ultranúmeros para permitir el traspaso entre ambos. Ese puente es el gúgolduplex. El gúgolduplex es uno de los números más grandes a los que se puso nombre. Así como una hoja de papel lo suficientemente grande como para escribir todos los ceros de un gúgolplex es más grande que el universo conocido, entonces, una hoja de papel lo suficientemente grande como para escribir un gúgolduplex sería más grande que un gúgolplex de universos como el nuestro. Para la recta numérica el gugoldúplex es un meganúmero finito, y al pasar dicha frontera se convierte en un ultranúmero muy pequeño, por la ley de la inversión que el mundo infranumeral establece, determinando que los infranúmeros más grandes, poseen las cifras más pequeñas: A partir de aquí podemos establecer por un lado cuál es el número primo mayor que existe. Sin lugar a dudas es ultra uno, por ser el número uno más próximo un infinito mensurable (el ultra cero): Veamos ahora la serie de los primeros veintiséis ultranúmeros primos, empezando por el mayor (ultra uno) y finalizándola con el menor de ellos (ultra noventa y siete) Si no se considera al número uno como primo y sí al número dos, evidentemente el número primo más grande es ultra dos. 279

280 INDICE Prólogo (2) 1. Números Primos y Compuestos a través de una geometría diferenciada (4) 2. Números Primos: la fórmula ternaria (29) 3. El Reloj de 18 horas de los Números Primos (89) 4. Números Primos: las fórmulas aritméticas (182) 5. Simetría de los Números Compuestos y Asimetría de los Números Primos (193) 6. La Concatenación de los Números Compuestos (207) 7. De la Criba de Eratóstenes a la Criba de Aschero (229) 8. La Matriz de los Números Primos (265) 9. Los Ultranúmeros Primos (276) Sergio Aschero (Doctor en Musicología) sergioaschero@gmail.com Avenida Roca 1669 (1870) Avellaneda / Provincia de Buenos Aires / Argentina 280