3. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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Luis Miguel Núñez Herrero
hace 6 años
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1 ESCUEA TÉCNICA SUERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVAES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOA TEKNIKOA 3.1 Función de dos variables. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 3. FUNCIONES DE VARIAS VARIABES Sean dos subconjuntos de R digamos A B como a hemos visto en 1.8 se llama producto cartesiano A B al conjunto ormado por todas las parejas posibles en orma de par ordenado tales que el primer elemento pertenezca al conjunto A el segundo pertenezca al conjunto B. una unción de dos variables es una aplicación de A B en R tal que a cada se le hace corresponder un único número de R mediante una epresión matemática. or ejemplo: : A B R ² - ² +1 En este ejemplo tenemos deinida la unción = ² - ² + 1 epresión abreviada o bien z = ² - ² +1. En esta unción se hace corresponder al par ordenado 11 el número 1² - 1² +1 o sea 1; al 1 el 1² - ² +1 o sea el - etc. De manera abreviada epresaremos la unción de arriba como : z = ² - ² + 1. No es sencillo construir la gráica de una unción de dos variables tal como la de nuestro ejemplo en realidad la mejor orma de proceder para ello es utilizar alguna herramienta inormática de gráicas matemáticas no obstante ha algunos casos sencillos como la unción z = ² + ² cua gráica llamada "paraboloide" es la indicada abajo: * Función de tres o más variables. De manera análoga una unción de tres variables se deine a partir de tres subconjuntos de R sean tales como A B C de tal orma que a cada terna z siendo el primer elemento perteneciente a A el segundo al B el tercero al C se la hace corresponder un único número de R. que la representaremos abreviadamente: : A B C----> R z > ² - ² + z² -

w = z = ² - ² + z² - Y de esta manera también puede etenderse el concepto de unción de cuatro cinco etc. variables.. 3. ímites para unciones de dos variables. El entorno de un punto en el plano.

2 w = z = ² - ² + z² - Y de esta manera también puede etenderse el concepto de unción de cuatro cinco etc. variables.. 3. ímites para unciones de dos variables. El entorno de un punto en el plano. o que en R son intervalos de un punto en R son recintos llamados entornos o bolas. Teniendo en cuenta este concepto de entorno del punto podemos epresar la deinición del límite de una unción en un punto a b. DEFINICIÓN: ímite de una unción z = en un punto a b: Sea una unción z = deinida bien en un ε o bien en un ε* entonces: * * b a O lo que es lo mismo: b a b a OTRAS DEFINICIONES.

3 ímite direccional una unción z = en un punto a b: ara comprobar que eiste el límite de una unción de una variable = en un punto =a debemos hacerlo por la derecha por la izquierda que ambos coincidan. En el caso de una unción de dos variables no ha dos únicas direcciones en torno al punto ab sino ininitas. or ello se introduce la noción de límite direccional: Consiste en realizar el límite siguiendo una traectoria especíica que pase por el punto ab lo cual matemáticamente equivale a dar una unción de la orma =φ es decir: Se trata de hacer el límite siguiente: F a b a a or ejemplo supongamos el siguiente límite de una unción de dos variables: a Si nos aproimamos al punto siguiendo el eje OX =: 1 b Si nos aproimamos al punto siguiendo una parábola = : 1 1 1

c Si hacemos este límite siguiendo los distintos caminos del haz de rectas =m: m 1 m 1 m m m En este caso el límite no da 1 pues en realidad depende del valor de m lo cual nos está indicando que no

4 c Si hacemos este límite siguiendo los distintos caminos del haz de rectas =m: m 1 m 1 m m m En este caso el límite no da 1 pues en realidad depende del valor de m lo cual nos está indicando que no eiste tal límite pues dependiendo de las diversas traectorias las de las diversas rectas del haz obtendríamos distintos resultados. OBSERVACIÓN: El haz de rectas que pasan por el punto ab viene epresado por la ecuación: = b + m a Es una buena idea utilizar las traectorias del haz para la evaluación de un límite de una unción de dos variables. ímite de una unción z = en el entorno de ininito. ara el caso que tengamos que realizar límites del tipo: a b que implican entornos del ininito positivo o negativo debemos detenernos a observar su signiicado preciso.

5 or ejemplo ijémonos en el signiicado de de un entorno de a + Decimos que un punto pertenece al entorno de a + si: a k k Es decir el valor de se acerca a =a mientras que el valor de tiende a ininito. a línea gruesa simula el Entonces un límite del tipo separados estos límites: a suele calcularse hallando por I II a a ara el caso I hacemos primeramente el límite de cuando suponiendo constante a continuación hacemos el límite cuando a todo lo cual equivale a ininitas traectorias tal como se aprecian en la gráica.

6 ara el caso II hacemos primeramente el límite de cuando a suponiendo constante a continuación hacemos el límite cuando todo lo cual equivale también a ininitas traectorias tal como se aprecian en la gráica. Si el resultado de I coincide con el de II entonces puede suponerse que eiste un límite tal resultado es su valor. Veamos un ejemplo: Sea el siguiente límite ininito: 5 1 I 1 / /.. e 5 e 5 II 1 / 1 5/ e 5 / 5

7 En este caso sí eiste el límite de la unción en el punto indicado su valor es e 5.

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