Sistemas de ecuaciones

Transcripción

1 Sistemas de ecuaciones EJERCICIOS 00 Halla tres soluciones de las siguientes ecuaciones lineales, represéntalas en el plano. a) b) + c) d) 7 a) Soluciones: 0,, 0, b) Soluciones: 0,,, c) Soluciones:, 0 0,, d) Soluciones: 0, 7,, c) Y b) d) a) X 00 Resuelve gráficamente este sistema. 8 + Y 8 8, F X Si una ecuación lineal se multiplica o divide por un número distinto de cero, tendrá las mismas soluciones? Sí, tendrá las mismas soluciones, a que se obtienen ecuaciones equivalentes. A partir del número de soluciones, clasifica estos sistemas de ecuaciones. a) + 0 c) + 0 e) + b) + d) + f) + + a) Compatible determinado:, b) Compatible indeterminado: c) Compatible determinado:, 8 d) Compatible determinado:, 6 e) Compatible determinado:, 0 f) Compatible determinado:,

2 SOLUCIONARIO 00 Razona si son ciertas estas afirmaciones referidas a un sistema de ecuaciones lineales. a) Puede tener únicamente dos soluciones. b) Si tiene dos soluciones, entonces tendrá infinitas soluciones. a) No es cierto que pueda tener únicamente dos soluciones. Un sistema de ecuaciones puede tener ninguna, una o infinitas soluciones. b) Es cierto. 006 Pon un ejemplo de sistema compatible determinado, indeterminado e incompatible. + Compatible determinado: + Compatible indeterminado: Incompatible: Resuelve estos sistemas por sustitución e igualación. a) d) b) 0 + e) + + c) f) a) Sustitución: Igualación:

3 Sistemas de ecuaciones b) Sustitución: Igualación: c) Sustitución: Igualación: d) Sustitución: Igualación:

4 SOLUCIONARIO e) Sustitución: Igualación: f) Sustitución: Igualación: Resuelve por el método que creas más adecuado. a) + b) + 7 a) Sustitución: b) Sustitución:

5 Sistemas de ecuaciones 009 Qué resultado obtendrías al resolver un sistema compatible indeterminado por el método de igualación? Se obtendría una ecuación que, al desarrollarla, quedaría Resuelve por el método de reducción. a) + b) c) + 9 a) b) c) ( ) En un barrio se reciclan diariamente 0 toneladas de papel vidrio. Si se recoge el triple de papel que de vidrio, cuántas toneladas de cada material se reciclan? : papel, : vidrio Se reciclan toneladas de papel toneladas de vidrio. 6

6 SOLUCIONARIO 0 Qué resultado obtendrías al resolver un sistema incompatible por el método de reducción? Al sumar las ecuaciones se obtendría una igualdad falsa. 0 Resuelve estos sistemas. + a) b) 7 7 a) ,, + b) (, ) (, ) 7

7 Sistemas de ecuaciones 0 Resuelve los siguientes sistemas. a) ( + ) 6 b) ( + ) 8 + ( ) a) ( + ) 6 + ( + ) 6 ( + ) ( ) Solución: (, 6) Solución: (, ) b) ( + ) 8 ( ) ( + ) Solución: (, ) 9 Solución: ( 9, ) 0 Halla dos números enteros cua suma es 0 su cociente es Los números son Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales. a) + + b)

8 SOLUCIONARIO a) Solución: (, ) Solución: (, ) b) Solución: (, ) + 0 Solución no válida. 07 Resuelve los siguientes sistemas. a) b) + + a) Solución: (, ) 9

9 Sistemas de ecuaciones b) ( ) + ( ) ( ) 0 + < < 0 Como e son menores que 0, no son raíces de la segunda ecuación. 0 Solución: (, 0) 08 Escribe un sistema de ecuaciones no lineales que tenga como solución,. 09 Resuelve estos sistemas de inecuaciones. a) > 0 b) + < c) > d) < a) > 0 > 0 Solución: [, + ) b) + < < < Solución: (, ) < < > c) > 6 Solución:, 6 d) Solución: [, ] Halla la solución de estos sistemas de inecuaciones. a) ( + ) + 9 ( + ) + ( + ) b) ( ) 8 ( + ) 0 ( + ) 60

10 SOLUCIONARIO a) ( + ) ( + ) + ( + ) Solución: (, ] b) ( ) ( + ) 0 ( + ) Solución:, Escribe sistemas de inecuaciones cua solución sea [, ]. 8 Resuelve este sistema: Solución: 6 + +, 0 Epresa de forma algebraica. a) La edad de María multiplicada por sumándole es maor que 8. b) Si divides la edad de María entre le restas es menor que. a) + > 8 b) < 0 Razona si este sistema de inecuaciones está resuelto correctamente Ha un error en el último paso Solución: (, ] 6

11 Sistemas de ecuaciones 0 06 ACTIVIDADES Comprueba que, es solución del sistema Escribe otro sistema con las mismas soluciones El sistema de ecuaciones tiene como solución,. Determinamos otro sistema con estas soluciones es un sistema con estas soluciones. Investiga cuántas soluciones tienen los sistemas de ecuaciones, e interpreta geométricamente el resultado. a) c) b) d) a) Es un sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Geométricamente son dos rectas coincidentes. b) Es un sistema compatible determinado, con una única solución:,. Geométricamente son dos rectas que se cortan en el punto (, ). c) Es un sistema incompatible, no tiene solución. Geométricamente son dos rectas paralelas. d) Es un sistema compatible determinado, con una única solución:,. Geométricamente son dos rectas que se cortan en el punto (, ). 6

12 SOLUCIONARIO 07 HAZLO ASÍ CÓMO SE DETERMINA EL NÚMERO DE SOLUCIONES DE UN SISTEMA ESTUDIANDO SUS COEFICIENTES? Clasifica estos sistemas atendiendo a su número de soluciones. a) + b) + c) PRIMERO. Se estudia si los coeficientes de las dos ecuaciones del sistema son proporcionales. a) Son proporcionales. 6 0 b) 6 8 c) Son proporcionales los coeficientes de las incógnitas, pero no los términos independientes. No son proporcionales los coeficientes de las incógnitas. SEGUNDO. Si todos los coeficientes son proporcionales, el sistema es compatible indeterminado. Si solo son proporcionales los coeficientes de las incógnitas, el sistema es incompatible. Si los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales, el sistema es compatible determinado. a) Compatible indeterminado. b) Incompatible. c) Compatible determinado Completa los sistemas para que sean incompatibles. a) + c) ( ) b) 0 d) Completa los siguientes sistemas para que sean compatibles indeterminados. a) + c) ( + ) ( ) b) 0 6

13 Sistemas de ecuaciones 00 Clasifica los sistemas según su número de soluciones, sin resolverlos. a) + 0 c) b) + 0 d) a) Compatible determinado b) Compatible determinado c) Compatible indeterminado d) Compatible determinado 0 Observa las gráficas escribe el sistema en su forma general, determina la solución decide de qué tipo es. a) Y b) Y c) Y d) Y X X X X a) + Compatible determinado +, b) Compatible indeterminado + 0 c) 0, Compatible determinado + 7 d) + No tiene solución Incompatible Escribe un sistema compatible determinado, uno compatible indeterminado otro incompatible. Represéntalos en unos ejes de coordenadas halla sus soluciones.iiiii Compatible determinado: Compatible indeterminado: Incompatible: Y Y Y X X X 6

14 SOLUCIONARIO 0 Resuelve los sistemas por el método de sustitución. a) 0 + c) b) + d) a) b) c) d) Utiliza el método de igualación para resolver los sistemas. a) + b) + + a) b) + 6

15 Sistemas de ecuaciones 0 Halla la solución de los sistemas por el método de reducción. a) b) c) d) + ( ) Resuelve gráficamente estos sistemas. a) + c) b) + d) + a) Y b) Y c) Y d) Y (, ) (, ) X (, ) X X F X 7 9,

16 SOLUCIONARIO 07 Resuelve los sistemas por el método más adecuado. a) ( ) + b) ( ) ( ) a) ( ) b) ( ) + 6 ( ) ( ) Halla la solución de los sistemas. + a) 0 + ( ) ( + ) 7 b) 6 + ( ) ( ) c) ( + ) a) ( )

17 Sistemas de ecuaciones b) ( ) 7 ( + ) 6 ( + ) ( ) ( ) c) ( + ) HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN SISTEMAS DE ECUACIONES EN FUNCIÓN DE UN PARÁMETRO? Encuentra las soluciones de este sistema en función del parámetro a. PRIMERO. Se resuelve el sistema por el método más adecuado se epresan las soluciones en función de a. a + + (a + ) 6 6 a + a + 6 a a a + a + a + SEGUNDO. Se analiza la solución para comprobar que eiste para todos los valores de a. Esto se llama discutir la solución del sistema en función de a. En este caso el denominador es a +, luego: Para a, el sistema es incompatible, porque no podemos dividir entre cero, es decir, no tiene solución. Para todos los valores de a distintos de, el sistema es compatible. 68

18 SOLUCIONARIO 00 Discute la solución de los siguientes sistemas en función de a. a) + a c) a + b) a 7 d) a 9 a) + a + + a + + a (a + ) a + Compatible determinado para a Incompatible para a b) a 7 a a + 6 a + 6 Compatible determinado para a Incompatible para a 6 a + c) a + 7 a + a + (a ) a Compatible determinado para a Incompatible para a d) a 9 7 ( ) a a Compatible determinado para a a 7 a Incompatible para a 69

19 Sistemas de ecuaciones 0 Determina el número de soluciones de los siguientes sistemas en función de a b. a) a c) a + b 6 b b 8 b) a + d) a b b 6 6 b 0 a) b) a 6 b ( ) 6 + a bb a b 0 C. determinado para a b a b 0 0 Incompatible para a b 0 a C. indeterminado para a b 0 a + a + 0 a + b 6 a ab 6a 0 ab 6a 6a 0 ab 6a 0 ab 0 Compatible determinado para a b 0 a b 0 Incompatible para a b 0 a 6a 0 a b Compatible indeterminado para a b 0 0 a 6a 0 a b 0 b c) a + b +a + b b + 8 b b 8b 8b + a + b 8b + a + b Compatible determinado para a + b 0 a b Incompatible para a + b 0 a b 8b + 0 b Compatible indeterminado para a + b 0 a b 8b + 0 b a ( ) d) a b a + b b 0 a6 + b 0 a b 0, C. determinado si 0 ( a+ 6) 0 b Incompatible si b 0 a C. Indeterminado si a 70

20 SOLUCIONARIO 0 0 Resuelve los siguientes sistemas. a) + 9 b) ( + ) + a) ± ± Ha soluciones: (, ); (, ); (, ) (, ). b) ( + ) + ( + ) ( + ) 0 0 ( ) ( + ) 0, Las soluciones son (, ) (, ). Resuelve estos sistemas. a) + + ( + ) ( )

21 Sistemas de ecuaciones b) c) d) ( + ) ( + ) Halla la solución de los sistemas. a) + c) + b) + d)

22 SOLUCIONARIO a) b) c) d) Solución no válida Solución no válida Determina la solución de los sistemas. a) ( ) ( ) 0 b) ( + ) ( + ) 0 ( ) ( + ) 0 6 a) ( ) ( ) 0 o ( ) ( + ) 0 ( ) ( + ) 0 ( + ) 0 ( ) ( + ) 0 ( ) 0 Solución: (, ) (, ) b) ( + ) ( + ) 0 o , Solución: (, ); ( 6, 6 ); ( 6, 6 ) 6 7

23 Sistemas de ecuaciones 06 Resuelve los sistemas de inecuaciones. a) + > d) + ( ) > 9 ( ) b) ( + ) > e) ( 6 ) + ( + ) < ( ) ( ) c) ( 8 ) f) 7 8 ( ) 0 ( + 6) 8 > 0 + ( ) 0 a) + > > 9 Solución: [, + ) b) ( + ) > > < < Solución: (, ) < < c) ( 8 ) ( + 6) 8 > 0 d) + ( ) > ( ) < Solución: (, ] > > < Solución: (, ] e) ( 6 ) + ( + ) ( ) ( ) Solución:, f) 7 8 ( ) ( ) Solución: [, 6] 07 Halla la solución de los sistemas de inecuaciones. ( + ) a) + c) > + + < 6 ( ) b) d) > > > 6 0 7

24 SOLUCIONARIO a) < < 0 < 7 7 Solución:, ( ) b) > < 6 > < Solución:, ( + ) c) > > 0 + > Solución:, + 0 > d) > > 0 < + 7 > > > < < Solución: 9, Encuentra la solución de los siguientes sistemas de inecuaciones. a) > 0 b) > 0 < a) > 0 > < < Solución: < 0 0, < b) 0 + > > < Solución:, 7

25 Sistemas de ecuaciones 09 En una chocolatería ha 900 bombones envasados en cajas de 6 unidades. Cuántas cajas ha de cada clase si en total tienen cajas? N.º de cajas de 6 bombones: N.º de cajas de bombones: Ha 00 cajas de 6 bombones cajas de bombones. 00 A un congreso acuden 60 personas. Si se van hombres vienen mujeres, el número de mujeres sería del número de hombres. Cuántos hombres mujeres ha en el congreso? N.º de hombres: N.º de mujeres: ( + ) 60 ( + ) 7 ( + ) Ha 8 hombres mujeres en el congreso. 0 Halla las edades de dos personas, sabiendo que hace 0 años la primera tenía veces la edad de la segunda persona, pero dentro de 0 años la edad de la primera persona será el doble de la edad de la segunda. Edad de la primera persona: Edad de la segunda persona: 0 ( 0) ( + 0) ( + 0) La primera persona tiene 70 años la segunda tiene años. 76

26 SOLUCIONARIO 0 La edad de Marta más la edad que tendrá dentro de años es igual a la edad de Luisa dentro de 6 años, la edad de Luisa dentro de años es igual a la que tendrá Marta dentro de 6 años. Calcula las edades de Marta de Luisa. Edad de Marta: Edad de Luisa: Marta tiene 6 años Luisa tiene 9 años. 0 Por el desierto va una caravana formada por camellos dromedarios, con un total de 0 patas 60 jorobas. Cuántos camellos dromedarios ha en la caravana? (Recuerda que los camellos tienen dos jorobas los dromedarios tienen una.) N.º de camellos: N.º de dromedarios: Ha 0 camellos 60 dromedarios en la caravana. 0 Pedro le dice a María: «Si cambias los billetes de 0 que tienes por billetes de los billetes de por billetes de 0, seguirás teniendo el mismo dinero». Cuánto dinero tiene María, si en total son 0 billetes? N.º de billetes de : N.º de billetes de 0 : María tiene 0 billetes de 0 billetes de 0. 77

27 Sistemas de ecuaciones 0 Los billetes de 0 0 que lleva Ángel en el bolsillo suman 80. Si cambiamos los billetes de 0 por billetes de 0 al revés, entonces suman 0. Calcula cuántos billetes tiene de cada tipo. N.º de billetes de 0 : N.º de billetes de 0 : : : ( ) Ángel tiene billetes de 0 6 billetes de Laura acude al banco a cambiar monedas de céntimos por monedas de 0 céntimos. Si sale del banco con monedas menos que cuando entró, cuánto dinero llevaba? N.º de monedas de céntimos: N.º de monedas de 0 céntimos: Tenía 00 monedas de céntimos o, lo que es lo mismo,. 07 Por un chándal unas zapatillas de deporte que costaban he pagado 8,0 en rebajas, a que en la sección de tetil tienen el 0 % de descuento, en la de calzado, el 0 %. Qué precio tenía cada artículo cuánto me han costado? Precio del chándal: Precio de las zapatillas: , El precio del chándal era de 90 el precio de las zapatillas era de. Me han costado,0, respectivamente. 78

28 SOLUCIONARIO 08 Por la mezcla de 00 kg de pienso de tipo A con 800 kg de pienso de tipo B se han pagado.00. Calcula el precio de cada tipo de pienso, sabiendo que, si se mezclase kg de pienso de cada tipo, la mezcla costaría,90. Precio del pienso A: Precio del pienso B: + 9, 9, ,9 + 7,8 +,6,6,9, El pienso A cuesta,0 /kg el pienso B cuesta,60 /kg. 09 La suma de las dos cifras de un número es 9. Si le añadimos 7, el número resultante es capicúa con él. Halla cuál es dicho número. Cifra de las decenas: Cifra de las unidades: Es el número Obtén un número de dos cifras cua diferencia de sus cifras es 6 la cifra de las unidades es el cuadrado de la cifra de las decenas. Cifra de las decenas: Cifra de las unidades: Solución no válida 9 Es el número Halla un número de dos cifras si el producto de sus cifras es 8 la cifra de las unidades es el doble que la cifra de las decenas. Cifra de las decenas: Cifra de las unidades: Es el número 6. 79

29 Sistemas de ecuaciones Determina dos números cua suma es la suma de sus cuadrados es. Números:, , Los números son. Halla dos números sabiendo que su suma es 6 la suma de sus inversos es. Números:, , 6 6 Los números son. En un instituto, la relación del número de chicos con el número 8 de chicas era de, pero en junio 9 esta relación era de, pues abandonaron el centro 0 chicos el 0 % de las chicas. Cuántos alumnos acabaron el curso? Número de chicos que comenzaron el curso: Número de chicas que comenzaron el curso: , 7, Comenzaron el curso 0 chicos 60 chicas. Y lo acabaron 00 chicos chicas. 80

30 SOLUCIONARIO 06 Tenemos que: a + b + c 0 a ( ) ( ) 0 Siendo las soluciones de la ecuación de segundo grado, encuentra el sistema de ecuaciones que relaciona los coeficientes a, b c con las soluciones. a ( ) ( ) 0 a + a ( ) + a 0 b + a + a ( ) + a 0 a a + b + c 0 c a 066 Resuelve los sistemas. a) + 6 b) + 6 c) a) Sistema compatible determinado b) Sistema compatible indeterminado c) Sistema incompatible Sin solución 067 Generaliza la clasificación de sistemas de ecuaciones en función de los coeficientes los términos independientes. a + b c a ' + b ' c' a b a) Sistema compatible determinado si: a' b' a b c b) Sistema compatible indeterminado si: a' b' c' c) Sistema incompatible si: a b c a' b' c' 8

31 Sistemas de ecuaciones EN LA VIDA COTIDIANA 068 La empresa de perfumería Rich Perfum va a lanzar al mercado su nueva colonia que presentará en envases de dos tamaños, de 7 ml de 00 ml. La colonia se llamará Rodin los envases tendrán la forma del Pensador. El litro de colonia cuesta 6. Los envases han costado.00 : cada envase pequeño,0 cada envase grande,0. Además, hemos comprado el triple de envases pequeños que de grandes. Al vender todas las eistencias, la empresa quiere obtener lo suficiente para poder mantener el negocio, pagar a sus empleados conseguir su propia ganancia. Después de vender todo ingresaremos Para ello el precio de los envases grandes será más caro que el de los pequeños. A cuánto debe vender cada frasco? 8

32 SOLUCIONARIO N.º de envases pequeños: N.º de envases grandes: Teniendo en cuenta que han comprado el triple de envases pequeños que de grandes, el precio de cada uno de ellos el total, tenemos que:, +,. 00, +,.00 0, +, Se han comprado.680 envases pequeños 7.60 envases grandes. La cantidad de colonia que pueden envasar es: ml.7 litros El coste de la colonia es: Producción colonia + envases El coste de producción es: Para conseguir 0.00 de beneficios ha que ingresar por las ventas: Coste del envase pequeño: z Coste del envase grande: t t z z t. 6 t z +.680z t.6 0.0z 7.0 z 0,8 z 0,8 t z + t,8 Precio del envase pequeño: 0,8. Precio del envase grande:,8. 8

33 Sistemas de ecuaciones 069 Se van a comprar ordenadores e impresoras para actualizar los equipos informáticos de un hospital. Cada ordenador cuesta 699, cada impresora, 9. Y el presupuesto para la compra oscila entre Los responsables van al departamento financiero para presentar la petición de compra. El rendimiento óptimo de las impresoras se obtiene para un máimo de tres ordenadores por impresora. Además, debe haber al menos una impresora en cada una de las ocho plantas del edificio. Quién crees que tiene razón? Este presupuesto no es viable. A mí me parece que sí lo es. 8

34 SOLUCIONARIO Representamos las distintas rectas que resultan al sustituir las desigualdades por igualdades, comprobamos los valores que están en la región solución. Y 7 (9, 9) 0 X De los valores que están en la región solución, el único valor que cumple todas las condiciones es que haa 9 ordenadores 9 impresoras: En cualquier otro caso dentro de la región solución, el número de impresoras es superior al número de ordenadores, esto supondría un incremento del coste sin tener un aumento de las prestaciones. 8