UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS

Transcripción

1 UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS El conjunto de los números complejos fue creado para poder resolver algunos problemas matemáticos que no tienen solución dentro del conjunto de los números reales. Por ejemplo la ecuación no tiene raíces reales; dado que no existe ningún número real que elevado al cuadrado sea igual a -1, es decir. En el año 1545 el matemático italiano Gerónimo Cardano ( ) trataba de resolver el siguiente problema: Es posible expresar el número 10 como suma de dos números reales tales que el producto de ellos sea igual a 40? Para resolver este problema, si indicamos con x e y a los números de la descomposición y planteamos las ecuaciones Resulta de la primera ecuación que Luego reemplazando en la segunda, obtenemos, es decir debemos resolver la ecuación cuadrática Aplicando la fórmula cuadrática, obtenemos: Es decir lo cual es equivalente a y. 1

2 Cardano advirtió que este problema no podía ser resuelto, porque las soluciones halladas no tienen sentido en el conjunto de los números reales: existe ningún número real cuyo cuadrado sea -15. no es un número real, es decir no De todas maneras algunos algebristas italianos como Tartaglia ( ), Ferrari ) y el mismo Cardano, entre otros trabajaron formalmente con expresiones como las anteriores y operaron con ellas junto con los números reales. Posteriormente, en el año 1777, Euler ( ) introdujo el símbolo i (por imaginario) para indicar un número tal que. Utilizando i resulta que, por ejemplo: De esta manera, las soluciones de la ecuación cuadrática que surgen del problema de Cardano pueden expresarse como: y. Observemos que y son soluciones de la ecuación. Porque: y Pero está claro que las soluciones para estos problemas no se tratan de números reales. Definición Llamaremos número complejo a un número z que se escribe en la forma, donde a y b son números reales e i verifica que Al número a se lo denomina parte real del número complejo z y se lo indica. Al número b se lo denomina parte imaginaria del número complejo z y se lo indica A la expresión se la denomina forma binómica del número complejo Indicaremos con la letra al conjunto de todos los números complejos: * + 2

3 Ejemplos de números complejos: Número complejo Parte real Parte imaginaria Observemos que: Un número complejo cuya parte imaginaria es cero, es decir de la forma, se lo identifica con un número real. Por ejemplo: Todo número real puede considerarse un número complejo cuya parte imaginaria es cero. Por ejemplo Esto sucede por que El conjunto de los números reales está incluido en el conjunto de los números complejos : sea,, entonces es un número complejo. También podemos decir que: El conjunto de los números complejos es una ampliación del conjunto de los números reales. Un número complejo cuya parte real es cero se denomina imaginario puro Por ejemplo: son complejos imaginarios puros. Definición Dos números complejos y son iguales si, y solo si tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria. 3

4 Simbólicamente si y solo si y Nos planteamos las siguientes preguntas acerca de los números complejos Es posible definir en las operaciones elementales, de modo que cuando se opere con los números reales (que se identifican con una parte del conjunto ) se obtengan los mismos resultados que en, y se verifiquen las propiedades? Se pueden representar gráficamente los números complejos? La respuesta a ambas preguntas es afirmativa Operaciones en Es posible sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos y como se observará el resultado será siempre un número complejo. Suma Si y entonces la suma está dada por Observación: Para sumar dos números complejos, se suman separadamente sus partes reales e imaginarias. Definición Dado el complejo, decimos que es su opuesto, y lo notamos: Se probará en la práctica que la suma de números complejos verifica las siguientes propiedades: 1. conmutativa 2. asociativa 3. siendo neutro aditivo 4. opuesto aditivo Resta Si y entonces la resta está dada por 4

5 Es decir para restarle al número complejo z el número complejo w a z le sumamos el opuesto de w. Ejemplos Multiplicación Si y entonces la multiplicación está dada por Observación: para multiplicar dos números complejos se opera con ellos como si fueran polinomios y se considera que. Ejemplo Inverso Multiplicativo Dado un número complejo es posible encontrar un número complejo, tal que? Es decir, se cumple que Por tanto De donde { Despejando c de (1), reemplazando en (2), luego 5

6 Por tanto y es tal que. / (verificar) Esto nos permite dar la siguiente Definición Dado el complejo, decimos que es su inverso multiplicativo y lo notamos con. División Si y entonces la división está dada por Observación: para dividir un número complejo por un número complejo, basta multiplicar por el inverso de. Definición Dos complejos se denominan conjugados si tienen la misma parte real y partes imaginarias opuestas. El complejo conjugado del complejo se indica con, luego Ejemplos: ; ; ; Propiedades del conjugado 1. si y solo si es real , siendo. si. Demostración de (3) y (6), el resto quedan como ejercicio (3) Sea, entonces, luego (6) Sea Para obtener el inverso multiplicativo de un número complejo no nulo podemos utilizar la 6

7 propiedad del producto de un complejo por su conjugado, esto es: Esto último nos va a permitir definir de manera simple la división entre números complejos Observación: para dividir dos números complejos se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. Ejemplo Representación Grafica de números complejos Para representar gráficamente los complejos, tendremos en cuenta que Todo número complejo puede determinarse con un par de números reales donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. Y todo par de números reales determina un número complejo, cuya parte real es a y cuya parte imaginaria es b. Así, cualquier número complejo tiene una posición en el plano numérico. Los complejos con parte imaginaria cero se representan sobre el eje horizontal llamado eje real que se lo indica con x, los complejos con parte real cero se representan sobre el eje vertical llamado eje imaginario y se lo indica con y. Eje Imaginario b a Eje real 7

8 Ejemplos: 1. Representar en un mismo sistema de coordenadas los siguientes números complejos,, y 2. Dado, representar y y En general Si para representar gráficamente (su conjugado), se debe reflejar sobre el eje real x. Si la representación gráfica de (el opuesto) es el simétrico de respecto del origen de coordenadas. Recordemos que en la distancia de 0 a cualquier número real a, se define como el valor absoluto de a y se lo indica De manera similar en también podemos hablar de distancia. 8

9 La distancia del origen de coordenadas al número complejo se define como. Esta distancia se llama módulo de b Nótese que y, por la propiedad 6 del conjugado. Forma Trigonométrica de un Número Complejo Como acabamos de ver al número complejo le corresponde el punto del plano de coordenadas. Si representamos por r la longitud del segmento, que une el origen de coordenadas con, y por θ el ángulo que forma con el semieje de las positivo, se dice que son las coordenadas polares del punto. b Si, es decir, si, entonces θ no está definido, consideremos por tanto Se establece como convención que θ es positivo si es medido en sentido antihorario y negativo en sentido contrario. A cualquiera de tales números θ se les llama argumento de y se representa. Observemos que si es argumento del número complejo z, entonces también lo es con y así y dan lugar al mismo punto. Por este motivo restringimos el valor de, esto es. 9

10 Se sigue que, para números complejos cuya parte real sea no nula, se tiene que y Puesto que y, tenemos que se puede expresar de la forma La expresión se suele denominar forma trigonométrica o polar de. Ahora bien, si restringimos el valor de para, hay dos ángulos que difieren en que tienen la misma tangente. Para saber cuál de ellos es el argumento, tendremos en cuenta los signos de y de, de esta forma conseguiremos saber en qué cuadrante está situado el punto y nos dará el ángulo que buscamos. Si es un punto del primer cuadrante es un punto del segundo o tercer cuadrante es un punto del cuarto cuadrante es un punto sobre el eje imaginario, es un punto sobre el eje imaginario, Ejemplos Escribir en forma trigonométrica o polar ) Identificamos y, entonces Como y está situado en el primer cuadrante, tomamos. Luego. / ) En este caso ( ), y como ( ) está situado en el cuarto cuadrante, tomamos. Luego. / 10

11 Otro modo de determinar es obtener el ángulo de referencia. El ángulo del cuarto cuadrante que deseamos es, ) En este caso y. y como está situado sobre el eje y, siendo, tomamos y. Luego. / Observación para que dos números complejos, dados en forma trigonométrica y sean iguales tienen que ser iguales sus módulos pero no necesariamente tienen que ser los argumentos considerados { Multiplicación en forma trigonométrica o polar Si y, entonces, ( ) Demostración ejercicio El producto de dos números complejos dados en forma trigonométrica o polar es un número complejo cuyo módulo es el producto de los módulos y su argumento es la suma de los argumentos. Inverso de un número complejo Se puede obtener en forma trigonométrica o polar del siguiente modo: Teniendo en cuenta que y que y 11

12 Resulta que ( ) Teniendo en cuenta la multiplicación y el inverso de un número complejo en forma trigonométrica, podemos dividir dos números complejos dados en forma trigonométrica ( ) Demostración Ejercicio En la demostración de la multiplicación y división de números complejos en forma trigonométrica se utilizan las siguientes identidades: Ejemplo Si y, encuentre, y exprese cada respuesta en la forma. Solución: por lo anterior tenemos, - * +, - * + Forma exponencial de un número complejo Es posible mostrar, aunque está fuera del alcance de este curso, que la función exponencial real puede extenderse razonablemente al caso de exponentes complejos. Para el caso de un exponente complejo imaginario puro, está dado necesariamente por la 12

13 siguiente fórmula, llamada fórmula de Euler Fórmula de Euler De esta manera todo número complejo se puede representar mediante, con y. Esta expresión suele denominarse forma exponencial de. Las propiedades aritméticas de la exponencial real compleja. Propiedades Sean dos números complejos dados en forma exponencial a. se cumplen para la exponencial y b. { c. = d. e. Demostración ejercicio Potencias de un número complejo Utilizando las propiedades de producto y cociente de números complejos dados en forma exponencial, resultan fáciles de expresar las potencias enteras de un número complejo en término del módulo y el argumento. Si para tenemos Estas expresiones son válidas para exponentes negativos 13

14 Fórmula de De Moivre Si y n es un entero, entonces La demostración de esta fórmula se basa en inducción matemática Ejemplos 1. Calcular, donde. / Por la fórmula de De Moivre. /. /. / 0. /. /1 2. Evaluar ( ) Solución: ( ), tomamos. Luego, por la fórmula de De Moivre y como ( ) está situado en el primer cuadrante,. / Las potencias sucesivas de la unidad imaginaria son: Podemos observar una cierta regularidad si el exponente es múltiplo de 4. Si el exponente es de la forma 4k con, se tiene. En general, 14

15 Si el exponente de i es, al efectuar la división por 4 se tiene que donde. Por tanto y el cálculo se reduce a una de las cuatro potencias consideradas en primer término. Ejemplo: Calcular a. b. Raíces de un número complejo Decimos que w es la raíz n - ésima de un número complejo z si y solo si Veamos cuantas raíces n-ésimas tiene un número complejo. Sea y, según la definición dada deberá ser Es decir De acuerdo a la igualdad de números complejos dados en forma exponencial { { Es decir (. /. /) Al dar valores a obtenemos ( ) 15

16 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) Y esta última raíz es. Por tanto el número complejo tiene n raíces n-ésima distintas. Es decir si,, podemos afirmar que existen n raíces n- ésima distintas dadas por ( ) Representación gráfica de las raíces Observamos que todas las raíces n ésimas del número complejo tienen el mismo módulo y los argumentos de dos raíces obtenidas para y se diferencian en Por tanto, los puntos que representan esas raíces son los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio Ejemplo Encuentre las raíces cubicas de. Solución: y, entonces, luego por lo anterior [ ] con Para. /. / 16

17 . /. /. /. /. /. /. /. / Ejemplo Encuentre Solución: el módulo y el argumento de son y respectivamente. Así que 0. /. /1 con,3,4 * +, - * +, - * +, - * +, - * +, - 17

18 Luego Al comienzo del capítulo vimos algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen solución en los números reales, pero que tienen dos soluciones en el conjunto de los números complejos, en realidad Todas las ecuaciones polinómicas de segundo grado, con discriminante negativo, es decir,, que no tienen solución en, tienen solución en el conjunto En, se puede demostrar que toda ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, toda ecuación de tercer grado tiene tres soluciones y, en general Toda ecuación de grado n tiene n soluciones. Este resultado es conocido como Teorema Fundamental del Algebra. Ejemplo Tiene a como solución real. Luego se puede descomponer la ecuación en factores como Las soluciones de aplicando la formula cuadrática y teniendo en cuenta que son y. 18

19 En definitiva la ecuación de tercer grado tiene tres soluciones complejas:. Los números complejos son muy útiles en Ingeniería y Electrónica, aunque son necesarios otros conocimientos matemáticos que exceden el nivel de este curso para poder comprender estas aplicaciones. 19