P(f) : P(B) P(A) (A.2)

Transcripción

1 TEMA 2. APLICACIONES 227 Tema 2. Aplicaciones Definición A.2.1. Una correspondencia entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A B. Una aplicación f entre dos conjuntos A y B es una correspondencia que cumple que a A,!b B tal que (a, b) f; es decir, a cada a A se le asocia el único elemento b := f(a) B que cumple (a, b) f. Definición A.2.2. Sea f una aplicación entre los conjuntos A y B (en adelante a esta situación la denotaremos por f : A B). El conjunto A se denomina conjunto de partida (o dominio) y el conjunto B se denomina conjunto de llegada (o conjunto final). En el caso en que el espacio de llegada de una aplicación sea un conjunto de números se habla de función. Definición A.2.3. Sea f : A B aplicación, A 1 A y B 1 B, entonces definimos 1. Conjunto imagen de A 1 : f(a 1 ) := {b B a A 1 t.q. f(a) = b}. 2. Conjunto imagen inversa de B 1 : f 1 (B 1 ) := {a A f(a) B 1 }. Observación A.2.4. Pensándolo de manera más conceptual, la definición de conjunto imagen directa produce, para cada subconjunto A 1 de A, un (y solo uno) subconjunto f(a 1 ) de B. Es decir, define una aplicación (A.1) P(f) : P(A) P(B) A 1 P(f)(A 1 ) := f(a 1 ) Del mismo modo, la definición de conjunto imagen inversa produce, para cada subconjunto B 1 de B, un subconjunto (y solo uno) f 1 (B 1 ) de A. Es decir, define una aplicación (A.2) P(f) : P(B) P(A) B 1 P(f)(B 1 ) := f 1 (B 1 ). Ejercicio A.3. Sea f : A B aplicación. Demuestra las siguientes consecuencias de las definiciones de conjunto imagen directa e imagen inversa. 1. Si A 1 A 2 A, entonces f(a 1 ) f(a 2 ). 2. Si B 1 B 2 B, entonces f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). 3. f( ) =. 4. f 1 ( ) =. 5. f 1 (B) = A. Propiedades A.2.5 (Aplicaciones). Sea f : A B una aplicación, A 1, A 2 A y B 1, B 2 B entonces:

2 228 A. GENERALIDADES DE TEORÍA DE CONJUNTOS 1. f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ). 2. f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ). 3. f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). 4. f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). 5. f(f 1 (B 1 )) B A 1 f 1 (f(a 1 )). 7. f 1 (B1) c = (f 1 (B 1 )) c. 8. f 1 (B 1 \ B 2 ) = f 1 (B 1 ) \ f 1 (B 2 ). Demostración. 1. ( ) Sea b f(a 1 A 2 ), entonces existe a A 1 A 2 de modo que f(a) = b. Así pues, si a A 1, entonces b = f(a) f(a 1 ) (y si a A 2, entonces b = f(a) f(a 2 )). Por tanto b f(a 1 ) f(a 2 ). ( ) Dado que A 1 A 1 A 2, entonces f(a 1 ) f(a 1 A 2 ) por el Ejercicio A.3(1). Análogamente f(a 2 ) f(a 1 A 2 ). Así pues f(a 1 ) f(a 2 ) f(a 1 A 2 ) por el Ejercicio A.1(4)). 2. Como A 1 A 2 A 1, se tiene que f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) (Ejercicio A.3(1)). Análogamente f(a 1 A 2 ) f(a 2 ), y así pues f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ) (Ejercicio A.1(3)). 3. ( ) Sea a f 1 (B 1 B 2 ), entonces por definición f(a) B 1 B 2. Si f(a) B 1, entonces a f 1 (B 1 ), mientras que si f(a) B 2, entonces a f 1 (B 2 ). Por lo tanto a f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). ( ) Como B 1 B 1 B 2, entonces f 1 (B 1 ) f 1 (B 1 B 2 ) (Ejercicio A.3(2)). Análogamente f 1 (B 2 ) f 1 (B 1 B 2 ). Por lo tanto f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) f 1 (B 1 B 2 ) (Ejercicio A.1(4)). 4. ( ) Dado que B 1 B 2 B 1 y B 1 B 2 B 2, entonces, como anteriormente se tiene que f 1 (B 1 B 2 ) f 1 (B 1 ), que f 1 (B 1 B 2 ) f 1 (B 2 ) y, por tanto, que f 1 (B 1 B 2 ) f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). ( ) Sea a f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ), entonces f(a) B 1 y f(a) B 2, es decir, f(a) B 1 B 2. Por lo tanto a f 1 (B 1 B 2 ). 5. Sea b f(f 1 (B 1 )), entonces por definición, existe a f 1 (B 1 ) de modo que f(a) = b. Como a f 1 (B 1 ), entonces, por definición f(a) B 1. Por lo tanto, b = f(a) B Sea a A 1, entonces f(a) f(a 1 ) y por tanto a f 1 (f(a 1 )). 7. Obsérvese que x f 1 (B1 c) si y solo si f(x) Bc 1, es decir, f(x) B 1. Esto es equivalente a que x f 1 (B 1 ), es decir, x (f 1 (B 1 )) c.

3 TEMA 2. APLICACIONES Por definición f 1 (B 1 \ B 2 ) = f 1 (B 1 B c 2), ahora bien, por las propiedades 4 y 7 se tiene que f 1 (B 1 B c 2 ) = f 1 (B 1 ) (f 1 (B 2 )) c = f 1 (B 1 ) \ f 1 (B 2 ). Ejercicio A.4. Encuentra ejemplos de aplicaciones (es decir, describe el conjunto inicial, el final y la aplicación) que cumplan las inclusiones de los apartados 2, 5 y 6 de las Propiedades A.2.5 de manera estricta (es decir, que no se dé la igualdad). Definición A.2.6. Diremos que una aplicación f : A B es inyectiva si a, a A f(a) = f(a ) implica a = a. Diremos que una aplicación f : A B es sobreyectiva (suprayectiva o simplemente sobre) si f(a) = B. Diremos que una aplicación f : A B es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva. Observación A.2.7. Existen aplicaciones que no son ni inyectivas ni sobreyectivas, por ejemplo si A = {0, 1, 1} y f : A A cumple que f(x) = x 2. Ejercicio A.5. Demuestra que si f : A B es sobreyectiva, entonces: 1. f 1 (B 1 ) = B 1 =. 2. f 1 (B 1 ) = A B 1 = B. (Compara con el Ejercicio A.3 (4) y (5)). Otra manera de ver este resultado es el siguiente. Un subconjunto A 1 A se dice propio si A 1 A. Por lo tanto, se deduce que si f : A B es suprayectiva, entonces B 1 B es propio si y sólo si f 1 (B 1 ) A es propio. Definición A.2.8. Se define la aplicación identidad de A como aquella aplicación 1 A : A A que verifica 1 A (a) = a a A. Si f : A B y g : B C son aplicaciones, se puede definir una tercera aplicación (g f) : A C del siguiente modo (g f)(a) := g(f(a)). Dicha aplicación (g f) se denomina f compuesto con g y también composición de f y g. Si f : A B y C A entonces definimos la restricción de f a C como la aplicación f C : C B que cumple f C (c) = f(c) c C. Propiedades A.2.9. Sean f : A B y g : B C aplicaciones. Demuestra que: 1. Si f y g son sobreyectivas, entonces g f es sobreyectiva. 2. Si f y g son inyectivas, entonces g f es inyectiva. 3. Si f y g son biyectivas, entonces g f es biyectiva A es biyectiva.

4 230 A. GENERALIDADES DE TEORÍA DE CONJUNTOS 5. Si g f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva. 6. Si g f es inyectiva, entonces f es inyectiva. Demostración. 1. Sea c C; por ser g sobreyectiva, existe b B tal que g(b) = c. Análogamente, por ser f sobreyectiva, existe a A de modo que f(a) = b. Por lo tanto (g f)(a) = g(f(a)) = g(b) = c. 2. Sean a, a A de modo que (g f)(a) = (g f)(a ). Por lo tanto g(b) = g(b ), donde f(a) = b y f(a ) = b. Como g es inyectiva, entonces b = b, es decir, f(a) = f(a ). Ahora, como f es inyectiva, se tiene que a = a. 3. Es consecuencia de 1 y Veamos que 1 A es inyectiva. Para ello, si a, a A y 1 A (a) = 1 A (a ), entonces, por definición a = 1 A (a) = 1 A (a ) = a. La aplicación 1 A es trivialmente sobreyectiva, ya que 1 A (a) = a a A. 5. Si g no fuera sobreyectiva, entonces g(b) A, por lo tanto g(f(a)) g(b) A, por lo tanto g f no sería sobreyectiva. 6. Si f no fuera inyectiva, entonces existirían a, a A con a a y f(a) = f(a ), por lo tanto (g f)(a) = g(f(a)) = g(f(a ))(g f)(a ), es decir, g f no sería inyectiva. Ejercicio A.6. Sea f : A B una aplicación. Prueba las siguientes propiedades: 1. Si f es inyectiva y A 1 A, entonces f(a c 1 ) = f(a) \ f(a 1). 2. Si f es inyectiva y A 1, A 2 A, entonces f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ). 3. Si f es biyectiva y A 1 A, entonces f(a c 1) = f(a 1 ) c. 4. Sea A := {A λ } λ Λ familia de subconjuntos de A tal que A = A, f(a λ1 ) f(a λ2 ) = (λ 1 λ 2 ) y f Aλ es inyectiva λ Λ, entonces f es inyectiva. Ejercicio A.7. Sea f : A B una aplicación biyectiva. Consideremos la siguiente correspondencia g B A definida por (b, a) g f(a) = b. Demuestra que g es una aplicación. Definición A La aplicación descrita en el Ejercicio A.7 se denotará por f 1 : B A y se denomina aplicación inversa de f : A B. Ejercicio A.8. Sean f : A B, g : B C aplicaciones biyectivas. Demuestra que: 1. f 1 : B A es una aplicación biyectiva, 2. (f 1 ) 1 = f,

5 TEMA 2. APLICACIONES A = 1 A, 4. (g f) 1 = f 1 g 1, 5. (a) (f 1 f) = 1 A, (b) (f f 1 ) = 1 B. 6. Si C = A, f es biyectiva y f g = 1 B, entonces g = f Si C = A, f g = 1 B y g f = 1 A, entonces f es una biyección y g = f 1 Ejercicio A.9. Completa los apartados 5 y 6 de las Propiedades A.2.5 del siguiente modo. 1. f(f 1 (B 1 )) = B 1 B 1 f(a). Deduce de aquí que si f es sobreyectiva, entonces f(f 1 (B 1 )) = B Si f 1 (b) A 1 A siempre que f 1 (b) A 1, entonces A 1 = f 1 (f(a 1 )). 3. Si f f 1 (f(a 1 )) es inyectiva, entonces A 1 = f 1 (f(a 1 )). 4. f es inyectiva A 1 = f 1 (f(a 1 )) A 1 A. 5. Si f es biyectiva f 1 (f(a 1 )) = A 1, A 1 A y f(f 1 (B 1 )) = B 1, B 1 B. Ejercicio A.10. Demuestra las siguientes propiedades: 1. Si f : A B, A 1 A y B 1 B, entonces f 1 A 1 (B 1 ) = A 1 f 1 (B 1 ). 2. Si f : A B, g : B C y C 1 C, entonces (g f) 1 (C 1 ) = f 1 (g 1 (C 1 )) (observa que esta propiedad no se deduce del Ejercicio A.8(4) ya que no sabemos que existan las aplicaciones inversas de f ni de g). 3. Si f : A B es biyectiva, entonces: (a) A 1 = A 2 si y solo si f(a 1 ) = f(a 2 ) (b) B 1 = B 2 si y solo si f 1 (B 1 ) = f 1 (B 2 ) (c) Las aplicaciones P(f) y P(f) (Observación A.2.4) son biyecciones. Observación A Llegados a este punto y antes de causar un problema de conceptos (como tratamos de evitar en el comentario realizado en el Ejercicio A.10(2)), conviene aclarar la notación utilizada en Definición A.2.3(2) para la imagen inversa f 1 (B 1 ) del conjunto B 1 B por la aplicación f : A B. Obsérvese que este conjunto siempre existe, aunque la aplicación f no sea biyectiva y por tanto no tenga inversa. Podría plantearse en principio el siguiente problema de notación: supongamos ahora que f es biyectiva y que denotamos por f 1 a su aplicación inversa. Entonces la imagen directa de B 1 por la aplicación f 1 tendría la misma notación f 1 (B 1 ). En realidad la ambigüedad no es tal ya que ambos conjuntos coinciden. Veámoslo, es decir, probemos que Demostración. {x A f(x) B 1 } = {f 1 (y) y B 1 }.

6 232 A. GENERALIDADES DE TEORÍA DE CONJUNTOS ( ) Sea x {x A f(x) B 1 }. Llamemos y = f(x) B 1, entonces f 1 (y) = f 1 (f(x)) = x por definición de aplicación inversa, por lo tanto x {f 1 (y) y B 1 }. ( ) Sea x {f 1 (y) y B 1 }. Eso significa que existe y B 1 de modo que x = f 1 (y). Por definición de aplicación inversa esto significa que f(x) = y y por tanto f(x) B 1, luego x {x A f(x) B 1 }. En otras palabras, acabamos que probar que si g es la aplicación inversa de f, entonces (A.3) f 1 (B 1 ) = g(b 1 ). Del mismo modo, llamando g a f 1, se tiene que f = g 1 (Ejercicio A.8(2)) y entonces, aplicando (A.3) se obtiene g 1 (B 1 ) = f(b 1 ), es decir, (A.4) f(b 1 ) = (f 1 ) 1 (B 1 ). Ejemplo A Consideremos f : A B una aplicación biyectiva y A 1, A 2 A, entonces, por (A.3) (Observación A.2.11) se tiene que f(a 1 A 2 ) = (f 1 ) 1 (A 1 A 2 ). Aplicando la Propiedad A.2.5(5) tenemos que (f 1 ) 1 (A 1 A 2 ) = (f 1 ) 1 (A 1 ) (f 1 ) 1 (A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ). Por lo tanto hemos probado que (A.5) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ). Hemos visto en el Ejercicio A.6(2) que esta propiedad es cierta si f es inyectiva. Ejemplo A Consideremos 1 X : X X la aplicación identidad. Sea A X, entonces por definición 1 X (A) = {1 X (x) X x A} y como 1 X (x) = x, se tiene que 1 X (A) = {x x A} = A, es decir, 1 X (A) = A. Ahora, supongamos que queremos calcular 1 1 X (A). Por la Observación A.2.11 (A.3), como 1 1 X = 1 X (Ejercicio A.8(3)) se tiene que 1 1 X (A) = 1 X(A) = A. Ejercicio A.11. Sea f : A B aplicación y B C. Se puede definir una aplicación f : A C del siguiente modo f(a) = f(a). Demuestra que si f es inyectiva entonces f también es inyectiva. Ejercicio A.12. Sea f : A B una aplicación inyectiva y A 1 A, entonces f A1 también es inyectiva. Supongamos que tomamos ahora 1 A : A A la aplicación identidad y A 1 A. A la restricción de 1 A a A 1 se denomina inclusión

7 TEMA 2. APLICACIONES 233 i A1,A : A 1 A. Por el resultado anterior, como 1 A es inyectiva, entonces i A1,A es también inyectiva. Demuestra que si B A, entonces i 1 A 1,A (B) = A 1 B. Ejercicio A.13. Sea f : A B aplicación. Se puede definir también otra aplicación f : A f(a) del siguiente modo f(a) = f(a). Demuestra los siguientes resultados sobre la aplicación f: 1. Si f es inyectiva entonces f es inyectiva. 2. f es sobreyectiva. (A.6) Ejercicio A.14. Sea A X; se define la siguiente aplicación χ A : X {0, 1} 0 si x A x χ A (x) := 1 si x A. La aplicación χ A se suele denominar aplicación característica de A. Demuestra que χ 1 A ({1}) = A, que χ 1 A ({0}) = Ac y que χ A es sobreyectiva si y solo si A X.