Tema 5: Equilibrio General Parte III OWC Economía para Matemáticos. Fernando Perera Tallo ttp://bit.ly/8l8ddu

Transcripción

1 y Tea 5: Equlbro Geeral Parte III OWC Ecooía para Mateátcos Ferado Perera Tallo ttp://bt.ly/8l8ddu

2 Esteca de Equlbro Ferado Perera-Tallo

3 A lo largo de esta presetacó os vaos a cocetrar e espacos Eucldos, gra parte de los resultados se podría geeralzar a espacos étrcos copletos. Ferado Perera-Tallo

4 Cojuto Poteca: cojuto poteca del cojuto Y, P(Y), es el cojuto de todos los subcojutos del cojuto Y. Correspodeca etre dos cojutos X e Y es ua aplcacó que asoca cada eleeto de X co u subcojuto (o vacío) de Y. Es decr, es ua fucó Γ : X P( Y ) que asoca cada eleeto del cojuto X co el cojuto poteca del cojuto Y (ecludo el cojuto vacío). E ecooía las correspodecas se suele escrbr spleete Γ : X Y (o se usa la otacó de cojuto poteca) Ferado Perera-Tallo

5 Ejeplo : la correspodeca que relacoa el vector de precos y la reta co el cojuto presupuestaro del cosudor: + CP : R CP( p, ) R p { } R / Ferado Perera-Tallo

6 Ejeplo : S ua fucó de utldad o es estrctaete cuas cócava podeos teer ua correspodeca de deada e vez de ua fucó de deada. S por ejeplo teeos la fucó de utldad leal, ( ), u +, etoces la correspodeca de deada será: ( ) ( ) { } > + R < + s 0, s /, s,0 ),, ( ),,, ( p p p p p p p p p p p p p p Ferado Perera-Tallo

7 Ejeplo 3: Cuado la fucó de produccó de ua epresa es estrctaete cuascócava y preseta redetos costates a escala, etoces ay fucó de deadas codcoadas de factores pero la fucó de oferta de bees y de deada de factores o es ua fucó, es ua correspodeca. El problea de zacó de costes sería: a z s. a : wz y f ( z) De este problea obtedríaos la fucó de costes c ( w, y) y las fucoes de deadas codcoales de z w, y. factores ( ) Ferado Perera-Tallo

8 Problea de azacó del beefco: a py wz y, z, z s. a : y f ( z) La correspodeca de oferta y deada (o codcoada) de factores sería coo sgue: ( y( p, w), z( p, w) ) { ( 0,0,0) } s p < c( w,) + { ( y, z) R+ / y R+ z z( w, y) } s p c( w,) s p > c( w,) Ferado Perera-Tallo

9 Ua correspodeca copacto s X Ua correspodeca coveo s X Γ : X Y es de valor Γ es copacto. el cojuto ( ) el cojuto ( ) Γ : X Y es de valor Γ es coveo. Ferado Perera-Tallo

10 Defcó de correspodeca ecotua superor: ua correspodeca Γ : X Y es ecotua superor e 0 X s para cualquer cojuto aberto A Y tal que Γ( 0 0 ) A, este u etoro de, B ( 0, ε ), tal que B( 0, ε ) Γ ( ) A. Defcó de correspodeca ecotua superor: ua correspodeca Γ : X Y de valor copacto es ecotua superor e 0 X s y sólo s para 0 0 covergete a, l, y cualquer secueca { } para cualquer secueca { } + ( y dode y Γ ), este ua subsequeca que coverge a y 0 Γ( 0 ). Ferado Perera-Tallo

11 y 0 3 4

12 y Es ecotua superor e estos putos 0 No es ecotua superor e estos putos 3 4

13 Defcó de correspodeca ecotua feror: ua correspodeca Γ : X Y es ecotua feror e 0 X s para cualquer cojuto aberto A Y tal que Γ( 0 0 ) A, este u etoro de, B ( 0, ε ), tal que B( 0, ε ) Γ( ) A. Defcó de correspodeca ecotua feror: ua correspodeca Γ : X Y es ecotua feror e X covergete a 0, l 0, y para cualquer 0 s y sólo s para cualquer secueca { } + y 0 Γ( 0 ), este ua secueca y Γ( ) tal que 0 l y y. + Ferado Perera-Tallo

14 y

15 y No es ecotua feror e estos putos 0 Es ecotua feror e estos putos 3 4 5

16 Se dce que ua correspodeca Γ : X Y es cotua e 0 X s es ecotua superor e feror e ese puto. Se dce que ua correspodeca Γ : X Y es ecotua superor s lo es X. Se dce que ua correspodeca Γ : X Y es ecotua feror s lo es X. Se dce que ua correspodeca s lo es X. Γ : X Y es cotua Ferado Perera-Tallo

17 Teorea del áo: Sea X R e y R. Dada la fucó cotua f : X Y R y la correspodeca o vacía, cotua y de valor copacto Γ : X Y, etoces v ) a f ( ) es ua fucó cotua, y ( y Γ ( ) ( ) arg a y Γ ( ) f ( Ω ) es ua correspodeca ecotua superor co valores copactos y dferetes del vacío. Ferado Perera-Tallo

18 Sea X R y Ρ R (dode X es el espaco de varables de eleccó y Ρ es el espaco de paráetros). Dada la fucó cotua y cuascócava f : X P R y la correspodeca o vacía, cotua y de valor copacto y coveo v( Γ ( ) Γ : P X, etoces ) a f ( ) es ua fucó cotua, y Ω ) arg a f ( ) es ua correspodeca ecotua ( Γ ( ) superor co valores copactos, coveos y dferetes del vacío. S f λ, Ω( ) ( λ + ( λ) ) { f ( ), f ( )} + ( λ), Γ( ) λ ( 0,) a Γ ( ) Ω( ) Ω( ) es de valor coveo. λ + ( λ) f ( ) Γ( ) Ferado Perera-Tallo

19 Sea X R y Ρ R (dode X es el espaco de varables de eleccó y Ρ es el espaco de paráetros). Dada la fucó cotua y estrctaete cuascócava f : X P R y la correspodeca o vacía, cotua y de valor copacto y coveo Γ : P X, etoces ) a f ( ) es ua fucó cotua, y v( Γ ( ) Ω ) arg a f ( ) es ua fucó cotua. ( Γ ( ) S f, Ω( ), Γ( ) λ ( 0,) λ + ( λ) ( λ + ( λ) ) { f ( ), f ( )} a f ( Γ( ) ) Γ( ) Ferado Perera-Tallo

20 Sea X R y Ρ R y la correspodeca Γ : P X ñ dode g : X P R es Γ es o vacía y de valor copacto, etoces es ua correspodeca ecotua superor. tal que Γ( ) { / g(, ) 0} ua fucó cotua. S ( ) Deostracó: tal que Sea { } y l + g l + l + * *, y { } dode Γ( ), por cotudad ( g, ) 0, ( ) ( ) * * *, g, 0 Γ( ). Ferado Perera-Tallo

21 Sea X R y Ρ R y la correspodeca Γ : P X tal ñ que Γ( ) { / g(, ) 0} dode g : X P R es ua fucó cotua. S ε > 0 Γ( ) ' / ' B(,ε ) y g (, )» 0 etoces es ua correspodeca ecotua feror. Deostracó: Caso e que g (, ) a» 0 : Sea { } l / y + Γ( ) tal que g (, )» 0, por cotudad * * l g, a / > g,»0 + ( ) ( ) * > ( ) * > Γ( ) l Γ / + Ferado Perera-Tallo

22 Caso e que g (, ) 0: Sea l y Γ( ) tal que (, ) 0 + g, ( g ),»0 / l ateror, { } /, dado el apartado + tal que ( ) y l ˆ Γ + l { }, ˆ + tal que ˆ. Defaos la secueca { ~ } ( ) ( ) ( d d d ) + d( / ~ ˆ ~, ˆ, ˆ,, ) ( ~ ) ( ) ( l, l ˆ, l ˆ, ) + l ( d d d d, ) l ~. + Ferado Perera-Tallo

23 Ejeplo de correspodeca del tpo Γ( ) { / g(, ) 0} que o es ecotua feror: g(, ) Ferado Perera-Tallo

24 Ejeplo de correspodeca del tpo Γ( ) { / g(, ) 0} que o es ecotua feror: g(, 3 ) g(, ) g(, ) Ferado Perera-Tallo

25 Ejeplo de correspodeca del tpo Γ( ) { / g(, ) 0} que o es ecotua feror: g(, 3 ) No es ecotua feror g(, ) g(, ) Ferado Perera-Tallo

26 Corolaro: p»0 la correspodeca que defe el cojuto presupuestaro es ua correspodeca cotua: + CP : R + R+ CP ( ) { p, R p } + / Ferado Perera-Tallo

27 Sea X, Y, y Z X Y tres espacos étrcos copletos cuyas dstacas verfca la sguete desgualdad: sea ( z, y ) Z, dode X, y Y e {,}, etoces Z X Y d ( z, z ) d (, ) + d ( y, y ). Sea dos correspodecas copactas y ecotuas superores, Γ : P X y Ω : P Y. S defos la correspodeca Ψ Γ Ω : P X Y Z tal que Ψ( ) { z (, y) Z / Γ( ) y y Ω( ) }, etoces Ψ es ecotua superor. ( ) Deostracó: tal que Sea { } z l l + *, y { } {( z, y )} dode Ψ( ), etoces este z tal que l z ( ) ( * * ) *, y, y z, dado que ( ) Γ y Ω( ) * * * * so ecotuas superores Γ( ) e y Ω( ), * por tato ( * * ) * * * z, y Γ( ) Ω( ) Ψ( ).

28 Defcó de Puto fjo: U puto fjo de la fucó f : X Y dode X Y, es u puto 0 X Y 0 tal que ( 0 f ). U puto fjo de ua correspodeca Γ : X Y dode 0 X Y, es u puto X Y 0 tal que ( 0 Γ ). Ferado Perera-Tallo

29 Sea X u espaco étrco copleto. Defcó: ua fucó s < f : X X es ua cotraccó a tal que, y X d( f ( ), f ( y) ) < a d(, y). Proposcó: Ua cotraccó e u espaco étrco copleto tee u solo puto fjo. Ferado Perera-Tallo

30 Aplcacoes e ecooía: optzacó dáca. V V ( k ) 0 a + { k } t t t β 0 u ( c ) t s. a.: kt+ f ( kt ) + ( δ ) kt ct+ ( k) au( f ( k) + ( δ ) k k' ) + βv ( k' ) k ' t Se puede deostrar que la ateror ecuacó fucoal es ua cotraccó e el espaco étrco de fucoes cotuas y acotadas, por tato tee u puto fjo. Ferado Perera-Tallo

31 Teorea del puto fjo de Brower: Sea subcojuto o vacío, copacto y coveo de f X u R y : X X ua fucó cotua. Etoces f (.) tee u puto fjo. Ferado Perera-Tallo

32 Supuesto.: u ( ) es ua fucó cotua y crecete (e todos sus arguetos) e R +. Adeás es estrctaete crecete e todos sus arguetos y estrctaete cuascócava e R ++. Ferado Perera-Tallo

33 Supuesto.: f ( z ) es ua fucó cotua, crecete (e todos sus arguetos) y estrctaete cócava e R +, y f ( 0) 0. Adeás es estrctaete crecete e todos sus arguetos y estrctaete cuascócava e R ++. Adeás el vector de dotacoes de factores es estrctaete postvo e»0. La estrcta cocavdad plca que ay redetos decrecetes a escala (se ecluye los redetos costates escala). Ferado Perera-Tallo

34 Sea ( ~ y ( p, w), ~ z ( p, w) ) y ( p, w ) ~π respectvaete las fucoes restrgdas de oferta de bees, deada de factores y beefcos de la epresa j del sector. (Coo la fucó de produccó es estrctaete cócava, las ofertas de bees y deadas de factores so fucoes): ~ ( p, w) z ( p, w) ( y ) ~ π ( p, w), ~ a y, z s. a. z p f y ( z arg a wz ) e y y, z s. a. p f z y ( z wz ) e (E realdad depede de p, o del vector p). y Ferado Perera-Tallo

35 E realdad las fucoes restrgdas de oferta de bees, deada de factores y beefcos de la epresa j del sector depede del preco del be, p, o del vector p. ( ) H H H H e e e e e e e e...,,,,...,, es el vector de dotacoes de factores de la ecooía. Ferado Perera-Tallo

36 ~ ( p, w) es las fucó de deada restrgda del cosudor (coo las fucoes de utldad so estrctaete cuas cocavas, las deadas de bees so fucoes, o correspodecas): ~ ( p, w) Arg a s. a. u p ( ) we y a + j θ π ( p, w) dode: y a z a, z,..., z s.a.: J J j f e J j ( z z ) Ferado Perera-Tallo

37 Sea a {,..., A} el ídce de todos los agetes de la ecooía (cosudores y epresas), dode A H + agetes: a a ( ) s a H ( ) H + J ~ + s a H ~ > J es el úero de Sea a d : R las fucoes de deadas etas R restrgda de los agetes (cosudores y epresas): d d a H ( p, w) ( p, w) + ~ J~ + ~ (, e ) ~ ( p, w) 0,0,..., y ( p, w),...,0 z ( p, w) s a > H, ~ s a H

38 Sea b {,..., + } el ídce de todos los bees y factores de la ecooía (cosudores y epresas): b s b ( ) ( ) + k s b > + ( p w), R + es el vector de precos de bees y factores. { } + Defcó: R /. + + Co esta oralzacó para cada equlbro sólo ay u vector de precos de equlbro Ferado Perera-Tallo

39 Se defe el eceso de deada e u ercado coo la sua de las deadas etas e ese ercado: ( ) A a ( ) ed b d b a SW : es la fucó subastador Walrasao defda coo: SW b ( ) + a + a b + b { edb( ),0} { ed ( ),0} b. Note que la fucó subastador Walrasao es cotua y su age está e : S + b SW b ( ) b b b + b + a a { ed ( ),0} { ed ( ),0} b b

40 Segú el Teorea del puto fjo de Brower este u puto fjo de la fucó SW. Adeás coo las fucoes de utldad y produccó so estrctaete crecetes» 0. La Ley de Walras plca que los ecesos de deada so cero e todos los ercados. Coo las fucoes objetvo so estrctaete cócavas, y las ecesos deadas etas e el puto fjo so terores, las fucoes de eceso de deada restrgdas e el puto fjo cocde co las o restrgdas, por tato es u equlbro. Ferado Perera-Tallo

41 Teorea del puto fjo de Brower: Sea subcojuto copacto, coveo y o vacío de X u R y Γ : X X ua correspodeca ecotua superor, de valor coveo, copacto y o vacío. Etoces Γ (.) tee u puto fjo. Ferado Perera-Tallo

42 Supuesto.: f ( z ) es ua fucó cotua, crecete (e todos sus arguetos) y (o estrctaete) cócava e R, y f ( 0) 0. Adeás es estrctaete crecete e + todos sus arguetos y estrctaete cuascócava e R ++. Adeás el vector de dotacoes de factores es estrctaete postvo e»0. Coo la cocavdad o es estrcta puede aber redetos costates escala. Ferado Perera-Tallo

43 Supuesto.: u ( ) es ua fucó cotua y crecete (e todos sus arguetos) e R +. Adeás es estrctaete crecete e todos sus arguetos y (o estrctaete) cuascócava e R ++. Ferado Perera-Tallo

44 E realdad las fucoes restrgdas de oferta de bees, deada de factores y beefcos de la epresa j del sector depede del preco del be, p, o del vector p. ( ) H H H H e e e e e e e e...,,,,...,, es el vector de dotacoes de factores de la ecooía. Ferado Perera-Tallo

45 ( ) Sea ~ y ( p, w), ~ z ( p, w) y ( p, w ) ~π respectvaete las correspodecas restrgdas de oferta de bees, deada de factores y la fucó de beefcos de la epresa j del sector. (Coo la fucó de produccó o so estrctaete cócava, las ofertas de bees y deadas de factores puede ser correspodecas): ( ~ y ( p, w), ~ z ( p, w) ) ~ π ( p, w) a, z s. a. f z p y ( y ( p, w), ~ z ( p, w) ) y ( z arg a wz e ) y y, z s. a. p f z y ( z e wz ) y ~ es ecotua superor (Teorea del áo) y de valor coveo.

46 ~ ( p, w) es la correspodeca de deada restrgda del cosudor (coo las fucoes de utldad o so estrctaete cuas cocavas, las deadas de bees por parte de los cosudores puede ser correspodecas): ~ ( p, w) Arg a s. a. u p ( ) we y a + j θ π ( p, w) dode: y a z a, z,..., z J J j s.a.: e f J j ( z z ) ~ ( p, w) es ecotua superor (Teorea del áo) y de valor coveo.

47 { } Sea a,..., H + el ídce de todos los agetes de la ecooía J (cosudores y epresas): a a ( ) s a H ( ) H + J ~ + s a H ~ > Sea ed a : R las correspodecas de deada etas R+ restrgda de los agetes (cosudores y epresas): ed ed a H ( p, w) ( p, w) + ~ J~ + ~ (, e ) ~ s a H ( p, w) 0,0,..., y ( p, w),...,0 z ( p, w) s a > H, ~

48 Sea b {,..., + } el ídce de todos los bees y factores de la ecooía (cosudores y epresas): b s b ( ) ( ) + k s b > + ( p w), R + es el vector de precos de bees y factores. S + { [ a a d R / d ] b yb,yb s b, y db [ eb,eb ] [ a a, ]...[ a a y y y,y ] [ e,e] s b > { } + + R / + Ω S A dode A H + J es el úero de agetes. Ferado Perera-Tallo

49 Sea SW : Ω coo la correspodeca de valor úco (es decr la fucó) Subastador Walrasao que za el valor de los ecesos de deada: SW b ( A d,..., d, ) b + a + + a b a { } A a db,0 { a } A a d,0 Sea Γ : Ω Ω coo la correspodeca del producto cartesao de las correspodecas de deadas etas de todos los agetes y la correspodeca Subastador Walrasao Γ d d... d b A SW.

50 Segú el Teorea del puto fjo de Kakuta este u puto fjo de la correspodeca Γ. Adeás coo las fucoes de utldad y produccó so estrctaete crecetes» 0. La Ley de Walras plca que los ecesos de deada so cero e todos los ercados. Coo las fucoes objetvo so cócavas, y los ecesos de deada e el puto fjo so terores, las el puto fjo perteece a las deadas etas o restrgdas, por tato es u equlbro. Ferado Perera-Tallo