Unidad 10: LÍMITES DE FUNCIONES

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1 Uidad 1: LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Ua sucesió de úmeros reales es u cojuto ordeado de iiitos úmeros reales. Los úmeros reales a1, a,..., a,... se llama térmios, de la sucesió a térmio geeral. Se represeta por a. Más ormalmete, ua sucesió es ua ució : : a así, 1 a, a,... 1 Ituitivamete, decimos que el límite de ua sucesió es el úmero L si los térmios de dicha sucesió se va aproimado a, escribiremos Recuerda que el límite de ua sucesió, si eiste, es úico. Diremos que a es u puto de acumulació de D, escribiremos a D', cuado eista ua sucesió de putos de tal que a. D Siempre que eista u itervalo abierto de cetro a coteido e D se tedrá que a D'. Deiició: Sea : D ua ució, a D'. Diremos que el límite de cuado a es L, escribiremos L, sii para valores de cada vez más próimos a a (distitos de a), los valores de las imágees está cada vez más próimos a L. L L L L o o a L Límites laterales: El límite por la izquierda es el valor al que tiede la ució a a siedo meor que a. Se deota por: ó a a a El límite por la derecha es el valor al que tiede la ució a a siedo maor que a. Se deota por: ó a a a cuado la variable se aproima cuado la variable se aproima Esto da lugar a la siguiete caracterizació: Cipri Dpto. de Matemáticas 1

2 E cuo caso a a a, a a a a a Ejercicios: 1. Mediate tablas calcula: a) b) 1 1 c) d) 9. Teiedo e cueta la gráica de la ució, calcula los siguietes límites: a) b) c) 7. A partir de la gráica de laa ució, comprueba que :. Calcula se tg, teie edo e cueta su gráica 1 :. LÍMITES INFINITOS: ASÍNTOTAS VERTIC CALES 1 Estos dos límites so importates debes recordarlos. Límitess de Fucioes

3 Decir que sigiica que cuado tiede a a, co a, toma valores a maores que cualquier úmero real k. Aálogamete, decir que sigiica que cuado tiede a a, co a, toma a valores cada vez más pequeños. Llamamos asítotas de ua ució a las rectas que se aproima la ució e el iiito. La recta = a es ua asítota vertical de a a sii eiste alguo de los siguietes límites: a a a a a Observacioes: (1) Ua ució puede teer iiitas asítotas verticales. () E las ucioes racioales las asítotas verticales se halla e los valores que aula al deomiador. () La gráica de la ució o puede cortar a las asítotas verticales.. LÍMITES EN EL INFINITO: ASÍNTOTAS HORIZONTALES Decir que sigiica que cuado se hace ta grade como queramos, la ució toma valores mu próimos u úmero ijo b. De igual modo, b sigiica que se aproima a b cuado se hace cada vez más pequeño. b La recta = k es ua asítota horizotal de k ó k sii eiste alguo de los siguietes límites: Cipri Dpto. de Matemáticas

4 b b b b Observacioes: (1) Ua ució tiee como máimo dos asítotas horizotales. () La gráica de la ució puede cortar a las asítotas horizotales. () Para ucioes racioales: Si e ua ució racioal el grado del umerador es meor que el grado del deomiador la recta = (el eje OX) es ua asítota horizotal. Si e ua ució racioal el grado del umerador el del deomiador so iguales la recta b será ua asítota horizotal (b idica el cociete etre los coeicietes líderes del umerador del deomiador). Si e ua ució racioal el grado del umerador es ua uidad maor que el del deomiador la ució preseta ua asítota oblicua o ha asítotas horizotales. Si e ua ució racioal el grado del umerador es dos o más uidades maor que el del deomiador ha asítota horizotal.. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO: ASÍNTOTAS OBLICUAS Tambié puede suceder que, lo que sigiica que se hace iiitamete grades a la vez. Por tato: k para todo p, siedo k p úmeros arbitrariamete grades. La recta = m +, m, es ua asítota oblicua de sii eiste alguo de los siguietes límites: e cuo caso m m m m m Límites de Fucioes

5 Observacioes: (1) Ua ució puede teer como máimo dos asítotas oblicuas. () Si ua ució tiee asítota oblicua o tiee asítota horizotal recíprocamete. () La gráica de la ució puede cortar a las asítotas oblicuas e uo o varios putos. () Si e ua ució racioal el grado del umerador es dos o más uidades maor que el del deomiador, o ha asítota oblicua. 5. OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES 1) 5) k k a ) g g a a a ) g g a a a a a ) siempre que g a g g a g a g ) siempre que a a a log A log A siempre que a a a 6. REGLAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES Regla I: Para calcular el límite de ua ució, cuado a, basta co sustituir a e la ució si os da u úmero real, a está resuelto. Icoveiete!! Que o siempre vamos a obteer u úmero real. Regla II: Las ucioes poliómicas, cuado térmio de maor grado. Regla III: Límite de ua potecia de ua epoecial: si 1 si si Regla IV:, se comporta del mismo modo que su a... aa a 1 si 1 si 1 si Cipri Dpto. de Matemáticas 5

6 Regla V: Cuado al aplicar la regla I e el cálculo de límites el resultado obteido o tiee setido aparece las idetermiacioes que so epresioes como las siguietes: Idetermiacioes Tipo Idetermiacioes Tipo Idetermiacioes Tipo a... a a b b b m si m si m... m si L m m K Idetermiacioes Tipo RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES Cuado al calcular el límite de ua suma, u producto, u cociete o ua potecia de ucioes o se puede aplicar las propiedades de los límites, es decir, ha que hacer u estudio particular de cada caso, suele decirse que estos límites so ua idetermiació. k 1. INDETERMINACIÓN DEL TIPO CON k Se calcula los límites laterales:, a Si eiste ambos límites coicide su valor, etoces: Si o eiste alguo de los límites laterales o o coicide su valor, etoces, o eiste.. INDETERMINACIÓN DEL TIPO a) Para ucioes racioales Se descompoe umerador deomiador e actores se simpliica. a- a a a a Límites de Fucioes 6

7 b) Para ucioes irracioales Si se trata de ua ució co raíces cuadradas e el umerador (o e el deomiador), multiplicamos umerador deomiador por la epresió cojugada del umerador (o del deomiador).. INDETERMINACIÓN DEL TIPO Se divide umerador deomiador por la maor potecia de co dividir por la maor potecia de del deomiador). que aparezca e la ució (basta. INDETERMINACIÓN DEL TIPO a) La ució es dierecia de dos ucioes racioales Se eectúa dicha operació. b) La ució es dierecia de ucioes irracioales Multiplicamos dividimos por la epresió cojugada de la ució. 5. INDETERMINACIÓN DEL TIPO Trasormar esta idetermiació e ua de las ateriores, geeralmete eectuado las operacioes. 6. INDETERMINACIÓN DEL TIPO 1 Se resuelve empleado la siguiete igualdad: g g a e dode a sabemos que Ejercicios: 5. Estudia a qué tipo de idetermiació correspode los siguietes límites: 6 a) d) 1 b) e) 1 1 c) ) 1 k 6. (Idetermiació del tipo co k ). Calcula los siguietes límites: a) e) a k Recuerda que los tipos de idetermiacioes que se os va a presetar so: co,, 1,,, 1 1 e 1 k,, Cipri Dpto. de Matemáticas 7

8 1 b) 6 c) 5 5 d) 5 ) h) 1 1 g) 7. (Idetermiació del tipo ). Calcula los siguietes límites: 1 a) b) 5 ) 1 1 g) c) 6 h) 1 d) e) 5 i) 8. (Idetermiació del tipo ). Calcula el valor de los siguietes límites: a) b) c) d) 1 e) ) 1 g) h) (Idetermiació del tipo ). Calcula los siguietes límites: a) 5 5 b) e) 1 ) c) 1 1 d) g) 5 1 h) 9 1. (Idetermiació del tipo ). Calcula los siguietes límites: 5 1 a) e) 5 Límites de Fucioes 8

9 b) 8 c) 1 9 d) 1 ) 16 8 g) h) (Idetermiació del tipo 1 ). Calcula el valor de los siguietes límites : a) 5 d) 5 b) 1 7 e) 1 6 c) ) Calcula los siguietes límites: a 1 1 a) b) a a a d ) g ) 1 1 ) j 5 m) p) 1 s) e) 1 h 5 ) k) c) 5 ) i ) 1 a a 5 l) a 5 5 a 1 1 ) o) a a a q) t) Estudia las asítotas de las siguietes ucioes. a) e) 1 1 b) ) ) r 5 1 u) Recuerda que e 1, Cipri Dpto. de Matemáticas 9

10 Límites de Fucioes 1 c) 9 g) 5 d) h)