CIDEAD. 2º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. TEMA 4.- El campo magnético.

Transcripción

1 Desrrollo del tem 1 El cmpo mgnético fuerz que ctú un cmpo mgnético sobre un crg móvil 3 fuerz que ctú un cmpo mgnético sobre un líne de corriente rectilíne 4 Cmpo mgnético credo por un crg móvil y por un elemento de corriente 5 Cmpo credo por un líne rectilíne indefinid de corriente 6 El cmpo mgnético credo por un espir circulr 7 El cmpo credo por un solenoide 8 Acciones mutus entre conductores prlelos 9 ley de Ampère pr el cmpo mgnético 1

2 1 El cmpo mgnético os primeros ntecedentes de l existenci de experiencis en donde precí el cmpo mgnético, se remontn l Greci clásic donde conocín l existenci de un minerl nturl (mgnetit) que tení l propiedd de trer lguns sustncis metálics Estos imnes son los imnes nturles En otrs ocsiones se podín inducir imnes medinte el frotmiento de leciones férrics, son los imnes rtificiles Un imán posee dos polos, norte y sur, que se denominn los polos de un imán Se les signó este nombre por su equivlenci con l brújul (guj imnd), que señl el norte y el sur del globo terráqueo os polos norte o sur de un imán se repelen entre si, en tnto que el polo norte se trerá con el polo sur de otro imán En el ño 1819, Oersted, logró mover un guj imnd cundo l colocó prlel un líne de corriente, esto probó l existenci de un intercción de los cmpos mgnéticos y eléctricos, por lo que se debe de hblr de ls intercciones electromgnétics Un imán o un crg eléctric en movimiento, originrá un perturbción en el espcio circundnte crendo un cmpo de fuerzs, el cmpo mgnético El cmpo mgnético se represent medinte uns línes de inducción No existen mnntiles ni sumideros seprdos y sus línes son cerrds B (inducción mgnétic) Su divergenci es igul cero B = 0 s línes de fuerz rotn, slen del polo norte (N) y cbn el el polo sur(s), x B = μ J, siendo μ, l permitividd mgnétic del medio y J l densidd de corriente I = J S fuerz que ctú un cmpo mgnético sobre un crg móvil orentz relizó un serie de experiencis en relción l comportmiento de un crg eléctric en un cmpo mgnético s observciones se resumen en los siguientes postuldos: 1 Si l crg se mueve en l dirección del cmpo, no se ejerce ningun fuerz sobre ell Si se mueve en culquier otr dirección, se ejercerí l fuerz de orentz, cuy dirección

3 es perpendiculr l plno formdo por ls direcciones formds por los vectores inducción mgnétic y l velocidd 3 El módulo de est fuerz depende del vlor de l crg que se mueve, del vlor de l inducción mgnétic, de l velocidd y del seno del ngulo que formn los vectores inducción y velocidd F = q ( v x B ) ; el módulo de l velocidd, F = q v B sen φ B, inducción mgnétic se mide en Tesls (T), definiendo l Tesl como l inducción mgnétic, tl que l crg de 1 C, desplzándose l velocidd de 1 m/s, experiment un fuerz de 1 N unidd en el sistem CGS es el Guss ; 1 T = 10 4 Gs Se define como flujo mgnético l número de línes de inducción mgnétic que trviesn un superficie imginri, situd en el interior de un cmpo mgnético: Φ = B d S = B cos φ ds ; el flujo se mide en Weber = T m Cundo un unidd de crg se mueve en un tryectori prependiculr un cmpo mgnético, l fuerz mgnétic será: B F = q v B sen φ ; como φ = 90º ; F = q v Pr equilibrr l fuerz centrípet, precerá un fuerz centrífug F = m v ; igulndo ls dos fuerzs: v q v B = m ; = mv q B Según esto, ls prtículs de myor momento linel describen tryectoris de myor rdio os rdios de ls tryectoris son inversmente proporcionl l inducción mgnétic y l crg 3

4 3 fuerz que ctú un cmpo mgnético sobre un líne de corriente rectilíne En un conductor eléctrico por donde circul un corriente eléctric I, colocdo en el interior de un cmpo mgnético de inducción B, si (longitud del conductor) se encuentr dentro del cmpo y los electrones que circuln por el lo hcen un velocidd medi v, l crg será : q = I t = I v F = q v B sen φ = I B sen φ ; F = I ( x B ) fuerz que ejerce un cmpo mgnético sobre un conductor rectilíneo depende de l intensidd de corriente, de l longitud del conductor dentro del cmpo y de l inducción mgnétices l primer ley de plce Si l líne conductor es cerrd y formmos un espir cudrd, colocd perpendiculrmente dentro de un cmpo mgnético uniforme, se conseguirá un movimiento de rotción uniforme, producido por un pr de fuerzs, lrededor de un eje perpendiculr ls línes de cmpo y que pse por el centro de los ldos prlelos que formn ls bses, y por el centro de l espir M = F = I b B sen φ ; M = I ( S x B ) F = - F y por lo tnto se nuln 4

5 4 Cmpo mgnético credo por un crg móvil y por un elemento de corriente Todo movimiento de crg eléctric origin un cmpo mgnético El cmpo mgnético credo por un crg puntul depende de: Del vlor de l crg (dq) que se mueve De l velocidd (v) Del sen φ que form con el cmpo mgnético De l distnci l punto l cudrdo d B = K dqv sen r (1) Siendo K = 4 y μ o l permitividd mgnétic del vcío El vector cmpo mgnético será d B = K dq v x r r 3 Cundo el cmpo lo cre un líne de corriente de intensidd I, intensidd medi de ls crgs: I = d q d t ; v = d l d t d q = I dt = I d l v Sustituyendo en l ecución (1) se obtendrá : d B = K en el vcío : I dl sen r y como form vectoril d B = 4 I dl x r r 3 5

6 5 Cmpo credo por un líne rectilíne indefinid de corriente Si considermos l líne de corriente como l sum de infinitos infinitesimles de corriente I en un mism dirección y sentido, l inducción mgnétic será : B = db, tomndo l expresión d B = K I dl sen r y considerndo l representción geométric del mrgen se obtiene: tg φ = l ; sen φ = r ; r = sen l = tg Con ests trnsformciones mtemátics, dl = - sen d φ d B = - 4 I sen d Pr clculr el vlor de l inducción mgnétic, es necesrio integrr l expresión nterior: π B= ( μ 0 0 4π Isen ϕ d ϕ π/ )= ( μ 0 0 4π I sen ϕd ϕ ) B= μ o 4 π I [cosϕ] π/ 0 = 4 I Por lo tnto : B = I que represent l ley de Biot y Svrt El enuncido es el siguiente: El vlor del cmpo mgnético credo por un corriente rectilíne e indefinid en un determindo punto, es directmente proporcionl l intensidd de corriente e inversmente proporcionl l distnci existente entre el punto y el conductor Dicho cmpo se ve influencido de un form direct por l permitividd mgnétic del medio 6

7 dirección del cmpo mgnético será tngente l circunferenci qe teniendo como centro el conductor, pse por el punto de referenci s lines de inducción serán por lo tnto línes circulres concéntrics y su sentido de recorrido vendrá determindo por el vnce del sccorchos colocdo en l dirección del conductor y vnce con l intensidd de corriente 6 El cmpo mgnético credo por un espir circulr Pr determinr el cmpo credo por un espir circulr, se debe de considerr l corriente como l sum de infinits corrientes infinitesimles y por lo tnto, ls línes el cmpo tendrá un sentido tl que slen por quell cr cuy intensidd es recorrid en sentido contrrio de ls gujs del reloj y entrn cundo se ve circulr l corriente en el mismo sentido que ésts, originndo un polo norte o polo sur de un imán Pr clculr l inducción mgnétic en un punto del eje de un espir, se recurre l expresión: d B = K I dl sen r ; donde sen φ = 1 d B = 4 Idl r Desde el punto de vist vectoril, el vector inducción mgnétic se descompone en dos componentes, un perpendiculr l eje de l espir, que se nul por simetrí y l otr componente en l dirección del eje de l espir: d B = d B sen β = 4 Idl r sen β como sen β = r, d B = 4 Idl r 3 Integrndo se obtiene B = 0 π 4 Idl r 3 = = 4 I r 3 π dl= μ 0 0 4π I π r 3 B = I r 3 7

8 Teniendo en cuent, por el teorem de Pitágors que : r = d y que = r sen β ; B = I sen 3 β En el centro O de l espir (β = 90º), el cmpo será : B = I 7 El cmpo credo por un solenoide Un solenoide está formdo por un conjunto de espirs equidistntes y prlels por donde circul un corriente eléctric Cundo el eje del solenoide es circulr, se denomin toroide Si un solenoide posee un longitud y posee N espirs, con un intensidd circulnte I, el cmpo mgnético será : d B = I sen 3 β dn ; dn = N dx, por lo que : d B = I sen 3 β N dx De l figur nterior se obtiene sen β = r y tg β = x ; dx = - senβ dβ y = r sen β Sustituyendo se obtiene : d B = - NI sen β d β 8

9 Pr clculr B será necesrio integrr desde 0 hst π : π B= ( μo 0 ) N I senβd β= μ 0 N I 0 NI sen β d β = π/ senβ d β= μ 0 N I [cosβ] (π/ ) 0 = μ N I 0 NI Como solmente se h considerdo l integrl de l mitd del solenoide, B = μ 0 NI En el cso que fuese un toroide = π, siendo el rdio de l circunferenci medi del toroide 8 Acciones mutus entre conductores prlelos Cundo por dos conductores prlelos, situdos un distnci d, circuln dos corrientes eléctrics (I 1 e I ) precerán entre ellos un serie de fuerzs, originds por los cmpos mgnéticos credos, de tl form que si ls dos corrientes son del mismo sentido, l fuerz net será repulsiv, mientrs que si ls dos corrientes son de signo contrrio, l fuerz net será trctiv Pr clculr el vlor de est fuerz, hy que considerr que el cmpo lo puede crer tnto un conductor como el otro: B 1 = I 1 d y B = I d fuerz ejercid F 1 = I B 1 ; F 1 = I 1 B F 1 = F 1 = I 1 I d fuerz por unidd de longitud f = F = 9

10 = I 1 I d Est fórmul nos permite definir l unidd de intensidd de corriente eléctric, sbiendo que dich mgnitud se consider fundmentl dentro del SI Pr ello suponemos que I 1 = I = 1 A y que los dos conductores se encuentrn l distnci de 1 m Según esto l fórmul será : F = I 1 I d = 10-7 ( N/A ) 1 A1 A 1m 1 m = 10-7 N definición de mperio serí como l intensidd de corriente que llevn dos conductores, prlelos indefinidos que circuln en sentidos opuestos y que colocdos l distnci de 1 m, son trídos con un fuerz de 10-7 N 9 ley de Ampère pr el cmpo mgnético Si considermos un conductor rectilíneo e indefinido, por donde circul un corriente I, el cmpo mgnético situdo un distnci r será : B = I r Vmos clculr l circulción de B lo lrgo de l líne de fuerz circulr: B dl = B dl = B dl = I π r = μ r 0 I ley de Ampère estblece que l circulción del cmpo mgnético (B) lo lrgo de un líne cerrd es igul l permitividd mgnétic del medio multiplicdo por l sum de intensiddes que psen por su interior: B dl = μ 0 Σ I i 10

11 Problems propuestos del cmpo mgnético 1 Problem- Un crg positiv de 5 μ C se mueve con un velocidd de v = 5 i 5 k con uniddes del SI, en el interior del cmpo mgnético uniforme de inducción B = i + j k (SI) Deducir l fuerz que ctú sobre dich crg y cuál es su vlor Problem- Un protón con un energí cinétic de 1 MeV se mueve perpendiculrmente un cmpo mgnético de inducción T Clculr: fuerz que ctú sobre el protón b El rdio de l tryectori circulr que describe 3 Problem-Clculr l inducción mgnétic en el interior de un solenoide de 016 m de longitud formdo por 640 espirs, que tiene un resistenci de 6 Ω, cundo se plic entre sus bornes un diferenci de potencil de 10 V 4 Problem -Por dos conductores prlelos rectilíneos de 8 m de longitud situdos cm de distnci, circuln corrientes en el mismo sentido de A cd uno Clculr l fuerz con l que se repelen mutumente 5 Problem- Un electrón prte del reposo y es celerdo por un diferenci ce potencil de 100 V Si con l velocidd que dquiere penetr en un cmpo mgnético de T perpendiculr l dirección del cmpo, cuál será el rdio de l órbit que describe? 6 Problem- Un lmbre metálico de 01 g de ms, puede deslizr sin rozmiento sobre dos ríles prlelos,seprdos entre si 10 cm y que formn un ángulo de 35º con l horizontl Un corriente de intensidd I ps de un ríl l lmbre y regres por el otro ríl Si el conjunto sí formdo se encuentr dentro de un cmpo mgnético y scendente de T de inducción, clculr el vlor de l intensidd de corriente necesri pr que el lmbre se encuentre en equilibrio 7 Problem- A trvés de un bobin que const de 500 espirs y tiene un rdio de 5 cm circul un corriente de A Clculr l inducción mgnétic en un punto del eje de l bobin que dist de su centro : ) 0 cm ;b) 5 cm; c) 10 cm 8 Problem- Dos hilos conductores, prlelos, rectilíneos e infinitmente lrgos, de 0 g/m de densidd linel, circul l mism intensidd de corriente, en el mismo sentido, están suspendidos de un eje común medinte dos cuerds inextensibles de peso desprecible y de 5 cm de longitud, que formn con l verticl un ángulo de 30 º Clculr l corriente que llevn mbos conductores 11

12 esolución de los problems- Problem 1- Dtos - q = 5 μ C // v=5 i 5 k m/ s // B= i j k (Wb/m ) Clculr l fuerz F esolución - F=q v x B El producto vectoril se resuelve de l siguiente mner: i j k F= [ 5 0 5] = i 10 k = i k (N) 1 1 El vlor del módulo de l fuerz será : F = = N Problem - Dtos q( p) = C // m (p) = 1, Kg// E C = 1 MeV= J Se mueve en dirección perpendiculr un cmpo B = T Clculr l Fuerz que interccion con l crg y el rdio de l órbit esolución- E C = 1 m v ;; v= E C m = = 1, (m/s) F = q v B sen φ = q v B = 1, , = 4, N F e = F C = m v :: = m v F C = 1, , ,410 1 = 7,19 cm Problem 3- Dtos - Solenoide, N = 640 espirs// = 0,16 m // = 6 Ω // V = 10 V esolución- B d l = μ 0 N I ;; I V =0 A 1

13 B = 0 NI l = =0,10 T 0,16 Problem 4- Dtos - Dos conductores prlelos y rectilíneos = 8 m // d (entre ellos) = cm = 0,0 m I 1 = I = A ; circuln en el mismo sentido Clculr l F de repulsión Esquem - F B B esolución - B dl = μ I 1 = B π d I 1 I B = I 1 d = ,0 = 10-5 T Problem 5- F= I l x B = = 3, 10-4 N Dtos - Electrón con crg q = - 1, C // prte del reposo // celerdo por un cmpo eléctrico cuyo potencil es de V = 100 V // en un cmpo mgnético de B = T Clculr el rdio de l tryectori // m e = 0, Kg esolución - W = V q = = 3, J 1 m v ;; m v = V q = 1, = v = 3, , = 5, m/s = 84 cm F C = m v = q v B ;; = mv qv B = 3, = 0,084 m = 1, ,

14 Problem 6- Dtos - m = 0,1 g // seprción entre los ríles, d = 10 cm = 0,1 m // α = 35º B = T Clculr I pr que el sistem se encuentre en equilibrio esolución F m I B F= I l x B Eje y N F m P Eje x Pr que el sistem se encuentre en equilibrio, Σ F = 0 ;; Σ F x = 0 ;; Σ F y = 0 ;; Σ F x = P sen α F m cos α = 0 F m = P sen cos =m gtg = ,8tg 35 =6, N I = F m 6, = = 1,37 A l B Problem 7- Dtos- Bobin N = 500 espirs // = 5 cm //, clculr B 0 cm ;; B 5 cm ;; B 10 cm esolución- r B = 0 I sen3 N d Ángulo Φ 14

15 B = 0 I N d 3 Considermos los siguientes csos: d = 0 B = b d = 5 cm B = = 001 T = T = 0, T c d = 10 cm B = Problem 8- Dtos - densidd del cble, ρ = 0 (g/m) // = 5 cm = 005 m // φ = 30º Clculr el vlor de l intensidd pr que el sistem se encuentre en equilibrio esolución- Φ = 30º tg φ = tg 30 = 0,5773 = F m F m mg = F m l g = l F m F m = 0 I d l = l ,8 0,5773 F g d d = 0,05 sen φ = 0,05 m I = 0, ,8 0,05 0 = 168 A 15