CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO Introducción

Transcripción

1 CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO 7.. Itroducció Geeralmete, las poblacioes tiee tamaños que hace que estudiarla e su totalidad sea poco práctico desde diversos putos de vista; costo, tiempo, tipo de ivestigació, etc.. Es ecesario por tato, cosiderar la selecció de ua muestra represetativa de dicha població y cuyo tamaño sea más maejable. Si se hace uso de toda la iformació, se dice que se ha hecho ua ivestigació exhaustiva o total. La alterativa a esta es la ivestigació parcial. La misma cosiste e realizar el aálisis e base a la iformació correspodiete a u subcojuto de los elemetos o idividuos, ua muestra, de forma tal que a u costo y esfuerzo razoable se logre obteer coclusioes ta validas como las que se obtedría realizado ua ivestigació exhaustiva o total, u ceso. Cosidérese los siguietes ejemplos:. Para coocer la ota promedio de los estudiates de la Uiversidad de Los Ades Núcleo Mérida, se debe ir a las oficias de registros estudiatiles de todas las facultades y solicitar allí las otas de los estudiates, dicha tarea o es fácil por distitas razoes, etre las cuales podemos mecioar la cofidecialidad de la iformació. Por tal razó, a través de ua ecuesta a cierto úmero de estudiates puede determiarse la ota promedio de dicho grupo, y a partir de ese resultado dar ua coclusió sobre la població. 2. Si se quisiera coocer el sueldo promedio del veezolao, sería difícil teer acceso al sueldo de todos los veezolaos, al igual que e el caso aterior sólo se podría obteer dicha iformació de ua parte de los veezolaos. 3. Para determiar el ivel de aceptació o rechazo que tiee u cadidato a goberador, o es ecesario realizar el sodeo de opiió sobre todos los habitates del Estado, aú queriedo 59

2 60 CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO recoger dicha opiió sería muy costosa. Es por ello que las empresas ecuestadoras realiza el sodeo sobre ua parte de la població y a partir de ella iterpreta como está el cadidato e dicho Estado. De esta forma, la teoría del muestreo es de gra importacia e estadística, pues permite etre otras cosas, desarrollar: procesos de estimació de características de la població, verificació de afirmacioes o cojeturas pruebas de hipótesis que se hace acerca del verdadero valor de u parámetro, determiar la sigificació estadística de diferecias que se pueda observar etre poblacioes e idetificar relacioes etre variables. Dada la aturaleza aleatoria de los datos obteidos e la muestra, hay u riesgo e la certeza de la afirmació propuesta, y es ecesario establecer ua medida y determiar el valor de este riesgo. E este capitulo se da ua itroducció sobre las técicas de muestreo y se defie la distribució muestral de los pricipales parámetros de ua població Muestreo y tipos muestreo Cuado se habla de ivestigació, se hace referecia al aálisis de características de iterés e ua població. Este aálisis puede hacerse e base a todos los datos o e base a ua parte de estos. Como se dijo ates, por lo geeral o es posible cotar co todos los datos, e su lugar es ecesario llevar a cabo ua ivestigació parcial, ua ivestigació por muestreo, la cual cosiste e hacer el aálisis e base a ua parte o porció del cojuto total de datos. Esta porció recibe el ombre de Muestra. La exactitud de la ivestigació depede e gra parte de la forma e que la muestra es escogida. La misma debe ser seleccioada de forma tal que sea lo más represetativa posible del total y así el riesgo de obteer resultados erróeos sea el míimo. De aquí que la selecció de muestras es u aspecto de crucial importacia e Estadística. Ahora bie, cuado se seleccioa ua muestra se debe tomar e cueta las siguietes cosideracioes: Elegir el tamaño de la muestra, lo cual depede o solamete de la catidad de iformació que se quiere coseguir, y el grado de certeza deseada, sio tambié del costo del muestreo y la selecció de los elemetos que la costituye. Cualquiera sea el método elegido, el requisito más importate es que la muestra obteida proporcioe ua image ta real como sea posible de aquella població que sé ha sometido al muestreo. Defiició 7. Muestreo Proceso de medició de la iformació e solo ua parte de la població estadística. Se defie como el proceso de seleccioar u úmero de observacioes sujetos de u grupo e particular de la població métodos para seleccioar muestras, que se utiliza cuado o es posible cotar o medir todos los elemetos de la població objeto de estudio. Es práctica comú seleccioar ua muestra e forma itecioal, de acuerdo a opiioes o criterios persoales. Ua de las pricipales razoes que da orige a esta forma de selecció es el de obteer iformació si mucho costo. A este tipodemuestreoseledeomiamuestreo o Probabilístico.

3 7.2. MUESTREO Y TIPOS MUESTREO 6 El mismo, o ivolucra igú elemeto aleatorio e el procedimieto de selecció. Es importate acotar que e codicioes apropiadas estos métodos puede ofrecer resultados útiles, por ejemplo, cuado solo se ecesita estimacioes toscas las cuales o va a ser utilizadas para tomar decisioes importates. So ejemplos de muestreos o probabilísticos:. La muestra es restrigida a la parte de la població que es fácilmete accesible. 2. La muestra cosiste de los elemetos que esté más a la mao 3. Se seleccioa u grupo de uidades tipo. 4. La muestra esta compuesta por volutarios. Al utilizar métodos o probabilísticos, o todos los miembros de la població tiee probabilidad de ser seleccioados, lo que se traduce e la obteció de ua muestra o represetativa de la població. La alterativa ideal es el uso del Muestreo Probabilístico. Este procedimieto da a cada elemeto de la població ua probabilidad de ser seleccioada. De esta forma, existe la posibilidad de que la muestra sea represetativa de la població. Existe métodos de muestreo que se cosidera básicos y que da orige a otros métodos más complejos. Estos so:. Muestreo Aleatorio Simple. 2. Muestreo Estratificado Aleatorio Simple. 3. Muestreo Sistemático Aleatorio. 4. Muestreo por Coglomerados. 5. Muestreo Polietápico. Defiició 7.2 Muestreo Aleatorio Simple Deomiado tambié irrestricto aleatorio, es aquel e el que todas las muestras de tamaño, tiee la misma probabilidad de ser seleccioadas yelmétodo de selecció debe verificar que e cualquier fase de la obteció de la muestra cada idividuo que o ha sido sacado previamete, tiee la misma probabilidad de ser elegido. Existe dos formas de extraer ua muestra de ua població: co reposició y si reposició.. Muestreo si reposició. Cuado u elemeto ha sido seleccioado y éste o es reemplazadodevuelto a la població, evitado así que la misma uidad etre e la muestra más de ua vez, se dice que el muestreo es co reemplazo.

4 62 CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO 2. Muestreo co reposició. Cuado u elemeto ha sido seleccioado y éste es reemplazadodevuelto a la població, permitiedo así que la misma uidad etre e la muestra más de ua vez, se dice que el muestreo es si reemplazo. Este tipo de muestreo, es totalmete factible pero, rara vez es usado. Su uso se da básicamete co fies teóricos. Defiició 7.3 Muestreo Estratificado Aleatorio Simple La població se divide e estratos sub-poblacioes: luego se toma ua muestra aleatoria simple de cada estrato. Los estratos debe ser mutuamete excluyetes y exhaustivos. Los estratos debe ser iteramete homogéeos. Defiició 7.4 Muestreo Sistemático Aleatorio Los elemetos de la muestra so seleccioados a itervalos fijos. Se reparte más uiformemete e la població. Es más preciso que el muestreo aleatorio simple. Defiició 7.5 Muestreo por Coglomerados La població se divide e grupos y luego se elige aleatoriamete ua muestra de coglomerados. Los coglomerados so grupos de elemetos cercaos desde algú puto de vista Admiistrativa o físicamete. Defiició 7.6 Muestreo Polietápico Diseño muestral que costa de varias etapas e las cuales se usa u diseño simple diseños que comprede ua sola etapa de clasificació, por ejemplo; muestreo aleatorio simple, etc Métodos para seleccioar ua muestra aleatoria. Al seleccioar ua muestra aleatoria se debe tomar e cueta si la extracció se va a realizar co reemplazo o si reemplazo. Como se dijo ates, e el primer caso, ua vez extraído el elemeto de la població este puede ser devuelto a la misma, e el segudo caso esto o es posible. Por otro lado, dada ua lista de los miembros de la població umerados del al N, la extracció de los elemetos que coforma la muestra se puede realizar de varias maeras etre las cuales podemos mecioar: Método del bigo, Tabla de Números aleatorios y geeració de úmeros pseudoaletorios.. Método del bigo. Cosiste e etiquetar N papeles, bolas o cualquier otro objeto del al N e itroducirlas e ua ura o bolsa y agitarla hasta que quede bie mezcladas, luego extraer ua a la vez hasta que hayamos seleccioado artículos dode es el tamaño deseado de la muestra. Los miembros de la població que correspoda a los úmeros de los artículos extraídos se icluidos e la muestra, y las características de estas uidades se mide u observa. Si la població es bastate grade, este método mecáico de selecció aleatoria puede ser difícil o prácticamete imposible de implemetar. Esto os lleva a la cosideració de la tabla de úmeros aleatorios.

5 7.2. MUESTREO Y TIPOS MUESTREO Geeració de úmeros pseudoaletorios. Existe métodos más eficaces para geerar úmeros aleatorios, e muchos de los cuales se utiliza calculadoras o computadoras. La mayoría de los paquetes estadísticos geera umeros pseudoaleatorios y e excel usado la fució aleatorio se puede geerar dichos úmeros. 3. Tabla de Números aleatorios. Las Tablas de Números Aleatorios cotiee los dígitos 0,, 2,..., 7, 8, 9. Tales dígitos se puede leer idividualmete o e grupos y e cualquier orde, e columas hacia abajo, columas hacia arriba, e fila, diagoalmete, etc., y es posible cosiderarlos como aleatorios. Las tablas se caracteriza por dos cosas que las hace particularmete útiles para el muestreo al azar. Ua característica es que los dígitos está ordeados de tal maera que la probabilidad de que aparezca cualquiera e u puto dado de ua secuecia es igual a la probabilidad de que ocurra cualquier otro. La otra es que las combiacioes de dígitos tiee la misma probabilidad de ocurrir que las otras combiacioes de u úmero igual de dígitos. Estas dos codicioes satisface los requisitos ecesarios para el muestreo aleatorio, establecidos ateriormete. La primera codició sigifica que e ua secuecia de úmeros, la probabilidad de que aparezca cualquier dígito e cualquier puto de la secuecia es /0. La seguda codició sigifica que todas las combiacioes de dos dígitos so igualmete probables, del mismo modo que todas las combiacioes de tres dígitos, yasí sucesivamete. Para utilizar ua Tabla de Números Aleatorios: a Hacer ua lista de los elemetos de la població. b Numerar cosecutivamete los elemetos de la lista, empezado co el cero 0, 00, 000, etc.. c Tomar los úmeros de ua Tabla de Números Aleatorios, de maera que la catidad de dígitos de cada uo sea igual a la del último elemeto umerado de su lista. De ese modo, si el último úmero fue 8, 56 ó 72, se deberá tomar u dígito de dos úmeros. d Omitir cualquier dígito que o correspoda co los úmeros de la lista o que repita cifras seleccioadas ateriormete de la tabla. Cotiuar hasta obteer el úmero de observacioes deseado. e Utilizar dichos úmeros aleatorios para idetificar los elemetos de la lista que se habrá de icluir e la muestra. La tabla siguiete represeta u fragmeto de ua tabla de úmeros aleatorios.

6 64 CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO Tabla de Numeros Aleatorios Para ilustrar el uso de la tabla de úmeros aleatorios se dará el siguiete ejemplo: Ejemplo 7. supoga que teemos 40 latas de refrescos, y que deseamos tomar ua muestra de tamaño = 4 para estudiar su codició. Nuestro primer paso es umerar las latas de a 40 o apilarlas e algú orde de tal forma que pueda ser idetificadas. E la tabla de úmeros aleatorios, los dígitos debe escogerse de a dos a la vez porque la població de tamaño N =40 es u úmero de dos dígitos. Luego se seleccioa arbitrariamete ua fila y ua columa de la tabla. Supoga que la selecció es fila 6, y la columa 4. Leemos los pares de dígitos apartirdelacoluma4ymoviédoos hacia la derecha, igorado los úmeros mayores que 40 y tambié cualquier úmero repetido cuado aparezca ua seguda vez. Se cotiúa

7 7.2. MUESTREO Y TIPOS MUESTREO 65 leyedo pares de dígitos hasta que cuatro uidades diferetes haya sido seleccioadas, es decir lo umeros 05, 20, 08 y 7. Por lo tato, las latas co la etiqueta correspodiete a dichos umeros costituye la muestra. Ahora bie, si se tiee ua població de tamaño N y de la ella se toma ua muestra de tamaño, obteiédose los siguietes resultados: x,...,x, es claro que estos resultados so alguos de los valores que puede obteerse cada vez que se toma ua muestra de tamaño. Por tato, se puede represetar mediate variables aleatorias: X,...,X. A este cojuto de variables aleatorias se le deomia muestra aleatoria. Defiició 7.7 Muestra aleatoria A las variables aleatorias X,...,X se les llama muestra aleatoria si las mismas costituye u cojuto de variables aleatorias idepedietes y proviee de la misma població, es decir, tiee la misma fució de probabilidad idéticamete distribuidas. Toda població está caracterizada por uos valores, deomiados parámetros. estos valores poblacioales so e geeral, descoocidos. Para obteer ua estimació de los mismos, uo de los procedimietos es la estimació putual, el cual cosiste e usar fucioes de la muestra seleccioada, deomiadas estadísticos, para aproximar al parámetro. Ese estadístico recibe el ombre de estimador putual. Si embargo, o todo estadístico puede ser usado para estimar los parámetros de ua població. Esto es, o todo estadístico es u estimador. Adicioalmete, puede existir varios estimadores para u mismo parámetro, de los cuales se escoge el mejor. Defiició 7.8 Estimador Putual Fució de la muestra aleatoria estadístico utilizada para aproximar el parámetro. Estadístico que cumple co ciertas propiedades que lo califica como fució apropiada para estimar el parámetro. Defiició 7.9 Error muestral o error de muestreo Es el error que se comete debido al hecho dar coclusioes sobre cierta realidad, a partir de la observació de sólo ua parte de ella. Es decir, es la diferecia etre el parámetro de la població y el estadístico de la muestra utilizado para estimar el parámetro. Defiició 7.0 Distribució muestral Es la distribució de probabilidad de u estadístico obteida como resultado de la selecció de u úmero ifiito de muestras aleatorias idepedietes, cada ua de tamaño proveietes de la població de iterés.

8 66 CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO 7.3. Distribució muestral de la media muestral Defiició 7. Media muestral Sea X,...,X ua muestra aleatoria de tamaño de ua població co fució de desidad f X x co media μ yvariazaσ 2. La media muestral represetada por μ, es μ = es decir, la media aritmética de los elemetos de la muestra, μ = X. i= Defiició 7.2 Esperaza matemática delamediamuestral Sea x la media de ua muestra aleatoria de tamaño de ua població co fució de desidad f X x co media μ y variaza σ 2.Etoces Ex =μ 7.2 Defiició 7.3 Desviació estádar de la media muestral Sea X la media de ua muestra aleatoria de tamaño de ua població co fució de desidad f X x co media μ yvariaza σ 2.Etoces σ, para poblacioes ifiitas; DEx =σ x = σ N N, para poblacioes fiitas. N N Al factor cosiderarse siempre y cuado N 0,05. X i 7. se le cooce como factor de correcció para poblacioes fiitas y debe Ejemplo 7.2 Sea el cojuto de valores {2, 3, 5, 7, 8}. Si se seleccioa muestras aleatorias de tamaño 2, obteer la distribució muestral de la media muestral. E la tabla 7. se muestra las 0 posibles muestras aleatorias diferetes asociadas co estos datos. La media poblacioal es μ =5y la desviació estádar poblacioal es σ =2,28. Obsérvese que e la tabla 7. hay 8 muestras aleatorias cuya media es diferete de μ. A esa diferecia etre el valor muestral y el valor del parámetro se le deomia error muestral. Por supuesto que e la práctica su valor uca se puede calcular, pues el valor del parámetro se descooce. Como se describió e el capitulo 5, la distribució de probabilidades de ua variable aleatoria es el cojuto de posibles valores de la misma y sus probabilidades. De esta forma, la distribució muestral de la variable media muestral, es el cojuto de valores que toma dicha variable y sus probabilidades, respectivamete. E la tabla 7.2 se muestra la distribució de probabilidad de la media muestral para el ejemplo 7.2

9 7.3. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA MUESTRAL 67 Tabla 7.: Todas las muestras posibles para los datos del ejemplo 7.2 Muestra N o Observacioes Media 2y3 2,5 2 2y5 3,5 3 2y7 4,5 4 2y y y y8 5,5 8 5y y8 6,5 0 7y8 7,5 Tabla 7.2: Distribució muestral de X para el ejemplo 7.2 x i P X = x i 2,5 0 3, , , ,5 0 7,5 0 Ahora bie, costruir la distribució muestral de la media muestral requiere del coocimieto de todas y cada ua de las posibles muestras que se puede extraer de la població. Esto puede resultar poco práctico o imposible de realizar. Por tato, para la determiació de la forma de la distribució de X se debe examiar otras alterativas. Dos casos se puede evaluar: la població tiee distribució ormal y 2 la població o tiee distribució ormal. E el primer caso, si importar el tamaño de muestra, la distribució de la media muestral es ormal. Como se vio e el capitulo 6; cualquier combiació lieal de variables aleatorias idepedietes y co distribució ormal, tambié sigue ua distribució ormal. E el caso 2, si el tamaño de muestra es lo suficietemete grade, el Teorema de Límite Cetral ayuda a determiar la distribució de la media muestral. Teorema 7. Sea X,...,X, ua muestra aleatoria cosistete de variables aleatorias idepedietes ormalmete distribuidas co media Exi = μ yvariazavarxi = σ 2, i =

10 68 CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO,...,. Etoces la distribució de la media muestral X, es ormal co media μ yvariaza σ2 Ahora bie, si σ 2 es coocida, la variable aleatoria Z = X μ σ 7.3 sigue ua distribució ormal co media 0 y variaza. Si σ 2 es descoocida, dos situacioes puede presetarse de acuerdo al tamaño muestral,. Si 30, σ 2 se aproxima por S 2,lavariaza muestral, y el resultado mostrado e la ecuació 7.6 es valido. E caso cotrario, es decir, si <30, etoces t = X μ S 7.4 sigue ua distribució t-studet co grados de libertad. Ejemplo 7.3 U fabricate especifica que la resistecia X de sus bolsas tiee distribució ormal co media 64 litros y desviació estádar 4 litros. Calcule la probabilidad que ua muestra aleatoria de 9 bolsas tega ua resistecia media meor a 60 litros. X N64, 6, por teorema 7. se tiee que X N64, 2. Dado que σ 2 es coocida, se cumple que Z = X μ σ sigue ua distribució ormal estádar. Luego, P X 60 = P Z X μ σ = P Z = P Z 2 = 0, Ejemplo 7.4 Supógase que e el ejemplo 7.3 la variaza poblacioal es descoocida. Calcule la probabilidad que ua muestra aleatoria de 30 bolsas tega ua resistecia media meor a 63 litros, si la desviació estádar muestral es s =6,5. Dado que 30, la probabilidad solicitada se puede calcular como e el ejemplo 7.3. P X 63 = P Z X μ s = P Z = P Z 0,84 = 0, ,5 30 Ejemplo 7.5 E el ejemplo 7.4, calcular la probabilidad que ua muestra aleatoria de 25 bolsas tega ua resistecia media meor a 66 litros.

11 7.4. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES 69 Dado que =25< 30, la probabilidad solicitada se puede calcular usado la distribució t-studet. P X 62 = P T X μ s = P T 9 = P T 9,376 = 0, ,5 20 Teorema 7.2 Teorema de Límite Cetral TLC Sea X,...,X, variables aleatorias idepedietes idéticamete distribuidas co media μ y variaza σ 2,ambas fiitas. Si es lo suficietemete grade, etoces σ X Nμ, E geeral, se acepta como ua aproximació apropiada al modelo ormal siempre que 30 y se dice que la muestra es suficietemete grade. E este caso, si se descooce la variaza de la població, la misma se puede aproximar mediate la variaza muestral, S 2. Ejemplo 7.6 Estudios ateriores muestra que el igreso promedio de las familias e la ciudad de mérida es de 500 BsF. Cual es la probabilidad de que el igreso promedio de ua muestra aleatoria de 00 familias de dicha ciudad se ecuetre etre 450 y 600 BsF, si la desviació estádar muestral es igual a 500 BsF. E este caso, X es la variable aleatoria ïgreso de las familias e la ciudad de Mérida. Es ua variable aleatoria cuya distribució de probabilidad es descoocida, co media igual a 500 yvariaza descoocida. Por el Teorema 7.2, X tiee distribució aproximadamete ormal cuado es lo suficietemete grade, e geeral, 30. Por tato, X μ σ tiee distribució aproximadamete ormal estádar, aproximado a σ por S. Deestaforma, P 450 X 600 = P X 600 P X = P Z 500 P Z = P Z 2 P Z = 0,9772 0,587 = 0,885 Au, si las variables o so idéticamete distribuidas, se podría demostrar que X sigue ua distribució ormal co media yvariaza μi σ 2 i Distribució muestral de la diferecia de medias muestrales Teorema 7.3 Sea X,...,X, ua muestra aleatoria de tamaño procedete de ua població ormal co media μ yvariazaσ 2, i =,...,.SeaX,...,X 2, ua muestra aleatoria de

12 70 CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO tamaño 2 procedete de ua població ormal co media μ 2 yvariazaσ2 2, i =,..., 2.Silas muestras so idepedietes, etoces ΔX =X X 2 sigue ua distribució ormal co media Δμ =μ μ 2 yvariazaσ 2 = σ 2 ΔX + σ Si σ 2 y σ2 2 so coocidas, la variable aleatoria Z = ΔX Δμ σ ΔX 7.5 sigue ua distribució ormal co media 0 y variaza. Si σ 2 y σ2 2 so descoocidas, dos situacioes puede presetarse de acuerdo a los tamaños muestrales, y 2.Si 30 y 2 30, σ 2 y σ2 2 se aproxima por S 2 y S2 2, las variazas muestrales, y el resultado mostrado e la ecuació 7.5 es valido. E caso cotrario, es decir, si al meos u i < 30, etoces t = ΔX Δμ S ΔX 7.6 sigue ua distribució t-studet co δ grados de libertad. La expresió de S ΔX y de los grados de libertad depede de la suposició que se haga sobre σ 2 y σ2 2. σ 2 = σ 2 2 { δ = + 2 2, S 2 = S 2+ 2 S2 2 ΔX σ 2 σ2 2 δ = S 2 + S S 2 + S S 2 ΔX = S2 + S2 2 2, 7.8 Existe situacioes e las que las poblacioes muestreadas o sigue ua distribució ormal. Ua extesió del teorema 7.2 permite, dar solució e este caso, siempre y cuado tato como 2, sea lo suficietemete grades. Ejemplo 7.7 La edad X de los empleados hombres de ua empresa sigue ua distribució ormal co media 28 yvariaza8, mietras que la edad X 2 de las empleadas sigue ua distribució ormal co media 24 yvariaza8. Siseseleccioamuestrasdetamaño 20 para cada grupo de empleados, calcular a probabilidad de que la diferecia etre las dos medias muestrales sea mayor o igual a 5 años. Obsérvese que X N28; 9 y X 2 N24; 9. Por tato, usado el teorema 7.3 se tiee que

13 7.5. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE VARIANZAS MUESTRALES 7 ΔX N4; 2, 85. Luego P ΔX 5 = P Z 5 4 2,85 = P Z 0,35 = 0,6368 = 0,3632 Ejemplo 7.8 Supógase que e el ejemplo 7.7 las distribucioes de las poblacioes así comosus variazas so descoocidas. Si seleccioa ahora muestras de tamaño =36y 2 =49,calcular a probabilidad de que la diferecia etre las dos medias muestrales sea mayor o igual a 5 años, si las variazas muestrales so S 2 =8y S2 2 = 00. Dado que 30 y 2 30, de acuerdo al teorema 7.2 se tiee que ΔX N4; 2, 85. Luego P ΔX 5 = P Z 5 4 2,07 = P Z 0,48 = 0,6844 = 0,356 Ejemplo 7.9 Resolver el ejemplo 7.7 supoiedo que las variazas poblacioales so descoocidas pero iguales y que sus estimacioes está dadas por S 2 =6y S2 2 =6. Como las poblacioes so ormales, las variazas poblacioales descoocidas y los tamaños muestrales meores a 30. Etoces, usado la ecuació 7.7 se tiee que, P ΔX 5 = P t ,54 = P t 38 0,25 = 0,4 =0,6 Ejemplo 7.0 Resolver el ejemplo 7.7 supoiedo que las variazas poblacioales so descoocidas pero diferetes y que sus estimacioes está dadas por S 2 =6y S2 2 =6. Como las poblacioes so ormales, las variazas poblacioales descoocidas y los tamaños muestrales meores a 30. Etoces, usado la ecuació 7.8 se tiee que, P ΔX 5 = P t ,27 = P t 24 0,79 = 0,285 = 0, Distribució muestral de variazas muestrales Teorema 7.4 Sea X,...,X, ua muestra aleatoria cosistete de variables aleatorias idepedietes procedetes de ua població ormal co media μ y variaza σ 2, i =,...,.

14 72 CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO Etoces x i X 2 i= σ 2 = sigue ua distribució χ 2 co grados de libertad. S2 σ Ejemplo 7. Ua muestra aleatoria de tamaño 0 es tomada de ua població distribuida ormalmete co media 8 yvariaza9. Calcular la probabilidad de que la variaza muestral sea mayor que 3,753 El calculo de esta probabilidad se hace usado el teorema 7.4. P S 2 3,753 = P χ 2 0 3, = P χ 2 9 3,753 = 0,9269 Teorema 7.5 Sea X,...,X, ua muestra aleatoria cosistete de variables aleatorias idepedietes procedetes de ua població ormal co media μ yvariazaσ 2, i =,...,.Sea Y,...,Y m, ua muestra aleatoria cosistete de m variables aleatorias idepedietes procedetes de ua població ormal co media μ 2 y variaza σ2 2, i =,...,m. Si las muestras so idepedietes, etoces el cociete S 2 σ m S 2 2 σ 2 2 sigue ua distribució F co y m grados de libertad. Este cociete es de especial iterés cuado se desea hacer iferecia acerca de las magitudes relativas de σ 2 y σ2 2. Ejemplo 7.2 Sea X Nμ ; 0 y X 2 Nμ 2 ; 5, variables aleatorias idepedietes. Se toma muestras de tamaño =6y m =6, respectivamete. Calcular la probabilidad de que S 2 seaalosumoigualas2 2. S 2 P S 2 2 = P S 2 σ 2 m S 2 2 σ 2 2 σ2 2 m σ 2 = P F 5;5 2,25 = 0,067

15 7.6. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL 73 Dado que el valor 2,25 o está tabulado, debe obteerse por iterpolació, es decir y = y a +x x a y b y a x b x a 0,05 0,0 = 0,0 + 2,25,97 2,40,97 = 0, Distribució muestral de la proporció muestral Defiició 7.4 Proporció muestral La proporció muestral se defie como el cociete del úmero de elemetos de la muestra que tiee la característica deseada, etre el úmero total de elemetos de la muestra. Esto es, si X represeta el úmero de elemetos de la muestra que tiee la característica deseada y es el úmero total de elemetos de la muestra, etoces p = X 7. La esperaza matemática y la variaza de p está dadas por: y Ep =E X = π; σ 2 p = { π π, para poblacioes ifiitas; para poblacioes fiitas. π π N N, Ahora bie, X es ua variable aleatoria biomial. Al ser costate, la probabilidad de x es la misma de x. De esta forma, la distribució muestral de p es ua distribució de probabilidad discreta.eelcapitulo6semostró como ua distribució biomial se aproxima mediate ua distribució ormal, siempre y cuado sea lo suficietemete grade y se satisfaga que p 5y p 5. Teorema 7.6 Sea X,...,X, ua muestra aleatoria cosistete de variables aleatorias idepedietes de ua població biomial co parámetro π. Seap la proporció de elemetos e la muestra que posee ua característica de iterés. Si se cumple que p 5 y p 5, etoces la distribució de p, es ormal co media π yvariaza π π. Si la població es fiita etoces a la expresió de la variaza se le debe agregar el factor de correcció para poblacioes fiitas, N N.

16 74 CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO Ejemplo 7.3 Se toma ua muestra aleatoria de tamaño 6 de ua població biomial co π =0,7. Supoiedo que la població es ifiita, calcular la probabilidad de que la proporció muestral sea meor que 0,6. Dado que p 5 y p 5, se puede usar el resultado mostrado e el teorema 7.6. De esta forma, p N0,7; 0,0525. P p <0,6 = 0,6 0,7 P Z< 0,0525 = P Z <, = 0, Distribució muestral de la diferecia de proporcioes muestrales Muchas aplicacioes ivolucra poblacioes de datos cualitativos que debe compararse utilizado proporcioes o porcetajes. Determiar si la proporció de los estudiates que aprueba matemáticas es mayor que las de los que aprueba iglés o, verificar si existe diferecia etre la proporció de artículos defectuosos que geera la máquia A a los que geera la máquia B, so ejemplos de estas aplicacioes. Teorema 7.7 Sea X,...,X y Y,...,Y m, muestra aleatorias idepedietes procedetes de dos poblacioes biomiales. Etoces, para tamaños de muestra grade tales que se satisface p 5, p 5, 2 p 2 5 y 2 p 2 5, la distribució muestral de diferecia de proporcioes Δp =p p 2, es aproximadamete ormal co media Δπ =π π 2 yvariaza π π + π 2 π 2 2. Ejemplo 7.4 Los hombres y mujeres adultos de ua ciudad grade de Veezuela difiere e sus opiioes sobre el el gobiero. Se cree que el 39 % de los hombres adultos califica el gobiero como bueo, mietras que el 37 % de las mujeres adultas así locree.sisepreguta a dos muestras aleatorias de 50 hombres y 50 mujeres su opiió sobre el gobiero, determiar la probabilidad de que el porcetaje de hombres a favor sea al meos 4 % mayor que el de las mujeres. P Δp 0,04 = 0,04 0,02 P Z< 0, = P Z <2,2 = 0,9830 = 0,07 Ejemplo 7.5 E el ejemplo 7.4, calcular la probabilidad de que dicha diferecia sea a lo sumo

17 7.7. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES MUESTRALES 75 sea del 3 %. P Δp 0,03 = 0,03 0,02 P Z< 0, = P Z <,06 = 0,8554