Tema 3 Optimización lineal. Algoritmo del simplex

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1 Tema 3 Optimización lineal. Algoritmo del simplex José R. Berrendero Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid

2 Contenidos del tema 3 Teorema fundamental de la programación lineal. Algoritmo del simplex. Ejemplos. La tabla del simplex. Pivoteo. Método de las dos fases. Optimización lineal con R

3 Teorema fundamental de la programación lineal Por el teorema de representación, el problema lineal: minimizar s.a. c x Ax = b x 0 es equivalente a: minimizar s.a. [ k c i=1 λ ix i + ] l j=1 µ jd j k i=1 λ i = 1 λ i 0, i = 1,..., k µ j 0, j = 1,..., l, donde x 1,..., x k son los puntos extremos del conjunto factible y d 1,..., d l son sus direcciones extremas.

4 Teorema fundamental de la programación lineal Teorema: Consideremos un problema de optimización lineal en forma estándar. Sean x 1,..., x k los puntos extremos del conjunto factible y sean d 1,..., d l sus direcciones extremas. El problema tiene solución factible óptima si y solo si c d j 0, para todo j = 1,..., l. Si esta condición se cumple, existe un punto extremo que es solución factible óptima del problema. Interpretación de la condición de existencia de solución. Puede haber exactamente dos soluciones factibles óptimas? Para resolver un problema lineal se podría comprobar que tiene solución, evaluar c x i para todos los puntos extremos y elegir el mejor de ellos. En la práctica este método no es útil porque el número de puntos extremos puede ser muy grande.

5 El algoritmo del simplex Es un método sistemático para pasar de un punto extremo a otro de manera que siempre mejore el objetivo. En cada paso se puede detectar si ya hemos llegado al óptimo o aún tenemos que pasar a otro punto extremo. También se puede detectar si el problema no tiene solución óptima. Pasar de un punto extremo a otro corresponde a cambiar la base B por una base nueva ˆB. En el simplex ambas bases difieren en un único vector de modo que las operaciones del cambio de base son relativamente sencillas.

6 El algoritmo del simplex Solución factible básica inicial: ( B x = (x 1,..., x m, 0,..., 0) = ( x B, x N 1 ) b ) = := 0 b es el vector de coordenadas de b respecto a la base B. Valor objetivo inicial: z = c B B 1 b = c B b. ) ( b. 0 Valor objetivo en cualquier otro punto factible x = (x B, x N ) : z = c B ( b B 1 Nx N ) + c N x N = z (c B B 1 N c N )x N = z j N(z j c j )x j, donde z j = cb B 1 a j := cb y j. y j = B 1 a j a j = y 1j a y mj a m, es decir, y j es el vector de coordenadas de la columna no básica a j respecto a la base B.

7 El algoritmo del simplex z = z j N(z j c j )x j. Qué ocurre si z j c j 0, para todo j N? Supongamos que existe k N con z k c k > 0. Vamos a pasar de x a una nueva solución factible básica: ˆx = (ˆx 1,..., (r) 0,..., ˆx m, 0,..., (k) α,..., 0), α > 0. El nuevo valor objetivo es: ẑ = z (z k c k )α.

8 El algoritmo del simplex Criterio de entrada: Entra a la base la variable k tal que z k c k = max j N {z j c j : z j c j > 0}. Hay que aumentar α tanto como sea posible sin salirnos del conjunto factible: Aˆx = b es equivalente a ( ) yk ˆx = x + α, donde y k = B 1 a k. e k Qué ocurre si y k 0? Supongamos que y k 0.

9 El algoritmo del simplex Para que ˆx sea factible también hace falta ˆx 0: ˆx B 0 b αy k 0 α b i y ik, para todo i = 1,..., m tal que y ik > 0. El mayor valor posible de α es: { } b i α = min : y ik > 0 := b r y ik y rk Criterio de salida: sale de la base la variable r en la que se alcanza el mínimo anterior.

10 Ejemplo maximizar 3x 1 + x 2 + 2x 3 s.a. 2x 1 + x 2 + x 3 2 x 1 + 2x 2 + 3x 3 5 2x 1 + 2x 2 + x 3 6 x 1 0, x 2 0, x 3 0 Pasamos primero a la forma estándar: minimizar 3x 1 x 2 2x 3 s.a. 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 2 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 5 = 5 2x 1 + 2x 2 + x 3 + x 6 = 6 x i 0, i = 1,..., 6.

11 Ejemplo Solución factible básica inicial: x = (0, 0, 0, 2, 5, 6), para la que el objetivo es z = 0. Escribe los valores de: B, b, c B, y j y z j c j, para todo j N. Es x la solución factible óptima del problema? Qué variable k entra en la base? Qué y k le corresponde? Qué variable r sale de la base?

12 Pivoteo Necesitamos expresar los vectores a j y b respecto a la nueva base ˆB = {a 1, a 5, a 6 }. A esta operación se le llama pivoteo. El pivote es el coeficiente y rk correspondiente a la fila de la variable que sale y la columna de la que entra. Cuál es el pivote en el ejemplo? 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 2 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 5 = 5 2x 1 + 2x 2 + x 3 + x 6 = 6

13 Pivoteo 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 2 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 5 = 5 2x 1 + 2x 2 + x 3 + x 6 = 6 La fila r se divide por el pivote para que el coeficiente de x k sea 1. Al resto de filas se les resta la fila r multiplicada por el valor adecuado para que x k ya no aparezca en esa fila. x 1 + x 2 /2 + x 3 /2 + x 4 /2 = 1 3x 2 /2 + 5x 3 /2 x 4 /2 + x 5 = 4

14 Ejemplo Solución factible básica actual: ˆx = (1, 0, 0, 0, 4, 4), para la que el objetivo es ẑ = 3. Escribe los valores de: c B, y j y z j c j, para todo j N. Es x la solución factible óptima del problema? Qué variable k entra en la base? Qué y k le corresponde? Qué variable r sale de la base?

15 Convergencia Si en cada paso encontramos b = B 1 b > 0, entonces x y ˆx son puntos extremos distintos. Como hay un número finito de puntos extremos, el algoritmo converge en un número finito de iteraciones. Si en algún paso b r = 0, entonces α = 0. Cambia la base, pero el punto extremo es el mismo. Esto podría ocurrir infinitas veces y entonces el algoritmo del simplex no converge (se dice que ha ocurrido un ciclo). Hay criterios de entrada y salida para evitar los ciclos: regla de Bland

16 Tabla simplex Los elementos para efectuar cada iteración se suelen disponer ordenadamente en forma de tabla: c c B c N Variables x B x N x B = b I m m B 1 N z c 0 c B B 1 N c N Las columnas corresponden a variables básicas y no básicas. Las filas corresponden a las variables básicas.

17 Aplica los criterios de entrada y salida a la base. Ejemplo minimizar 4x 1 3x 2 s.a. x 1 + x 2 + x 3 = 2 x 1 + 2x 2 + x 4 = 6 2x 1 + x 2 + x 5 = 6 x i 0, i = 1,..., 5. Tabla inicial: B = (a 3, a 4, a 5 ) = I 3 3 c Variables x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 3 = x 4 = x 5 = z j c j

18 Ejemplo (primera iteración) c Variables x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 3 = x 4 = x 5 = z j c j c Variables x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 3 = 5 0 3/ /2 x 4 = 3 0 3/ /2 x 1 = 3 1 1/ /2 z j c j

19 La solución factible óptima es (2, 2, 2, 0, 0) y el valor objetivo Ejemplo (segunda iteración) c Variables x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 3 = 5 0 3/ /2 x 4 = 3 0 3/ /2 x 1 = 3 1 1/ /2 z j c j c Variables x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 3 = x 2 = /3-1/3 x 1 = /3 2/3 z j c j /3-5/3

20 Actualización de la tabla Columna de la izquierda ˆx i = b i αy ik = b i b r y rk y ik ˆx k = α = b r y rk. Valores y ij a k = y 1k a y rk a r + + y mk a m a r = y 1k a a k y mk a m y rk y rk y ( rk a j = y 1j y ) 1k y rj a y ( rj a k + + y mj y ) mk y rj a m y rk y rk y rk

21 Actualización de la tabla Valores y ij Última fila: ŷ ij = y ij y rj y rk y ik, si i r, ŷ rj = y rj y rk ẑ j ĉ j = = m r i=1 m i=1 c i ŷ ij + c k ŷ rj c j = c i y ij c j y rj y rk m i=1 m i=1 ( c i y ij y ) rj y rj y ik + c k c j y rk y rk c i y ik + c k y rj y rk = (z j c j ) y rj y rk (z k c k )

22 Actualización de la tabla En resumen: La fila del pivote (fila r) se divide por el pivote (y rk ). Así se consigue que ŷ rk = 1. A la fila i se les resta la fila r actualizada y multiplicada por y ik. Así se consigue que ŷ ik = 0. A la última fila se le resta la fila r actualizada y multiplicada por z k c k. Así se consigue que ẑ k ĉ k = 0

23 Método de las dos fases Es un método útil para: Encontrar una solución factible básica inicial. Detectar si el conjunto factible es vacío. Detectar si hay restricciones redundantes. Fase 1: Se introducen variables artificiales y se minimiza su suma. Fase 2: Si la suma óptima no es cero entonces el problema original no es factible. En caso contrario las variables artificiales habrán abandonado la base y dispondremos de una base inicial de variables legítimas.

24 Fase 1 Si e = (1,..., 1), se resuelve el problema: minimizar s.a. e x a Ax + Ix a = b x 0, x a 0 Variables artificiales son diferentes a variables de holgura. Este problema tiene una solución factible básica obvia en la que las variables básicas son las artificiales. Sea ( x, x a ) el óptimo al final de la fase 1.

25 Fase 2 Caso 1: x a 0, el problema original no es factible ( por qué?). Caso 2: x a = 0, pueden ocurrir a su vez dos casos Ninguna variable artificial es básica. En este caso se eliminan de la tabla las columnas de las variables artificiales. Se calculan los valores z j c j y se continúa como en el método simplex habitual. Hay alguna variable artificial en la base al nivel 0 (degeneración). Se busca en la fila un pivote para poder sustituirla por una variable legítima. Se calculan los valores z j c j y se continúa como en el método simplex habitual.

26 Ejemplo Problema original: minimizar 4x 1 + x 2 + x 3 s.a. 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 4 3x 1 + 3x 2 + x 3 = 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 Problema a resolver en la fase 1: minimizar x a 1 + x a 2 s.a. 2x 1 + x 2 + 2x 3 + x a 1 = 4 3x 1 + 3x 2 + x 3 + x a 2 = 3 x i 0, x a i 0

27 Fase 1 c Variables x 1 x 2 x 3 x1 a x2 a x1 a = x a 2 = z j c j c Variables x 1 x 2 x 3 x1 a x2 a = /3 1-2/3 x a 1 x 1 = /3 0 1/3 z j c j 0-1 4/3 0-5/3 c Variables x 1 x 2 x 3 x1 a x2 a x 3 = 3/2 0-3/4 1 3/4-1/2

28 Fase 2 Partimos de la solución factible básica en la última tabla de la fase 1. Se eliminan las variables artificiales. Se actualizan la primera y la última fila de la tabla. c Variables x 1 x 2 x 3 x 1 = 1/2 1 5/4 0 x 3 = 3/2 0-3/4 1 z j c j 0 13/4 0 Para las variables básicas z j c j = 0. Además, ( ) 5/4 z 2 c 2 = (4, 1) 1 = 13/4. 3/4

29 Fase 2 c Variables x 1 x 2 x 3 x 2 = 2/5 4/5 1 0 x 3 = 9/5 3/5 0 1 z j c j -13/5 0 0 La solución factible óptima del problema viene dada por x 1 = 0, x 2 = 2/5 y x 3 = 9/5 y el valor objetivo óptimo es z = 11/5.

30 Ejemplo Aplica el método de las dos fases para resolver: minimizar x 1 + 2x 2 3x 3 s.a. x 1 + x 2 + x 3 = 6 x 1 + x 2 + 2x 3 = 4 2x 2 + 3x 3 = 10 x 3 2 x i 0

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