1. MECÁNICA GENERAL 1.2. CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL

Transcripción

1 Fudameos y Teoías Físicas ETS Aquiecua 1. MECÁNICA GENERAL 1.. CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL La Ciemáica es la pae de la Mecáica que esudia el movimieo de los cuepos deseediédose de las causas que lo poduce. La Ciemáica descibe cómo vaía la velocidad y aceleació de u cuepo co el iempo y co sus cambios de posició. La buea compesió de la Ciemáica o solo cosiuye u fudameo ecesaio paa el poseio esudio de la Diámica sio que es e sí mismo u impoae campo de esudio. El poyeco de muchas piezas de maquiaia que deba cea movimieos coceos se basa, casi exclusivamee e la Ciemáica. Tambié se basa e ella el esudio del movimieo de poyeciles, aves espaciales y saélies aificiales. Paa el esudio de la Ciemáica so ecesaias dos heamieas maemáicas: el cálculo vecoial y el cálculo difeecial e iegal. Comezaemos esudiado el movimieo de u puo maeial y poseiomee de cuepos cualesquiea aádolos como cojuos de puos maeiales dode las disacias ee dos cualesquiea de ellos so ivaiables, el sólido ígido. Ua paícula o puo maeial es u cuepo cuyo amaño puede igoase al esudia su movimieo. Ta solo hay que cosidea su ceo de masa. La oieació del cuepo o su oació o desempeña igú papel e la descipció de su movimieo. Los sisemas puede se muy gades o muy pequeños. Su pequeñez o gaaiza que u cuepo pueda modelase po ua paícula, y u ga amaño o siempe impide que el cuepo se pueda modela mediae ua paícula. El que u cuepo sea gade o pequeño esá elacioado co la logiud del camio que sigue, co la sepaació ee cuepos o co ambas cosas. E esudio de la Ciemáica del sólido ígido si que seá impoae cosidea su oieació y oació. Si la Ciemáica es la pae de la Mecáica que os ayuda a descibi el movimieo. La pimea pegua que debemos hace es qué es el movimieo? Decimos que u objeo se ecuea e movimieo elaivo co especo a oo cuado su posició, medida elaiva al segudo cuepo, esá cambiado co el iempo. Po oa pae, si esa posició elaiva o cambia co el iempo, el objeo se ecuea e eposo elaivo. Tao el movimieo como el eposo so cocepos elaivos; eso es, depede de la codició del objeo co elació al cuepo que se usa como efeecia. Po ello, paa expesa el cocepo de eposo o de movimieo peviamee ha de deemiase u sisema de efeecia, que vamos a cosidea fijo y efei a él la posició del sisema e movimieo. Si el sisema de efeecia es u sisema caesiao, la posició de u sisema vedá dada po el veco de posició (del puo maeial o puos maeiales), si exise u cambio e el veco de posició, que puede se e módulo, e diecció o e ambos, habá movimieo; si el veco posició o vaía, el puo esaá e eposo. Las magiudes que se uiliza e la descipció del movimieo e u puo so el iempo, la posició, la velocidad y la aceleació. Las divesas magiudes ciemáicas esá elacioadas a avés de ecuacioes difeeciales. Los poblemas de Ciemáica cosise e deemia ua o más de las magiudes aeioes a pai de las que se da como daos del poblema. 1

2 Fudameos y Teoías Físicas ETS Aquiecua Ecuació de movimieo: ayecoia La posició de ua paícula o puo maeial P se especifica mediae su veco de posició especo al oige del sisema de efeecia elegido. Si el puo maeial P se mueve co especo al sisema de efeecia el exemo del veco de posició vaiaá co el iempo descibiedo ua cuva que pasa po las sucesivas posicioes del puo maeial y que cosiuye su ayecoia. Z 1 P 1 P P 3 3 X Y U movimieo es ecilíeo cuado su ayecoia es ua eca, cicula si es ua cicufeecia y, e geeal, cuvilíeo si es ua cuva cualquiea. Si puede ecoase u sisema de efeecia paa el cual ua de las compoees del veco de posició sea ula e odo isae se dice que se aa de u movimieo plao. U movimieo queda defiido cuado se cooce ua expesió maemáica que pemie deemia la posició del puo maeial e cada isae. El veco de posició puede se expesado e fució de sus compoees caesiaas: Xi + Yj + Zk de modo que paa sabe la posició del móvil e u isae basaá cooce las ecuacioes: X X () ; Y Y () ; Z Z() que defie el valo de las coodeadas e fució del iempo. Esas elacioes cosiuye la ecuació iíseca de la ayecoia o ley hoaia Velocidad Sea u puo móvil que e el isae 1 esá e la posició 1, y e el isae e la posició defiida po el veco de posició P del puo maeial duae el ievalo 1 a la magiud vecoial:, defiida po el veco de posició P 1. Se llama velocidad media v m 1 1

3 Fudameos y Teoías Físicas ETS Aquiecua Z P 1 1 P X Y El veco velocidad media iee la misma diecció y seido que el veco. Al veco 1, difeecia ee los vecoes posició se le llama veco desplazamieo o simplemee desplazamieo. Es fácil obseva que el valo de la ayecoia o logiud ecoida po el puo maeial puede o o coicidi co el módulo del veco desplazamieo. Coicidiá si el movimieo es ecilíeo y o exise eoceso, o si se supoe u desplazamieo ifiiesimal. ( s) La velocidad e el isae 1 es el límie hacia el cual iede la velocidad media cuado iede a 1 es u cocepo de mayo coeido maemáico peo se puede llega a él a pai de la defiició de velocidad media de la siguiee maea: v lim 0 d i + dy j + dz k dode es el veco de posició del puo maeial e u isae cualquiea 1, e geeal. La velocidad isaáea es ua magiud vecoial que iee la diecció de la agee e el puo a la ayecoia y el seido del movimieo. Como ya se ha explicado, paa desplazamieos ifiiesimales la cueda iede a cofudise co el aco y, e cosecuecia si puede escibise como de la siguiee maea: d ds el módulo de la velocidad isaáea ds v. Teiedo eso e cuea, el veco velocidad isaáea puede escibise d d ds v v ds d dy dz siedo u ( i + j + k ) u veco uiaio agee a la ayecoia e dicho puo. Po ds ds ds ds ao, la velocidad es evideemee u veco ligado a u puo. u P 1 dy dz Lógicamee si v ( v x, v y, v z ) (,, ) las compoees del veco de posició puede deemiase a pai de las compoees de la velocidad mediae las siguiees expesioes: 3

4 Fudameos y Teoías Físicas ETS Aquiecua v v v x y x x v x dy y v y z v z Aceleació E geeal so muy pocos los movimieos que iee luga a velocidad cosae, omalmee se poduce siempe u cambio e el veco velocidad, pudiedo vaia su módulo y su diecció. Paa medi la apidez de esa vaiació se defie la aceleació. Se deomia aceleació de u puo maeial o móvil e el isae a la deivada especo al iempo de la velocidad del puo maeial e ese isae. Es deci: dv d d x d y d z a ( i + j + k ) El veco aceleació e u puo es u veco ligado a dicho puo. El veco aceleació se puede descompoe e dos compoees ecagulaes, ua paalela a la diecció agee a la ayecoia y la oa segú la omal a esa diecció. Esas compoees se llama, especivamee, aceleació agecial a y aceleació omal a. Su expesió maemáica se obiee deivado la expesió de la aceleació escia de la siguiee maea: 4

5 Fudameos y Teoías Físicas ETS Aquiecua dv a d ds d s ( u ) u ds du + Los dos émios de esa expesió epesea las compoees de la aceleació: Aceleació agecial: a dv u d s u La aceleació agecial es cosecuecia de la vaiació del módulo de la velocidad y su diecció es la de la agee a la ayecoia. Aceleació omal: a ds du du v E la expesió de la aceleació apaece el émio d, eso es el cambio que sufe el veco uiaio agee a la ayecoia e u puo de la ayecoia. Paa ello hacemos uso del siguiee gáfico. Calculamos du paa el puo P 1 y paa ello cosideamos ambié el veco uiaio agee e el puo P ifiiamee póximo, de esa maea eemos que u u u : u d 1 Y gáficamee se calcula de la siguiee maea: du u u1 5

6 Fudameos y Teoías Físicas ETS Aquiecua De ambas figuas se deduce las siguiees elacioes: du u u 1 du u dα u du dα u ds u du se ( dα ) du ; si dα es muy pequeño se ( dα ) dα du u Si azamos la omal a los vecoes velocidad e cada puo (líeas discoiuas e la figua) el águlo d α fomado po los vecoes u 1 y u es el mismo que el fomado po sus líeas omales, eso os pemie escibi el veco du de la siguiee maea: ds se dα) dα du ds u ( dode el paámeo ecibe el ombe de adio de cuvaua de la ayecoia e cada puo. De acuedo co ese desaollo la aceleació omal puede escibise de la siguiee maea: a ds du ds 1 ds ds 1 u u v 1 u Po ao, la compoee de la aceleació segú la omal e cada puo a la ayecoia es: a 1 v u siedo u u veco uiaio diigido segú la omal de la ayecoia e cada puo. La aceleació omal es cosecuecia de u cambio e la diecció de la velocidad. La aceleació agecial y omal ecibe el ombe de compoees iísecas del veco aceleació, al se pepediculaes ee sí defie el módulo de a w segú la expesió: a a + a 6

7 Fudameos y Teoías Físicas ETS Aquiecua E esume, la aceleació iee dos compoees, la pimea segú la agee a la ayecoia, esá diigida e el seido del movimieo o e seido coaio segú que el módulo de la velocidad cezca o descezca; la seguda, segú la omal, esá diigida hacia la cocavidad de la ayecoia. Esas dos compoees iee u seido físico bie defiido: mieas la vaiació del módulo de la velocidad esá deemiada po la aceleació agecial,la vaiació de la diecció de la velocidad esá deemiada po la aceleació omal. Las leyes o expesioes que descibe los movimieos coocidos se deduce a pai de las ecuacioes visas: movimieo ecilíeo y uifome, movimieo ecilíeo uifomemee aceleado y movimieo cicula. E u movimieo ecilíeo el puo P se mueve sobe ua eca fija y el aco s de la ayecoia se susiuye po la coodeada x del puo sobe la eca. E ese caso el veco velocidad v esaá diigida segú dicha eca y ambié lo esaá el veco aceleació a ya que al se ula la cuvaua de la ayecoia la compoee omal de la aceleació ambié es ula. Si la aceleació a es ula, la velocidad v es cosae y el movimieo ecilíeo es uifome. E ese caso: v x v x x0 + v Cuado la aceleació a es cosae, el movimieo es uifomemee aceleado. E ese caso: dv a( a ) v a v v0 + a 1 v x v ( v0 + a) x x0 + v0 + a Si u puo P se mueve sobe ua cicufeecia de adio R y P 0 es u puo de la cicufeecia que se oma como oige, la posició del puo e el isae puede defiise po el águlo θ que foma el veco OP co el veco OP 0 : El veco velocidad v esá diigido segú la agee a la cicufeecia y su módulo es: 7

8 Fudameos y Teoías Físicas ETS Aquiecua siedo ds dθ v R Rω dθ ω la velocidad agula que se mide e ad/s. U caso secillo de movimieo cicula es el movimieo cicula uifome e el que la velocidad agula es cosae. Eoces de modo aálogo a las ecuacioes deducidas paa el caso del movimieo ecilíeo y uifome podemos obee fácilmee la elació ee el águlo giado y el iempo: dθ ω θ θ 0 + ω E el movimieo cicula uifome la diecció y seido del veco v cambia e cada isae, exise po ao ua aceleació omal diigida hacia e ceo O y su expesió es: v a Rω R Si la velocidad agula cambia co el iempo a u imo cosae el movimieo se llama movimieo cicula uifomemee aceleado y se defie la aceleació agula cuya expesió es: dω d θ α Iegado esas expesioes podemos escibi las siguiees elacioes ee velocidad agula, águlo giado y iempo: ω ω + α 0 1 θ θ 0 + ω 0 + α Al vaia la velocidad agula co el iempo, el módulo de la velocidad lieal vaía co el iempo po lo que además de ua aceleació omal que o es cosae e el iempo apaece ua aceleació agecial diigida segú la agee a la cicufeecia y cuyo módulo viee dado po la expesió: dv d θ a R Rα la expesió de la aceleació omal es la misma que e el movimieo cicula uifome y a a + a seá el módulo de la aceleació oal. 8