FE DE ERRATAS Y AÑADIDOS AL LIBRO FUNDAMENTOS DE LAS TÉCNICAS MULTIVARIANTES (Ximénez & San Martín, 2004)

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1 FE DE ERRATAS Y AÑADIDOS AL LIBRO FUNDAMENTOS DE LAS TÉCNICAS MULTIVARIANTES (Xménez & San Martín, 004) Capítulo. Nocones báscas de álgebra de matrces Fe de erratas.. Cálculo de la transpuesta de una matrz En la págna (y en todo el texto en que parezca) 3.4. Autovectores Págna 8: en línea 3, añadr lo que aparece sombreado en amarllo: Hay tantos autovectores ndependentes de A como autovalores dstntos entre sí. Págna 9: propedades de los autovectores: En la propedad, en realdad es: Λ U'AU Además: U'AU Λ 3.6. Formas cuadrátcas Págna 0: en lugar del punto 5. y la ecuacón (.5) reemplazar por lo sguente: 5. Dado A x λ x; donde x es un vector normalzado (es decr, x'x ). S A es defnda postva con autovalores λ λ λ p (donde λ > 0) y autovectores a, a,..., a p, entonces el máxmo valor de Q es el máxmo valor de λ (es decr, λ ). 5. Vectores y estadístcos Págna 3: Reemplazar por lo sguente: / / / / R D SD 0 / 0 / Combnacones lneales Págna 3-4: Reemplazar por lo sguente: Las técncas multvarantes se formulan medante combnacones lneales por lo que es necesaro comprender su defncón y propedades. Consdérese la sguente combnacón lneal: y A x La varable aleatora y es una transformacón o combnacón lneal de x medante A. Donde x' [X,..., X p ] es un vector de p varables (sendo µ ' su vector de medas) y A es una matrz de coefcentes (por ejemplo, saturacones) de orden n x p. La meda y varanza de un elemento de y, sea y (donde y a X + + a p X p ; y a' [a,..., a p ]), es: E (y ) E (a X) a ' µ Var( y) Var( ax ) yy ' ( ax )'( ax ) a' XXa ' n n n a ' X' Xa a ' Sa (.7) n

2 A contnuacón se presenta un ejemplo para lustrar la fórmula (.7) en el caso en que p : Var (a X + a X ) Var (a X ) + Var (a X ) + Cov (a X, a X ) a Var (X ) + a Var (X ) + a a Cov (X, X ) Como se observa, la varanza de una combnacón lneal es una forma cuadrátca. En el caso en que a fuese un vector normalzado (donde a' a ), la varanza de y queda como: Var (y) a' S a a' λ a λ Las ecuacones de (.7) pueden generalzarse al caso Y A X. Donde A es una matrz de coefcentes de orden n x p, y la meda y varanza de Y es: E (Y) A µ Var (Y) A S A' (.8) Ejemplo 6: 4 3 Sean las varables X y X y su matrz de covaranzas S. Se forman las 3 9 combnacones lneales Y X + X, Y X - X. Calcule la matrz de covaranzas para Y. Solucón: A ; - X 4 3 x X ; S ; Var( Y) ASA ' Tambén puede obtenerse la matrz de correlacones medante la fórmula (.6): R D / SD / / / / / A contnuacón se comentan algunas propedades de las matrces S y R. En prmer lugar ambas son semdefndas postvas. Puesto que toda varanza ha de ser no negatva: Var (a X) 0 para todo a Como Var (a X) a' S a, entonces S tene que ser, al menos, semdefnda postva. S y R son matrces equvalentes pues en las fórmulas que las relaconan en (.6) la matrz D / es regular. Por tanto, R es tambén semdefnda postva. En segundo lugar, puesto que las matrces S y R son equvalentes, el rango de S es el msmo que el de R. Este rango puede ser menor o gual que p. S r (S) p, entonces S y R serán defndas postvas pues Var (a X) a' S a es mayor que cero para todo a 0. Sn embargo, s r (S) < p entonces S y R serán sngulares y ello ndcará una restrccón de lnealdad en los componentes de X. Esto mplca que exste un vector a 0 tal que a X es gual a una constante. Entonces, Var (a X) a' S a será cero, ndcando que la matrz S es semdefnda postva en lugar de defnda postva. Para lustrar este últmo punto, supóngase que p 3 y que exste una restrccón de lnealdad en las tres varables tal que X X + X 3. Entonces, Var(X - X - X 3 ) 0 y el vector a' [, -, -]. En este caso, una de las tres varables es redundante y por tanto la dmensonaldad es en lugar de 3. Esto se refleja en el rango de S que tambén será. Según esta propedad, el rango de S es un ndcador útl para establecer la dmensonaldad del problema, sendo r(s) el número de restrccones lneales ndependentes en los componentes de A. De este modo, cuando r (S) < p se dce que los componentes de X son lnealmente dependentes y que hay p r(s) restrccones de lnealdad en los componentes de X.

3 Añaddos.6. Cálculo de la matrz nversa Añadr como últmo párrafo del apartado.6 en la págna 5: Para matrces rectangulares, dado A de orden n x p, donde n p, para nvertr la matrz A, prmero se calcula A'A (de orden p x p), donde: (A'A) - (A'A) I. De lo anteror se deduce que: (A'A) - A' A - ; donde A - es la matrz nversa generalzada de orden p x n, que cumple la condcón A - A I (téngase en cuenta que para poder aplcar este procedmento es necesaro que r(a) p. S r(a) < p, entonces A'A sería sngular y, por tanto, no podría obtenerse la nversa). 0 Ejemplo 7b: A A' A Como r(a) y A'A 6, puede obtenerse la nversa de A'A: , 83 -, 33 (A' A) , 33, 33 De lo anteror se deduce, que la matrz nversa de A es: A - A' - 0, 83 -, 33 3 ( A'A) -, 33, , 83 -, 33 0, 33-0, 33-0, 7 0, 67

4 Capítulo 4. Análss de componentes prncpales En este capítulo hay un problema con la notacón. Por tanto, la profesora facltará a los estudantes una nueva versón completa del capítulo. Este texto consttuye la nueva versón del capítulo 4 que aparezca en la sguente edcón del lbro. Dado que el lbro está protegdo con copyrght, el nuevo capítulo completo no puede nclurse aquí.

5 Capítulo 5. Análss factoral Fe de erratas.. Método de ejes prncpales Págna 05: reemplazar lo que aparece sombreado en amarllo: Consdérese ahora el método de extraccón EP para los datos del ejemplo. Para obtener la matrz R *, prmero hay que estmar las comunaldades ncales, medante: R Por tanto: 0.78 * R h Donde: h.564 h * * * 3 (/ 4.543) 0.78 (/ 3.8) 0.69 (/.564) 0.6 Una vez extraídos los autovalores y autovectores de la matrz R *, se obtene la matrz de saturacones: 0.98 Λ A / Las estmacones fnales de las comunaldades son: h , h y h ; y de las uncdades: ψ , ψ y ψ La varanza del prmer factor es: λ ; y la proporcón de varanza del prmer factor: λ / p.308 / Las matrces reproducda y resdual son las sguentes: r R ; R e Como se observa, el modelo obtendo a partr del método EP explca el 77% de la varanza total (mentras que el método CP explcaba el 84%). Por tanto, al analzar solamente la varabldad común (en lugar de la total, como en CP), la varanza explcada, las saturacones, las comunaldades y uncdades toman valores dstntos.

6 5.. Rotacón ortogonal Págna : reemplazar lo que aparece sombreado en amarllo: - 0,5 - F F * -0,5-0º 0,5 F F * - - Los cuatro puntos de la gráfca representan los pares de saturacones factorales correspondentes a cada varable. Los ejes se han rotado un ángulo de 0º. Vsualmente se observa que las dos prmeras varables saturan alto en el segundo factor y las dos últmas en el prmero. La rotacón produce una matrz de saturacones que apoya la anteror nterpretacón de factores y no camba las estmacones de las comunaldades. Tampoco camba la varanza explcada por el modelo, aunque sí la varanza explcada por cada uno de los factores. La sguente tabla resume la varanza explcada por cada factor antes y después de la rotacón: Solucón sn rotar Solucón rotada Factor Varanza Proporcón de varanza Varanza Proporcón de varanza F F Total: Exsten dferentes métodos para llevar a cabo la rotacón ortogonal. Por ejemplo, el método varmax propuesto por Kaser (958), que utlza la matrz de transformacón T que maxmce la varanza explcada por cada factor. Es decr: V q p p * * λj λj p j p Los resultados ofrecdos medante este procedmento varían según el método de extraccón de factores empleado. La rotacón varmax se recomenda especalmente para el método de extraccón MV que al mponer la condcón de que Λ' Ψ - Λ sea una matrz dagonal proporcona una solucón factoral que hace dfícl la nterpretacón de factores. La mayoría de paquetes estadístcos ofrecen la posbldad de realzar una rotacón varmax (para más detalles sobre la rotacón varmax véase Lawley & Maxwell, 97, pp. 7-76).

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