Estática y dinámica de un muelle vertical

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1 Prácticas de laboratorio de Física I Estática y dinámica de un muelle vertical Curso 2010/11 1. Objetivos Determinación de la constante del muelle. Estudio de un muelle oscilante como ejemplo de movimiento armónico simple. 2. Material Trípode con barra soporte. Juego de muelles. Bolas de diferentes materiales. Juego de pesas y soporte. Sensor de movimiento y ordenador. 3. Fundamento teórico y realización práctica El movimiento armónico simple es consecuencia de una fuerza recuperadora lineal. Esto es, una fuerza directamente proporcional (lineal) al desplazamiento con respecto a una posición de equilibrio. Se dice que la fuerza es recuperadora en el sentido de que siempre tiende a que el cuerpo recupere la posición de equilibrio. En esta práctica estudiaremos la fuerza recuperadora lineal experimentada por una masa colgada de un muelle espiral con la ayuda de un sensor de movimiento. 1

2 Si la masa se aleja de la posición de equilibrio inicia un movimiento oscilatorio de tipo armónico simple. El desplazamiento o elongación, z(t), del movimiento viene dado por la distancia desde la posición de equilibrio a la posición que ocupa la masa en un instante determinado. La amplitud, A, es la distancia entre las máximas elongaciones en un sentido y otro del movimiento. El periodo, T, del movimiento armónico simple viene dado por el tiempo que tarda la masa en realizar una oscilación completa, por ejemplo, el tiempo que tarda en pasar desde una posición de máxima elongación hasta la siguiente. La frecuencia, f, es el inverso del periodo y la frecuencia angular, ω = 2πf La ley de Hooke. Cálculo de la constante del muelle Si se desplaza del equilibrio un objeto conectado a un muelle, éste ejerce una fuerza sobre el objeto opuesta al desplazamiento y viene dada por la ley de Hooke: F = kz (1) Es decir, se trata de una fuerza proporcional y opuesta al desplazamiento con una constante de proporcionalidad, k, que se denomina constante del muelle. Como esta constante es una fuerza dividida por un desplazamiento, sus unidades en el S.I. son N/m. Esta constante es una medida de la rigidez del muelle. Nos ocuparemos en particular de una masa colgada de un muelle vertical. Si una masa m se cuelga de un muelle vertical, sobre ella actúan dos fuerzas, la recuperadora del muelle y el peso, F = mg. Cuando la masa está en equilibrio, ambas son iguales y, por lo tanto, m = k g z (2) Esta ecuación es poco útil porque no es sencillo determinar cuál es el punto inicial de masa m = 0 porque el muelle también tiene masa. Como es una ecuación lineal, es más práctico considerar incrementos de posición y de masa con respecto a unos valores iniciales z 0 y m 0, que también verifican m 0 = k g z 0. (3) 2

3 Si de la ecuación (3) restamos la (4) se obtiene: con m = m m 0 y z = z z 0. m = k z (4) g Por tanto, vamos a medir la posición inicial, z 0, para el caso en el que sólo está el soporte y a partir de ahí consideraremos los desplazamientos, z, para los casos en que se van añadiendo las pesas disponibles. Para medir las posiciones se coloca el sensor de movimiento debajo del muelle y en su vertical. Utilizando el programa de ordenador para medir distancias se obtiene directamente el valor de la posición en metros. A partir de aquí se representa gráficamente m frente a z y se realiza un ajuste lineal. La pendiente del ajuste se corresponde con k/g y tomando como dato conocido g = 9,8 m/s 2 se despeja k ( cuidado con las unidades!) El periodo de un muelle oscilante. Si suponemos que la masa del muelle es despreciable, cuando colgamos de él una masa m, y hacemos que ésta oscile, se puede demostrar que el periodo de la oscilación T viene dado por m T = 2π k. (5) T tiene unidades de segundos, la constante del muelle k viene dada en N/m y la masa m en kilos. Si elevamos esta ecuación al cuadrado, T 2 = 4π2 m, (6) k la masa aparece proporcional al cuadrado del periodo y por consiguiente podemos reescribir esta ecuación en términos de incrementos de masa. En efecto, como m = m m 0, se tiene que m = m + m 0 y sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos: T 2 = 4π2 k ( m + m 0) = 4π2 k m + 4π2 m 0 k (7) El procedimiento experimental consiste en medir el periodo de oscilación para varias masas. Para calcular el periodo simplemente mediremos el tiempo total, t, empleado 3

4 para realizar 50 oscilaciones completas, dividiendo t por 50 obtendremos una buena estimación del periodo. El tiempo se medirá con el cronómetro del ordenador. De la representación de los periodos al cuadrado, T 2, frente a los incrementos de masa, m, en kg se obtiene una recta y = ax + b cuya pendiente, a, nos permite calcular la constante del muelle Dinámica del muelle Despreciando el rozamiento con el aire, el movimiento oscilatorio del muelle cuando se le somete a una pequeña perturbación es de tipo armónico simple. Matemáticamente, la elongación del muelle en función del tiempo viene dada por una función senoidal: z(t) = A cos(ωt + δ) (8) donde δ es el desfase inicial, dependiente de la posición y velocidad de la masa conectada al muelle en el instante inicial. Derivando esta ecuación se pueden obtener la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo. En la práctica construiremos las ecuaciones del movimiento de dos muelles conectados a la misma masa (esfera de madera). Para ello utilizaremos el sensor de movimiento y el programa de ordenador que permite obtener las gráficas de z(t), v(t) y a(t). Haciendo un ajuste senoidal a las tres obtendremos los parámetros que aparecen en las ecuaciones de movimiento. 4. Resultados a obtener a) Represéntese gráficamente m frente a z. Ajústense los datos a una recta. Calcúlese k/g a partir de la pendiente de la recta (ecuación (4)). b) Estímese el valor de la constante del muelle multiplicando por el valor conocido de g = 9,8 m/s 2. c) Represéntese gráficamente T 2 frente a m y ajústense los datos a una recta. Calcúlese la constante del muelle a partir de la pendiente de la recta. 4

5 d) Calcúlense la frecuencia, frecuencia angular y periodo de los dos muelles disponibles conectados a la masa de madera. e) Calcula la amplitud de las tres funciones: z(t), v(t) y a(t) y comprueba que las relaciones entre ellas son las que indican los cálculos teóricos. f) Finalmente, escribe las ecuaciones de movimiento z(t), v(t) y a(t) para los dos muelles. 5. Cuestiones 1. En qué unidades se miden en el S.I. las siguientes magnitudes: elongación, amplitud, periodo y frecuencia? Cuáles son sus dimensiones? 2. Demuestra la ecuación (5). 3. Comprueba que la ecuación (7) es dimensionalmente correcta. 4. Contesta razonadamente a los siguientes enunciados: a) El periodo de un objeto que oscila sobre un determinado muelle es independiente de que el muelle esté situado vertical u horizontalmente. b) La velocidad máxima de un objeto que oscila con amplitud A es independiente de que el muelle que lo sujeta esté situado horizontal o verticalmente. c) Es realmente el movimiento del muelle del laboratorio armónico simple? Por qué? Qué hipótesis simplificadoras estamos asumiendo? 5

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