MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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1 MAEMÁICAS FINANCIERAS Aloso

2 ÍNDICE. INERÉS SIMPLE 4. CONCEPOS PREVIOS DEFINICIÓN DE INERÉS SIMPLE FÓRMULAS DERIVADAS INERPREACIÓN GRÁFICA INERÉS COMPUESO 9 2. DEFINICIÓN DE INERÉS COMPUESO FÓRMULAS DERIVADAS COMPARACIÓN ENRE INERÉS SIMPLE Y COMPUESO ASAS DE INERÉS DESCUENO COMERCIAL 6 3. CONCEPOS PREVIOS SOBRE DESCUENO DESCUENO COMERCIAL SIMPLE DESCUENO COMERCIAL COMPUESO ASAS DE DESCUENO RELACIÓN ENRE LA ASA EFECIVA DE DESCUENO COMERCIAL SIMPLE Y UNA ASA EFECIVA DE INERÉS SIMPLE RELACIÓN ENRE LA ASA EFECIVA DE DESCUENO COMERCIAL COMPUESA Y UNA ASA EFECIVA DE INERÉS COMPUESO DESCUENO RACIONAL DESCUENO RACIONAL SIMPLE DESCUENO RACIONAL COMPUESO RELACIÓN ENRE LA ASA EFECIVA DE DESCUENO RACIONAL SIMPLE Y UNA ASA EFECIVA DE INERÉS SIMPLE RELACIÓN ENRE LA ASA EFECIVA DE DESCUENO RACIONAL COMPUESA Y UNA ASA EFECIVA DE INERÉS COMPUESO EQUIVALENCIA ENRE ASAS DE DESCUENO RACIONAL... 27

3 5. RENAS DEFINICIONES CLASIFICACIÓN DE LAS RENAS RENA CIERA, EMPORAL, CONSANE, ENERA, INMEDIAA Y VENCIDA RENA CIERA, EMPORAL, CONSANE, ENERA, INMEDIAA Y ADELANADA RENA CIERA, PERPEUA, CONSANE, ENERA, INMEDIAA Y VENCIDA RENA CIERA, PERPEUA, CONSANE, ENERA, INMEDIAA Y ADELANADA RENA CIERA, EMPORAL, CONSANE, ENERA, DIFERIDA Y VENCIDA AMORIZACIONES DEFINICIONES CÁLCULO DE LA CUOA DE AMORIZACIÓN /. INDICADORES PARA EVALUAR PROYECOS CONCEPOS PREVIOS /.2 VALOR ACUAL NEO (VAN) /.3 ASA INERNA DE REORNO (IR)... 4 /.4 OROS ELEMENOS PARA EVALUAR PROYECOS... 4 /.5 COMPARACIÓN ENRE VAN Y LOS DEMÁS ELEMENOS PARA EVALUAR PROYECOS ANEXOS I. ESRUCURA DE UN PROYECO DE INVERSIÓN II. EJERCICIOS III. FÓRMULAS IV. PROGRESIONES V. PARCIALES

4 Matemátcas Faceras. INERÉS SIMPLE. Coceptos Prevos ato cuado depostamos o os presta dero el baco os paga o os cobra u certo terés. Este terés puede ser calculado de dos maeras dferete: S captalzar tereses cada certo período (Iterés Smple) Captalzado tereses cada certo período (Iterés Compuesto) Comezaremos e esta parte estudado el cálculo de Iterés Smple, para ello veremos prevamete alguas defcoes de térmos a utlzar: Captal: Es la catdad de dero que depostamos o que os presta. Lo desgaremos co la letra C. Ej. U$S 0.000, $ , etc. empo: Es el tempo durate el cual depostamos o os presta el Captal C. Lo desgaremos co la letra. Ej. 3 meses, u año, etc. asa de Iterés: Se puede expresar de dos maeras dferetes a) Como la catdad de dero que produce 00 udades de la moeda correspodete durate u determado tempo. E este caso també suele llamarse tato por ceto, lo desgaremos co la letra R. Ej. 5% aual, 2% trmestral,,5 % mesual, etc., b) Como la catdad de dero que produce ua udad de la moeda correspodete durate u determado tempo. E este caso també suele llamarse tato por uo. Lo desgaremos co la letra. Ej. 0,05 por uo aual, 0,02 por uo trmestral, 0,05 por uo mesual, etc. Cuado o se dca la udad de tempo se tomará por defecto que es aual. Esto es aplcable tato a depóstos como a préstamos. El tato por uo es la cetésma parte del tato por ceto, de lo que resulta: R = 00 Iterés : Es la catdad de que recbmos o debemos pagar por el depósto o préstamo de u certo Captal C. Lo desgaremos co la letra I. Ej. U$S.000, $ 5.000, etc. Moto : Es la catdad de dero que obtedremos o deberemos pagar (segú sea depósto o préstamo) durate u certo período de empo. E otras palabras, es la suma del Captal C co el que empezamos el período de tempo y los tereses geerados durate el msmo. Lo desgaremos co la letra M. Ej. U$S 5.000, $ 5.000, etc..2 Defcó de Iterés Smple Dremos que el Iterés I es Iterés Smple, cuado solamete es el Captal C que geera el msmo durate el tempo, período durate el cual dura la trasaccó realzada. Este terés depede del Captal C, el empo y la tasa de terés (R ó ), y es drectamete proporcoal a cada uo de ellos. Veremos como obteer la fórmula para hallar dcho Iterés smple. Calcularemos el Iterés Smple I producdo por u Captal C, colocado al R% aual durate u período de empo. Segú la defcó de R, $ 00 geerará $ R durate u año. Haremos ua regla de tres para determar cuato geera $ C durate u año. $ $ R $ C $ X año X año = Iterés geerado durate u año C R X año = 00 Uversdad Católca del Uruguay Pág. 4

5 Matemátcas Faceras Calcularemos, medate otra regla de tres, el terés geerado durate u período de tempo. año $ X año años $ I I = Xaño pero susttuyedo X año os queda: C R I = 00 y R debe estar dados e la msma udad de tempo, por ejemplo s la tasa R es aual, debe estar e años. Ejemplo de Aplcacó : Hallar el terés smple que produce U$S 3.000, colocados al 5% aual durate 4 años I = = U$S E certas ocasoes, la tasa vee dada como tato por uo (), por lo que la fórmula de Iterés Smple queda: I = C No debemos olvdar que la asa (R o ) y el empo debe estar dados e la msma udad. S o fuese así, se debe covertr a la msma udad de tempo. Para realzar la coversó teemos que dstgur dos stuacoes dferetes, s queremos calcular el Iterés Smple exacto u ordaro. Para el prmero se trabaja sobre u año co la catdad de días exacto (365 ó 366 días), para el segudo se cosdera los años de 360 días. ambé se puede calcular el tempo e forma exacta o aproxmada. Para el prmero se cosdera el úmero exacto de días que dura la trasaccó, para el segudo se supoe el mes de 30 días. Ejemplo de aplcacó 2: Hallar el Iterés Smple que produjo u Captal de $ 0.000, colocado al 0,2 por uo aual desde el 3 de marzo al 2 de juo del msmo año (año ormal). Debemos dstgur los dos tpos de terés, el exacto y el ordaro, y a su vez e cada uo de ellos otros dos casos, co tempo exacto o aproxmado. empo Exacto: días de marzo + días de abrl + días de mayo + días de juo = 0 días empo Aproxmado: Fraccó de mes = 2-3 = 8 días Meses completos = 3 meses = 3 30 = 90 días otal de días = 08 días Iterés Smple Exacto: Co empo Exacto: 365 días año 0 días X X = 0,3037 años I = , 20 0, 3037 = $ 602,74 Uversdad Católca del Uruguay Pág. 5

6 Matemátcas Faceras Co empo Aproxmado: 365 días año 08 días X X = 0,29589 años I = , 20 0, = $ 59,78 Iterés Smple Ordaro: Co empo Exacto: 360 días año 0 días X X = 0,30556 años I = , 20 0, = $ 6,2 Co empo Aproxmado: 360 días año 08 días X X = 0,30000 años I = , 20 0, = $ 600,0 De las cuatro maeras resultates de calcular el Iterés Smple e el ejercco ateror, la más usada es el Iterés Smple Ordaro co empo Exacto..3 Fórmulas Dervadas Veremos a cotuacó de que maera calcular cada ua de las varables e juego, coocedo las restates. Moto Fal M Segú lo habíamos defdo, el Moto fal M era la suma del Captal cal C y los tereses geerados durate el tempo que dure la trasaccó. De esto resulta: M = C + I Pero també teíamos que I = C, de modo que susttuyedo I e la fórmula ateror resulta: M = C+ C M = C ( + ) Ejemplo de aplcacó 3 : S depostamos u Captal de U$S durate 2 años a u tasa del 5% aual, cuál será el Moto Fal obtedo?. ( ) M = , 05 2 = U$S.000 asa R De la fórmulas de Iterés Smple y Moto Fal podemos despejar R e, quedádoos: 00 I R = C = I C Uversdad Católca del Uruguay Pág. 6

7 Matemátcas Faceras = M C Ejemplo de aplcacó 4 : A qué tasa fue colocado u Captal de U$S s durate 3 años geeró u Iterés Smple de U$S.800? R = = 4% empo De las fórmulas de Iterés Smple y el Moto Fal, podemos despejar, quedádoos: 00 I = C R = I C = M C E estas fórmulas, el estará dado e la udad e la que está expresada R e. Por ejemplo, s R es aual, el tempo estará expresado e años. Geeralmete estará e años y dará u úmero decmal por lo que para expresarlo e años, meses y días, todo e días, etc. debemos realzar reglas de tres. Ejemplo de aplcacó 5 : Durate que tempo fue colocado u Captal de U$S s colocado al 5% aual geeró u Iterés Smple de U$S.400? = = 2,8 años Covertremos este resultado a días: año días 2,8 años X X =.008 días Captal Ical C De la fórmula de Iterés Smple podemos despejar C, quedádoos: 00 I C = R C = I C = M + Uversdad Católca del Uruguay Pág. 7

8 Matemátcas Faceras Ejemplo de aplcacó 6 : Cuál fue el Captal que colocado al 5,5% aual durate 2 años geeró u Iterés Smple de U$S 2.200?. C = , 2 = U$S Iterpretacó Gráfca Moeda M = C (+.) C C I = C.. I Período de empo () Uversdad Católca del Uruguay Pág. 8

9 Matemátcas Faceras 2. INERÉS COMPUESO 2. Defcó de Iterés Compuesto Cuado cosderábamos Iterés Smple, sólo el Captal Ical geeraba tereses. E el Iterés Compuesto, los tereses se captalza co certa perodcdad (mesual, trmestral, etc.), es decr se va agregado al Captal Ical, geerado també tereses. El Captal aumeta peródcamete y por tato los tereses que se va geerado. Sgue valedo la relacó etre el Captal C, el Moto Fal M y el Iterés geerado I, resultado: I = M - C. Veremos como calcular el Moto fal M para luego s poder hacerlo co el Iterés Compuesto co la fórmula ateror. Resolveremos prmero u ejercco secllo de Iterés Compuesto, utlzado la fórmula de Iterés smple. U Captal de $ es colocado al 5% aual durate u período de 3 años, captalzádose los tereses al fal de cada año. Calcular el Moto fal y los Itereses geerados. Calcularemos prmero el Iterés y el Moto geerados al fal del prmer año: I = = $ M = C + I = = $ El segudo año lo comezaremos co u Captal que será gual al Moto co que termamos el prmer año (suma de Captal Ical más el Iterés geerado e ese prmer año). Es decr: C 2 = M = $ Calcularemos el Iterés y el Moto geerados durate el segudo año: I 2 = = $ M 2 = C 2 + I 2 = = $ El tercer año lo comezaremos co u Captal que será gual al Moto co que termamos el segudo año (suma de Captal co que camos el segudo año más el Iterés geerado e ese msmo año). Es decr: C 3 = M 2 = $ Calcularemos el Iterés y el Moto geerados durate el tercer año: I 3 = = $ 5.52,50 00 M 3 = C 3 + I 3 = ,50 = $ 5.762,50 Quere decr que el Moto al fal del período que dura la trasaccó es: M = $ 5.762,50 El Iterés geerado será: I = 5.762, = $ 5.762,50 Hagamos ua tabla que resuma el ejercco: Año Captal Ical Itereses Moto Fal , , ,50 Uversdad Católca del Uruguay Pág. 9

10 Matemátcas Faceras Veremos la maera de obteer ua fórmula para calcular drectamete el Moto Fal. Realzaremos el msmo procedmeto utlzado para resolver el ejercco ateror, pero utlzado las varables como tales, s sustturlas por valores. Comezamos co u Captal C, colocado a ua asa, durate u tempo, co captalzacó de tereses aual. El Iterés y el Moto geerados al fal del prmer año es: I = C = C M = C + I = C+ C = C ( + ) El segudo año lo comezaremos co u Captal de: C + C 2 = M = ( ) El Iterés y el Moto geerados durate el segudo año: I 2 = C2 = C2 C2+ C2 = C2 + Susttuyedo C 2 por lo que os había dado: M 2 = C 2 + I 2 = ( ) M 2 = C ( + ) ( + ) = C ( + ) El tercer año lo comezaremos co u Captal de: C 3 = M 2 = C ( + ) El Iterés y el Moto geerados durate el tercer año será: I 3 = C3 = C3 C3+ C3 = C3 + Susttuyedo C 3 por lo que os había dado: M 3 = C 3 + I 3 = ( ) M 3 = C ( + ) 2 ( + ) = C ( + ) 3 Demostraremos por duccó completa que la fórmula para calcular el Moto Fal e Iterés Compuesto es: M = C ( + ) Para = se cumple ya que lo calculamos aterormete: M = C ( + ) se cumple Supoemos que para = N se cumple y demostraremos que també se cumple para = N+: Hpótess) MN = C ( + ) ess) MN + = C ( + ) S os stuamos al comezo del año = N +, el Captal C N+ co que empezamos dcho año es: N N + CN + = MN = C ( + ) El Iterés y el Moto geerados durate el año = N + so: IN + = CN + = CN + MN + = CN + + IN + = CN + + CN + = CN + ( + ) 2 N 2 Uversdad Católca del Uruguay Pág. 0

11 Matemátcas Faceras Susttuyedo C N+ por lo que os había dado, queda demostrada la ess: N MN + = C ( + ) ( + ) = C ( + ) Etoces, podemos decr que la fórmula para hallar el Moto Fal co Iterés Compuesto es: M = C ( + ) Por otro lado, como el Iterés Compuesto estaba dado como I = M - C, susttuyedo M os queda: I = C ( + ) C I = C [( + ) ] E ambas fórmulas, el empo y la asa debe estar dados e udades guales al período de captalzacó. Es decr, s la captalzacó es trmestral, el empo debe estar e trmestres y la asa trmestral. Ejercco de Aplcacó : Hallar el Iterés y el Moto Fal que geeró u Captal de U$S 3.000, colocado al 6% aual durate 4 años, co captalzacó de tereses trmestral. Como la captalzacó es trmestral, debemos covertr el empo e trmestres y la asa e trmestral. = , = 0,06 por uo aual = 4 = 4 4 = 6 trmestres = 0,05 trmestral ( ) M = , 05 6 M = (, 05) 6 N+ M = , = U$S 6.496,82 I = M - C I = 6.496, = U$S 3.496, Fórmulas Dervadas De la fórmula de Moto hallada aterormete podemos despejar C, quedádoos: M C = ( + ) Ejercco de Aplcacó 2 : Hallar el Captal que produjo u Moto Fal de U$S 8.000, s fue colocado al 6% aual durate 5 años, co captalzacó de tereses aual C = = ( + 0, 06) 5 U$S 5.978,07 De la fórmula de Moto hallada aterormete podemos despejar, quedádoos: log M = logc ( + ) log M = logc+ log( + ) log M = logc+ log( + ) log M logc = log( + ) Uversdad Católca del Uruguay Pág.

12 Matemátcas Faceras log M log C = log( + ) Ejercco de Aplcacó 3 : Hallar el empo durate el cual estuvo colocado u Captal de U$S 5.000, que al 5% aual geeró u Moto Fal de U$S 2.000, habedo tedo captalzacó de tereses mesual. log log = log( + 005, 2 ) 4, , 7609 = = 80,9 meses 0, Expresaremos la fraccó de mes e días: mes días 0,9 mes X X = 27 días El resultado fal es : = 80 meses 27 días De la fórmula de Moto hallada aterormete podemos despejar, quedádoos: M C = ( +) M = + C M = C Ejercco de Aplcacó 4: Hallar la asa a la que fue colocado u Captal de $ 8.000, que durate 6 años geeró u Moto Fal de $ , habedo tedo captalzacó de tereses aual = 6 = 0,423 por uo R = 4,23% 2.3 Comparacó etre Iterés Smple y Compuesto Supogamos que teemos u Captal C el cual podemos depostar e dos modaldades dferetes: S captalzacó de tereses (Iterés Smple) Co captalzacó de tereses (Iterés Compuesto) El período durate el cual lo depostamos es, y este empo está dcado e udades de tempo guales al período de captalzacó. E el prmer caso (Iterés Smple) o habrá captalzacó de tereses, y el Moto Fal queda de la sguete maera: M = C+ C = C ( + ) Uversdad Católca del Uruguay Pág. 2

13 Matemátcas Faceras E el caso que teemos captalzacó de tereses (Iterés Compuesto), el Moto Fal queda: Vamos a grafcar ambos Motos: M = C ( + ) M M c M s C.(+) C Período de empo () De la gráfca ateror, podemos sacar las sguetes coclusoes: = 0 MS = Mc = C 0< < MS > Mc = MS = Mc = C ( + ) > MS < Mc 2.4 asas de Iterés Cuado estamos trabajado co Iterés Compuesto, el dato de la asa que teemos puede ser: asa de Iterés Nomal (R N, N ) asa Efectva de Iterés (R E, E ) asa Efectva de Iterés e el Período de Captalzacó (R C, C ) asa de Iterés Real (R R, R ) asa de Iterés Istatáea (R I, I ) asa de Iterés Nomal La asa de Iterés Nomal es aquélla que tee 2 captalzacoes por lo meos e la udad de empo e la que está defda. Por ejemplo, s la asa es aual y las captalzacoes so trmestrales. La asa dcada e el Ejercco de Aplcacó es la asa de Iterés Nomal aual. R N = 6% aual N = 0,06 por uo aual asa Efectva de Iterés La asa Efectva de Iterés es aquélla que efectvamete gaamos e el período de empo e el que está defda. Esta asa es mayor que la asa de Iterés Nomal, sempre que ambas esté defdas e u certo período. E el Ejercco de Aplcacó la asa Efectva de Iterés aual se calcula de la sguete maera: E = ( + 0,05) 4 - = 0,0636 por uo aual R E = 6,36% aual Uversdad Católca del Uruguay Pág. 3

14 Matemátcas Faceras asa Efectva de Iterés e el Período de Captalzacó Es la asa de Iterés que se aplca a cada período de captalzacó. E el Ejercco de Aplcacó la asa Efectva de Iterés e el Período de Captalzacó se calcula de la sguete maera: R C = 6 4 asa de Iterés Real = 5,% 006, trmestral C = 4 = por uo trmestral Cuado algue fja el valor de la asa de Iterés a cobrar e u certo préstamo por ejemplo, tee e cueta dos cosas: asa de Iflacó e la moeda que se realza la operacó y e el período que dure el préstamo Beefco que desea obteer Esta últma compoete de la asa de Iterés (el beefco que se desea obteer) se llama asa Real. S llamamos D a la asa de Iflacó y q a la catdad de captalzacoes que se tee e ua udad de tempo, veremos cual es la relacó de la asa de Iterés Real co las restates asas. q N q + = ( + C) = ( + E) = ( + D) ( + R) q De la relacó ateror se puede obteer cualquera de las asas volucradas e fucó de las otras. Ejercco de Aplcacó 5: S se tee que la flacó esperada es de % y la asa de Iterés cobrada por el Baco es de 20%, calcular cual es la asa de Iterés Real. ( + 0, 20) = ( + 0, ) ( + R) R = 0,0808 por uo R R = 8,08% asa de Iterés Istatáea La asa de Iterés Istatáea es la mayor asa Efectva de Iterés para ua determada asa de Iterés Nomal. Para ua msma asa de Iterés Nomal, a meor período de captalzacó correspode mayor terés, por lo que la asa de Iterés Istatáea será aquélla e la que el período de captalzacó tede a cero, o vsto de otra maera, la catdad de captalzacoes e ua udad de tempo tede a. Veremos como obteer ua fórmula para calcular la asa de Iterés Istatáea. Partremos de la sguete fórmula ya hallada: S susttumos C e fucó de N teemos: ( + I) = ( + ) C q q q N ( + I) = + = + = + q q q N N q N N Uversdad Católca del Uruguay Pág. 4

15 Matemátcas Faceras Cuado q : + q N q N e Etoces resulta: Despejado I os queda: Despejado N os queda: ( + I) = e I N N = e L( + I) = Le N L( + I) = N Le N = L( + I) Ejercco de Aplcacó 6: Dada ua asa de Iterés Nomal de 5% mesual, hallar la máxma asa Efectva de Iterés que puede ser cobrada. 005, I = e = 0,0527 por uo mesual I R = 5,27% mesual El cálculo del Moto para el caso que tegamos captalzacó de tereses statáea os queda: M = C e N Uversdad Católca del Uruguay Pág. 5

16 Matemátcas Faceras 3. DESCUENO COMERCIAL 3. Coceptos Prevos Sobre Descueto U Descueto cosste e recbr ua certa catdad de dero a cambo de la posesó de uo o varos documetos a cobrar e el futuro. E la fecha de vecmeto, s los msmos o puede ser cobrados, la persoa que los etregó a cambo de dero deberá hacerse cargo de los msmos. E el tema de Descuetos exste varos coceptos que es ecesaro defr co clardad. Veremos a cotuacó cada uo de ellos. Pagaré o Coforme: Es ua promesa escrta de pago de ua determada catdad de dero estpulada e el msmo, e ua fecha dada. E ellos suele dcarse la fecha e que se suscrbó, el deudor, la fecha de vecmeto, el moto (cluyedo o o los tereses) y la asa de Iterés (s los tereses o está cludos e el moto). Valor Nomal: Catdad de dero dcada e el documeto (V N ). Valor Actual: Valor que se recbe por descotar el documeto (V A ). asa Efectva de Descueto: Es el descueto por udad de tempo que os hace por adelatar el cobro de ua udad moetara (d). Ej. 0,03 por uo mesual. ambé puede expresarse como tato por ceto (d%). Ej. 3% mesual. empo de Vecmeto: empo que va desde que se descueta el documeto hasta su vecmeto (). El empo y la asa de Descueto debe estar dados e la msma udad de tempo. Defdos estos coceptos, podemos defr el Descueto (D) como la dfereca etre el Valor Nomal y el Valor Actual. D = V N - V A U Descueto se puede asocar a u préstamo. E el Descueto exste ua persoa que recbe dero a cambo de documetos por u valor superor, a cobrar e ua fecha futura. Al cobrar los documetos, este dero estará compuesto por la catdad adelatada más otra que represetará de algua forma tereses por el servco. La correspodeca etre los dos casos (Descueto y Préstamo) es: Valor Actual Captal Prestado Valor Nomal Moto Fal Descueto Iterés Segú sobre que valor se aplca la asa de Descueto y s hay o o aplcacoes peródcas (el equvalete a la captalzacó e terés compuesto) tedremos dsttos tpos de Descuetos: Descueto Comercal Smple Descueto Comercal Compuesto Descueto Racoal Smple Descueto Racoal Compuesto La dfereca etre u Descueto Comercal Smple y uo Compuesto es que e éste últmo se realza Aplcacoes (equvalete a captalzacó de tereses) cada certo período. 3.2 Descueto Comercal Smple E el Descueto Comercal Smple, la asa de Descueto se aplca sobre el Valor Nomal del Documeto. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 6

17 Matemátcas Faceras S el documeto es de u Valor omal V N, que vece e udades de tempo y es descotado a la asa Efectva de descueto d, y retrocedemos desde la fecha de vecmeto ua udad de tempo haca atrás teemos: D, = d VN VA, = VN D, = VN d VN VA, = VN ( d) S cosderamos el Descueto para el período (-,-2), éste resulta: D 2, = d VN V, 2 = V D, D 2, = V d V d V VA, 2 = VN ( 2 d) A N N N N S hacemos lo msmo para el período (-2,-3), resulta: D 3, 2 = d VN V, 3 = V D, D 2, D 3, 2 = V d V d V d V VA, 3 = VN ( 3 d) A N N N N N S segumos aplcado este procedmeto, resultaría: = D = d VN = d V = VA = VN D = VN d VN D = VN d VA = VN ( d) Veremos la terpretacó gráfca de la fórmula ateror: N Dero V N D D V A empo () V A Uversdad Católca del Uruguay Pág. 7

18 Matemátcas Faceras S d > deberíamos pagar por descotar u documeto, lo que resultaría lógco. Es por esto que surge el cocepto de Descueto Comercal Compuesto, el que veremos más adelate. Ejercco de Aplcacó : U documeto cuyo Valor Nomal es de $ y vece detro de 5 meses, es descotado co Descueto Comercal Smple al 4% mesual. Calcular la catdad de dero que se recbrá por el descueto. Lo que teemos que calcular es el Valor Actual del documeto. Fórmulas Dervadas ( ) VA = , 04 VA = , 80 = $ De la fórmula de V A y D halladas aterormete podemos despejar V N, quedádoos: V N = VA d V N = D d S ahora despejamos os queda: = V A V d N = D VN d S ahora despejamos d os queda: d = V A V N d = D VN 3.3 Descueto Comercal Compuesto E el Descueto Comercal Compuesto, la asa de Descueto se aplca sobre el Valor al fal de la udad de tempo sobre la que estamos calculado el descueto. S el documeto es de u Valor omal V N, que vece e udades de tempo y es descotado a la asa Efectva de descueto d, y retrocedemos desde la fecha de vecmeto ua udad de tempo haca atrás teemos : D, = d VN VA, = VN D, = VN d VN Uversdad Católca del Uruguay Pág. 8

19 Matemátcas Faceras VA, = VN ( d) S cosderamos el Descueto para el período (-,-2), éste resulta: D 2, = d VA, = VN d ( d) VA, 2 = VA, D 2, = VA, VA, d VA, 2 = VA, ( d) = VN ( d) ( d) VA, 2 = VN ( d) Demostraremos por duccó completa que la fórmula para calcular el Descueto Comercal Compuesto es: VA = VN ( d) Para = se cumple ya que lo calculamos aterormete: VA = VN ( d) se cumple Supoemos que para = se cumple y demostraremos que també se cumple para = - : Hpótess) VA, = VN ( d) ess) VA, + = VN ( d) S os stuamos al fal de la udad de tempo = -, el Valor será gual al del comezo del período de empo =, es decr: VA, = VN ( d) El Descueto correspodete a ese período de tempo y el Valor al comezo del msmo so: 2 + D = VA, d V A,- = V A, -D - = V A, -VA, d = VA, ( d) V A,- = ( ) VN d ( d) + V A,- = VN ( d) Etoces, podemos decr que la fórmula para hallar el Valor Actual co Descueto Comercal Compuesto es: VA = VN ( d) Ejercco de Aplcacó 2 : U documeto cuyo Valor Nomal es de $ y vece detro de 6 meses, es descotado co Descueto Comercal Compuesto al 54% aual co aplcacoes mesuales. Calcular la catdad de dero que se recbrá por el descueto. Lo que teemos que calcular es el Valor Actual del documeto. = , = 0,54 por uo aual = 2 Fórmulas Dervadas = 0,045 mesual ( ) VA = , VA = , = $ ,39 De la fórmula de V A hallada aterormete podemos despejar V N, quedádoos: V N = VA ( d) Uversdad Católca del Uruguay Pág. 9

20 Matemátcas Faceras De la fórmula de V A hallada aterormete podemos despejar, quedádoos: logva = logvn ( d) logva = logvn + log( d) logva = logvn + log( d) logva logvn = log( d) log VA log V = log( d) De la fórmula de V A hallada aterormete podemos despejar, quedádoos: VA = ( d) VN VA = d VN N d = V V A N 3.4 asas de Descueto Al gual que e Iterés Compuesto, el dato de la asa que teemos puede ser: asa de Descueto Nomal (d N ) asa de Descueto Efectva (d E ) asa Efectva de Descueto e el Período de Captalzacó (d C ) asa de Descueto Real (d R ) asa de Descueto Istatáea (d I ) asa de Descueto Nomal La asa de Descueto Nomal es aquélla que tee 2 aplcacoes por lo meos e la udad de empo e la que está defda. Por ejemplo, s la asa de Descueto es aual y las captalzacoes so trmestrales. E el Ejercco de Aplcacó 2 la asa de Descueto omal es 54% aual. d N = 0,54 por uo aual asa Efectva de Descueto La asa Efectva de Descueto es aquélla que efectvamete os aplca e el período de empo e el que está defda. Esta asa es meor que la asa de Descueto Nomal, sempre que ambas esté defdas e u certo período. E el Ejercco de Aplcacó 2 la asa Efectva de Descueto aual se calcula de la sguete maera: d E = - ( - 0,045) 2 = 0,4245 por uo mesual asa Efectva de Descueto e el Período de Captalzacó Es la asa que se aplca a cada período de captalzacó. E el Ejercco de Aplcacó 2 la asa Efectva de Descueto e el Período de Captalzacó se calcula de la sguete maera: 054, d C = = 0,045 por uo mesual 2 Uversdad Católca del Uruguay Pág. 20

21 Matemátcas Faceras asa de Descueto Real Cuado algue fja el valor de la asa Descueto a cosderar e u certo préstamo por ejemplo, tee e cueta dos cosas: asa de Iflacó e el período e que se hace el descueto Beefco que desea obteer Esta últma compoete de la asa (beefco que se desea obteer), se llama asa de Descueto Real. S llamamos D a la asa de Iflacó y q a la catdad de aplcacoes que se tee e ua udad de tempo, veremos cual es la relacó de la asa de Descueto Real co las restates asas. q dn q = ( dc) = ( de) = ( D) ( dr) q De la relacó ateror se puede obteer cualquera de las asas de Descueto volucradas e fucó de las otras. Ejercco de Aplcacó 3: S se tee que la flacó esperada es de 3% y la asa de Descueto cobrada por el Baco es de 27%, calcular cual es la asa de Descueto Real. asa de Descueto Istatáea ( 0, 27) = ( 0, 3) ( dr) d R = 0,6092 por uo La asa de Descueto Istatáea es la míma asa Efectva de Descueto para ua determada asa de Descueto Nomal. Para ua msma asa de Descueto Nomal, a meor período de aplcacó correspode meor terés, por lo que la asa de Descueto Istatáea será aquélla e la que el período de aplcacó tede a cero, o vsto de otra maera, la catdad de aplcacoes e ua udad de tempo tede a. Veremos como obteer ua fórmula para calcular la asa de Descueto Istatáea. Partremos de la sguete fórmula ya hallada: S susttumos d C e fucó de d N teemos: ( di) = ( d ) C q Cuado q : q q dn ( di) = = + = + q q q d N d N q d d N N Etoces resulta: Despejado d I os queda: dn + e q d N q ( di) = e dn d I = e dn Uversdad Católca del Uruguay Pág. 2

22 Matemátcas Faceras Despejado d N os queda: di = e dn di = e dn dn L( di) = L( e ) dn Le = L( di) dn = L( di) dn = L( di) ambé podemos poer: VA = VN e dn Ejercco de Aplcacó 4: Dada ua asa de Descueto Nomal de 6% mesual, hallar la míma asa Efectva de Descueto que puede ser aplcada. 006, di = e = 0,05823 por uo El cálculo del Valor Actual para el caso que tegamos aplcacoes statáeas os queda: VA = VN e dn 3.5 Relacó etre la asa Efectva de Descueto Comercal Smple y ua asa Efectva de Iterés Smple Dremos que ua asa de Iterés es equvalete a ua asa de Descueto s a guales Valores e el presete (Captal y Valor Actual respectvamete), luego de trascurrdo u msmo período de empo, se obtee al fal del msmo guales Valores (Moto Fal y Valor Nomal respectvamete). Esto es aplcable també a cualquera de las equvalecas que veremos más adelate. C = V A = X M = V N = Y Susttuyedo e las fórmulas correspodetes teemos: Y = X ( + ) X Y = d De lo ateror se puede deducr resolvedo el sstema que: + = d Despejado, os queda para que se cumpla la equvaleca: d d = d = + E las fórmulas aterores, d e debe estar expresadas e la msma udad de tempo. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 22

23 Matemátcas Faceras Ejercco de Aplcacó 5: Hallar la asa Efectva de Iterés Smple Mesual equvalete a ua asa Efectva de Descueto Comercal Smple de 4% mesual, para u período de empo de: a) 3 meses, b) año. 004, a) = = 0,04545 por uo mesual 3 0, , b) = = 0,07692 por uo mesual 2 004, 3.6 Relacó etre la asa Efectva de Descueto Comercal Compuesta y ua asa Efectva de Iterés Compuesto Aplcado el razoameto del puto ateror, se debe cumplr: C = V A = X M = V N = Y Susttuyedo e las fórmulas correspodetes teemos: Y = X ( + ) X Y = ( d) De lo ateror se puede deducr resolvedo el sstema que: ( + ) = ( d ) Despejado, os queda para que se cumpla la equvaleca: d d = d = + E las fórmulas aterores, d e debe estar expresadas e la msma udad de tempo. Ejercco de Aplcacó 6: Hallar la asa Efectva de Iterés Compuesto Mesual equvalete a ua asa Efectva de Descueto Comercal Compuesto de 5% mesual, para u período de empo de 5 meses. 005, = = 0,05263 por uo mesual 0, 05 Uversdad Católca del Uruguay Pág. 23

24 Matemátcas Faceras 4. DESCUENO RACIONAL 4. Descueto Racoal Smple E el Descueto Racoal Smple, la asa de Descueto se aplca sobre el Valor Actual al co del período (Valor del mometo cero). S el documeto es de u Valor omal V N, que vece e udades de tempo y es descotado a la asa Efectva de descueto d, y retrocedemos desde la fecha de vecmeto ua udad de tempo haca atrás teemos: D, = d VA VA, = VN D, = VN d VA S cosderamos el Descueto para el período (-,-2), éste resulta: D 2, = d VA V, 2 = V D, D 2, = V d V d V VA, 2 = VN 2 d VA A N N A A S hacemos lo msmo para el período (-2,-3), resulta: D 3, 2 = d VA V, 3 = V D, D 2, D 3, 2 = V d V d V d V VA, 3 = VN 3 d VA A N N A A A S segumos aplcado este procedmeto, resultaría: Y despejado V A teemos: = D = d VA = d V = VA = VN D = VN d VA V A VN = + d A D = VA d Ejercco de Aplcacó : U documeto cuyo Valor Nomal es de $ y vece detro de 6 meses, es descotado co Descueto Racoal Smple al 5% mesual. Calcular la catdad de dero que se recbrá por el descueto. Lo que teemos que calcular es el Valor Actual del documeto VA = = $ , , 05 Fórmulas Dervadas De la fórmula de V A hallada aterormete podemos despejar V N, quedado: V N = VA ( + d) S ahora despejamos de las fórmulas de V A y D os queda: = VN V A d Uversdad Católca del Uruguay Pág. 24

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