Universidad de Antioquia

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1 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de Matemáticas Grupo de Semilleros de Matemáticas (Semática) Teorema fundamental del álgebra Matemáticas Operativas Taller Las técnicas algebraicas desarrolladas durante el siglo XVII por F. Viète y por Girolamo Cardano proporcionaron las herramientas para que los matemáticos franceses Pierre de Fermat y René Descartes (figura 1) resolvieran una variedad de problemas que permanecían sin resolver desde la Grecia Clásica. El gran aporte de estos dos últimos pensadores fue el haber establecido una conexión no aparente entre la geometría y el álgebra, que finalmente conduciría al nacimiento de la geometría analítica. René Descartes (Francia, 31 de marzo de Estocolmo, 11 de febrero de 1650) fue un pensador francés cuyas contribuciones no sólo fueron Figura 1 en el campo de las matemáticas; en física es considerado el creador del mecanicismo y en filosfía proporcionó los fundamentos del racionalismo occidental. Su famosa obra, La Géométrie (163), establece equivalencias entre operaciones algebraicas y construcciones geométricas, y está basada en la idea de caracterizar una diversidad de lugares (locus) geométricos como líneas, circunferencias y secciones cónicas, en términos de cierta clase de ecuaciones algebraicas que involucraban magnitudes de segmentos de rectas. Descartes fue el primero en estudiar de una manera sistemática las propiedades algebraicas de los polinomios, en particular la relación entre los ceros de un polinomio y su grado, así como la factorización de polinomios como producto de factores lineales. Con el trabajo de Descartes, el desarrollo del álgebra se centró en el estudio de los polinomios, concretamente en la búsqueda de soluciones generales de ecuaciones polinómicas de grado cuatro en adelante. Los intentos realizados para resolver este tipo de ecuaciones condujeron al planteamiento de una cuestión de vital importancia en álgebra, a saber, el número de soluciones que una ecuación polinómica de grado n puede admitir. La respuesta a esta imporante pregunta fue sugerida inicialmente por el mátemático francés Albert Girard en 1629 y está dada por el teorema fundamental del álgebra que afirma que toda ecuación polinómica de grado n, con coeficientes complejos, tiene n raíces complejas. Aunque desde la antiguedad era conocido que muchas ecuaciones polinómicas particulares satisfacían el teorema, fue sólo hasta el siglo XVIII que el matemático alemán Carl Friedrich Gauss lo demostró. Este teorema fue fundamental para establecer las bases conceptuales que permitieron consolidar al álgebra como una disciplina de estudio de las matemáticas. Objetivo general Emplear el toerema fundamental del álgebra y sus consecuencias en la solución de problemas que involucran ecuaciones polinómicas. Objetivos específicos 1. Identificar los ceros de una función polinomial y su multiplicidad. 2. Encontrar una función polinomial con ceros especificados. Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática,. Esta obra es distribuida bajo una licencia Creative Commons Atribución - No comercial 2.5 Colombia.

2 2 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 1. Resultados fundamentales Los ceros de un polinomio f(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = 0 y geométricamente corresponden a las intersecciones con el eje x de la gráfica de f. El polinomio de grado n = 1, f(x) = ax + b tiene un cero, b/a. El polinomio de grado n = 2, f(x) = ax 2 + bx + c posee al menos un cero que está dado por b+ b 2 4ac 2a o b b 2 4ac 2a. En general, para polinomios de grado n tenemos el siguiente resultado: Teorema 1.1 (Teorema fundamental del álgebra). Todo polinomio de grado n 1 posee al lo menos un cero, que puede ser real o complejo. Los teoremas del factor y del residuo vistos en el taller anterior se pueden extender al sistema de los números complejos. Así, el número complejo z = a+bi es un cero de un polinomio f(x) si y sólo si x z es un factor de f(x). Como consecuencia del teorema fundamental del álgebra (1.1) tenemos el siguiente resultado: Teorema 1.2 (Teorema de factorización completa para polinomios). Si f(x) es un polinomio de grado n 1, entonces existen n números complejos z 1,z 2,...,z n tales que f(x) = a(x z 1 )(x z 2 ) (x z n ), donde a es el coeficiente principal de f(x). Observemos que cada número z k en el teorema de factorización completa (1.2) es un cero de f(x) y cada uno de estos ceros puede repetirse, por ejemplo f(x) = x 2 2x + 1 tiene dos ceros iguales: z 1 = z 2 = 1, pues f(x) = (x 1) 2. Otros ejemplos son los siguientes: Polinomio f(x) Forma factorizada Ceros de f(x) 5x 3 30x 2 +65x 5x(x (3+2i))(x+(3+2i)) 0, ±3+2i x 2 +3x+4 6x 3 2x 2 6x 2 ( ( x 3 )) ( ( i x 3 )) 2 2 i 3 2 ± 2 i ( 6 x+ 1 ) (x+i)(x i) 1 3 3, ±i Si todos los ceros enunicados en el teorema de factorización completa (1.2) son distintos... Teorema 1.3 (Número máximo de ceros de un polinomio). Un polinomio de grado n tiene a lo sumo (como máximo) n ceros complejos diferentes. Definición 1.1. Si un factor, digamos x c, se presenta m veces en la factorización del polinomio f(x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de la ecuación f(x) = 0. Ejemplo 1.1. Paraelpolinomiof(x) = x(x 1) 2 (x 4) 3 tenemosque 4esun cerode multiplicidad 3, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 0 es un cero de de multiplicidad 1. Teorema 1.4 (Número exacto de ceros de un polinomio). Si f(x) es un polinomio de grado n 1 y si cada cero de multiplicidad m se cuenta m veces, entonces f(x) tiene precisamente n ceros.

3 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 3 Ejercicio 1.1. Exprese f(x) = x 5 x 4 2x 3 como producto de factores y encuentra sus ceros. Solución. Observemos que f(x) = x 3 (x 2 x 2) = x 3 (x+1)(x 2) luego los ceros de f(x) son 0,0,0, 1,2. 2. Ceros racionales e irracionales No todo polinomio tiene ceros racionales, pero en caso de tenerlos, los podemos hallar con ayuda del siguiente teorema Teorema 2.1 (Ceros racionales de un polinomio). Todo cero racional de un polinomio f(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 es de la forma c d, donde c es un factor de a 0 y d es un factor de a n. Ejercicio 2.1. Halla todos los ceros de f(x)=x 6 +3x 5 13x 4 25x 3 +50x 2 +24x. Solución. Primero observemos que f(x) = x (x 5 +3x 4 13x 3 25x 2 +50x+24) y por tanto 0 es una raíz de f(x) = 0. Descartando esta raíz obtenemos la ecuación x 5 +3x 4 13x 3 25x 2 +50x+24 = 0. Como a 5 = 1 y a 0 = 24, las posible raíces racionales son: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12 y ±24. Probamos con 1 (no hay un orden específico para hacer esto), utilizando división sintética: = f(x) = (x 2) ( x 4 +5x 3 3x 2 31x 12 ) Repetimos el procedimiento con el polinomio q 1 (x) y probamos con 3: Para el polinomio q 2 (x) probamos con 4: q 1(x) = f(x) = (x 2)(x+3) ( x 3 +2x 2 9x 4 ) q 2(x) = f(x) = (x 2)(x+3)(x+4) ( x 2 2x 1 ) Para el polinomio q 3 (x) = x 2 2x 1 tenemos que sus raíces están dadas por ( 2)± ( 2) ( 1) = 2± 8 = 2±2 2 = 1± Por tanto, f es un polinomio de grado 5 que tiene 3 ceros racionales y 2 ceros irracionales: ( ( f(x) = (x 2)(x+3)(x+4) x 1 ))( ( 2 x 1+ )) 2. Observación 1. El polinomio anterior tiene dos ceros irracionales que se presentan en pares conjugados. En general, se presenta la siguiente situación q 3(x)

4 4 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, Teorema 2.2 (Ceros irracionales conjugados). Si los coeficientes de p(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + a 1 x+a 0 son enteros y si c 1 = s+t u es un cero irracional de p(x) (u no es cuadrado perfecto), entonces c 2 = s t u también es un cero de p(x). Finalizamos esta sección con el siguiente resultado Teorema 2.3 (Suma y producto de ceros). La suma y el producto de los ceros del polinomio p(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + a 1 x+a 0, a n 0 vienen dados en términos de sus coeficientes por medio de 3. Ceros complejos Suma de ceros = a n 1 y Producto de ceros = ( 1) na 0 a n El teorema fundamental del álgebra (1.1) nos garantiza que todo polinomio de grado n 1 posee al menos un cero, que en algunos casos resulta ser real y en otros complejo. Cuando los ceros son complejos (parte imaganiria no nula) y los coeficientes del polinomio son reales, tenemos el siguiente resultado Teorema 3.1 (Ceros conjugados de un polinomio). Si un polinomio f(x) de grado n > 1 tiene coeficientes reales y si z = a+bi con b 0 es un cero complejo de f(x), entonces el conjugado z = a bi también es un cero de f(x). Ejercicio 3.1. Encuentre un polinomio de coeficientes reales de grado 4 que tenga como ceros a 3+2i y 1 4i. Solución. Por el teorema anterior 3 + 2i, 3 2i, 1 4i y 1 + 4i, son los ceros de f(x). Por el teorema del factor f(x) se puede expresar como el producto de x ( 3 + 2i), x ( 3 2i), x (1 4i) y x (1+4i), así f(x) = [x ( 3+2i)][x ( 3 2i)][x (1 4i)][x (1+4i)] = [x 2 +6x+13][x 2 2x+16] = x 4 +4x 3 +1x 2 +0x+208. Observación 2. Aunque el teorema de factorización completa (1.2) nos garantiza que todo polinomio p(x) de grado n 1 se puede expresar como producto de factores lineales p(x) = a(x z 1 )(x z 2 ) (x z n ), estos factores no siempre tendrán coeficientes reales. Teorema 3.2. Todo polinomio con coeficientes reales se puede expresar como el producto de factores lineales y/o cuadráticos con coeficientes reales. Ejemplo 3.1. El polinomio p(x) = x 3 x 2 +4x 4 tiene coeficientes reales y se puede factorizar como producto de factores lineales y cuadráticos (con coficientes reales) p(x) = x 3 x 2 +4x 4 = (x 3 x 2 )+(4x 4) = x 2 (x 1)+4(x 1) = (x 1)(x 2 +4) a n

5 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 5 o como producto sólo de factores lineales (pero con coeficientes complejos) ( p(x) = (x 1) x )( 2i x+ ) 2i. 4. Ejercicios [Problemas (1)-()] Exprese a f(x), un polinomio con coeficientes reales, como producto de factores lineales y cuadráticos en R, si f(x) tiene los ceros y el grado indicado en cada caso. 1. Ceros: 3 2i; grado: Ceros: 4 3i; grado: Ceros: 2,5 2i; grado: Ceros: 3,1+i; grado: Ceros: 1,0,1+i; grado: Ceros: 0, 2i,1 i; grado: 5.. Ceros: 0,3i,4+i; grado: 5. [Problemas (8)-(10)] Encuentre el polinomio de menor grado que tenga los ceros indicados de multiplicidad 2 y de multiplicidad 3, 2 3 y i,2+3i, 4 de multiplicidad Las soluciones de la ecuación x 3 8 = 0, son las raíces cúbicas de 8. Cuántas raíces cúbicas de 8 existen? Hállelas. 12. Uno de los ceros de p(x) = x 2 +2ix 5 es 2 i. Demuestre que 2 + i no es un cero de p(x). Contradice esto el teorema de las raíces conjugadas?. [Problemas (13)-(16)] Demuestre que las ecuaciones dadas no tienen raíces racionales. Referencias 13. x 3 +3x 2 4x+6 = x 3 4x 2 +x+5 = x 5 3x 3 +4x 2 +x 2 = x 5 +3x 3 + = 0 [Problemas (1)-(23)] Halle todas las soluciones de las ecuaciones dadas. 1. x 3 x 2 10x 8 = x 3 +x 2 14x 24 = x 3 3x 2 1x+30 = x 3 +8x 2 3x 2 = x 4 +3x 3 30x 2 6x+56 = x 5 10x 4 6x 3 +24x 2 +11x 6 = x 5 +3x 3 + = Encuentre un polinomio de grado 2 tal que la suma de sus raíces es 2 y el producto es A y B son dos ciudades que están 300 kilómetros una de la otra. Si dos trenes parten simultáneamente de A y de B, cada uno hacia la otra estación y después de que se encuentran, el tren que salió de A llegó a B en 9 horas, en tanto que el que salió de B llegó a A en 4 horas. Encuentre la velocidad de cada tren. [1] Notas de clase y talleres desarrollados por profesores del Instituto de Matemáticas de la para el curso Álgebra y trigonometría (CNM-108): [2] W. L. Hosch, The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry. Rosen Education Service, primera edición, [3] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, undécima edición, editorial Thomson, 2006.