Para las siguientes funciones obtenga los puntos críticos y establezca la naturaleza de cada uno de ellos. Solución: ( )

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1 SERIE DE ÁLULO VETORIAL 1 PROFESOR: PEDRO RAMÍREZ MANNY TEMA 1 Para las siguientes funciones obtenga los puntos críticos y establezca la naturaleza de cada uno de ellos. f x, y = x + y 6x + 6y + 8 1) ( ) ( 0,0 ) p.silla. ( 0, 4) máx. rel. ( 4, 4) ( 4,0 ) mín. rel. ) z = e xy ( 0,0 ) punto silla. x + y ) f ( x, y) = e ( ) 4) ( ) ( 5, 16) mín. rel. ( 1, 4) f x, y = x + 18xy+ y + 6x+ 6y+ 0 p.s. 0,0 máx. rel. punto silla 5) f ( xy, ) = cosh x+ cosh y ( ) 0,0 mín. rel. 6) Para los siguientes problemas, determine la función objetivo (F.O.)y la función restricción(f.r.). a) Encuentre tres números reales cuya suma sea 9 y la suma de sus cuadrados sea tan pequeña como sea posible. S = x + y + z F.O. x+ y+ z = 9 F.R.

2 b) Encuentre las dimensiones de una caja rectangular cerrada con volumen máximo que puede inscribirse en una esfera unitaria. f ( x, y, z) = 8xyz F.O. x + y + z = 1 F.R. c) Encuentre las dimensiones del bote cilindrico circular recto cerrado de menor área de superficie cuyo volumen es 16π cm. f ( rh, ) = π r + π rh F.O. π rh= 16π F.R. d) Determine las dimensiones del radio r y de la altura h del cilindro que puede ser inscrito en una esfera de radio 10, de tal modo que su superficie total sea máxima. f ( rh, ) = π r + π rh F.O. 4r + h = 400 F.R. e) Hallar las dimensiones de la caja de mayor volumen cuya superficie sea de 6 pulgadas cuadradas. f ( xyz,, ) = xyz F.O. xy + xz + yz = F.R. 7) Sea la función f ( xy, ) = x+ y con la restricción obtener los máximos y mínimos., mín. (, ) máx. ( ) x + y = 4, 8) alcular la distancia mínima del origen a la curva x + y = 1 : x xy y z + = 1

3 1 1 1 A,,, B,,, 1 1 1,,, D,,. 9) Determine los puntos (x,y,z) del elipsoide x + 4y + 5z = 70 de modo que la suma de su primera y tercera coordenadas sea la mayor y la menor posible. 5,0,. ( 5,0, ), ( ) 10) Un aro metálico cuya configuración geométrica esta representada por las ecuaciones y x= 0 x + y + 4z 7= 0 esta en un medio con temperatura T ( x, y, z) = xyz Determinar los puntos donde el aro está más caliente y donde está frío. Más calientes:,, y,, con 7 T = 10 + Más fríos:,, y,, con 7 T = 10 11) Aplicar el análisis de la variación de una función para establecer las ecuaciones de las rectas sobre las cuales se localizan los ejes de la elipse de ecuación 5x + 8xy+ 5y = 9. (Sugerencia: Tomar en cuenta que la elipse tiene su centro en el origen). y± x. 1) Se desea fabricar un recipiente sin tapa con forma de cilindro circular recto y cuyo volumen sea de 16 m. Si el m del material para la base cuesta el doble que para la pared, calcular

4 las dimensiones que debe tener el recipiente para que el costo sea el mínimo. 4 r =, h = π π 1) Obtener las dimensiones de un silo de almacenamiento formado por un cilindro que tiene en la parte superior a una semiesfera, de modo que se tenga un volumen máximo, si el área de la lámina con que se cuenta para construirlo es de 15m. 4 h= r =. π 14) alcular el valor de los extremos absolutos de la función f xy, = x y definida sobre la región ( ) x y R= ( x, y) + 1; ( x, y) R , mínimos absolutos ( 0, ) y ( ) (,0 ) y (,0) máximos absolutos 4 15) Determinar el máximo absoluto y mínimo absoluto de la función f ( xy, ) = x 4x+ y 4y+ 1 en una región del dominio de f limitado por x= 0, y=, y= x. f 0,0 = 1 máximo absoluto ( ) f ( ) 1, = 5 mínimo absoluto 16) Determinar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función f ( x, y) = x + y en una región del dominio de f limitado por y =, y= x 1. f 0,0 = 0 mínimo absoluto ( ) f ( ) f ( ), =, = 1 máximo absoluto

5 1EP TIPO A ) Determinar la naturaleza de los puntos críticos de la función xy f xy, = e ( ) 6 18) Determinar los valores extremos de la función f ( x, y) = x + y + 5 en la región cerrada R del plano XY limitada por las gráficas de y= 5, y= 5 y x y = 4. 19) Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar las coordenadas de los vértices de la hipérbola representada por la ecuación xy = 4. Nota: La hipérbola tiene su centro en el origen. 0) Se desea fabricar una caja sin tapa, con forma de paralepípedo y tal que su volumen sea de 4m. Determinar las dimensiones que debe tener la caja de modo que el costo de la soldadura que se va a utilizar para soldar las caras y la base sea el mínimo. SOLUIONES: 17) ( 0,0) punto silla 18) f ( 0,0) = 5 mínimo absoluto. Máximos absolutos: (, 5 ) = (, 5 ) = (, 5 ) = ( ) f f f 19) Vértices: (, ),(, ) 0) x=, y=, z = 1 (metros). f, 5 = 19

6 TEMA 6 1) Encuentre la fórmula para el campo vectorial con las propiedades dadas: Todos los vectores son de longitud unitaria y perpendiculares al vector de posición en ese punto, en el plano cartesiano. yiˆ xj ˆ f ( x, y) =. x + y ) Determine si la parábola semicúbica f ( t) = ( 1+ t ) iˆ+ t ˆj es suave. Es suave para t 0. ) Sea la curva de ecuación r () t = ( cost) iˆ+ ( sent) ˆj+ ( + cost) k ˆ. Determinar las coordenadas de los puntos de en los que la recta tangente es perpendicular a su vector de posición. 0,0,4,,,, 4,0,0,,,. ( ) ( ) ( ) ( ) 4) Determine una ecuación cartesiana de la curva r t = t iˆ+ t ˆj. () ( ) ( ) y x x =, 0. 5) Una partícula se mueve alrededor de la elipse y z + = 1 en el plano yz, en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Encuentre los valores máximo y mínimo de v. (Sugerencia: encuentre primero los valores extremos de v y luego saque raíces cuadradas). máx v =, mín v =.

7 6) Encuentre unas ecuaciones paramétricas de la elipse 4x + 9y = 1, de tal manera que el recorrido del vector de 1 posición que barre a la curva se inicie en el punto,0 y el sentido del recorrido del extremo de dicho vector sea el de las manecillas del reloj. 1 x= cos t,0 t < π 1 y= sent 7) Una partícula se mueve desde el punto A (,0,4) hasta el 4x + 9y = 6 punto B ( 0,,4) sobre la elipse ; determine unas z = 4 ecuaciones paramétricas para esta curva. x= cost π : y = sent,0 t z = 4 8) Una partícula se mueve del punto A ( 5,,0) hasta el punto B ( 5,0,) sobre la curva ecuaciones paramétricas. : x = 5 π : y = cos t,0 t z = sent x + y + z = y 14 ; obtenga unas + z = 9 7

8 x= 6t 9) alcule la longitud de la curva : y= sen( t) z = cos( t) 0 t π. 8π unidades de longitud., con 8 0) Encuentre la longitud de arco de la curva r t costiˆ sentj ˆ tk 1,0,0 hasta el punto () = + + ˆ, desde el punto ( ) ( 1, 0, π ). s = π unidades de longitud. 1) Una partícula se mueve en el plano xy según la ley de posiciones r () t = ( t 1) iˆ+ ( t 1) ˆj donde t es el tiempo. Determinar, si existen los puntos donde la partícula se detiene. 1, 1. ( ) ) Una partícula se mueve siguiendo la trayectoria r ( t) = iˆ 4t ˆj+ t ˆ k, donde t es el tiempo. Determine a) la curvatura y la torsión de la trayectoria. b) La forma de la trayectoria k = 0, τ = 0; es una recta. ) Sea S la superficie cuyas ecuaciones paramétricas son x= u+ v; y= u v; z = u v, obtener una ecuación del plano P,0,0. tangente a S, en el punto ( ) y z = 0

9 4) Sea S la superficie de ecuación vectorial r ( u, v) = u cosviˆ+ usenvj ˆ+ u k ˆ con 0 v π ; u 0 y la curva de ecuación vectorial r ( t) = tiˆ+ tj ˆ+ 4kˆ.alcule las coordenadas del punto de intersección entre S y. P (,,4). 9 5) Sea la curva cuya ecuación vectorial es r ( t ) donde T, N, B son sus vectores tangente, normal y binormal respectivamente y dt 1 τ la torsión de. Si ˆ j ds = 5, B = kˆ y τ = 6 para un punto P de la curva. Obtener los vectores N, dn, así como el radio ds de curvatura de. 1 ˆ dn N = j, = iˆ 6 kˆ, ρ = 5 ds 5 6) Sea la curva de ecuación r ( t) sentiˆ sentj ˆ costkˆ Determine si la curva es plana. Es plana. = ) Una partícula se mueve según la ley de posiciones r () t = ( t 1) iˆ+ ( t 8t) ˆj+ ( t+ 4) k ˆ, calcular el vector aceleración normal de la partícula en el punto donde t = a ˆ ˆ ˆ N = i + j k ) Encuentre unas ecuaciones paramétricas para la esfera de, 1, y radio 5. centro ( )

10 x= + 5senφ cosθ 0 φ π y = senφsenθ, 0 θ < π z = + 5cosφ 9) Sean las superficies de ecuaciones S : x y + z = 1 y S : 1 r ( s, t) = ( s t+ ) iˆ+ ( s t) ˆj+ t ˆ k. Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de intersección entre las superficies S 1 y S en el punto P(, 1,). x = 40λ : y = 1 17 λ, λ R z = 1λ 40) Sean S la superficie de ecuación vectorial r ( u, v) = u cosviˆ+ usenvj ˆ+ u k ˆ con 0 v π, u 0 y la r t = tiˆ+ tj ˆ+ 4k curva de ecuación vectorial ( ) ˆ a) alcular las coordenadas del punto de intersección entre S y. b) Determinar si es perpendicular a S. a) (,,4 ) b) la curva no es perpendicular a la superficie. 41) Utilice coordenadas curvilíneas para calcular el área de la región limitada por las rectas de ecuaciones y = x, y= x+, y = x, y = x + 6 (Sugerencia: una de las ecuaciones de transformación es y x= u). A=4 unidades de área. 10

11 4) Encuentre el área de la región R del plano xy limitada por las curvas y = 8x, y = x, x = 8y, x = y; utilizando el cambio de coordenadas al sistema ( uv, ) definido mediante las ecuaciones y = ux; x = vy. 49 A R = unidades de área. 4) Para el sistema curvilíneo definido por las ecuaciones de transformación u = x y, v= x+ y; obtenga el factor de escala h u, el vector base e u y determine si el sistema curvilíneo es ortogonal. 1 1 h u = ; e ˆ ˆ u = i j; es ortogonal ) Dadas las ecuaciones de transformación x = senhvsenu, y = cosh vcosu; determine si el sistema curvilíneo es ortogonal; calcule el factor de escala h u. Es ortogonal h = senh v+ sen u u 45) Sea el campo vectorial F ( x, y, z) = ayziˆ+ bxzj ˆ+ cxykˆ donde abc R,, y a 0, b 0, c 0. Determinar los valores de abc,, tales que el campo F sea solenoidal e irrotacional. a= b= c 46) Determine si la función ( ) Es armónica. 47) Para la función ( ρ, θ, ) f x, y = cosxsenhy es armónica. f z = ρθz, calcule su gradiente. f = θ ze + ze + ρθe. ρ θ z 11

12 1 f z 1 = e e + sen e ρ + z e Investigue si es solenoidal. No es solenoidal, 1 ρ ρ 1 f = e ρ e cosθ ρz ρ ρ 48) Sea el campo vectorial ( ρθ ) ρ,, ρ θ θ z 49) Sea el campo vectorial f = senφ senθe ρ + senθcosφeφ + cosθeθ investigue si es irrotacional. Es irrotacional. Segundo examen parcial ) Una partícula se mueve a lo largo de la curva representada r t = cost iˆ+ cost ˆj+ sent k. Determinar las por () ( ) ( ) ( ) ˆ coordenadas de los puntos de la curva donde: a) La velocidad de la partícula es perpendicular a su vector de posición. b) La aceleración apunta hacia el origen. a) La velocidad es perpendicular r ( t ) en todo punto de la curva. b) La aceleración apunta hacia el origen en todo punto de la curva. 51) Sea una de las curvas representadas por x + y + z = 5 : y que contiene a los puntos A(0,4,) y x + y = 16 B(-4,0,).

13 a) Obtener una ecuación vectorial de la curva. b) alcular la longitud de la curva entre los puntos A y B. c) Determinar el triedro móvil en el punto A d) alcular la curvatura de. e) Determinar si la curva es plana. a) r () t = ( 4cost) iˆ+ ( 4sent) ˆj+ ( ) k ˆ b) Por ser una circunferencia s= π ul.. ó s= 6 π ul.. c) T = iˆ, N = ˆj, B = kˆ 1 d) k = 4 e) La curva es plana ya que está contenida en el plano z = 1 x= u 5) Sea la superficie S representada por S: y = ucosv z = usenv a) Obtener una ecuación vectorial de S. b) on la ecuación obtenida en el inciso anterior, determinar la ecuación cartesiana del plano tangente a S en el punto P(,1,1). r u, v = u iˆ+ ucosv ˆj+ usenv k a) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ b) x+ y+ z = 0 1,, = ln ρ, dada en coordenadas esféricas, es armónica. 1 f = f no es armónica. ρ 5) Determinar si la función f ( ρφθ)

14 u = x+ y 54) Sea la transformación T : y sea R una región v = y x + 1 en el plano xy cuya área es igual a 4u. Determinar: a) Si el sistema de coordenadas ( uv, ) es ortogonal. b) Los factores de escala hu y h v. c) Los vectores base e u ye v. xy, d) El Jacobiano de transformación J uv,. e) El área de la región R ', siendo R ' la imagen de la región R bajo la transformación T. a) Es ortogonal. 1 1 b) hu = y hv = c) ˆ ˆ 1 eu = i + j y e ˆ ˆ v = i + j xy, d) J uv, = 1 5 e) área de R' = 0u r 55) Sea el campo vectorial F representado por F = en donde ρ r = xiˆ+ yj ˆ+ zkˆ y ρ = r. a) Determinar si F es solenoidal. b) Determinar si F es irrotacional. a) Sí es solenoidal. b) Es irrotacional. 14

15 TEMA 15 1 x xy dx xy y x dy, sobre la trayectoria formada por las rectas que unen a los puntos: P 1 ( 0,0 ), P ( 0,1 ), P ( 1,1 ) ) alcular el valor de ( ) + ( + ) 57) alcular x ydx + xy dy a lo largo de la trayectoria mostrada en la figura. (1EF/B/00-) 15 58) alcular la integral de línea = ( ) + ( + 5 ) sobre la circunferencia de ecuaciones 0 t π. I = π I x y dx x y dy x= cost; y = sent ;

16 59) Sea el campo vectorial F ( xyz,, ) xiˆ yj ˆ zk ˆ = + +. alcular Fi dr a lo largo de la trayectoria del plano XY dada por y = x, del punto ( 0,0,0) (1EF/A/00-1) Fi dr = ( 4 + ). A al punto (,,0) B. 60) Sea el campo vectorial F x, y, z = x + yz iˆ+ x + y ˆj + xz k ˆ, calcular ( ) ( ) ( ) ( ) x= + y lo largo de la curva : y = z B. (EP/A/00-1) (,1, 1) Fidr 4 = 5 Fi dr a del punto A (,1,1 ) al punto 61) Sea F el campo vectorial definido por F ( xyz,, ) = ( x+ senπyi ) ˆ+ ( πxcosπy+ z ) ˆj+ ( yz 4zk ) ˆ alcular el valor de Fi dr del punto A ( 0,0,0) al punto (,,) B a lo largo de la trayectoria mostrada en la figura. (EP/A/001-) 16

17 1 17 6) Sea el campo vectorial cuya ecuación es z z ey ( ) ˆ ex ˆ z F x, y, z = i + j + e ang tan ( xy) kˆ 1+ xy 1+ xy alcular Fidr, a lo largo de una vuelta completa a la curva de ecuaciones x + z = 16, x+ y+ z = 10. Fidr = 0. 6) alcular el trabajo que efectúa el campo de fuerzas F x, y, z = y senz x iˆ+ 4xysenz + 1 ˆj + xy cosz + 4 k ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) π al desplazar una partícula del punto A 0,0, B 0,0, π. (1EF/B/004-) ( ) W = π unidades de trabajo. al punto 64) Obtener el valor de Fidr calculada a lo largo de la circunferencia de radio 1 con centro en el origen donde xy ( ) ˆ x y F xy, = i+ ˆj xy 1 xy Fidr = 0. B 65) La integral F i dr a lo largo de cualquier trayectoria que A une al punto A ( 0,0) con el B (,4) es igual a 7, donde F xy, = 5y 6x iˆ+ 6y+ ax ˆj. ( ) ( ) ( )

18 18 alcular Fi dr a lo largo de la trayectoria k P ( 1,1) al punto Q (,8) 50. (EF/A/004-) k: y = x, del punto 66) Sea F el campo vectorial cuya ecuación en coordenadas polares es F ( ρ, θ) = ρ cosθeρ + ρ senθeθ, calcular Fdr a lo largo de la curva de ecuación x + y 4y= 0 del punto 0,0 B 0,4 para x 0. A ( ) al punto ( ) 16π 67) Determinar si el campo vectorial F ( ρ, θ, z) = 8ρθ z eρ + 8ρθ z eθ + 1ρ θ z ez es un campo φ ρθ,,z tal conservativo y de ser posible, encontrar la función ( ) que F = φ. φ ρ, θ, z = 4ρ θ z + ( ) 68) alcular el trabajo efectuado por el campo de fuerzas F ρ, θ = θe + e, dado en coordenadas polares, al desplazar ( ) ρ θ una partícula a lo largo de la curva : x + 4y = 4 desde el,0 B 0,1, dados en coordenadas punto A ( ) hasta el punto ( ) cartesianas. (1EF/A/004-1) W = π unidades de trabajo.

19 19 TEMA 4 69) alcule el valor de I 4 = senπ y dydx cero 0 x 70) alcular el área de la región del primer cuadrante limitada por las curvas de ecuaciones x + y = 9, x+ y=. 9 π A = 1 u. 71) Para calcular el área de una región del plano XY se obtuvieron las integrales A = dydx + dydx x 0 a) ambiar el orden de integración, de modo que el área se obtenga con una sola integral doble. b) Obtener el área de dicha región. (1EE/A/00-1) a) b) A ln y 9 ln = 1 ln y ln dxdy A = 4 u ln. 7) Utilizar integrales doble para calcular el área de la región del plano XY localizada en el primer octante y limitada por las curvas de ecuaciones 16( x 1) = y, 8x= y. (EP/A/00-1) 8 A = u. x

20 0 7) Utilizar integrales dobles para determinar el área limitada por la elipse de ecuación ( x+ y+ 4) + ( x 4y ) = 100. Sugerencia: Hacer un cambio de variable (1EF/B/00-) A = 10π u. x y dxdy siendo R la región del primer R cuadrante limitada por las curvas xy = 1, xy = 8, x y =, x y = 6. (EP/A/0-1) 74) alcular ( + ) Sugerencia: Hacer el cambio de variable u 1. = xy, v= x y. 75) alcular el área de un pétalo de la rosa cuya ecuación polar es ρ = cos 4θ.(EF/A/004-1) A = π unidades de área ) Utilizar integrales dobles para calcular el volumen de la región localizada en el interior de las superficies de ecuaciones x + z 4= 0 y y + z = V = u 77) Determine la masa de la lámina que corresponde a la región limitada por un pétalo de la rosa ρ = senθ en el primer cuadrante; la densidad en un punto de la lámina está dada por ρ ( xy, ) = k x + y donde k es una constante. 16 m= k unidades de masa. 9

21 78) Utilizar el teorema de Green para calcular el valor de x ydx xy dy donde es la circunferencia x + y = 4. 8π. 1 79) alcular el trabajo que realiza el campo de fuerzas F ( xy, ) = ( x + yi ) ˆ+ ( y + 4x) ˆj al mover una partícula a lo largo de la trayectoria cerrada mostrada en la figura. (EP/A/00-1) 6 unidades de trabajo. 80) Utilizar el Teorema de Green para calcular ( 1 ) 6 ( 5 y y + + x dx+ x e ) dy sobre la trayectoria mostrada en la figura (EP/A/0-) 4.

22 81) Determinar el área de la superficie cuya ecuación vectorial es F uv, = ui ˆ+ v ˆj + u + v k ˆ para 0 u 1, 0 v. ( ) ( ) A = 4 unidades de área. 8) alcular el área de la porción de superficie de ecuación 4 z = x + y localizada por arriba del plano XY. π A = 17 1 u 6. 8) Utilizar integración doble para calcular el área de la porción del cono z = x + y comprendida entre los planos z = 1 y z = 4. (EP/A/0-1) A = 15 π unidades de área. 84) alcular el área de la parte del cilindro x + y = 9 que está comprendida en el primer octante y que es cortada por el plano x= z. (EP/A/004-) A = 9 unidades de área. 85) alcular el área de la parte de la esfera x + y + z = 1 que está comprendida entre los conos x + y = z y x + y = z. (EF/A/004-1) A = π unidades de área. ( ) 86) alcular el volumen de la región que es limitada por las superficies S 1 y S representadas por: S : x + z = 4 y, 1 S : 5 0 y+ =. (EP/A/004-1) 81 V = π unidades de volumen.

23 87) alcular el volumen del sólido limitado por las superficies de ecuaciones x + z = 9, y + z = 4, x y z = 1. V = 90π unidades de volumen. 88) alcular el volumen de la región D que es interior al cilindro de ecuación y + z = 4, y limitada por el plano x = 0 y el paraboloide y + z + x= 16. V = 8π unidades de volumen. 89) Dado el campo vectorial F ( xyz,, ) ziˆ xj ˆ yk ˆ Teorema de Stokes para calcular = +, utilizar el Fidr, donde es la intersección del plano x+ y+ z 1= 0 con los tres planos coordenados. (1EF/A/005-). 90) Por medio del Teorema de Stokes, calcular el trabajo que efectúa el campo de fuerzas F ( xyz,, ) = xiˆ zj ˆ+ ykˆ para desplazar una partícula una vuelta a lo largo de la curva x + y = 4 : x z = 0 W = 8π unidades de trabajo. 91) Sea el campo de fuerzas F ( xyz,, ) xiˆ zj ˆ ykˆ = +. Emplear el Teorema de Stokes para determinar el trabajo que realiza el campo F para mover una partícula una vuelta a lo largo de la z = x+ y curva de ecuaciones :. x y + = 16 W = π unidades de trabajo.

24 4 9) Utilizar el Teorema de Gauss para calcular el valor de la integral F nds F xyz,, = xiˆ+ yj ˆ+ k y γ la i donde ( ) ˆ γ superficie de ecuación vectorial r ( φ, θ) = senφcosθiˆ+ senφs enθ ˆj + cosφkˆ con 0 θ π, 0 φ π. 8 Fi nds = π. γ 9) Sea el campo F = xiˆ+ yj ˆ+ zkˆ. alcular el valor del flujo neto de F a través de una esfera de radio R con centro en el origen. flujo = 4π R 94) El flujo neto del campo de fuerzas F ( xyz,, ) = xiˆ+ yj ˆ+ zk ˆ a través de la superficie x + y + z = r es igual a 84 π unidades de flujo. 5 Determinar el valor de r. (1EF/B/004-) r =.