Funciones elementales: polinómica, racional y con radicales

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1 8 Funciones elementales: polinómica, racional y con radicales LECTURA INICIAL Las parábolas y las hipérbolas son elementos muy utilizados en las representaciones artísticas o arquitectónicas, para medir el nivel de contaminación de una zona determinada.

2 Galileo Galilei Busca en la web Parábolas Galileo ( ) descubrió la ley que gobierna el movimiento de los cuerpos sobre la superficie de la Tierra: La velocidad de caída de los cuerpos no depende de su masa y es directamente proporcional al tiempo. Esto implica que si lanzamos un objeto con cierta inclinación hacia arriba la trayectoria seguida es una parábola. Enlace a la biografía de Galileo

3 Esquema de contenidos Función polinómicas y racional Funciones polinómicas Primer grado: rectas Segundo grado: parábolas Función de proporcionalidad inversa Funciones racionales k Hipérbola x a Hipérbola k b x a

4 Función polinómica Llamamos función polinómica a la función cuya expresión algebraica es un polinomio. Son funciones polinómicas:

5 Función polinómica de primer grado: rectas Las funciones polinómicas de primer grado son funciones del tipo: y =mx n Y su representación gráfica es una recta donde: m es la pendiente. mx mx n n n es la ordenada en el origen. Si m>0, son crecientes. Si m<0, son decrecientes

6 Función polinómica de primer grado:pendiente, m, y ordenada en el origen, n La pendiente de una recta es la variación de la y cuando la x aumenta una unidad: y y y 1 m= x = x x 1 La pendiente de una recta dada por su ecuación es el coeficiente de la x cuando se despeja la y n es la ordenada en el origen representa la distancia desde el punto de corte de la recta con el eje Y al origen de coordenadas; es decir la recta pasa por el punto: n P 0, n r : mx n Si m>0, son crecientes. Si m<0, son decrecientes

7 Función polinómica de primer grado: rectas : y =mx+n Escribe las ecuaciones y representa en tu cuaderno, con distintos colores, las rectas definidas del siguiente modo: 1 m = 3 y n = - Pasa por P(,3) y m = 4 3 Pasa por P(1,-1) y n = - 4 Pasa por los puntos A(3,7) y B(-1,3) 5 Dada la función m x -, determina el valor de m para que pase por el puntoa(-1,-5) 6 Un fontanero cobra 15 euros por el desplazamiento y 1 euros por cada hora de trabajo. Escribe la expresión que nos da el salario de un fontanero en función del tiempo trabajado. Si el fontanero nos ha cobrado 57 euros cuánto tiempo estuvo trabajando?

8 Función polinómica de primer grado: rectas : y = mx+n Escribe las ecuaciones de cada una de las rectas representadas

9 Función polinómica de segundo grado: parábolas Las funciones polinómicas de segundo grado son funciones cuya expresión algebraica es: ax bx c a 0 Y su representación gráfica es una curva que se llama parábola, en la que se distinguen el vértice, V, y el eje de simetría ( ).

10 Función polinómica de segundo grado: parábolas Las funciones polinómicas de segundo grado son funciones cuya expresión algebraica es: y = ax a 0 Tienen el mismo vértice e igual eje de simetría Si a > 0, las ramas van hacia arriba, y alcanzará un mínimo. Si a < 0, las ramas van hacia abajo, y alcanzará un máximo. Cuanto menor sea el valor absoluto de a, a, más abiertas son las ramas. Cuanto mayor sea el valor absoluto de a, a, mas estilizada ( esbelta ) será la parábola

11 Función polinómica de segundo grado: parábolas Las funciones polinómicas de segundo grado cuya expresión algebraica es: ax c Tienen el mismo vértice e igual eje de simetría. a 0 Si a > 0, las ramas van hacia arriba. Si a < 0, las ramas van hacia abajo. Cuanto menor sea el valor absoluto de a, más abiertas son las ramas. Su vértice es el (0, c). Se obtienen trasladando verticalmente la parábola a x : c unidades hacia arriba si c > 0 c unidades hacia abajo si c < 0.

12 Función polinómica de segundo grado: parábolas Las funciones polinómicas de segundo grado son funciones cuya expresión algebraica es: y = ax + bx ; a 0 Se obtienen trasladando de forma oblicua la parábola Si a > 0, las ramas van hacia arriba. y =a x² Si a < 0, las ramas van hacia abajo. b b, Veremos que su vértice es V. a 4a b x v= a b y v= 4a Las gráficas son iguales en forma a la parábola ax, pero su eje de simetría y su vértice se encuentran desplazados.

13 Función polinómica de segundo grado: Vértice de la parábola La función polinómicas de segundo grado y = ax +bx +c corta a la recta y = c en dos puntos que obtenemos resolviendo el sistema por igualación: ax bx c=c ax bx=0 x ax b =0 cuyas soluciones son x=0 y x= b a La abcisa del vértice xv es el punto medio xv= b a b = a 0 Las gráficas son iguales en forma a la parábola su vértice se encuentran desplazados. Su vértice es b b V., a 4a ax², pero su eje de simetría y

14 Función polinómica de segundo grado: parábolas Las funciones polinómicas de segundo grado cuya expresión algebraica es: y = ax + bx + c COEFICIENTES Su vértice es b a b 4 ac y v= 4a ; a 0 x v= REPRESENTACIÓN a<0 La gráfica tiene un máximo en el vértice. a>0 La gráfica tiene un mínimo en el vértice. b b 4 ac V, a 4a Cuando mayor sea el valor absoluto, más se cierran las ramas de la parábola. a Si b = 0 El eje de ordenadas coincide con el eje de simetría. Si b 0 Eje de simetría en x= b Si b tiene el mismo signo que a, el eje de simetría está a la izquierda del eje de ordenadas, y si tienen distinto signo está a la derecha. a

15 Función polinómica de segundo grado: parábolas Representar la parábola: x 4x

16 Función polinómica de segundo grado: parábolas Representar la parábola: x 4x Como a > 0, tiene las ramas hacia arriba.

17 Función polinómica de segundo grado: parábolas Representar la parábola: x 4x Como a > 0, tiene las ramas hacia arriba. Eje de simetría: x= b 4 = = a 1

18 Función polinómica de segundo grado: parábolas Representar la parábola: x 4x Como a > 0, tiene las ramas hacia arriba. Eje de simetría: x= b 4 = = a 1 Vértice: x= 4 b = = a 1 V, 4 =4 8 =

19 Función polinómica de segundo grado: parábolas Representar la parábola: x 4x Como a > 0, tiene las ramas hacia arriba. Eje de simetría: x= b 4 = = a 1 Vértice: x= 4 b = = a 1 V, 4 =4 8 = Tabla de valores: x y

20 Función polinómica de segundo grado: parábolas Representar la parábola: x 4x Como a > 0, tiene las ramas hacia arriba. Eje de simetría: x v = b 4 = = a 1 Vértice: x v= 4 b = = a 1 V, y v = 4 =4 8 = Tabla de valores: x y

21 Función polinómica de segundo grado: parábolas y = x-1x+0 y = x+4x y = 3x+1x+13 y = 4x-8x-6 y = -x-14x+45

22 Funciones polinómicas de grado superior La gráfica de una función cúbica (de grado 3) es una curva que preseta un asimetría central respecto de un punto de la curva. y = x3 y = x3+1 y = x4 y = -x4+x y = (x+1)6

23 Funciones racionales. Función de proporcionalidad inversa Las funciones racionales son aquellas funciones cuya expresión algebraica es un cociente de polinomios: Una función de proporcionalidad inversa es una función que relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales. P x, siendo gradoq x 0 Q x k k 0 x donde k es la constante de proporcionalidad Su expresión algebraica es del tipo inversa. Dom f= R-{0}. Decimos que en x=0 hay una asíntota vertical (A medida que los valores de x crecen o decrecen, la función se acerca x=0). Si k > 0 es una función decreciente. Si k < 0 es una función creciente. También tiene una asíntota horizontal: 0 Su gráfica es una curva llamada hipérbola, y no corta a los ejes coordenados. La función es impar, simétrica respecto el origen de coordenadas. Si k>0, la función es creciente y la gráfica está en el 1er y 3er cuadrante Si k<0, la función es creciente y la gráfica está en el º y 4º cuadrante.

24 Función de proporcionalidad inversa Dada la función: 4 x a) Para qué valores es decreciente la función? b) Tiene máximos y mínimos? c) Realizar una tabla de valores, dando valores a x de -1 a 0 y de 1 a 0, y tomando valores cada vez más cercanos a 0. A qué valores se acerca la función?

25 Función de proporcionalidad inversa Dada la función: 4 x a) Para qué valores es decreciente la función? b) Tiene máximos y mínimos? c) Realizar una tabla de valores, dando valores a x de -1 a 0 y de 1 a 0, y tomando valores cada vez más cercanos a 0. A qué valores se acerca la función? a) Cómo k > 0 la función es siempre decreciente

26 Función de proporcionalidad inversa Dada la función: 4 x a) Para qué valores es decreciente la función? b) Tiene máximos y mínimos? c) Realizar una tabla de valores, dando valores a x de -1 a 0 y de 1 a 0, y tomando valores cada vez más cercanos a 0. A qué valores se acerca la función? a) Cómo k > 0 la función es siempre decreciente b) Al ser una función siempre decreciente, no tiene ni máximos ni mínimos.

27 Función de proporcionalidad inversa Dada la función: 4 x a) Para qué valores es decreciente la función? b) Tiene máximos y mínimos? c) Realizar una tabla de valores, dando valores a x de -1 a 0 y de 1 a 0, y tomando valores cada vez más cercanos a 0. A qué valores se acerca la función? a) Cómo k > 0 la función es siempre decreciente b) Al ser una función siempre decreciente, no tiene ni máximos ni mínimos. c) lím f x = x -1-0,5-0, -0,1 0,1 0, 0,5 1 x 0 y lím f x = x 0 + -

28 Función racional. Hipérbolas Conocida la gráfica de la hipérbola de las hipérbolas k k x, las gráficas x a Son traslaciones de las anteriores. El eje vertical es x=a El eje horizontal es y = 0

29 Función racional. Hipérbolas Conocida la gráfica de la hipérbola de las hipérbolas k k x, las gráficas x a Son traslaciones de las anteriores. El eje vertical es x=a El eje horizontal es y = 0

30 Función racional. Hipérbolas Conocida la gráfica de la hipérbola de las hipérbolas k k x, las gráficas x a Son traslaciones de las anteriores. El eje vertical es x=a a<0 El eje horizontal es y = 0

31 Función racional. Hipérbolas Conocida la gráfica de la hipérbola de las hipérbolas k k x, las gráficas x a Son traslaciones de las anteriores. El eje vertical es El eje horizontal es y = 0 a>0 El eje vertical es a>0 x = -a x=a El eje horizontal es y = 0

32 Función racional. Hipérbolas k Conocida la gráfica de la hipérbola, las gráficas x a de las hipérbolas k x a b El eje vertical es x=a El eje horizontal es y = ± b Son traslaciones de las anteriores.

33 Función racional. Hipérbolas k Conocida la gráfica de la hipérbola, las gráficas x a de las hipérbolas k x a b El eje vertical es x=a El eje horizontal es y = ± b Son traslaciones de las anteriores.

34 Función racional. Hipérbolas k Conocida la gráfica de la hipérbola, las gráficas x a de las hipérbolas k x a b El eje vertical es x=a El eje horizontal es y = ± b Son traslaciones de las anteriores. +b

35 Función racional. Hipérbolas k Conocida la gráfica de la hipérbola, las gráficas x a de las hipérbolas k x a b El eje vertical es x=a El eje horizontal es y = ± b Son traslaciones de las anteriores. +b -b

36 Función racional. Hipérbolas Relacionamos las expresiones de las siguientes funciones con su representación gráfica. 1 x 1 1 x 1 x x

37 Función racional. Hipérbolas Relacionamos las expresiones de las siguientes funciones con su representación gráfica. 1 x 1 1 x 1 x x 1 unidad izquierda unidades arriba

38 Función racional. Hipérbolas Relacionamos las expresiones de las siguientes funciones con su representación gráfica. 1 x 1 1 unidad izquierda 1 x 1 x x unidades arriba unidades arriba

39 Función racional. Hipérbolas Relacionamos las expresiones de las siguientes funciones con su representación gráfica. 1 x 1 1 unidad izquierda 1 x 1 x x unidades arriba unidades arriba 3 unidades izquierda

40 Función racional. Hipérbolas Relacionamos las expresiones de las siguientes funciones con su representación gráfica. 1 x 1 1 unidad izquierda 1 x 1 x 3 unidades arriba 1 4 x unidades derecha unidades arriba 4 unidades abajo 3 unidades izquierda

41 Función con radicales Las funciones con radicales son funciones en cuya expresión algebraica aparece la variable x bajo el signo radical: f x = n g x Características: Si n es un número par: Si n es impar: Dom f ={x g x 0} Dom f =ℝ

42 Enlaces de interés Juegos Diccionario matemáticos IR A ESTA WEB IR A ESTA WEB

43 Actividad: la función valor absoluto Dirección: En la sección chilena de la Editorial Santillana se propone una actividad con el siguiente programa, que permite trabajar con la función valor absoluto f(x)= x =abs(x). Para conocerlo, sigue este enlace.