INICIACIÓN TEORICO-PRÁCTICA A LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS I : CAPITALIZACIÓN Y RENTAS

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1 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I : APITALIZAIÓN Y RENTAS Autor: Profesor de la Uversdad de Graada (Dpto. Ecoomía Facera y otabldad) Profesor Tutor del etro Asocado de Málaga y Roda

2 Prólogo: INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS Nuevamete ate la falzacó de este maual, me ecuetro casado por el esfuerzo de estos últmos mometos, pero lusoado porque creo que ayudaré a muchos alumos a teer u strumeto de estudo y apredzaje de la matera. Llegó a ustedes ate la covccó de que estmo haber realzado u trabajo que aportará cotedos educatvos que permtrá coocer mejor el mudo de la matemátcas faceras, que de habtual, tata dfcultad crea al que se adetra por prmera vez al msmo, quzá porque hay que coocer su leguaje e strumetacó, para poder etederlo. La razó que justfca la realzacó de estos mauales o trabajos, ambos frutos de la doceca que estoy desarrollado e la Uversdad de Graada, e partcular e el Departameto de Ecoomía Facera y otabldad así como e la UNED de los cetros asocados de Málaga y Roda (Departameto de Ecoomía y Admstracó de Empresas), queda justfcada por el terés como docete de dotar al alumo co el que trabajo de u elemeto a través del cual se pueda desarrollar el curso académco, y por tato el apredzaje de la presete matera, desde ua perspectva de plateametos teórcos que se va reforzado co desarrollos práctcos. Tato los cotedos teórcos, así como los ejerccos práctcos, e lo que toca prcpalmete a la resolucó y plateameto de los msmos, ha sdo trabajado y plateado por el docete que preseta este maual, dcado e partcular que la parte práctca, e alguos casos, ha sdo eucados que se utlza y se ha desarrollado por el equpo de trabajo del área de matemátcas faceras al que perteezco e los dcados departametos. Especal mecó e tal setdo, quzá por su caldad pedagógca y por el especal coocmeto de las persoas que ha trabajado e la realzacó de alguos de ellos, se determa e lo que respecta al departameto de la Uversdad de Graada. No he querdo perder ms raíces docetes de la UNED, por lo que he dcado alguas referecas e dode docetes de la sede cetral de Madrd muestra u trabajo teresates també y erquecedor a estos mauales, dode se poe a dsposcó del alumo dversdad de problemas co sus respectvas solucoes, así como teresates cuestoaros, també resueltos. Falzadas estas precsoes, etedo que ecesaras, para poder compreder el setdo y trabajo desarrollado, me es ecesaro recordar alguos detalles mportates s los cuales este materal o habría llegado a tomar forma. E prmer lugar ombrar a m famla, e dode ms padres Mauel y Atoa, así como ms hermaos Víctor y Atoo, m cuñada María José y ms sobras Mara José y Patrca Gómez López, ha sdo y so permaetemete los que me apoya e todo mometo, respectado y asumedo la gra catdad de ausecas y aslameto que produce el teer ua actvdad soltara y costate cuyo fruto está más a favor de ua causa de amor haca la doceca, por la prvacó de tempo lbre y dsfrute e geeral que se platea e cualquera de estas msoes, e la mayoría de los casos poco valorada por la socedad e geeral. Hay amgos y compañeros que ha sdo apoyos morales, s los que el talate de hombre altrusta y geeroso co los demás o habría sdo posble, e tal setdo tego que ombrar a ms amgos y compañeros de los Gudos, e partcular a la Escuela de Balocesto de Málaga, e dode sempre se me ha eteddo, aprecado y querdo, co ua especal mecó, a m amgo Ncolás García hchlla, y a Erque Moyao arballo, que co mucha paceca y colaboracó ha creado la web dode se ecuetra las dversas vestgacoes y publcacoes, solvetado los umeroso y cotuados problemas formátcos E la parte docete, o puedo olvdar, putualmete a ms jefes del departameto de Ecoomía Facera y otabldad que me ha dado apoyo y compresó e m relacó docete co la Uversdad de Graada, especal mecó he de realzar al profesor y Drector del Departameto Do Atoo María López Herádez, qué desde el co ha apostado por mí, al permtrme asumr doceca e este departameto. E deftva, agradecer a todo el que me apoya y cofía e m. Gracas de corazó. Roberto.

3 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS LEYES DE APITALIZAIÓN Programa Stétco oceptos báscos Leyes faceras smples de captalzacó y descueto Leyes faceras compuestas de captalzacó y descueto captalzacó smple captalzacó compuesta de ambas captalzacoes prmera RENTAS FINANIERAS Itroduccó al estudo de retas Retas costates e captalzacó compuestas Retas varables e captalzacó compuesta Retas cotuas de retas seguda 3

4 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS Programa aalítco oceptos báscos.. aptal facero.. Operacoes faceras.3. Leyes faceras: propedades.4. Sstema faceros.5. Equvaleca etre captales faceros.6. Operacoes co captales faceros.7. Factores faceros, rédtos y tatos..8. Reserva matemátca e ua operacó facera.9. aracterístcas comercales, tato efectvos y TAE e ua operacó facera Leyes faceras smples de captalzacó y descueto.. aptalzacó smple o tato vecdo.. Descueto smple racoal.3. Descueto smple comercal.4. aptalzacó smple a tato atcpado.5. omparacó etre las dsttas leyes.6. ambo e las udades de medda: tatos equvaletes.7. Operacoes que se suele realzar utlzado las leyes smples Leyes faceras compuestas de captalzacó y descueto 3.. aptalzacó compuesta a tato vecdo 3.. Descueto compuesto a tato por vecdo 3.3. aptalzacó y descueto compuesto a tato atcpado 3.4. omparacó etre las leyes smples y las leyes compuestas 3.5. ambo e las udades de medda: tatos equvaletes 3.6. Tato omal y tato efectvo 3.7. aptalzacó y descueto cotuos 3.8. Operacoes que se suele realzar utlzado las leyes compuestas Itroduccó al estudo de retas 4.. Defcó y clasfcacó de retas 4.. Valoracó de retas co las leyes smples 4.3. Valoracó de retas co las leyes compuestas 4

5 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS Retas costates e captalzacó compuestas 5.. Retas costates temporales 5.. Retas costates perpetuas 5.3. Retas costates fraccoadas Retas varables e captalzacó compuesta 6.. Retas geométrcas temporales 6.. Retas geométrcas perpetua 6.3. Retas geométrcas fraccoada 6.4. Retas artmétcas temporales 6.5. Retas artmétca perpetua 6.6. Retas artmétca fraccoada Retas otuas 7.. Defcó de reta cotua 7.. Valoracó de retas cotuas e captalzacó compuesta 7.3. Retas cotuas como límte de retas fraccoada 5

6 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS TEMA : ONEPTOS BÁSIOS.. Aspectos Prelmares uado se dspoe de ua catdad de dero (captal) se puede destar, o be a gastarlo satsfacedo algua ecesdad, o be a vertrlo para recuperarlo e u futuro más o meos próxmo, segú se acuerde. De la msma maera que estamos dspuestos a gastarlo para satsfacer ua ecesdad, estaremos dspuestos a vertr sempre y cuado la compesacó ecoómca os resulte sufcete. E este setdo el prcpo básco de la prefereca de lqudez establece que a gualdad de catdad los bees más cercaos e el tempo so preferdos a los dspobles e mometos más lejaos. La razó es el sacrfco del cosumo. Este apreco de la lqudez es subjetvo pero el mercado de dero le asga u valor objetvo fjado u preco por la facacó que se llama terés. El terés se puede defr como la retrbucó por el aplazameto e el tempo del cosumo, esto es, el preco por el alquler o uso del dero durate u período de tempo. Esta compesacó ecoómca se exge, etre otras, por tres razoes báscas: Por el resgo que se asume. Por la falta de dspobldad que supoe desprederse del captal durate u tempo. Por la deprecacó del valor del dero e el tempo. La cuatfcacó de esa compesacó ecoómca, de los tereses, depede de tres varables, a saber: La cuatía del captal vertdo, El tempo que dura la operacó, y El tato de terés al que se acuerda la operacó. Por otra parte, cuado se habla de captal facero os refermos a ua cuatía () de udades moetaras asocada a u mometo determado de tempo (). Falmete, e ua operacó facera o tee setdo hablar de captales guales (aquellos e los que cocde cuatías y vecmetos), so que sempre estaremos refrédoos a captales equvaletes, se dce que hay equvaleca etre dos captales cuado 6

7 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS a su propetaro le resulta dferete ua stuacó u otra. Es decr, s a usted le resulta dferete cobrar hoy. euros a cobrar.5 euros detro de u año, etoces dremos que ambos captales so equvaletes. Para que ua operacó facera se realce es ecesaro que a los sujetos tervetes las cuatías que da y recbe les resulte equvaletes. Es ecesaro que deudor y acreedor se poga de acuerdo e cuatfcar los captales de los que se parte y a los que falmete se llega. Esto mplca elegr u método matemátco que permta dcha susttucó: ua ley facera. La ley facera se defe como u modelo matemátco (ua fórmula) para cuatfcar los tereses por el aplazameto y/o atcpacó de u captal e el tempo. oocedo las dferetes leyes faceras que exste y cómo fucoa se podrá susttur uos captales por otros, pudédose formalzar las dferetes operacoes faceras... APITAL FINANIERO. El captal facero es la medda de u be ecoómco referda al mometo de su dspobldad, vecmeto o etrega. E el mercado facero se egoca operacoes, cosstetes e u tercambo de: - uatías - Vecmetos Represetacó: (, t ) +: obro : uatía de e u.m -: Pago (Retegro) : Mometo del vecmeto + : Vto. Posteror - : Vto. Ateror 7

8 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS.. OPERAIONES FINANIERAS.... ocepto. Se etede por operacó facera la susttucó de uo o más captales por otro u otros equvaletes e dsttos mometos de tempo, medate la aplcacó de ua ley facera. E deftva, cualquer operacó facera se reduce a u cojuto de flujos de caja (cobros y pagos) de sgo opuesto y dsttas cuatías que se sucede e el tempo. Así, por ejemplo, la cocesó de u préstamo por parte de ua etdad bacara a u clete supoe para este últmo u cobro cal (el mporte del préstamo) y uos pagos peródcos (las cuotas) durate el tempo que dure la operacó. Por parte del baco, la operacó mplca u pago cal úco y uos cobros peródcos. La realzacó de ua operacó facera mplca, que se cumpla tres putos:. Susttucó de captales. Ha de exstr u tercambo de u(os) captal(es) por otro(s).. Equvaleca. Los captales ha de ser equvaletes, es decr, debe resultar de la aplcacó de ua ley facera. 3. Aplcacó de ua ley facera. Debe exstr acuerdo sobre la forma de determar el mporte de todos y cada uo de los captales que compoga la operacó, resultado de la cosderacó de los tereses geerados.... Elemetos.... Persoales. E ua operacó facera básca tervee u sujeto (acreedor) que poe a dsposcó de otra (deudor) uo o más captales y que posterormete recuperará, cremetados e el mporte de los tereses. La operacó coclurá cuado el deudor terme de etregar al acreedor el captal (más los tereses); a esta actuacó por ambas partes se le deoma la cotraprestacó de la operacó facera. 8

9 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS E toda operacó facera las catdades etregadas y recbdas por cada ua de las partes o cocde. El aplazameto (o adelatameto) de u captal e el tempo supoe la produccó de tereses que formará parte de la operacó y que habrá que cosderar y cuatfcar. Por tato, prestacó y cotraprestacó uca so artmétcamete guales. No obstate, habrá ua ley facera que haga que resulte faceramete equvaletes, es decr, que s valorásemos prestacó y cotraprestacó e el msmo mometo, co la msma ley y co el msmo tato, etoces sí se producría la gualdad umérca etre ambas. Acreedor: Sujeto que etrega u captal (K) facero: Prestacó. Deudor: Sujeto que recbe el captal (K) facero y que lo va a devolver e otro mometo del tempo: otraprestacó.... Temporales. Al mometo de tempo dode comeza la prestacó de la operacó facera se le deoma orge de la operacó facera. Dode cocluye la cotraprestacó de la operacó facera se le llama fal de la operacó facera. Al tervalo de tempo que trascurre etre ambas fechas se le deoma duracó de la operacó facera, durate el cual se geera los tereses. Orge: Vecmeto del prmer captal facero. Fal: Vecmeto del captal facero. Duracó: Tempo que meda etre orge y fal. S comparamos: t < t Se prefere (, t ) < t t Se prefere (, t ) 3 t t Idferete 4 t t oordar al cocepto de Ley frª: Hace posble referr al msmo mometo Objetvos. La realzacó de la operacó facera exge u acuerdo sobre aspectos tales como: la cuatía del captal de partda, la ley facera que se va a emplear y, falmete, el tato de terés utaro acordado. 9

10 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS..3. lasfcacó.. Segú la duracó: A corto plazo: la duracó de la operacó o supera el año. A largo plazo: aquellas co ua duracó superor al año.. Segú la ley facera que opera: Segú la geeracó de tereses: E régme de smple: los tereses geerados e el pasado o se acumula y, por tato, o geera, a su vez, tereses e el futuro. E régme de compuesta: los tereses geerados e el pasado sí se acumula al captal de partda y geera, a su vez, tereses e el futuro. Segú el setdo e el que se aplca la ley facera: De captalzacó: susttuye u captal presete por otro captal futuro. De actualzacó o descueto: susttuye u captal futuro por otro captal presete. Mxtas. 3. Segú el úmero de captales de que costa: Smples: costa de u solo captal e la prestacó y e la cotraprestacó. omplejas (o compuestas): cuado costa de más de u captal e la prestacó y/o e la cotraprestacó. 4. Segú la aturaleza de los captales: ertas: cuado teemos certeza de las cuatías a etregar y recbr durate la duracó de la operacó. Así msmo, coocemos que las msmas se matedrá costates o s, e cambo, muestra ua varabldad es coocda de atemao. Ejemplo: préstamos. Aleatoras: teemos coocmeto de que las cuatías cambará a lo largo de la duracó de la operacó facera. Así, puede cambar el tpo de terés aplcable, etre otras varables. U ejemplo que os puede ayudar a compreder mejor la stuacó es el de los mercados bursátles cambates e la que la volatldad tede a cambar.

11 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS 5. Segú el setdo de la operacó: Ulateral. Recíproca.. Naturaleza de los captales. ertas. Aleatoras.. Duracó de operacó c/p : < año l/p : > año 3. Nº captales Smples: prestacó de u captal. ompuesta: Prestacó de varos captales. 4. Setdo de la operacó Ulateral. Recíproca. aptalzacó. 5. Segú la Ley que tervee Descueto. Mxtas..3. Leyes faceras. Es ua fucó F a través de la cual, dado u captal facero (, t) se puede calcular su captal facero equvalete e u mometo del tempo p llamado puto de aplcacó o de refereca. V F(, t ; p )

12 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS V (, t ) t p Propedades:. Postvdad: La ley debe ser sempre postva: F (, t ; p ) F (t ; p ) >. Subestmacó: V > s p > t Ley de captalzacó. V < s p < t Ley de descueto. 3. Proporcoaldad: F (, t ; p) F (, t ; p) F( t ; p ) 4. otudad: Para todo valor de t, exste u valor de t 5. recete: co respecto al puto p y decrecete al t. Dada ua fucó G(t,p)+K(p t) Ejemplo :. Postvdad: G(t,p)>; t<p ; (p-t)> K>. Subestmacó : V> ; G(t,p)> (p-t)> G(t,p)+K(p-t) s > G(t,p)>. Proporcoaldad : G(c,t,p) G(,t,p) G(t,p) 3. otudad : para todo valor que damos a t exste u referete deomado t 4. recete/decrecete: V p t

13 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS Ejemplo : Dada ua fucó G(t,p) ( ) p t. Postvdad G(t,p) > > p t p>t (+) > o. Subestmacó V> G ( t, p) > p>t ( ) p t > 3. Proporcoaldad G(c,t,p) G(,t,p) G(t,p) 4. otudad t ct 5. recete/decrecete Ejemplo 3: Dada la sguete ley facera + ( p t) Dado dos captales dsttos, aalzar su equvaleca facera utlzado la ley. (, t ) (, t ) [ + ( p t) ] [ + ( p t ) ] + ( p t ) + ( p t ) Dados los sguetes valores smplfcar la fucó al máxmo: t t 4 p alcular ( 5 ) + 4 ( 5 3) + + ( p t) ; + ( p t ) Sstemas faceros..5. Equvalecas etre captales faceros. Dados dos captales (, t ) y (, t ) cuyas proyeccoes so (V, p ) y ( V, p) respectvamete, se drá que lo captales (, t ) y (, t ) so equvaletes y por tato íter cambates s V V, y o equvaletes s V V. 3

14 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS.6. Operacoes co captales faceros. Es posble sumar captales faceros. El caso más secllo sería el de dos captales, co el msmo vecmeto dode se podría costatar que su suma sería el valor artmétco de sus cuatías cuado t t (, t ) + (, t ) ( +, t ) (, t ) + (, t ) ( +, t ) E la stuacó e la que los vecmetos so dsttos el crtero de proyeccó permtrá homogeezar vecmetos e u puto de proyeccó p y por tato, podamos, aalítcamete, sumar así: (, t ) + (, t ) (V +V, p).7. Factores faceros, rédtos y tatos. El factor facero es u strumeto a través del cual, dado u captal facero e t, podremos calcular su captal facero equvalete e t, aú cuado las magtudes p y t so dsttas (p t ). Gráfcamete la expresó que se está determado será de la sguete maera: (, t ) (, t ) V V t t p Supoemos : (, t ) pf (, t ) V V A teor de lo dcado va a suceder dos posbldades o stuacoes aalítcas que so: 4

15 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS 5. oocdo el captal (, t ), ómo calcularíamos (, t )? (, t ) (, t ) V V F(, t ; p) F(, t ; p) F(t ; p) F( t ; p) F(t,t ;p) ), ( ), ( p t F p t F : factor frª. desplazameto a la derecha S se trabaja co la ley de captalzacó: ), ( ), ( ) ;, ( p t p t p t t u S se trabaja co la ley de descueto: ), ( ), ( ) ;, ( p t A p t A p t t u. oocdo (, t ), ómo calcularíamos su equvalete e t? F(t,p) F(t,p) ), ( ), ( p t F p t F ), ( ), ( ),, *( p t F p t F p t t : factor frª desplazameto a la zquerda S se trabaja co factor de cotracaptalzacó: ), ( ), ( ) ;, * ( p t p t p t t u

16 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS S se trabaja co la ley de descueto: υ ( t, t ; p) A( t A( t, p), p) Matemátcamete, el rédto de captalzacó se defe como: ( t, t, p) u( t, t, p) I Se etede por rédto (r) el redmeto geerado por u captal. Se puede expresar e tato por ce (%), o e tato por uo. S e el mometo t dspoemos de u captal y éste se coverte e u captal e u determado mometo t, el rédto de la operacó será: I S embargo, auque se cosdera las cuatías de los captales cal y fal, o se tee e cueta el aspecto temporal, es decr, e cuáto tempo se ha geerado ese redmeto. Surge la ecesdad de ua medda que tega e cueta el tempo: el tato de terés (). Se defe el tpo de terés () como el rédto por udad de tempo, es decr: r t t t t Rédto y tato cocdrá cuado el tervalo de tempo es la udad. Ejemplo 4: U captal de. euros se susttuye hoy por otro de. dspoble detro de u año. uál es el rédto de la operacó? Y el tato de terés aual? 6

17 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS.. Rédto r ' %... Tpo de. ' % Pero s la operacó dura años :.. Rédto r ' %... Tpo de. '5 5% Por lo tato, el rédto permaece costate ate varacoes del horzote temporal, o ocurredo lo msmo co el tpo de terés que es, permaecedo varable el resto de elemetos, versamete proporcoal al plazo de la operacó. El tato de captalzacó es: p( t, t ( t, t, p), p) t t I ( t t ) I ( t t ) ( t t ) I S el tato se refere a u state del tempo, aparece el cocepto de tato statáeo, defdo como: lm p( t, t, p) t t preco de ua u.m. e u mometo cocreto de tempo 7

18 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS.8. Reserva matemátca e ua operacó facera. E cualquer operacó facera se puede platear su cacelacó atcpadamete, hecho que ocurre e la práctca dara. La cacelacó atcpada cosste e saldar la deuda pedete de la operacó por el deudor e u mometo T ateror al fal de la operacó y posteror al orge de la msma. El saldo de ua operacó e T que dca el valor de la cacelacó os lo da el cálculo de la reserva matemátca e ese mometo T. Uas veces este saldo respode al hecho de falzar la operacó y otras veces para reegocar la operacó bajo uevas codcoes. Para su determacó matemátca, supogamos la sguete operacó facera. S S Prestacó: 3 T o t t t 3... t S S otraprestacó: 3 T o t t t 3.. T t Vamos a aalzar el estado de la operacó e este puto. omo e toda operacó facera e la que tervee dos sujetos ecoómcos, la suma facera(s) de los captales que el prmer sujeto etrega al segudo debe ser gual a la suma facera (S ) de los captales que el segudo le devuelve al prmero. Aalítcamete se podrá represetar de la sguete forma: 8

19 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS S S S + S S + S F( t, p) F( T, p) I F( t, p) F( T, p) Método retrospectvo se basa e el estudo de los compromsos pasados Método prospectvo se basa e el estudo de los compromsos futuros. S S' S' S R T S S' S' S RT El dferecal de cada ua de las operacoes determará el valor de las reservas e T. Exste dsttos métodos de cálculo: - Método retrosprectvo: (S -S ), se basa e el estudo de los compromsos que ya ha suceddo o pasado. - Método prosprectvo: (S -S ), se basa e el estudo de los compromsos futuros. - Método recurrete: se determa la reserva e mometos dsttos. + Reserva por la derecha R [ t T ]] T t' ] T, ;, m Reserva por la zquerda R [ t T[ ; [ T, t' ] Iterpretacoes atededo a la Reserva tato: T, R + t s fuese + y por a) S R γ > S S > S > S :Reserva acreedora. Esta desgualdad mplca que el prmer sujeto faceramete ha etregado más captales que el segudo, luego e caso de cacelacó debe ser el segudo sujeto que etregue al prmero el valor de la dfereca, esto es el valor de la reserva. 9

20 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS b) S R γ < S S < S < S : Reserva deudora. Aquí el deudor hasta T ha devuelto más captal que el acreedor le ha etregado. E caso de cacelacó atcpada será, por tato, el acreedor que etregue al deudor el valor de la reserva e valor absoluto. c) S R : La operacó esta saldada. γ.9. aracterístcas comercales, tatos efectvos y TAE e ua operacó facera. aracterístcas complemetaras o adcoales a al operacó facera e sí, que modfca sustacalmete el cojuto de captales a etregar o recbr, alterado el equlbro de la operacó. S altera el preco de la operacó (prestacó-cotraprestacó) al cojuto de captales de la prestacó y de la cotraprestacó ua vez corporadas dchas característcas comercales, se les deoma prestacó real y cotraprestacó real. Tato efectvo real: valor que guala la prestacó real de la cotraprestacó real e. TAE: el cálculo del coste de ua operacó facera realzada etre partculares puede realzarse por cualquer procedmeto o acuerdo que los teresados cosdere oportuo. Pero cuado ua de las partes que tervee es ua etdad de crédto, e este caso que exste ua regulacó específca establecda por el Baco de España.El Baco de España ha regulado el cálculo de la TAE (Tasa Aual Equvalete).La tasa aual equvalete queda regulada por el Baco de España y e fucó de su valoracó dcar que este valor o cocde cas uca co el verdadero coste o retabldad de la operacó. Por lo tato, como orma geeral, para la determacó de la TAE o se cluye las característcas que afecta a terceras persoas (o se tee e cueta las característcas ulaterales). No obstate, aú exstedo sólo característcas blaterales e TAE. aracterístcas comercales E las operacoes faceras, e la práctca cotdaa, surge certas característcas complemetaras o adcoales a la operacó e sí, que modfca sustacalmete el cojuto de captales a

21 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS etregar o recbr, alterado el equlbro de la operacó, dado por la ecuacó: Prestacó otraprestacó A estas codcoes o característcas complemetaras se las deoma característcas comercales y al cojuto de captales de la prestacó y de la cotraprestacó ua vez corporadas dchas característcas se las deoma prestacó real y cotraprestacó real. Hablaremos de operacoes pura como aquella e la que o se cosdera las característcas complemetaras, esto práctcamete sólo ocurre e la teoría, y operacó co característcas comercales cuado éstas se corpora a la operacó. Las característcas comercales se puede clasfcar e dos grupos: aracterístcas blaterales o recíprocas. aracterístcas ulaterales. aracterístcas comercales blaterales So aquellas que afecta por gual tato al sujeto de la prestacó como al de la cotraprestacó. Así pues, s el sujeto de la prestacó tee u gasto cal, este repercutrá drectamete sobre el sujeto de la cotraprestacó. Esto es, la prestacó real etrega por el prestamsta cocde co la recbda por el prestataro u vceversa. Por tato, a mayores gastos para el sujeto de la prestacó, mayores gresos para el de la cotraprestacó. Se puede decr que es u juego de suma ula: todo lo que el prmero gaa lo perde el segudo. Etre las característcas comercales blaterales se puede destacar las que modfca la cuatía de los captales como bofcacoes, prmeras, lotes, recargos, etc. aracterístcas comercales ulaterales Estas característcas afecta a uo de los dos sujetos que tervee e la operacó modfcado las cuatías o vecmetos.

22 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS Estos gastos complemetaros o supldos surge geeralmete por la aparcó de ua tercera persoa e la operacó, ajea, e u prcpo, ésta (por ejemplo: gastos otarales, mpuestos surgdo de la operacó, etc.). Dado que el aumeto de pagos que realza u sujeto o se traduce e u cremeto de cuatía a recbr por el segudo sujeto, surge la ecesdad de dstgur etre prestacó real y cotraprestacó real tato para el prestamsta (acreedor) como para el prestataro (deudor). Etre los gastos supldos, los más habtuales so: Gastos cales, o gastos que surge e el mometo e el que se pacta la operacó, o sea, e le orge. Así pues, está los mpuestos por trasmsoes patrmoales y actos jurídcos documetados (tmbre), gastos otarales, gastos admstratvos, etc. Por G a y G d represetamos los gastos cales del acreedor y deudor, represetatvamete. Gastos termedos o perodos, que so los que aparece durate la operacó como, por ejemplo, gastos de admstracó, correo, etc. Éstos los represetaremos por G a Pj y G d Pj, segú sea a cargo del acreedor o del deudor e el mometo t j. aracterístcas omercales: Tatos Efectvos y TAE - Ulaterales: afecta a ua sola de las partes y tercera persoa. - Blateral: afecta a las dos partes. aracterístcas comercales e los prestamos:. Gastos a cargo del prestataro: omsó de apertura. omsó de estudo. Supldos: orretaje (o otaro) (regstro) ( Seguros) (Tasacoes) Impuestos (Impuesto sobre trasmsoes patrmoales y actos jurídcos documetados)

23 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS Otros gastos cales (Gestoría...) Subvecoes. 3. Fscaldad: Gastos e tereses, so deducbles para la empresa ahorro fscal. Gastos o supldos e tereses los cosdera como greso gravable fscalmete la etdad. Hpotecaros para adquscó de vvedas. oste para el prestataro: ( p ). coste, pasvo. Retabldad para el prestamsta. ( a ), Redmeto, Actvdad. TAE ormas del Baco de España: sólo se debe clur las comsoes que, por dferetes coceptos, pueda percbr la etdad (o los gastos supldos). - No las subvecoes recbda por la etdad - Varables 4. Las característcas comercales, lo msmo que las restates codcoes, puede ser lbremete acordadas por las partes, exste certas ormas establecdas e la rcular del Baco de España (BE) 4 º 8/99, 7 Sep. 3

24 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS TEMA : LEYES FINANIERAS SIMPLES DE APITALIZAIÓN Y DESUENTO.. Itroduccó. Las operacoes e régme de smple se caracterza porque los tereses a medda que se va geerado o se acumula y o geera tereses e períodos sguetes (o so productvos). De esta forma los tereses que se produce e cada período se calcula sempre sobre el msmo captal el cal, al tpo de terés vgete e cada período. Este régme facero es propo de operacoes a corto plazo (meos de u año). Operacó facera cuyo objeto es la susttucó de u captal presete por otro equvalete co vecmeto posteror, medate la aplcacó de la ley facera e régme de smple. Partedo de u captal ( ) del que se dspoe calmete captal cal, se trata de determar la cuatía fal ( ) que se recuperará e el futuro sabedo las codcoes e las que la operacó se cotrata (tempo y tpo de terés ). Este captal fal o motate se rá formado por la acumulacó al captal cal de los tereses que geera la operacó peródcamete y que, al o dspoerse de ellos hasta el fal de la operacó, se añade falmete al captal cal. Los tereses o so productvos, lo que sgfca que: A medda que se geera o se acumula al captal cal para producr uevos tereses e el futuro y, por tato Los tereses de cualquer período sempre los geera el captal cal, al tato de terés vgete e dcho período. Gráfcamete para ua operacó de tres períodos: 4

25 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS Demostracoes: PERIODOS PRINIPIO INTERÉS ANUAL FINAL + ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) 3 ( + ) ( + ) + ( + 3 ) ( + ( t ) ) ( + t) ( ) + El captal al fal de cada período es el resultado de añadr al captal exstete al co del msmo los tereses geerados durate dcho período. De esta forma, la evolucó del motate cosegudo e cada mometo es el sguete: Mometo : Mometo : + I + x ( + ) Mometo : + I + I + + x ( + ) Mometo 3: 3 + I + I + I x ( + 3 ) Mometo : + I + I + + I xx ( ) + 5

26 INIIAIÓN TEORIO-PRÁTIA A LAS MATEMÁTIAS FINANIERAS I: APITALIZAIÓN Y RENTAS Expresó aplcable cuado el tpo de terés de la operacó se matee costate todos los períodos. A partr de la expresó ateror (deomada fórmula fudametal de la captalzacó smple) o solamete se puede calcular motates so que, coocdos tres datos cualesquera, se podría despejar el cuarto restate. Falmete, hay que teer e cueta que lo que dca es el úmero de veces que se ha geerado (y acumulado) tereses al captal cal, por tato, esa varable sempre ha de estar e la msma udad de tempo que el tpo de terés (o mportado cuál sea)... aptalzacó smple a tato vecdo. Ley facera: crtero de comparacó, permte calcular captales equvaletes. aptalzacó: cálculo de u captal equvalete e u tempo posteror. Smple: los tereses o so acumulatvos, es decr, o se acumula al captal cal para producr uevos tereses. A tato vecdo: pago del preco () al fal de la operacó. Supogamos que se verte u captal cal o e régme de captalzacó smple o tato aual utaro, durate perodos auales. Deseamos, calcular el valor fal al cabo de esos perodos. Tal operacó queda determada e el gráfco temporal que dcamos: T I o I o I o I o o ( + I ) o ( + ) 6

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