IGEP Tema 2. Leyas financieras básicas: estudio usando aplicaciones informáticas.

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1 IGEP Tema 2. Leyas financieras básicas: esudio usando aplicaciones informáicas. onenido. apial financiero Leyes financieras: capialización y descueno Leyes de capialización Leyes de descueno Propiedades de las leyes financieras Operación financiera Leyes financieras clásicas Leyes de capialización Ley de capialización simple Ley de capialización compuesa Leyes de descueno Ley de descueno simple comercial Ley de descueno simple racional Ley de descueno compueso Ejercicios para resolver usando hoja de cálculo...4. apial financiero. Los bienes económicos, siempre que vayan a ser uso de inercambio no simulaneo, no solo deben ser valorados por su cuania, sino que ambién se debe ener en cuena el momeno en el que serán disponibles. De ese modo, podemos decir que una misma canidad de dinero da lugar a diferenes capiales financieros dependiendo del momeno en que se pueda disponer de él. Así, mil euros hoy y mil euros denro de res años son capiales financieros disinos. Un capial financiero se represena por medio de una par ordenado: (,); donde es el capial y el iempo que debe ranscurrir hasa que podamos disponer del capial, pudiendo ser ambos números ano posiivos como negaivos: Si <0, se raa de una deuda. Si <0, esamos considerando un puno emporal anerior al origen (0). No obsane, para cenrar el ema del que nos ocuparemos uilizando el sofware de hoja de cálculo adecuado, daremos la siguiene definición en la que se resringe el concepo a canidades posiivas. Def. Llamaremos Espacio financiero al conjuno E={, /, R + }.

2 Ese concepo de espacio financiero hace que no podamos comparar dos canidades sin ener en cuena al iempo, por ello para represenar un capial financiero necesiamos uilizar dos ejes, al y como vemos en la figura siguiene, donde se represena los capiales, y 2, 2 : 2 2 Al comparar dichos capiales puede ocurrir que: a) Que el iempo de vencimieno coincida: = 2 b) Que las canidades coincidan: = 2 c) Que las canidades y los iempos no sean iguales y que la relación de desigualdad sea disina para cada magniud: 2 y 2 o 2 y 2 d) Que las canidades y los iempos no sean iguales y que la relación de desigualdad sea la misma para ambas magniudes: 2 y 2 o 2 y 2 El primer caso es facil de comparar, ya que únicamene debemos considerar las canidades implicadas: si = 2 y 2, enonces, será preferido a 2, 2. Gráficamene la siuación será: 2 = 2 El segundo caso es similar, siendo ahora iguales las cuanias, el parámero a uilizar en la comparación será el emporal, en ese caso es preferible poder disponer del dinero lo anes posible, es decir: si 2 y = 2, enonces, será preferido a 2, 2. Gráficamene la siuación será:

3 = 2 2 En el ercer caso se dan las dos condiciones que acabamos de comenar, siendo sencillo decidir que capial financiero es preferible: si 2 y 2, enonces, será preferido a 2, 2. si 2 y 2, enonces 2, 2 será preferido a,. Gráficamene la siuación en el primero de esos supuesos es la siguiene: 2 2 En la cuara siuación es en la que se planean los problemas, pueso que debemos ponderar los parámeros para dererminar cuál es el mejor capial financiero, siendo, en principio siuaciones incomparables. Sin embargo, si enemos que decidir enre recibir un millón hoy, o dos millones denro de un año, la mayoría de nosoros elegiría dos denro de un año, aendiendo a que si hoy enemos un millón, sería dificil inverir el dinero para doblar la canidad en un año. Esa decisión, sin embargo, depende de facores como la siuación económica, la oporunidad del momeno y la necesidad. En una siuación económica enla que se nos ofrezca un inerés del 5% anual por una inversión, el resulado de inverir nuesro millón sería , si comparamos esa canidad con los dos millones que se nos ofrecen denro de un año, noamos que el reulado es una pérdida de ingresos de Supongamos que hoy es 0/0/2009, enonces los capiales serán: (000000, 0/0/2009) y ( ,0/0/200). El primero de los capiales inverido al 5% anual producirá el capial financiero (050000, 0/0/200) que ya es comparable.

4 /0/2009 0/0/200 Ese es el méodo habiual para comparar capiales financieros: inenar obener una represenación de ambos capiales en un mismo momeno de iempo, para lo cual se iene en cuena el modo en el que un capial puede variar en virud de la inversión realizada. En ese conexo cobra gran imporancia el concepo de inerés, es decir, el precio que hay que pagar por disponer de capiales financieros ajenos durane un periodo de iempo. Evidenemene, dicho precio dependerá del capial del que se dispone y del iempo durane el que se dispone de él, lo que expresado de forma porcenual da lugar a concepo de ipo de inerés. El ipo de inerés se deermina por la ofera y demanda de dinero, como cualquier oro bien económico: si hay una ala demanda de présamos, el ipo subirá, mienras que si la demanda disminuye, el ipo ambién disminuirá, siempre denro de unos márgenes legales para inenar eviar la usura. En paricular en los ipos de inerés aplicables inervienen direcamene las políicas económicas de los disinos gobiernos: la políica monearia y la políica fiscal. 2. Leyes financieras: capialización y descueno. Def. Llamaremos ley financiera a una expresión maemáica que nos permie proyecar cualquier capial financiero, (,), en cualquier insane de iempo, p: V=F(,;p) Donde V es la cuanía equivalene en p al capial financiero (,). A la hora de comparar dos capiales financieros, lo imporane, además de la cuanía, es la disancia en el iempo que los separa. Es decir, da igual calcular el capial equivalene a uno dado desde 200 a 2003, que desde 2007 a 2009, lo relevane es que en ambos casos han rascurrido dos años. Eso reponde a la propiedad denominada esacionariedad de las leyes financieras, según la cuál, el resulado de su aplicación no varia cuando se produzca un desplazamieno en el iempo: F, ; p =F, k ; p k de ese modo, si n= p, endremos V =F,n.

5 Desacamos a coninuación dos ipos de leyes financieras dependiendo del senido aplicado al iempo que separa a dos capiales: fuuro o pasado. 2. Leyes de capialización. Si proyecamos un capial financiero a un insane de iempo poserior, diremos que esamos capializando, para lo cual se suele uilizar si p, V =L, ; p, o bien, si n 0, V =L,n. Gráficamene la siuación será: V=L(,n) 0 n 2.2 Leyes de descueno. Si decidimos calcular el capial equivalene a un capial dado en un momeno anerior al iempo de vencimieno, esaremos aplicando una ley financiera de descueno, y ahora la noación es: si p, V = A, ; p, de oro modo, si n 0, V = A,n. Gráficamene la siuación será: V=A(,n) n Propiedades de las leyes financieras. Veamos ahora cuales son las propiedades que debe saisfacer una ley para ser considerada como ley financiera, denro de las reglas económicas fundamenales.. Ser una función posiiva: dado un capial de cuanía posiiva, su equivalene en cualquier insane de iempo ambién lo es, mienras que si parimos un capial negaivo, o deuda, su equivalene en cualquier insane de iempo será ambién negaivo. omo vemos en la represenación gráfica de esa propiedad, dado un capial disponible en el momeno 0, si lo capializamos con un valor posiivo de n, su valor equivalene siempre posiivo, iende a crecer indefinidamene. Mienras que si acualizamos el capial a insanes de iempo aneriores, cuando n es negaivo, su valor se hace progresivamene menor, pero de forma asinóica al eje, es decir, su valor se aproxima a cero, pero nunca llega a serlo, y en consecuencia nunca oma valores negaivos.

6 V=L(,n) V=A(, n) 0 2. Ser una función homogénea de grado respeco a : es decir, si aplicamos la ley a una canidad se obiene el mismo resulado que si aplicamos la ley a una unidad monearia y después muliplicamos el resulado por la canidad. F,n =.F,n Esa propiedad permiirá ulizar leyes financieras uniarias, es decir, referir las leyes a una unidad monearia, por lo que ésas solo dependerán del iempo: F,n F n. 3. umplir con la propiedad reflexiva: si el resulado de aplicar la ley a en un iempo n, es V, enonces el resulado de aplicar la ley a V en el iempo n será. 4. Ser una función coninua en n: la ley financiera no puede ener salos ni inerrupciones en un momeno de iempo deerminado. 5. Ser una función creciene respeco a n: si aumena el iempo la canidad aumena. 3. Operación financiera. Una operación financiera se define como el inercambio no simuláneo de capiales financieros enre agenes económicos, los cuales pacan la ley financiera con la que esablecer la equivalencia financiera de dichos capiales. En oda operación financiera podemos disinguir los siguenes elemenos: a) Las personas que inervienen enla operación financiera: La primera persona, física o jurídica, que inerviene en la operación es la que enrega el primer capial. A esa persona se le denomina presamisa o acreedor. La segunda persona es quién recibe el primer capial y se compromee a devolverlo ranscurrido un periodo de iempo. Dicha persona será el presaario o deudor. b) Los capiales financieros que inervienen en la operación. Aquí disinguimos los capiales que enrega el presamisa y los que devuelve el presaario: Al capial que enrega el presamisa se le denomina presación. Al capial que devuelve el presaario se le denomina corapresación. c) El iempo que dura la operación, donde a su vez podemos disinguir los siguienes concepos: El origen de la operación, que coincide con el vencimieno del primer capial de la operación, es decir, el momeno de enrega del primer capial. El final de la operación, que coincide con el insane en que se enrega el úlimo

7 capial. Por úlimo, la duración de la operación, que no es más que el iempo que ranscurre enre el origen y el final. d) Además, el principio que debe regir cualquier operación financiera es el principio de equivalencia financiera enre presación y conrapresación, calculada mediane una ley financiera que debe ser pacada por las pares. Tano la presación como la conrapresación pueden esar consiuidos por diversos capiales, por ano, el primer paso es calcular la suma financiera de los capiales que las componen, ras lo cual únicamene debemos comparar financieramene ambos conjunos de capiales. 4. Leyes financieras clásicas. El número de expresiones maemáicas que podrían ser leyes financieras, por cumplir las propiedades expuesas aneriormene, es muy numeroso. De odas ellas las más uilizadas son las denominadas leyes financieras clásicas. A coninuación esudiaremos cinco leyes clásicas, dos de ellas de capialización y res de descueno. 4. Leyes de capialización. En ese caso calcularemos el capial financiero fuuro equivalene a un capial financiero presene. Por ello, al capializar una capial financiero, el capial equivalene fuuro, V, debe ser mayor, ya que la ley financiera debe ser creciene. El modo en el que se produce ese crecimieno viene dado por las caracerísicas de aplicación del ineres al cual el capial será someido. También raaremos el asuno de los anos equivalenes, ya que, siempre que uilizemos una ley financiera debemos ener en cuena que el inerés aplicado y el número de periodos n deben venir dados en las mismas unidades de iempo. Normalmene en operaciones a largo plazo la unidad emporal uilizada es el año, pero en operaciones a coro plazo se suele uilizar el mes. No obsane, en muchas ocasiones se uilizan oras unidades emporales, como el rimesre o el cuarimesre, por lo que, para aplicar correcamene la ley de capialización simple, es necesario hacer cambios de unidades en las fórmulas o bien uilizar ipos de inerés equivalenes en función de la unidad emporal que deseemos emplear. Def. Se denominan anos de inerés equivalenes a aquellos que aplicados a un mismo capial, durane un mismo periodo de iempo, producen un mismo monane o capial final. 4.. Ley de capialización simple. La expresión maemáica es: L n = n.i con n.i 0, donde i es el ipo de inerés referido al mismo periodo de iempo en el que viene expresada la variable n. Esa ley de capialización simple es sumaiva, ya que para cada periodo de iempo sumamos una canidad fija de inereses, que viene expresado por el ipo i. Por ello la función maemáica que represena la ley es una función lineal.

8 +i +2i i i 0 2 En caso de ener un capial en el insane 0, los capiales en los iempos y 2 respecivamene serán =. i y 2 =. 2.i, por lo que ras n periodos de iempo endremos: n =. n.i Ejemplo. apializar 000 durane res años al 0% de inerés simple anual, obeniendo su represenación gráfica. Si analizamos la expresión anerior, para un capial inicial O Así, los inereses generados serán: n = O. n.i n = O O.n.i, endremos que: I= O.n.i, con lo que el capial final, o monane, será: n = O I Tanos equivalenes: dada la ley financiera de capialización simple, el capial final equivalene a un capial inicial 0 durane n años, a un ano anual i, viene dado por la expresión: n = 0 n.i Si ahora medimos ese periodo de iempo en emésimos de año, endremos una canidad oal de m.n de periodos, y si el inerés por cada periodo es de i m, la expresión maemáica será: n = 0. n.m.i m Para que los dos anos sean equivalenes debe ocurrir que los monanes finales sean iguales, por lo ano: y despejando en esa expresión enemos: n = 0. n.i = 0. n.m.i m i=m.i m i m = i m De ese modo se comprueba que, en el caso de la capialización simple, si se divide año en periodos, el inerés ambién queda dividido por esa misma canidad de periodos. En el caso de periodos superiores a un año, como son los rienios o quinquenios, la obención del ano equivalene se realiza uilizando la misma expresión, aunque modificando un poco la noacón para disinguir ese caso del anerior. Por ejemplo, en el caso de un rienio, endremos que i 3 = i /3 =3.i. Ejemplo 2. Queremos inverir 000 durane seis meses en una cuena de ahorro de un banco que nos ofrece un 6% de renabilidad anual. uál será el monane de la operación?

9 4..2 Ley de capialización compuesa. La expresión maemáica que define esa ley, ambién conocida como inerés compueso, es L n = i n, con n,i>0, donde i es el ipo de inerés expresado para el mismo periodo de iempo en el que viene expresada la variable n. En esa ley de capialización el incremeno producido en cada periodo por el inerés se va incorporando a la canidad inicial, por ello, pariendo de una unidad monearia, se obiene la secuencia siguiene: a = a 2 = i a 3 = i i.i= i 2 a 4 = i 2 i 2.i= i 3... El crecimieno en ese caso es exponencial, y la siuación gráficamene es: (+i) 2 +i i+i 2 i 0 2 Si hacemos referencia a una canidad inicial, 0, el capial equivalene n periodos de iempo después a un inerés i será n = 0. i n Ejemplo 3. Queremos inverir 000 durane res años en una cuena de ahorro de un banco que nos ofrece un 0% compueso de renabilidad anual. uál será el monane de la operación? Tanos equivalenes: planeamos ahora el esudio de los anos de inerés equivalenes para el caso del inerés compueso. Para ello dividiremos cada periodo de capialización en m subperiodos, siendo i m el ano por emésimo de periodo. El capial final uilizando n periodos será n = 0. i n, mienras que el capial final uilizando periodos emésimos será n = 0. i m m.n, si al y como dice la definición de anos equivalenes esablecemos la igualdad enre ambos capiales, obenemos: 0. i n = 0. i m m.n de donde podemos deducir que i m = i m = m i i = i m m compleo con respeco al inerés de la pare endremos que i= i m m., y despejando el inerés del periodo

10 Def. Se denomina ano anual equivalene a aquel ano equivalene que, aplicado a un perido de iempo expresado en años, es equivalene al ano periodal, i m. El ano anual equivalene, comunmene TAE, suele uilizarse como referecia para comparar disinas alernaivas, omando al año como unidad emporal de referencia. El cálculo no es an sencillo en ese caso como en el caso de la capialización simple, por ello en ese modelo se hace uso de oro ano de inerés, el denominado ano nominal, j m, y se define como el ano anual que resula del produco del ano periodal, i m, por el número de periodos que coniene el año, m: j m =i m. m El cálculo del ano nominal es igual al cálculo del ano anual equivalene en capialización simple, y es el ano que se suele conraar en las operaciones financieras con bancos y oras enidades. Normalmene una enidad bancaria uiliza únicamene el ano periodal, a parir del cuál calcula el ano nominal para reflejarlo en el conrao y el ano anual equivalene para publicarlo y comparar sus inversiones. En la siguiene abla vemos un resumen de esos inereses y su relación: Tano Símbolo Número de periodos en un año Razón álculo Tano de inerés anual i anual omparar i= i m m Tano periodal i m m alcular i m = j m m Tano nominal j m anual onraar j m =i m. m Ejemplo 4. Inverimos 0000 en una cuena bancaria que nos ofrece una remuneración del 6% anual pagadero por meses: a) Deerminar los disinos inereses que uiliza el banco para desarrollar el produco financiero. b) alcular el capial obenido ranscurridos dos años c) alcular el capial obenido ranscurrido un año, si hemos inverido 00. Ejemplo 5. Si vamos a realizar una inversión de 5000 en una enidad financiera, que nos remunera el capial al 2% nominal y nos da a elegir el inervalo de iempo en el que queremos que nos liquide los inereses, cuál eligiríamos, meses, rimesres, semesres o años? 4.2 Leyes de descueno. La caracerísica principal de las leyes de descueno es el valor negaivo de la variable n, ya que el puno de proyección del capial se encuenra ahora en el pasado. Al conrario de lo que ocurría en el caso de la capialización, al desconar un capial financiero el capial equivalene debe ser de menor cuanía que el capial proyecado, ya que la ley financiera debe ser decreciene con respeco a la

11 variable n. Traaremos las res leyes de descueno más uilizadas en la prácica: la ley de descueno simple racional, la ley de descueno compueso y la ley de descueno simple comercial. Las dos primeras leyes son las correspondienes a las leyes de capialización simple y compuesa, mienras que el inerés de la úlima reside en el uso que de ella se hace por pare de las enidades financieras. Gráficamene una ley de descueno se represenara de la forma: V p n En ese caso, los anos equivalenes se definen de la forma siguiene: Def. Se denominan anos de inerés equivalenes a aquellos que aplicados a un mismo capial, durane un mismo periodo de iempo, producen un mismo capial inicial. En ese caso, igual que en el aparado aerior dividiremos el año en m periodos iguales, pero ahora el ano por cada emésimo de año corresponderá a un descueno: d m Ley de descueno simple comercial. La expresión maemáica que define esa ley es: A n = n.d con n, d >0 y donde n = p donde d es el ipo de descueno expresado para el mismo periodo de iempo en el que viene expresada la variable n. Esa ley es sumaiva, por lo que en cada periodo de iempo se resa una canidad fija de inereses que viene expresado por el ipo de descueno. La inerpreación gráfica de esa ley será: d d 2d d 2 0 omo vemos, esa ley se represena por medio de una función lineal, en la que, por cada unidad de iempo que ranscurre desconamos la canidad d. Así, dado un capial inicial n su capial equivalene n periodos de iempo anes de su disponibilidad, a un ipo de descueno d, será: 0 = n. n.d

12 En ese caso, una de las caracerísicas genéricas de las leyes financieras no se cumple, ya que puede ocurrir que, dado un capial posiivo, su equivalene no lo sea, al y como ocurre en el ejemplo siguiene. Ejemplo 5. Supongamos que enemos derecho a recibir 000 denro de siene años y queremos conocer cuál es la deuda equivalene hoy, uilizando la ley de descueno simple comercial al 5% de ano de descueno anual. El resulado obenido en el ejemplo anerior no es razonable, para que esa siuación no pueda producirse debemos limiar el rango de aplicación de esa ley a aquel en el que la función se maniene posiiva, es decir: n.d 0 n.d n d En consecuencia, el periodo de descueno esá resringido por el inverso del ipo de descueno aplicado. Teniendo en cuena que la ley de descueno simple comercial se aplica en operaciones a coro plazo, es decir, operaciones inferiores al año, esa limiación maemáica no supone una resricción en la prácica. La abla siguiene muesra algunos iempos límies para deerminados ipo de descueno. Tano de descueno álculo Límie de uilización 5% 0% 5% 20% /0,05 /0, /0,5 /0,2 20 años 0 años 6,66 años 5 años Gráficamene la siuación es: V= d.(/d)=0 p n =/d Ejemplo 6. Un gran supermercado nos debe el impore de una facura que asciende a 500, que nos abonará denro de seis meses. uál es la deuda equivalene hoy, si desconamos a un ipo de descueno del % mensual? Tanos equivalenes: en principio uilizamos la ley de descueno simple comercial de periodicidad anual: 0 = n. n.d ; si aplicamos esa fórmula para periodos emésimos de año endremos 0 = n. n.m.d m, y por úlimo, al y como dice la definición de anos equivalenes, esablecemos la igualdad enre ambas expresiones por referirse a la misma canidad de iempo, pero con disinas unidades de aplicación del descueno: n. d.n = n. m.n.d m

13 donde, simplificando enemos que: o lo que es lo mismo: d =d m. m d m = d m omo vemos, los anos equivalenes en la ley de descueno simple comercial son análogos a los anos equivalenes en capialización simple, ya que ambas leyes son sumaivas. Ejemplo 7. a) Un cliene nos adeuda na canidad de que se compromee a pagar denro de res meses, deuda que se ha documenado en una lera de cambio. Ane la necesidad de liquidez de nuesra empresa, desconamos la lera en el banco a un ano de descueno del 2% anual. Qué canidad recibiremos hoy en nuesra cuena? b) Una vez recibido el dinero, la políica de la empresa cambia, debido a una enrada de liquidez por ora vía, y se decide volver a capializar la canidad recibida ras la gesión descria en el aparado a), la inversión se realiza a res meses y con una remuneración del 2% de ineres anual. Que canidad recibiremos ras ese periodo de iempo? Lo que sucede en el ejemplo 7 nos demuesra que la ley de capialización simple y la ley de descueno simple comercial no son inversas una de ora, ya que al capializar el capial ras el descueno, con las mismas condiciones de iempo y asas, el resulado que se obiene no es la canidad inicial. En general lo que sucede es, dada una canidad n sobre la que aplicar un descueno d, para obener una canidad equivalene 0, si ahora aplicamos una capialización simple con un inerés i=d, en un periodo igual al descueno, endremos: 0 = n. n.d ' n = 0. n.d ' n = n. n.d. n.d realizando el produco noable que aparece en la expresión anerior endremos: ' n = n. n 2.d 2 ' n n = n 2.d 2 ' n n ' n n Para solvenar esa circunsancia se define la ley de descueno simple racional, que raamos a coninuación Ley de descueno simple racional. Def. La expresión maemáica que define la ley de descueno simple racional es la función inversa de la ley de capialización simple: A n = n.i con n, i 0, donde n= p En la figura siguiene vemos un gráfico que compara los descuenos simple racional y comercial, observándose que el descueno racional es menor que el comercial:

14 i d Tanos equivalenes: en primer lugar esablecemos el capial inicial uilizando periodos anuales, de manera que, n 0 = n.i en segundo lugar, esablecemos el capial final uilizando peridos de iempo de emésimos de año, y enemos, n 0 = n.m.i m esableciendo la igualdad enre ambas expresiones y simplificando, obenemos i=i m. m, de donde despejamos el ano periodal: 0 i m = i m Ley de descueno compueso Def. La expresión maemáica que define la ley de descueno compueso es la función inversa de la ley de capialización compuesa: A n = i n, con n, i 0, donde n= p En realidad, el descueno compueso no es más que la prolongación para valores negaivos de la ley de capialización compuesa. Tanos equivalenes: en ese caso serán exacamene iguales a los de la ley de capialización compuesa: i= i m m y i m = i Ejemplo 8. Desconar 5000 un cuarimesre, mediane las res leyes de descueno: simple comercal, simple racional y compueso; para un ano del 9% anual. ompara los resulados. 4.3 Ejercicios para resolver usando hoja de cálculo. A coninuación se incluyen algunos ejercicios cuya resolución implica el uso de una o varias de las fórmulas de los aparados aneriores, y para los que es conveniene usa de la hoja de calculo, ano

15 para la resolución de cada ejercicio paricular, como para crear un liro de cálculo con el que resolver siuaciones similares, en las que únicamene cambien los daos. Ejercicio. Dados los siguienes pares de capiales, deerminar si son equivalenes o no. En el caso de ser equivalenes deerminar bajo que condiciones. a) (000,) y (000,2) b) (000,) y (2000,2) c) (2000,) y (000,2) Ejercicio 2. Si nverimos 0000 al 6% simple anual, cuál será el monane a los 9 meses? Y si el ipo de inerés es del 6% nominal liquidable por meses? uál es el TAE en cada uno de los casos? Ejercicio 3. Nuesro banco nos propone un depósio bancario de 0000 que se remunera al 6% nominal pagadero por meses. Dichos inereses se abonan en la cuena corriene, dado que el depósio es de 0000 exacos. El depósio se anuncia al 6,7% TAE. Deermina la renabilidad del dinero si lo inverimos en dicho depósio durane un año compleo, sabiendo que la cuena corriene no se remunera. Ejercicio 4. Al comprar un elevisor de plasma con PVP de 2000, nos proponen la posibilidad de aplazar el pago de la siguiene manera: una enrada inicial del 0% del valor de la compra más 0 pagos mensuales iguales por el 0% de la compra cada uno. Deermina el inerés y el cose del aplazamieno del pago. Ejercicio 5. Nuesro banco abona inereses al % anual simple, liquidando los inereses al final de cada semesre naural, es decir, final de junio y final de diciembre. Si una persona deposia 500 el 6 de sepiembre de 2005 y los reira el 7 de enero de a) Es un problema de inerés simple o compueso? b) alcula el monane a reirar.

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