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1 1. Definición L hipérbol es el lugr geométrico de todos los puntos del plno cuyo vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis dos puntos fijos es constnte. Más clrmente: Ddos (elementos bses de l hipérbol) Dos puntos F y F del plno, denomindos focos de l hipérbol. Un número positivo, α, menor que d(f, F ). se llm hipérbol l lugr geométrico de los puntos del plno cuyo vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis del punto P los puntos ddos F y F es constnte e igul α, es decir, 2. Deducción de l ecución de l hipérbol Pr obtener l ecución más simple de l hipérbol: d(p, F ) d(p, F ) = α (1) se tom el eje X psndo por los puntos F y F y el origen en el punto medio del segmento F F. se signn ls coordends: F ( c, 0) y F (c, 0). se define α = 2, de donde < c ( por qué?). Luego, l condición (1), es equivlente : (x + c)2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = ±2 (2) trbjndo de mner completmente similr l cso de l elipse, se obtiene (c 2 2 )x 2 2 y 2 = 2 (c 2 2 ) (3) definiendo c 2 2 = b 2, sustituyendo y finlmente dividiendo por 2 b 2, se obtiene l llmd ecución cnónic y reducid de l hipérbol: x 2 2 y2 b 2 = 1 (4) Instituto de Mtemátic y Físic 27 Universidd de Tlc

2 3. Elementos socidos un hipérbol Focos: son los puntos ddos (y fijos) F (c, 0) y F ( c, 0). Eje focl: Es l rect que ps por los focos (en este cso, el eje X). Centro: Es el punto medio del segmento F F (o del segmento A A). Rdios vectores: Son los segmentos P F y P F. Vértices: Son los puntos de intersección de l hipérbol con su eje focl: A y A. Eje myor: es el segmento AA de longitud 2. Not: Si el eje focl de l hipérbol coincide con el eje Y, de mner que los coordends de los focos sen (0, c) y (0, c), l ecución de l hipérbol es y 2 2 x2 b 2 = 1 (5) 4. Relciones entre los prámetros de l hipérbol Pr cd hipérbol, sus prámetros, b y c están ligdos por l relción c 2 2 = b 2. e = c = 2 + b 2, se llm excentricidd de l hipérbol. Notr que e > Ejemplo Los vértices de un hipérbol son los puntos A(0, 3) y A (0, 3) y sus focos son los puntos F (0, 5) y F (0, 5). Encontrr l ecución de l hipérbol, l longitud de su eje myor y su excentricidd. Grficr. 6. Asíntots de l hipérbol 1. De (4), se obtiene que y = ± b x 1 2 x 2 (6) 2. Por un cuiddos inspección de (4), se deduce que, medid que x crece (o decrece) sin límite, l ecución precedente se v trnsformndo en ls ecuciones de ls rects y = ± b x (7) Por lo tnto, medid que x crece (o decrece) sin límite los puntos de l hipérbol (4) se vn cercndo, cd vez más, ls rects (7). Luego, ests dos rects son síntots de l hipérbol (4). Instituto de Mtemátic y Físic 28 Universidd de Tlc

3 Asíntots de l hipérbol 7. Hipérbol con centro (h, k) y ejes prlelos los ejes coordendos L ecución de l hipérbol de centro en el punto (h, k) y eje focl prlelo l eje X, est dd por siendo ls ecuciones de sus síntots. (x h) 2 (y k)2 2 b 2 = 1 (8) x h = ± y k b Si el eje focl es prlelo l eje Y, l ecución de l hipérbol es siendo ls ecuciones de sus síntots. (y k) 2 (x h)2 2 b 2 = 1 (10) y k = ± x k b Pr cd hipérbol, es l longitud del semieje myor, c es l distnci del centro cd foco, y, b y c están ligds por l relción c 2 = 2 + b 2. Desrrollndo ls ecuciones (7) y (10) se obtiene que l ecución generl de l hipérbol (con ejes prlelos l los ejes coordendos) es Ax 2 + By 2 + Dx + Ey + F = 0 (12) con A y B sen de distinto signo. Bjo que condiciones (12) represent un hipérbol?. 8. Ejemplo Verificr que l ecución 9x 2 4y 2 54x+8y +113 = 0 es un hipérbol. Determinr su centro, eje focl, vértices, focos, excentricidd y ecuciones de sus síntots. Hcer un esbozo de su gráfico. 9. Hipérbol y rects tngentes 1. Se (x 0, y 0 ) es un punto en l hipérbol (4). L ecución de l rect tngente l hipérbol en este punto es x 0 x 2 y 0y b 2 = 1 (13) (9) (11) Instituto de Mtemátic y Físic 29 Universidd de Tlc

4 2. Ls rects tngentes l hipérbol (4) de pendientes m son: 10. Aplicciones y = mx ± 2 m 2 b 2, con m > b 1. Propiedd óptic. En un espejo hiperbólico, un ryo de luz dirigido hci uno de los focos es reflejdo hci el otro foco, y un ryo de luz que sle de un foco es reflejdo, lejándose de otro foco y en l dirección del otro foco. Est propiedd de l hipérbol proviene del siguiente: Teorem L tngente un hipérbol en culquier punto de l curv es bisectriz del ángulo formdo por los rdios vectores de ese punto. 2. Astronomí. Tryectoris de comets. Un cuerpo celeste que proveng del exterior del sistem solr, se trído por el sol y luego se leje (sin volver), en lgunos csos, describirá un órbit hiperbólic, teniendo como un foco l sol y sldrá nuevmente del sistem solr. Esto sucede con lgunos comets. 11. Actividdes 1. Hllr los vértices, focos y excentricidd de ls siguientes hipérbols. Grficr. ) 9x 2 4y 2 = 36 b) 4x 2 9y 2 = 36 c) 9y 2 4x 2 = 36 Sol. ) (±2, 0), (± 13, 0), b) (±3, 0), (± 13, 0), c) (0, ±2), (0, ± 13), 13 Instituto de Mtemátic y Físic 30 Universidd de Tlc 2. (14)

5 2. Se llm ldo recto de l hipérbol l segmento que ps por un foco y une dos puntos de dich hipérbol. Verificr que l longitud el ldo recto de l hipérbol (4) viene dd por 2b2. Encontrr ls longitudes de los ldos rectos de ls hipérbols de l ctividd precedente. Sol. 9, 8 3, Los vértices de un hipérbol son los puntos (±2, 0) y sus focos son los puntos (±3, 0). Hllr su ecución y su excentricidd. Sol. x2 4 y2 5 = 1, Los vértices de un hipérbol son (0, ±4) y su excentricidd es igul 3 2. Hllr l ecución de l hipérbol y ls coordends de sus focos. Sol. y2 16 x2 20 = 1, (0, ±6). 5. Qué tienen en común l fmili de hipérbols 3x 2 3y 2 = k? 6. Hllr e identificr l ecución del lugr geométrico de un punto que se mueve de tl mner que su distnci del punto (6, 0) es siempre igul l doble de u distnci de l rect 2x 3 = 0. Sol. 3x 2 y 2 = Hllr los puntos de intersección de l rect 2x 9y +12 = 0 con ls síntots de l hipérbol 4x 2 9y 2 = 11. Sol. ( 1.5, 1) y (3,2). 8. Se llm hipérbol equiláter un hipérbol de l form x 2 y 2 = 2 (15) ) Comprobr que l excentricidd de un hipérbol equiláter es igul 2. b) Demostrr que el producto de ls distncis de culquier punto de un hipérbol equiláter sus síntots es un constnte. 9. Los vertices de un hipérbol son los puntos ( 1, 3) y (7, 3), y su excentricidd es 5/4. Hllr l ecución de l hipérbol y ls coordends de sus focos. Sol. (x 3)2 16 (y 3)2 9 = 1. (10, 3), ( 4, 3) Pr cd un de ls siguientes ecuciones, pr ls correspondientes hipérbols: escribirls en ls form (7) o (10), determinr ls coordends del centro, vertices y focos; su excentricidd y ls ecuciones de sus síntots. ) x 2 9y 2 4x + 36y 41 = 0 b) 4x 2 9y x + 36y + 64 = 0 c) x 2 4y 2 2x + 1 = 0 Sol. ) (x 2)2 9 (y 2)2 1 = 1. Centro (2, 2). Vértices (5, 2) y ( 1, 2). Focos (2 ± 10, 2). Excentricidd Asíntots x+3y 8 = 0, x 3y+4 = 0. c) No es un hipérbol. Son dos rects concurrentes: x±2y 1 = Hllr el ángulo gudo de intersección de ls síntots de l hipérbol 9x 2 y 2 36x 2y + 44 = 0. Sol Hllr ls ecuciones de ls tngentes l hipérbol x 2 2y 2 + 4x 8y 6 = 0 que son prlels l rect 4x 4y + 11 = 0. Sol. x y ± 1 = Dibujr ls siguientes hipérbols y hllr sus puntos de intersección: x 2 2y 2 + x + 8y 8 = 0 y 3x 2 4y 2 + 3x + 16y 18 = 0. Sol. (1, 1), (1, 3), ( 2, 1), ( 2, 3). 14. Verificr gráficmente que l curv xy = 1 corresponde un hipérbol. 15. Comprobr que l elipse 9x y 2 = 144 y l hipérbol 3x 2 4y 2 = 12 tienen los mismos focos y que se cortn en ángulo recto. 16. Clculr los ángulos bjo los cules se cortn l hipérbol equiláter x 2 y 2 = 1 y l circunferenci x 2 + y 2 = 9. Sol. 83, Hllr los puntos de intersección de l circunferenci x 2 + y 2 9 = 0 y l hipérbol 9x 2 4y 2 36 = 0. Sol. (2,35, 1,86), ( 2,35, 1,86), (2,35, 1,86), ( 2,35, 1,86) (vlores redondedos dos decimles). Instituto de Mtemátic y Físic 31 Universidd de Tlc

6 18. Determinr ls ecuciones de ls siguientes hipérbols: Sol. x 2 y 2 = 1, 4x 2 8x 9y 2 36y + 4 = A prtir de l definición de l hipérbol obtener su gráfico en el softwre Geogebr. Instituto de Mtemátic y Físic 32 Universidd de Tlc

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