Capítulo 1: Secciones Cónicas

Transcripción

1 Capítulo : Secciones Cónicas Resumen En este apartado se trata sobre la definición, caractrización graficación de las Secciones Cónicas. Primero se definen las secciones cónicas como la curva de intersección entre un cono doble un plano. Posteriormente se definencomolagrafica de una ecuación general de segundo gradoporúltimocomoelconjuntodepuntosque satisface cierta propiedad geométrica. Contenidos Secciones Cónicas. Laparábola Ecuacióncanónicadelaparábola.... Lacircunferencia Elipse Laecuacióncanónicadelaelipse:.... Lahipérbola Laecuacióncanónicadeunahipérbola:... 0

2 Jorge Monge Fallas Secciones Cónicas Las secciones cónicas se pueden definer de tres formas distintas: En forma visual, en la cual las secciones cónicas se pueden ver como la curva que se obtienen de la intersección entre un plano un cono doble. En una forma análitica, en esta las secciones cónicas correspoden general de segundo grado. a la gráfica de la ecuación Como un conjunto de puntos en el plano que satisfacen cierta propiedad geométrica. La primera de ellas se muestra en las figuras,, 3, a cada una de las curvas que resaltan se le llama una sección cónica. Figura. Parábola Figura. Elipse Figura 3. Hipérbola Figura. Circunferencia Las figuras anteriores nos dan una idea visual de lo que llamamos secciones cónicas, además nos muestran las distintas secciones cónicas que llamaremos: parábola, circunferencia, elipse e hipérbola. Otradelasformasenquesedefinen las secciones cónicas es a partir de la ecuación general de segundo grado A + B + C + D + E + F =0 () para A, B, C, D, E, F R con A B ambos no nulos. La gráfica correspondiente al conjunto de puntos (, ) que satisfacen () corresponde a una sección cónica. Como ejemplo de ello consideremos la ecuación + + 5=0es decir A =,B =0, C =,D =,E = F = 5 la gráfica correspondiente a esta ecuación se muestra en la figura 5

3 . La parábola Jorge Monge Fallas Figura =0 corresponde a una elipse. Por último las cónicas se pueden definir como un locus (colección) de puntos en el plano que satisfacen cierta propiedad geométrica. Esta propiedad geométrica nos lleva a obtener una ecuación canónica, la ecuación canónica es una ecuación que caracteriza en forma completa los elementos que se destacan en la gráfica de la cónica. Acontinuación definimos cada una de las secciones cónicas.. La parábola Definición Una parábola es el conjunto de puntos del plano que están a distancias iguales de un punto fijo llamado foco unarectafija llamada directriz. En la figura 6 se muestran los elementos característicos de la parábola, tales como el foco F, el vértice V, la directriz, el eje de simetría. Y la condición que deben satisfacer los puntos que pertenecen a la parábola. Figura 6. En la figura 7 se establecen las coordenadas generales del vértice V =(h, k), las coordenadas del foco F =(h, k + c), donde c es la distancia del vértice al foco del vértice a la directriz. La ecuación de la directriz en este caso viene dada por = k c la ecuación del eje de simetría = h. 3

4 . La parábola Jorge Monge Fallas Figura 7. Además al segmento AB cuos etremos pertenecen a la parábola, pasa por el foco es perpendicular al eje de simetría se le llama lado recto mide c. A partir de los datos en la figura (7) del hecho que la distancia de cualquier punto P =(, ) al foco es igual a la distancia del punto P a la directriz, es decir, d (P, F) = d (P, L) con P =(, ),F =(h, k + c) L : = k c q q ( h) +( (k + c)) = ( ) +( (k c)) ( h) +( (k + c)) = ( ) +( (k c)) ( h) + c +ck c + k k + = c ck +c + k k + ( h) +ck c = ck +c ( h) = ck +c ( h) = c ( k) A esta última ecuación se la llama ecuación canónica, esta la detallamos a continuación... Ecuación canónica de la parábola. La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice V =(h, k) directriz = k c como las mostradas en las figuras anteriores viene dada por ( h) =c ( k) Eje de simetría vertical. La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice V =(h, k) directriz = h c como se muestra en la figura 8, viene dada por ( k) =c ( h) Eje de simetría horizontal

5 . La parábola Jorge Monge Fallas Figura 8. Ejemplo Consideremos la parábola con ecuación canónica ( ) =8( ) podemos observar que c =,c>0por lo que la parábola es cóncava hacia arriba. La distancia del foco F =(, 3) al vértice V =(, ) es c =ladirectrizesunarectaparalelaalejex seubica a c =por debajo del vértice, esto es =. En la ecuación ( ) =8( ) si se desarolla el cuadrado se deja igualada a cero obtenemos + = = 0 que corresponde a una ecuación general de segundo grado como en () con A =,B =0,C =0,D =,E = 8 F =. La gráfica de esta parábola se ve como en la siguiente figura 5

6 . La parábola Jorge Monge Fallas Figura 9. ( ) =8( ) Ejemplo De igual forma veamos la parábola con ecuación canónica ( +) = podemos obaservar que c =, c<0. La distancia del foco F =(, ) al vértice V =(0, ) es c =ladirectrizesunarectaparalelaalejey seubicaa c =aladerechadelvértice,estoes =. En la ecuación ( +) = si se desarolla el cuadrado se deja igualada a cero obtenemos + + = = 0 que corresponde a una ecuación general de segundo grado como en () con A =0,B =0,C =,D =,E = F =. La gráfica de esta parábola se ve como en la siguiente figura 6

7 . La parábola Jorge Monge Fallas Figura 0. ( +) = Ejemplo 3 Ahora tomamos la ecuación de una parábola que no está en su forma canónica + 6 =5 enestecasoaplicaremoselprocesoinversoparaobtenerlaformacanónicadelaparábola. Además podemos observar que la gráfica de esta parábola es una función de, por lo que esta se abre ahacia la derecho o hacia la izquierda. Completando cuadrados para se tiene + 6 = 5 6 = = = + ( 3) = ( +7) De esta manera la ecuación ( 3) =( +7) corresponde a la ecuación canónica de una parábola con c =, c>0indica que la parábola se abre hacia la derecha, con vértice V =( 7, 3), foco F = 3, 3 directriz = 5. La gráfica de esta parábola se ve como en la siguiente figura 7

8 . La parábola Jorge Monge Fallas Figura. ( 3) =( +7) - Ejemplo También podemos determinar la ecuación de una parábola a partir de cierta información, por ejemplo: Determinar la ecuación de la parábola con foco en (3, ) ecuación de la directriz =. DadoqueladirectrizesunarectaparalelaalejeX, significaquelaparábolaescóncavahaciaarribao concava hacia abajo. Para este tipo de parábola el foco tiene coordenadas F =(h, k + c) la directriz es = k c con esta información tenemos de donde concluimos que h =3que (h, k + c) =(3, ) k c = k + c = k c = resolviendo se tiene k =0 c =. Por lo tanto la ecuación canónica de la parábola que cumple las condiciones establecidas inicialmente viene dada por ( 3) = Realice la gráfica para que verifique que todo esté correcto. Ejemplo 5 Ahora determinenos la ecuación de la parábola que satisface estas nuevas condiciones; el ejedesimetríaesparaleloalejex, vértice en (, 3) contienealpunto(, ). Cuando se dice que el eje es paralelo al eje X, serefiere al eje de simetría. Por tanto la parábola se abre hacia la derecha o hacia la izquierda la ecuación correspondiente tendría la forma ( 3) =c ( ) lo único que queda por determinar es la constante c. La última condición dice que la parábola contiene al punto (, ), esta condición nos permitirá determinar c. Dado que si un punto pertenece a una 8

9 . La circunferencia Jorge Monge Fallas curva entonces, satisface su ecuación así ( 3) = c ( ) sustituendo =, = 6 = c ( ) c = De esta forma queda completamente determinada la ecuación de la parábola ( 3) = 8( ) nos confirma que la parábola se abre hacia la izquierda.. La circunferencia Definición Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia constante de un punto fijo (llamado centro), como se muestra en la figura (), ala distancia fija se le llama radio(r). De acuerdo con la figura podemos determinar q la ecuación canónica de la circunferencia aplicando pitágoras para determinar la longitud r, r = ( h) +( k) r =( h) +( k) Eje Y (,) r k C=(h,k) h Eje X Figura. Por tanto la ecuación canónica de una circunferencia de centro (h, k) radior viene dada por ( h) +( k) = r Ejemplo 6 Veamos ahora la circunferencia con ecuación canónica ( +) +( ) = dado que la circunferencia queda completamente determinada al saber el radio r = su centro c =(, ), para este caso particular podemos ver la gráfica en la figura(3) 9

10 . La circunferencia Jorge Monge Fallas Figura 3. ( +) +( ) = Ejemplo 7 Ahora tomamos la ecuación de una cirncunferencia que no está en su forma canónica + =6 en este caso aplicaremos el proceso inverso para obtener la forma canónica de la circunferencia. Completando cuadrados para e se tiene + = = = = 9 +( 3) = 9 ( 0) +( 3) = 9 De esta forma la ecuación ( 0) +( 3) =9corresponde a la ecuación canónica de una circunferencia con centro C =(0, 3) radio3. La gráfica se muestra en la figura () 0

11 .3 Elipse Jorge Monge Fallas Figura. + =6.3 Elipse Definición 3 La elipse es el conjunto de puntos del plano cua suma de las distancias a dos puntos fijos de ese plano es constante, a los puntos fijos se les llama focos. En la figura (5), se establece la condición para que un punto P,pertenezcaalaelipse.Setieneque d (P, F) + d (P, F) = a Donde a es la distancia del centro al vértice como se muetra en la figura (6) Figura 5.

12 .3 Elipse Jorge Monge Fallas En la figura (6), c es la distancia del centro al foco. Al segmento que une los vértices se le llama eje maor al segmento cua longitud es b pasa por el centro se le llama eje menor. Además a, b c están relacionados por la ecuación b = a c.3. La ecuación canónica de la elipse: Figura 6.. La ecuación canónica para una elipse con eje maor horizontal de centro C =(h, k) viene dada por ( h) ( k) a + b =,a>b Eje maor horizontal (Figura 6). La ecuación canónica para una elipse con eje maor vertical de centro C =(h, k) viene dada por ( h) ( k) b + a =,a>b Eje maor vertical (Figura 7) La figura (7), corresponde a una elipse cuo eje maor es vertical.

13 .3 Elipse Jorge Monge Fallas Figura 7. Losfocosestánenelejemaoraunadistanciac del centro, con b = a c centro al foco. c es la distancia del Definición Eentricidad: Mide el achatamiento de la elipse viene dada por Si e< la elipse se aplana Si e 0 la elipse tiende a una circunferencia e = c a Como se puede ver, la ecuación de la elipse requiere un número maor de constantes por determinar en consecuencia para caracterizarla se necesitan los dos focos, los dos vértices, el centro las dimensiones tanto del eje maor como el eje menor. Además es importante reconocer si el eje maor es horizontal o vertical la relación entre a, b c que para el caso de una elipse, estas constantes están relacionados por medio de la ecuación b = a c esto implica que en una elipse a>c>0 a>b. Cuando a = b entonces la elipse degenera en una circunferencia de radio a = b. Ejemplo 8 Consideremos la elipse con ecuación canónica ( ) + ( ) 9 dado que a>bse tiene que a =3 b =. Como a que es el maor está sobre la variable esto indica que el eje maor de la elispe es vertical con centro C =(, ), vértices V =(, ± 3).Como para los focos se es necesario c utilizamos la reclación b = a c para determinarla = =3 c c = 5 así los focos serían F =, ± 5, la dimensión del eje maor es a =6 la del eje b =. menor es 3

14 .3 Elipse Jorge Monge Fallas Al igual como se hizo con las ecuaciones de las cónicas anteriores, podemos desarrollar los cuadrados para obtener ( ) ( ) + 9 = = multiplicando por = = 0 que corresponde a una ecuación general de segundo grado como en () con A =9,B =0,C =,D = 36,E = 8 F =. La gráfica de esta elipse se ve como en la figura(8) Figura 8. ( ) + ( ) 9 = Ejemplo 9 De igual forma veamos la elipse con ecuación canónica ( +) + = podemos obaservar que a = b =.Comoaque es el maor está sobre la variable esto indica que el eje maor de la elispe es horizontal con centro c =(0, ), vértices V =(0±, ).Como para los focos se es necesario c utilizamos la reclación b = a c para determinarla = c c = 3 así los focos serían F = 0 ± 3,, la dimensión del eje maor es a = la del eje menor es b =. Al igual como se hizo con las ecuaciones de las cónicas anteriores podemos desarrollar los cuadrados

15 .3 Elipse Jorge Monge Fallas para obtener ( +) + = = multiplicando por = = 0 que corresponde a una ecuación general de segundo grado como en () con A =,B =0,C =,D = 0,E =8 F =0. La gráfica de esta elipse se ve como en la figura(9) Figura 9. ( +) + = Ejemplo 0 Ahora tomamos la ecuación de una elipse que no está en su forma canónica Completando cuadrados para e se tiene = = + 8 = + + = ( ) + + = ( ) = ( ) +( ) = 6 dividiendo entre 6 ( ) ( ) + 6 = 5

16 .3 Elipse Jorge Monge Fallas se tiene que a = b =. La elispe es horizontal con centro C =(, ), vértices V =(±, ).Calculamos c utilizando la reclación b = a c, = c c = así los focos serían F = ±,, la dimensión del eje maor es a =8 la del eje b =. La gráfica de esta parábola se ve como en la figura menor es Figura 0. ( ) 6 + ( ) = Ejemplo También podemos determinar la ecuación de una elipse a partir de cierta información, por ejemplo: Determinar la ecuación de la elipse con centro en (5, ), un vértice está en (5, ) un etremo del eje menor en (3, ). Dado que el centro el foco son colineales están sobre una recta ( =5)paralela al eje Y la elipse es una elipse vertical. Como a es la distancia del centro al vértice se tiene que a =3 la distancia del centro a los etremos del eje menor es b =. Como b = a c de esta forma la ecuación canónica de la elipse es =3 c c = 5 ( 5) + ( ) 9 Ejemplo Ahora determinenos la ecuación de la elipse que satisface esta nuevas condiciones; Los ejes de la elipse están en los ejes coordenados, los puntos (, 3) (, ) pertenecen a la elipse. Cuando se dice que los ejes de la elipse están en los ejes coordenado se conclue que el centro C, es C =(0, 0). Que los puntos (, 3) (, ) pertenezcanalaelipse,nonosdicenadasobrelaforma de la elipse si es horizontal o vertical. Una alternativa puede ser dibujar los puntos así decidir cual ecuación canónica corresponde. En la figura están representados el centro los dos puntos = 6

17 .3 Elipse Jorge Monge Fallas Figura. Se conclue que la elipse es horizontal debido que la elipse es simetrica tanto al eje maor como al eje menor, como se puede ver en la figura es imposible lograr la simetría sobre el eje Y con una elipse vertical. Por lo tanto la ecuación canónica tiene la forma de a + b = Para determinar a b utilizamos el hecho de que los puntos (, 3) (, ) deben satisfacer la ecuación de la elipse. Para (, 3) se tiene Para (, ) se tiene a + 3 b = 6 a = 9 b 6 a = b 9 b a 6 = ( ) b b 9 a = µ b a + b = a = 6 b a = b 6 b a b = b 6 b 9 6 7

18 . La hipérbola Jorge Monge Fallas Igualando resolviendo para b se tiene b b 6 b 6 = = µ b b 9 6 b 9 6 como b 6= 0 b 9 = 6b 56 5b = 7 b = 7 5 a = 7 7 La ecuación canónica correspondien es En la figura se muestran los puntos (, 3) (, ), elcentroc =(0, 0) la elipse que satisface las condiciones planteadas. = La hipérbola Figura Definición 5 Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (llamados focos)de ese plano es constante. De acuerdo con la figura (3) ladefinición de hipérbola, P pertenece a la hipérbola si d (P, F) d (P, F) = a, dondea es la distancia del centro al vértice, igual que en la elipse, de igual forma para c. = 8

19 . La hipérbola Jorge Monge Fallas Figura 3. En la figura (), c es la distancia del centro al foco. A la recta que pasa por los vértices se le llama eje transversal a la recta que pasa por el centro es perpendicualar al eje transversal se le llama eje conjugado. Además a, b c están relacionados por la ecuación b = c a Figura. En la figura (5), c es la distancia del centro al foco. Además a, b c están relacionados por la ecuación b = c a 9

20 . La hipérbola Jorge Monge Fallas.. La ecuación canónica de una hipérbola : Figura 5.. La ecuación canónica para una hipérbola con eje transversal horizontal de centro C =(h, k) viene dada por ( h) a ( k) b = Eje transversal horizontal (Figura ) Asíntotas de la Hipérbola = k + b ( h) a = k b ( h) a. La ecuación canónica para una hipérbola con eje transversal vertical de centro C =(h, k) viene dada por ( k) a ( h) b = Eje transversal vertical (Figura 6) Asíntotas de la Hipérbola = k + a ( h) b = k a ( h) b La figura (6), corresponde a una hipérbola cuo eje transversal es vertical. 0

21 . La hipérbola Jorge Monge Fallas Figura 6. Definición 6 Eentricidad: Mide el achatamiento de la hipérbola viene dada por e = c a Si e> las ramas de la hipérbola son casi planas. Si e las ramas de la hipérbola son más puntiagudas. Al igual que la ecuación de la elipse, la ecuación de la hipérbola requiere un número igual de constantes por determinar para caracterizarla se necesitan además de los focos, los vértices el centro, las ecuaciones de las asíntotas. Destacamos el eje transversal el eje conjugado, la relación entre a, b c que está dada por ecuación b = c a esto implica que en una hipérbola c>a>0 a b o b a. Ejemplo 3 Consideremos la hipérbola con ecuación canónica ( ) ( ) = 9 como la variable positiva es (o bien el signo negativo está sobre ) se tiene una hipérbola con eje transversal horizontal con a = b =3. El centro es C =(, ), vértices V =(±, ).Para los focos es necesario c, utilizamos la reclación b = c a para determinarla 3 = c c = 3 así los focos serían F = ± 3,, como se ve en la figura, las dimensiones del rectángulo para nuestra hipérbola son a = b =6. Las ecuaciones de las asíntotas vienen dadas por como se muestra en la figura (7). = + 3 ( ) = 3 ( )

22 . La hipérbola Jorge Monge Fallas Ejemplo Desarrollando los cuadrados podemos obtener ( ) ( ) 9 = = multiplicando por = = 0 que corresponde a una ecuación general de segundo grado como en () con A =9,B =0,C =,D = 36,E =8 F =. La gráfica de esta hipérbola se ve como en la siguiente figura Figura 7. ( ) ( ) 9 = Ejemplo 5 De igual forma veamos la hipérbola con ecuación canónica ( +) = la variable positiva es (o bien el signo negativo está sobre ) se tiene una hipérbola con eje transversal vertical con a = b =. El centro es c =(0, ), vértices V =(0, ± ).Determinamos c utilizando la reclación b = c a = c c = 5 así los focos serían F = 0, ± 5, como se ve en la figura(0) las dimensiones del rectángulo para nuestra hipérbole son a = b =.

23 . La hipérbola Jorge Monge Fallas Desarrollando los cuadrados podemos obtener ( +) = + + = multiplicando por = 8 + = 0 que corresponde a una ecuación general de segundo grado como en () con A =,B =0,C =,D = 0,E =8 F =0. La gráfica de esta hipérbola se ve como en la siguiente figura Figura 8. ( +) = Ejemplo 6 Ahora tomamos la hipérbola dada por la ecuación de segundo grado + 8 =6 3

24 . La hipérbola Jorge Monge Fallas Completando cuadrados para e se tiene + 8 = = = 6 ( ) + + = 6 ( ) = 6 ( ) + + = 9 ( ) ( +) = 9 dividiendo entre 9 ( ) ( +) 9 9 = como 9 = 9 se tiene ( ) ( +) 9 9 = se tiene que a =3b = 3. La hipérbola es horizontal con centro C =(, ), vértices V = ( ± 3, ).Calculamos c utilizando la reclación b = c a µ 3 = c (3) r 9 5 = c 9 c = Ã r! 5 así los focos serían F = ±,, la dimensión del eje maor es a =8 la del eje menor es b =. La gráfica de esta hipérbola se ve como en la siguiente figura Figura =6

25 . La hipérbola Jorge Monge Fallas Ejemplo 7 También podemos determinar la ecuación de unahipérbolaapartirdeciertainforma- ción, por ejemplo: Determinar la ecuación de la hipérbola con asíntotas =3; = 3 vértices en (, 0) (, 0). Dadoµ que el centro es el punto medio del segmento que une los vértices(o los focos) se tiene que + c =, 0+0 =(0, 0) además tenemos que a =. Por la posición de los vértices el centro, la hipérbola es una hipérbola horizontal las ecuaciónes de las asíntotas están dadas por = k ± b a ( h), es decir = ± b como las ecuaciones de nuestra hipérbola son = ±3 a concluimos que b =3comoa = b = a de esta forma la ecuación canónica de la hipérbola es 6 = Ejemplo 8 Sean P =(, ), A =( 3, 0), B =( 3, 3).Determine la ecuación de la hipérbola que contiene los puntos P, para los cuales d(p, A) d(p, B) = Lo que se establece con la epresión d(p, A) d(p, B) =es la definición de la hiperbola, esto es, el conjunto de puntos P cua diferencia de las distancias a dos puntos fijosllamadosfocos es constante(a). LoqueimplicaquelospuntosA B corresponde a los focos de nuestra hipérbola el centro es el punto medio del segmento que une los focos(o los vértices) se tiene que C = µ 3+ 3, 0+3 µ = 3, 3 además tenemos que c = 3.Por la posición de los focos el centro, la hipérbola es una hipérbola vertical. Por otro lado como la diferencia de las distancias es igual a a, setienequea = a = µ r 3 b = () 5 b = de esta forma se tiene µ 3 ( +3) 5 = 5

26 . La hipérbola Jorge Monge Fallas Figura 30. µ 3 ( +3) 5 = El siguiente teorema nos permite sin necesidad de completar cuadrados, saber que gráfica le corresponde a una ecuación general de segundo grado, claro que es sólo para saber qué es, pués si se tiene que graficar, la ecuación canónica es fundamental. Teorema Ecuación general: La gráfica de A + C + D + E + F =0 es una de las siguientes cónicas a. La circunferencia si A = C b. Parábola si AC =0 A =0 o C =0pero no ambos c. Elipse si AC > 0 A C tienen el mismo signo d. Hipérbola si AC < 0 A C tienen diferente signo Podemos a partir de la ecuación general obtener la forma canónica de cualquiera de las cónicas, esto por medio del procedimiento de completar cuadrados, como se ha hecho en los ejemplos anteriores. Ejemplo 9 Dadas las ecuaciones, determine la forma canónica de la cónica e indique todas sus características. Dibuje la cónica a) =0 De acuerdo con el teorema anterior podemos confirmar que la ecuación = 0 corresponde a la ecuación de una hipérbola, dado que A = C = 9 por lo que AC < 0. Completando cuadrados 6

27 . La hipérbola Jorge Monge Fallas ( + ) 9( + ) = 3 ( ) 6 9( ) +9= 3 ( ) 9( ) = 36 ( ) ( ) 9 = Tenemos que C =(, ) a = b =3 c = 3 V =(, +),V =(, ) F =(, + 3),F =(, 3) La gráfica de la hipérbola viene dada por Asíntotas =± 3 ( ) e = Figura 3. ( ) ( ) 9 = b) = 0 De acuerdo con el teorema anterior podemos confirmar que la ecuación =0corresponde a la ecuación de una elipse, dado que A =9 C =por lo que AC > 0. Completando cuadrados 7

28 . La hipérbola Jorge Monge Fallas 9( + ) + = 0 9( ) 36 + = 0 9( ) + =6 9( ) = ( ) = C =(, 0) a = b = 3 c = 8 9 V =(, 0+),V =(, 0 ) F =(, ),F =(, ) e = 8 9 = 9 La gráfica de la elipse viene dada por Figura 3. ( ) = 8