TEMA : INTERVALOS. Clases de intervalos Notación de conjuntos

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1 TEMA : INTERVALOS L rect rel: el conjunto de números reles se puede representr medinte los puntos de un rect horizontl, que se denomin rect rel, donde cd punto le corresponde un único número rel. Al número rel correspondiente un punto prticulr de l rect se le denomin coordend del punto. Intervlos: Un intervlo es un suconjunto de l rect rel. Al conjunto de números reles comprendido entre los reles y (con < ) lo llmremos intervlo cotdo de extremo inferior y extremo superior. Nomre Notción de intervlos Clses de intervlos Notción de conjuntos Intervlo ierto, x R/ x Intervlo cerrdo, x R/ x Intervlo semiierto l izquierd Intervlo semiierto l derech Intervlos l infinito, x R/ x, x R/ x,,,,, x R/ x x R/ x x R/ x x R/ x x R Gráfic en l rect rel y - no representn números. Son notciones pr indicr que lgo crece o decrece indefinidmente, respectivmente. DEFINICIÓN DE INTERVALOS: Aierto: es quel en el que los extremos no formn prte del mismo, es decir, todos los puntos de l rect comprendidos entre los extremos formn prte del intervlo, slvo los propios extremos. En otrs plrs I, x / x, oserv que se trt de desigulddes estricts. Tmién se expres en ocsiones como I,. Gráficmente: Cerrdo: es quel en el que los extremos si formn prte del mismo, es decir, todos los puntos de l rect comprendidos entre los extremos, incluidos éstos, formn prte del intervlo. En otrs plrs I, x / x, oserv que hor no se trt de desigulddes estricts. Gráficmente:

2 Semiierto: es quel en el que solo uno de los extremos form prte del mismo, es decir, todos los puntos de l rect comprendidos entre los extremos, incluido uno de éstos, formn prte del intervlo. Semiierto por l derech, o semicerrdo por l izquierd, el extremo superior no form prte del intervlo, pero el inferior si, en otrs plrs I, x / x, oserv que el extremo que qued fuer del intervlo v socido un desiguldd estrict. Tmién se expres en ocsiones como I,. Semiierto por l izquierd, o semicerrdo por l derech, el extremo inferior no form prte del intervlo, pero el superior si, en otrs plrs I, x / x, oserv que el extremo que qued fuer del intervlo v socido un desiguldd estrict. Tmién se expres en ocsiones como I,. Gráficmente: Semiierto por l izquierd Semirrects reles: Semirrect de los números positivos I 0,, es decir, desde cero hst infinito. Semirrect de los números negtivos I,0, es decir, desde el menos infinito, el infinito negtivo, hst cero. Con lo que tod l rect de los números reles serí, Semiierto por l derech I. OPERACIONES ENTRE INTERVALOS: Como los intervlos son conjuntos, ls operciones que se pueden relizr con ellos son ls misms que se relizn pr conjuntos. * Unión: L unión de dos intervlos, A y B, es un intervlo formdo por todos los elementos de A, todos los elementos de B o mos. A B = x/x A v x B. * Intersección: L intersección de dos intervlos A y B es un nuevo intervlo formdo por los elementos comunes, o se, por los elementos que pertenecen simultánemente l intervlo A y l intervlo B. A B = x/x A x B. * Diferenci: Si A y B son dos intervlos, l diferenci A B es el intervlo formdo por los elementos que pertenecen A y no pertenecen B. A B = x/x A x B B A = x/x B x A * Complemento: El complemento de un intervlo está determindo por los elementos que pertenecen l universl (-α, α) y no pertenece l intervlo. B C = x / x U x B

3 INTERSECCION DE INTERVALOS L intersección de intervlos nos drá como respuest quellos elementos que pertenezcn los dos intervlos. Ejemplo 1: Si y Determine : Geométricmente podemos representr los conjuntos y de l mner siguiente: De quí podemos oservr que los elementos que están en y tmién en son los números reles que están entre 2 y 5, incluyendo éstos; por lo que: Ejemplo 2: Si y Determine Geométricmente podemos representr los conjuntos y de l siguiente mner: De quí oservmos que los únicos elementos que están en y tmién en son -2 y 3; por lo que: Ejemplo 3: Si y.determine : Como podemos oservr y no tienen elementos comunes por lo que: UNION DE INTERVALOS L unión de intervlos nos drá como resultdo los elementos q pertenezcn l menos uno de los dos intervlos

4 Ejemplo 1: Si y.determine Representremos y geométricmente: De quí podemos oservr que los elementos que están en o en, son los números reles que están entre -3 y 7, incluyendo éstos, sí: Si y. Determine Representremos y geométricmente: Ejemplo 2: De quí oservmos que: Geométricmente podemos representr sí: DIFERENCIA DE INTERVALOS L diferenci de intervlos nos drá como resultdo quellos elementos que pertenecen l intervlo A y no l intervlo B. Ejemplo 1: Si y, determine A-B y B-A Representemos y geométricmente. De quí podemos oservr que: I. II.

5 Nomre y Apellido:... Tem: Intervlo Trjo Práctico N 1 1) Representr gráficmente los siguientes intervlos: ) ]-3, 8] ) [4, [ c) [-6, 5] d) ]0, 12[ 2) Ddos los gráficos siguientes, escri los intervlos respectivos y expréselos como conjuntos: ) R -1 4 ) R 4 17 c) R ) Qué intervlo represent l siguiente gráfico? ) [-4, 11] ) [-4, 11[ c) ]-4, 11[ d) ]-4, 11] 4) Expres como desiguldd y como intervlo, y represéntlos: ) x es menor que 5. ) 3 es menor o igul que x. c) x está comprendido entre 5 y 1. d) x está entre 2 y 0, mos incluidos. 5) Represent gráficmente y expres como intervlos ests desigulddes: ) 3 x 2 ) 5 < x c) x 2 d) 2 x < 3/2 e) 4 < x < 4,1 f ) 3 x 6) Escrie l desiguldd que verific todo número x que pertenece estos intervlos: ) [ 2, 7] ) [13, + ) c) (, 0) d) ( 3, 0] e) [3/2, 6) f) (0, + ) 7) Expres como intervlo l prte común de cd prej de intervlos (A B) e (I J ): ) A = [-3,2] B = [0,5] ) I = [2, + ) J = (0, 10)

6 8) Escrie en form de intervlos los números que verificn ests desigulddes: ) x < 3 o x 5 ) x > 0 y x < 4 c) x 1 o x > 1 d) x < 3 y x 2 9) Expres como un único intervlo: ) (1, 6] [2, 5) ) [ 1, 3) (0, 3] c) (1, 6] [2, 7) d) [ 1, 3) (0, 4)

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