Guía Generalidades de los números reales

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1 PROGRAMA EGRESADOS Guía Generalidades de los números reales A continuación, se presentan los siguientes ejercicios, de los cuales sugerimos responder el máximo posible y luego, junto a tu profesor(a), revisar detalladamente las preguntas más representativas, correspondientes a cada grado de dificultad estimada. Solicita a tu profesor(a) que resuelva aquellos ejercicios que te hayan resultado más complejos. Ejercicios PSU 1. Sean p un número entero positivo y m el inverso aditivo del sucesor de p. Cuál(es) de las siguientes operaciones resulta(n) siempre en un número positivo? I) El cuociente entre el inverso aditivo de p y el inverso multiplicativo de m. II) La diferencia entre la mitad de p y el antecesor de m. III) El producto entre el inverso multiplicativo de p y el sucesor de m. A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) Ninguna de ellas. 2. Sean a, b y c tres números enteros distintos de cero y distintos entre sí. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? a I) La expresión pertenece a los números enteros. b II) a (b + c) = c (a + b) III) a + (b + c) = (a + b) + c GUICEG020EM31-A17V1 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III Cpech 1

2 MATEMÁTICA 3. Sean k un elemento cualquiera del conjunto P = {0, 1, 2} y m un elemento cualquiera del conjunto Q = { 2, 1}. Una operación cuyos resultados están siempre dentro del conjunto P Q es I) k + m II) k m III) k m A) solo I. B) solo II. C) solo I y II. D) solo I y III. E) ninguna de ellas. 4. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Todo número irracional es un número real. II) Todo número entero es un número racional. III) Todo número imaginario es un número complejo. A) Solo II D) Solo II y III B) Solo III E) I, II y III C) Solo I y III 5. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) En los números enteros positivos no existe el neutro de la adición. II) En los números enteros no existe el neutro de la multiplicación. III) En los números racionales, el recíproco del neutro de la adición es igual al neutro de la multiplicación. A) Solo I D) Solo I y II B) Solo II E) I, II y III C) Solo III 6. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) 0, , es un número irracional. II) 9 0 = 0 III) es un número entero. A) Solo I D) Solo I y II B) Solo II E) I, II y III. C) Solo III 2 Cpech

3 Guía 7. Si n es un número entero positivo, cuál de las siguientes secuencias está formada siempre por números impares consecutivos? A) n, (n + 2), (n + 4), (n + 6), (n + 8) B) (n + 1), (n + 3), (n + 5), (n + 7), (n + 9) C) 2(n + 1), 2(n + 3), 2(n + 5), 2(n + 7), 2(n + 9) D) (2n + 1), (2n + 3), (2n + 5), (2n + 7), (2n + 9) E) (2n + 1), (2n + 2), (2n + 3), (2n + 4), (2n + 5) 8. Sea n un número entero positivo par y m un número entero positivo impar, tal que n + 1 = m + 2. Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) n es sucesor de m. D) (n 1) es el sucesor impar de m. B) n es antecesor de m. E) (n + 2) es el sucesor impar de (m + 1). C) (n + 1) es el sucesor par de m. 9. Sea n un número entero positivo menor que 5. Qué valores puede tomar la distancia entre n y su opuesto en la recta numérica? A) 0, 1, 2, 3, 4 D) 2, 4, 6, 8 B) 1, 2, 3, 4 E) 2, 4, 6, 8, 10 C) 0, 2, 4, 6, Sean n un número par y m un número impar. Cuál de los siguientes productos es siempre impar? A) nm D) (n + 1)(m 1) B) n(m + 1) E) (n + 1)(m + 1) C) (n 1)m 11. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) La suma de cuatro números enteros consecutivos resulta un número par. II) El cuadrado de un número entero es positivo. III) La suma entre el antecesor y el sucesor de un número entero es igual al doble de dicho número. A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Cpech 3

4 MATEMÁTICA 12. Qué resultado se obtiene si al inverso aditivo de ( 3 4 ) se le resta el sucesor de ( 3)? A) B) C) D) E) Considerando los números enteros, se obtiene un número par siempre que se I) suman dos números pares y luego se le resta un número impar. II) resta un número par del producto entre un número impar y un número par. III) multiplica un número impar por la suma entre dos números impares. A) solo II. B) solo I y II. C) solo I y III. D) solo II y III. E) I, II y III. 14. Sea p un número real tal que su inverso aditivo es un número racional positivo NO entero. Un valor posible para el inverso multiplicativo de p es A) 0,333 B) 2 C) 1,5 D) 0,5 E) 1,333 4 Cpech

5 Guía 15. Sean a y b números enteros positivos. Se puede determinar que (a + b + 3) es un número impar, si: (1) b es un número impar. (2) (a b) es un número impar. A) (1) por sí sola. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). B) (2) por sí sola. E) Se requiere información adicional. C) Ambas juntas, (1) y (2). Estrategia de síntesis Completa cada una de las oraciones presentadas a continuación con uno de los siguientes conceptos: enteros positivos, racionales, inverso aditivo, inverso multiplicativo, múltiplo, divisor, par e impar. i) 12 es de 72, ya que el cociente entre 72 y 12 es 6. ii) El de 0,2 es 5, debido al valor que se obtiene a partir del producto entre estos números. iii) Si n es un número entero, entonces (4n + 3) es siempre un número. iv) El conjunto de los números naturales se conoce también como el conjunto de los. 16. Sean k y m dos números enteros positivos, tales que 4 m = 1 k afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?. Cuál(es) de las siguientes I) k es divisor de 4. II) 5m es múltiplo de 10. III) (m k) es divisor de 6m. A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Cpech 5

6 MATEMÁTICA 17. Un grupo de amigos participan en un juego matemático de manera que, al dictar un número Matías le suma 2, Fernanda le suma 4 y Martina le suma 6, anotando el resultado solo si es un número primo. Si los números dictados fueron 5, 11 y 13, entonces es correcto afirmar que A) los tres amigos tienen la misma cantidad de números anotados. B) Martina tiene más números anotados que cada uno de los otros dos amigos. C) Fernanda tiene la menor cantidad de números anotados, mientras que sus amigos tienen la misma cantidad. D) ninguno de los amigos tiene tres números anotados en su lista. E) existe un número común que está anotado en las listas de los tres amigos. 18. La suma entre todos los números primos mayores que 7 y menores que 23 es divisible por I) 6 II) 10 III) 15 A) solo I y II. B) solo I y III. C) solo II y III. D) I, II y III. E) ninguna de ellas. 19. Mariela descubrió que su edad actual es un número primo formado por dos dígitos, los cuales también son primos. Además, notó que si intercambiaba la posición de los dígitos, se formaba otro número primo. La edad actual de Mariela podría(n) ser I) 17 años. II) 37 años. III) 53 años. A) solo I. D) solo II y III. B) solo II. E) I, II y III. C) solo I y II. 6 Cpech

7 Guía 20. Sea el conjunto S, formado por los números enteros positivos pares menores que 9 y el conjunto T, formado por los números enteros positivos impares menores que 8. Entonces, se puede afirmar que I) el conjunto T está formado solo por números primos. II) el conjunto S NO contiene números primos. III) el conjunto S y el conjunto T NO tienen elementos en común. A) solo II. D) solo I y III. B) solo III. E) ninguna de ellas. C) solo I y II. 21. Si a es un múltiplo de 18 y b es un múltiplo de 15, entonces el producto (a b) siempre es divisible por I) 27 II) 36 III) 45 A) solo I. D) solo II y III. B) solo II. E) I, II y III. C) solo I y III. 22. Si m es un número par positivo, cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) (6m + 12) es un número divisible por 4. B) ( 7m ) es un número entero. C) 3(m + 1) es un número impar. D) (5 3m) es un número negativo. E) 2(2m + 2) es un número divisible por 6. Cpech 7

8 MATEMÁTICA 23. Sandra escribe números en la cuadrícula adjunta de la siguiente manera: en la primera columna escribe el 5, el 6 y el 7, de arriba hacia abajo; en la segunda columna escribe el 8, el 9 y el 10, de abajo hacia arriba; en la tercera columna escribe el 11, el 12 y el 13, de arriba hacia abajo; en la cuarta columna escribe el 14, el 15 y el 16, de abajo hacia arriba; y así sucesivamente, hasta completar toda la cuadrícula. Con respecto a las tres filas que se forman (superior, media e inferior), es correcto afirmar que I) la mitad de los números que forman la fila superior son números primos. II) la fila media NO tiene números primos. III) los números primos de la fila inferior forman una secuencia cuya diferencia es seis. A) solo I. D) solo II y III. B) solo II. E) I, II y III. C) solo I y II. 24. Sean a y b dos números primos tales que a + b = 50, con a < b. Cuál de los siguientes valores de b produce el menor valor para la expresión (b 40) (9 a)? A) 31 B) 41 C) 47 D) 37 E) Sean p y m dos números enteros tales que 1 < m < p. Se puede afirmar que p es un múltiplo de m, si: (1) El doble de p es un múltiplo de 6m. (2) (p + m) es un múltiplo de m. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 8 Cpech

9 Guía E) I, II y III Torpedo Números Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y estúdialo, ya que te podría ser de utilidad al momento de la ejercitación. Conjuntos numéricos Naturales (N): {1, 2, 3, 4, } Enteros (Z): {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Racionales (Q): son aquellos que pueden escribirse como fracción. Irracionales (Q*): son aquellos que no pueden escribirse como fracción. Reales (R): unión entre el conjunto Q y Q*. Imaginarios (I): son de la forma bi, con b un número real e i la unidad imaginaria. Complejos (C): son de la forma a + bi, con a y b números reales e i la unidad imaginaria. Conceptos claves Inverso aditivo u opuesto: el opuesto de un número es tal que al sumarlos, el resultado es 0. Ejemplo: el inverso aditivo de a es a, ya que a + ( a) = 0. Multiplicativo o recíproco: el recíproco de un número es tal que al multiplicarlos, el resultado es 1. Ejemplo: el opuesto multiplicativo de a b es b a, ya que a b b = 1, con a y b distintos de cero. a Números pares: son de la forma 2n, con n un número entero ({, 4, 2, 0, 2, 4, 6, }). Números impares: son de la forma (2n 1), con n un número entero ({, 5, 3, 1, 1, 3, 5, }). Múltiplos de un entero: son aquellos que se obtienen al multiplicar un cierto número entero por otro. Ejemplo: los múltiplos de 4 son {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, }. Mínimo común múltiplo (m.c.m.): el m.c.m. de dos o más números enteros positivos corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común. Ejemplo: el m.c.m. entre 8 y 12 es 24, ya que 8 3 = 24 y 12 2 = 24. Divisores de un entero: son aquellos números enteros que dividen exactamente a un cierto entero, es decir, el resto es cero. Ejemplo: los divisores positivos de 18 son {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Máximo común divisor (M.C.D.): el M.C.D. de dos o más números enteros positivos corresponde al mayor de los divisores que tienen en común. Ejemplo: el M.C.D. entre 12 y 18 es 6, ya que 12 : 6 = 2 y 18 : 6 = 3. Números primos: son aquellos números enteros positivos que solo tienen dos divisores: el uno y sí mismo. Ejemplo: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, }. Cpech 9

10 MATEMÁTICA Regla de los signos Adición: al sumar dos números con igual signo, se suman y se mantiene el signo. Si tienen distinto signo, se calcula la diferencia entre los números y se mantiene el signo del que tiene mayor valor absoluto. Ejemplos: 3 + ( 5) = 8 ; = 2 Sustracción: la diferencia entre dos números es igual a la suma entre el minuendo y el inverso aditivo del sustraendo. Es decir, a b = a + ( b). Ojo: a ( b) = a + b. Ejemplos: 5 9 = 5 + ( 9) = 4 ; 2 ( 3) = = 5 Multiplicación y división: se calcula el producto o cociente entre los números. El resultado será positivo si ambos tienen igual signo, y el resultado será negativo si ambos tienen distinto signo. Ejemplos: 7 ( 2) = 14 ; 20 : 5 = 4 Prioridad en las operaciones. 1º Paréntesis, de los interiores a los exteriores. 2º Potencias. 3º Multiplicación y división, de izquierda a derecha. 4º Adición y sustracción, de izquierda a derecha. Amplificación y simplificación de fracciones Multiplicar o dividir el numerador y el denominador por el mismo número, sin alterar el valor de la fracción. Operaciones en los racionales Suma y resta de fracciones: si dos fracciones tienen igual denominador, los numeradores se suman o se restan dependiendo de la operación. En el caso contrario, se amplifican de modo que tengan igual denominador. Multiplicación de fracciones: se multiplican ambos numeradores y ambos denominadores. División de fracciones: se obtiene invirtiendo el divisor, para así obtener un producto de fracciones. Ejemplos: 5 9 = = ; = 15 : 5 20 : 5 = 3 4 Ejemplos: = = = = = Ejemplo: 3 8 Ejemplo: 4 15 = = : 12 = : 12 = : 5 12 = = = = : 15 = 45 : 15 = Cpech

11 Guía Tabla de corrección Ítem Alternativa Habilidad Dificultad estimada 1 Comprensión Media 2 Comprensión Fácil 3 ASE Media 4 ASE Fácil 5 ASE Media 6 ASE Media 7 Comprensión Media 8 Comprensión Media 9 Comprensión Media 10 Comprensión Media 11 Comprensión Fácil 12 Aplicación Fácil 13 ASE Media 14 ASE Media 15 ASE Media 16 Comprensión Media 17 Aplicación Difícil 18 Aplicación Media 19 ASE Media 20 ASE Media 21 ASE Media 22 ASE Media 23 ASE Difícil 24 ASE Difícil 25 ASE Media Cpech 11

12 Han colaborado en esta edición: Directora Académica Paulina Núñez Lagos Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional Katherine González Terceros Equipo Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfico y Diagramación Pamela Martínez Fuentes Vania Muñoz Díaz Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre Imágenes Banco Archivo Cpech El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias. Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial.