OFICINA DE CAPACITACIÓN, PRODUCCIÓN DE TECNOLOGÍA Y COOPERACIÓN TÉCNICA BIENVENIDOS(AS) FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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1 OFICIN DE CPCITCIÓN, PRODUCCIÓN DE TECNOLOGÍ Y COOPERCIÓN TÉCNIC CURSO FUNDMENTOS DE MTEMÁTICS FINNCIERS IH: 30 HORS DURCIÓN: 5 SEMNS MODLIDD: PRESENCIL INICIO Grupo 01: INICIO Grupo 02: martes 4 de novembre /2014 mércoles 5 de novembre /2014 HORRIO: 3:00 6:00 pm FINL Grupo 01: fnal Grupo 02: jueves 4 de dcembre/2014 vernes 5 de dcembre/2014 LUGR: UL 503; PISO 05 DOCENTE: OSCR VEG GRCÍ PBX-EXT: 1720; CELULR: CORREO: BIENVENIDOS(S) 1

2 TEXTO DE POYO 2

3 FUNDMENTOS DE MTEMÁTICS FINNCIERS Benvendo al curso de Fundamentos de Matemátcas Fnanceras, la más mportante asgnatura en las Fnanzas. Debes estar preparado(a) para reconocer oportundades y resgos y tomar decsones de gran mportanca que afectarán tu captal. La mejor forma de permanecer ben formado consste, entre otras, en repasar contnuamente el materal y asstr a las clases que enrquecerán tu vda y la partcpacón en debates que aportarán experencas enrquecedoras. 3

4 POR QUÉ DEBEMOS PRENDER MTEMÁTICS FINNCIERS? Consttuyen el núcleo de las Fnanzas. Su propósto es aportar técncas, métodos y herramentas. Son de uso y aplcacón dara en transaccones comercales, laborales, bancaras y bursátles. Para tomar decsones acertadas en negocos relaconados con nversón, fnancacón ó rentabldad. Contrbuyen a la planeacón, organzacón, dreccón, coordnacón, control y evaluacón de cualquer proyecto de nversón. Lqudacón de sentencas judcales y en lo contencoso admnstratvo. Mercado de valores. Fnancamento de vvenda. Evaluacón del resgo de nversón. Reconocer oportundades y resgos en los negocos. Conocer las técncas del cálculo fnancero para evtar el fraude. Manejo raconal del dnero. frontar mprevstos. 4

5 nsumo prncpal de las MTEMÁTICS FINNCIERS Captal (Dnero) FUNCIONES: Medo de cambo: faclta realzar transaccones Medda de valor: para controlar el poder adqustvo Undad de cuenta: para hacer comparacones de valor Sn la exstenca del DINERO no se concbe la exstenca de las MTEMÁTICS FINNCIERS. VLOR DEL DINERO EN EL TIEMPO CULTUR FINNCIER 5

6 PROGRM CDÉMICO DEL CURSO OBJETIVOS Fortalecer las competencas en el área de conocmento, permténdole al asstente una mayor capacdad y oportundad en su desarrollo personal y profesonal prender las técncas de cálculo fnancero en las operacones de nterés smple y compuesto Saber nterpretar los resultados obtendos en dferentes stuacones que se presentan en el mundo de los negocos Evaluar alternatvas de nversón aplcando métodos de análss de nformacón fnancera para determnar las mejores alternatvas de nversón y fnancamento CONTENIDOS Conceptos fundamentales: Línea de tempo valor, varables fnanceras, valor del dnero en el tempo Interés smple Interés compuesto Equvalenca de tasas Seres unformes: anualdades Seres varables: gradentes, mortzacón y captalzacón Evaluacón de alternatvas Lqudacón de CDT Operacones de Descuento EVLUCIÓN - SISTENCI MÍNIM - CERTIFICCIÓN - 6

7 1. CONCEPTOS FUNDMENTLES 7

8 VRIBLES DE LS MTEMÁTICS FINNCIERS VLOR PRESENTE O CPITL INICIL (VP, CI, VI, P, V) = dnero recbdo (u otorgado) al nco de una transaccón. TIEMPO (t ) = duracón total de la operacón. ( n ) perodos en que se dvde el t TS DE INTERÉS ( ): porcentaje que se le aplcará al captal que recbmos en préstamo ó que se nverte, porcentaje de crecmento, tasa de rentabldad: (dara, quncenal, mensual, trmestral, semestral, anual) 5% anual = 5/100 = 0,05 anual INTERÉS ( I ) = pago ($) que se hace por el dnero en caldad de préstamo. Renta, utldad, gananca. VLOR FUTURO, FINL, MONTO ( VF, S, CF, F) = dnero que conforma la suma del Valor Presente y los Intereses, utldades o rendmentos. CUOT ( C ) = pago o cuota e ncorpora el Interés y el bono a la deuda. (lgunos autores utlzan la C para ndcar el Captal ncal.) Observacón: cuando trabajemos en matemátcas fnanceras debemos saber las abrevaturas a utlzar 8

9 EJERCICIO Represente gráfcamente en un Dagrama de Flujo de Caja La sguente transaccón. Usted nverte $ , con plazo de un año, en una opcón que le promete una rentabldad del 20% E, al fnal le entregarán $

10 Teorema del Valor del Dnero en el Tempo En cualquer operacón de tpo fnancero, sn mportar la fórmula, SIEMPRE se aplcan dos varables mportantes: Tasa de Interés y Tempo. demás, se demuestra que $1 hoy tene más valor que $1 del mañana Conforme al ejercco anteror: $ del día de hoy es EQUIVLENTE (no gual) a $ dentro de un año: Por tanto es INDIFERENTE en escoger una de estas opcones: Recbr $ en el día de hoy ó Recbr $ dentro de un año sempre que (dscusón).. 10

11 Los supuestos son los sguentes: a) No exste resgo de pérdda en la operacón fnancera. b) En el mercado exste alguen dspuesto a recbr el dnero y pagar una tasa de nterés del 20 por cento. c) $ del día de hoy, tene mayor poder adqustvo que $ dentro de un año, por cuanto durante ese año de duracón de la nversón, se ha regstrado ncremento en el nvel general de precos (nflacón). d) El nvel de resgo de recbr $ dentro de un año es mucho más alto debdo a factores personales, empresarales, económcos, socales, polítcos, etc. Esta es la clave de m éxto En TODS las fórmulas debes aplcar SIEMPRE el Prncpo Fundamental de las Matemátcas Fnanceras que radca en Saber expresar las varables (), (n) en las Msmas magntudes de tempo. 11

12 RESUMIENDO: Las MTEMÁTICS FINNCIERS son el eje prncpal sobre el cual gra todo el conocmento fnancero que se aplca a daro en negocos jurídcos, de ofcna, de banca, de bolsa de valores, comercales, de audtoría y control, de admnstracón de empresas, de asuntos ofcales y no ofcales 12

13 2. INTERÉS SIMPLE CRCTERÍSTICS: El captal ncal (VP) no varía, es decr, no crece durante el lapso que dura la operacón. La Tasa de Interés () se aplca úncamente sobre el captal ncal (VP) ó sobre el valor de la nversón ncal. El Interés (I) que se lquda y paga por el uso del dnero ajeno, tene el msmo valor por perodo de lqudacón. No exste re-nversón de ntereses, lo cual sgnfca que no hay captalzacón de ntereses. 13

14 2. INTERÉS SIMPLE: DIGRM DE FLUJO DE CJ 100 p = 10%. I Intereses: no se captalzan VP I VF VP VF T VP = + I I I 2 I 3 4 = $140 14

15 Fórmulas de nterés smple (Completar las gualdades de acuerdo a la explcacón I = VF - VP VF = VP = I = VP * * t VP = VF = VP (1 + t) VP = = t =

16 2. INTERÉS SIMPLE VLOR FINL: EJEMPLO Enuncado: Cuánto dnero se logra acumular en el mes 30, en una cuenta de ahorro que reconoce una tasa de rendmento del 1% mensual smple, s se depostan $10.000, $ y $ en los meses 3, 10 y 15, respectvamente? Lstado de varables VF=? =1% mensual smple Depóstos: mes 3 $ VP1 mes 10 $ VP2 mes 15 $ VP3 VF1 VFT =? t1=27 VF2 VP1=10000 t2=20 VP2=20000 VP3=30000 t3=15 VF ( 1+ ( t) ) VF = VP * 16

17 2. INTERÉS SIMPLE VLOR PRESENTE: EJEMPLO Enuncado: Un actvo se vendó a crédto y se acordó efectuar tres pagos de $40.000, $ y $ en los meses 12, 24 y 36, respectvamente. Con una tasa de nterés del 2% mensual smple cuál es el valor de contado del actvo? VPT =? VP3 VP2 VP1 t1=12 t2=24 Lstado de varables Pagos: mes 12 $ VF1 mes 24 $ VF2 mes 36 $ VF3 = 2% mensual smple VP=? t3=36 VF1=40000 VF2=50000 VF3= VP = VF ( 1+ ( * t) ) 17

18 2. INTERÉS SIMPLE INTERÉS Y VLOR FUTURO: EJEMPLO Enuncado: Una persona nvrtó la suma de $ , durante 2 años, en una nsttucón fnancera que le paga una tasa del 1,5% mensual smple. a) Cuánto dnero ganó por concepto de ntereses? b) Cuánto dnero recbó en total al fnal de la operacón? I=? =1,5% mensual smple Lstado de varables VP=$ T=2 años n=24 meses = 1,5% mensual smple I=? VF=? VF=? 0 T=24 meses VP =

19 2. INTERÉS SIMPLE TS DE INTERÉS: EJEMPLO Enuncado: Un captal de $ se transformó en $ al cabo de 4 años. Qué tasa de nterés mensual smple ganó esa nversón? Lstado de varables VP=$ VF=$ T= 4 años t= 48 meses =? mensual smple VF= =? mensual smple 0 n= VP = 19

20 2. INTERÉS SIMPLE TIEMPO: EJEMPLO Enuncado: Cuánto tempo es necesaro para que un captal de US$ se duplque a una tasa de nterés del 5% anual smple? Lstado de varables t=? VP = US$ VF = US$ = 5% anual smple VF= = 0 n=? VP = 20

21 EJERCICIOS 1. Se pacta un crédto Extra-Bancaro por $ , a dos meses y al 10% mensual smple. l fnal, cuánto dnero es necesaro cancelar por el préstamo? 2. Una persona cumple hoy 20 años y deposta $ en una cuenta de ahorro que paga el 6% bmestral smple. Cuánto dnero tendrá ahorrado cuando cumpla 50 años? 21

22 EJERCICIOS 3. Usted pensa nvertr la suma de $ ,00 en una cuenta de ahorros, que le ofrece una tasa de nterés del 2% mensual smple. Cuánto dnero recbrá al fnal de 3 meses? Verfcar el cumplmento del prncpo de la matemátcas fnancera que el dnero camba de valor a través del tempo con la sguente tabla: Perodo - Mes Captal ncal Tasa de nterés () Interés Valor fnal 22

23 EJERCICIOS 4. El Banco Ganadero le concede al señor Pérez un crédto por valor de $ con plazo de un año. La tasa de nterés es del 9% trmestral vencda. El banco le exge al señor Pérez la resttucón del captal en 4 cuotas trmestrales guales además del pago de los ntereses. Construr el flujo de caja para el señor Pérez y la tabla de amortzacón. 5. Una nversón ncal de $ produce después de 6 meses un monto de $ Calcular. a) Valor de los ntereses ganados. b) Tasa de nterés de la operacón. 6. Un nversonsta requere para dentro de 6 meses un captal de $ y dspone hoy de $ qué tasa de nterés mínmo debe colocar su dnero para cumplr con esta meta?. 23

24 EJERCICIOS Cálculo del tempo 7. Cuánto tempo se debe esperar para que un captal de $ se duplque, s la operacón se realza al 1.2% mensual smple? 8. Cuánto tempo debo esperar para trplcar un captal s m tasa de nterés es del 2% mensual smple. CSO ESPECIL 9. Un actvo tene preco de contado de $ (no ncluye IV). Con IV, el preco de ese msmo artículo es de $ Cuál es la tarfa (%) del IV que tene ese producto? nálss: El IV se calcula sobre el preco de venta del artículo. Este caso es especal y la varable tempo corresponde a 1. 24

25 TIPOS DE INTERÉS SIMPLE DE CUERDO L MNEJO DEL TIEMPO De acuerdo a la estmacón de tempo para la lqudacón de ntereses, el Interés Smple se clasfca así: TIPO DE INTERÉS SIMPLE COMERCIL: (30 ~ 360) ORDINRIO (360) BNCRIO: (31 ~ 360) De mayor uso (más costoso) EXCTO (365) N.N: (30 ~ 365) RCIONL: (31 ~ 365) Real o exacto 25

26 EJERCICIO 1. Hallar los dstntos tpos de Interés Smple de un préstamo de $ , durante el mes de agosto, a la tasa del 20% anual smple. I = VP**t Interés Bancaro = Interés Raconal = Interés Comercal = Interés N.N. = TBL DE DÍS: se utlza para el cálculo de tempos. Ver nternet - Tabla para calcular los días entre dos fechas 26

27 EJERCICIOS 2. Un trabajador laboró en una empresa desde el día 12 de febrero de 2011 hasta el día 25 de novembre de Sabendo que el valor de la cesantía fue de $ y que el Régmen Laboral reconoce una Tasa de Interés del 12% anual smple por concepto de Intereses sobre las Cesantías. Hallar el valor que se debe pagar por concepto de Intereses sobre las Cesantías. nálss: Los días laborados por el trabajador fueron: _286 (en tabla)_ = 12% anual smple = 1% mensual smple. ño laboral = 360 días; mes laboral = 30 días. I = VP * * t` Solucón 1: I = * 0,12 * 286/360 = Solucón 2: I = * 0,01 * 286/30 =

28 EJERCICIOS 3. Cuál es el nterés smple bancaro producdo por un captal de $ , en un año, dos meses y 10 días, a la tasa del 1,5% mensual smple? 4. Hallar el valor a su vencmento, de un certfcado de ahorro a térmno CDT, el cual tene una fecha de apertura el 25 de febrero de 2011 y vence el 25 de mayo de 2011; acordado con una tasa del 6% anual smple y una nversón ncal de $

29 5. Una compañía negocó los sguentes documentos: a) Factura por $ a cobrar el día 28-julo b) Factura por $ a cobrar el día 12 dc S el negoco se realzó el 20 de abrl de 2011, a la tasa del 10% anual smple bancaro, cuánto dnero recbó la compañía? 29

30 Solucón Ejercco 5 Fecha focal $ t = 236 días t` = 99 días $ = 10% anual smple bancaro 20-abr jul dc Total a pagar por las dos facturas VP Tff = VF * t VF * t = ,1* ,1* 360 = $ ,34 30

31 EVLUCIÓN DE LTERNTIVS 1. Un nversonsta se encuentra ante la opcón de elegr una de las sguentes alternatvas:. Comprar hoy una bodega por $ , con la posbldad de venderla por $ dentro de 2,5 años. B.. Prestar este dnero a una tasa de nterés del 2,3% mensual smple. Qué le recomendaría usted al nversonsta? 1.b) =? mes smple VF = $ t = 2,5 años VP =$ b) = 2,3% mes smple n =? meses 31

32 2. El señor Pablo recbe en el día de hoy tres ofertas por un ben que tene para la venta. Cuál es la mejor oferta a. $ hoy y un pagaré para dentro de 167 días por valor de $ b. $ a 120 días y $ a 180 días. c. $ hoy y un pagaré por $ a 4 meses. a 0 b 0 c 0 32

33 TSS DE INTERÉS 1. NOMINL: Son aparentes, engañosas. No demuestran el verdadero costo fnancero. Magntud = anual Undad: según frecuenca de captalzacón 28% C.M (Convertble Mensualmente) f = 12 captalzacones 28% N.S (Nomnal Semestral) f = 2 captalzacones N 28% C.T (Captalzable Trmestralmente) f = 4 captalzacones 28% C. (Captalzable nualmente) f = 1 captalzacón Se dentfcan porque contenen o se expresan con el térmno: captalzable, convertble o nomnal; sea anual, semestral, trmestral, mensual Tambén se dce que son ndcatvas porque no se aplcan drectamente a la fórmula. 2. PERIÓDIC: Es real. Se dentfca porque lleva los térmnos: mensual, dara, trmestral, semestral Magntud = corresponde a la Undad de captalzacón p p f 2% mensual 5% trmestral = 12% semestral 21% anual N f 3. EFECTIV: Es real. Es una peródca pero anual Magntud = corresponde a la Undad de captalzacón ef 21% anual o E 30% anual o E 33

34 Efectva EQUIVLENCI DE TSS DE INTERÉS VENCIDS TIPO DE TS FCTOR DE EQUIVLENCI (1+ ef)^1,o, ( 1+ ) 1 ef Peródca Nomnal (1+ pf)^f + N 1 f f,o, 1 + p f f TSS COMBINDS Peródca ntcpada NTICIPDS (1 + 1)^f1 (1 + 2)^f2. (1 + n)^fn f 1 1 pa Nomnal ntcpada 1 1 f Na f 34

35 EJERCICIOS CONVERSIÓN DE TSS 1. Qué tasa mensual y anual se debe plantear a un prestamsta que trabaja con una tasa del 33% C.M? 2. Despeje las ecuacones equvalentes entre tasas peródcas antcpadas y vencdas. 3. Convertr una tasa del 4,1616% mensual a efectva anual. 4. Convertr una tasa del 4,1616% trmestral a efectva anual. 5. Calcular la tasa efectva trmestral equvalente a una tasa del 35% C.T. 6. Conocda la tasa nomnal del 45% con captalzacón mensual, calcular la tasa efectva trmestral y la tasa efectva semestral. 7. Conocda la tasa nomnal del 45% con captalzacón semestral, calcular la tasa efectva trmestral y la tasa efectva semestral. ( 1+ ) 1 ef 1 + p f f 1 + f N f 1 1 pa f 1 1 N a f f 35

36 p v SOLUCIÓN EJERCICIOS CONVERSIÓN DE TSS pa = Tasa peródca vencda 1 pa Tasa peródca antcpada = pa 1 + pv pv 36

37 INTERÉS COMPUESTO Se entende por Interés Compuesto la ntegracón peródca del nterés al captal. El Interés Compuesto tambén es conocdo como: Lqudacón de ntereses sobre ntereses (anatocsmo) Renversón Captalzacón de ntereses CRCTERÍSTICS DEL INTERÉS COMPUESTO La característca fundamental del Interés Compuesto es el proceso de captalzacón de ntereses, el cual consste en adconar al captal ncal los ntereses ganados, para así formar un monto (Valor Fnal) y sobre éste volver a lqudar ntereses y repetr este proceso. El captal ncal se va ncrementando perodo tras perodo, precsamente por la adcón de los ntereses. La tasa peródca se aplca sobre el captal acumulado. El valor de los ntereses no es constante. Estos camban conforme se va ncrementando el captal 37

38 DIFERENCI ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO En el sguente dagrama de flujo de caja se puede observar la dferenca entre estos dos tpos de nterés. Supóngase que en el 2011 se nverten $100 al 20% anual, durante 4 años. Interés Smple: I=$100*0,2*1 I=$20 cada año $100 $20 $20 $20 $ $100 VF = $100+$20+$20+$20+$20=$180 38

39 DIFERENCI ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO Interés Compuesto VP $100 $120 $144 $172,80 +I $20 $24 $28,80 $34,56 VF $120 $144 $172,80 $207,36 VF $100 VF = $207,36 Proceso de captalzacón o de ntegracón del Interés al Captal 39

40 DIFERENCI ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO El msmo proceso de captalzacón se muestra en la sguente tabla Tabla de Captalzacón de ntereses ño Valor Presente Interés Peródco Valor Futuro 2012 $100 $100*0,2=$20 $100+$20=$ $120 $120*0,2=$24 $120+$24=$ $144 $144*0,2=$28,80 $144+$28,80=$172, $172,80 $172,80*0,2=$34,56 $172,80+$34,56=$207,36 40

41 FORMULCIÓN VF = VP 1+ ( ) ( ) p n VP p = 1+ = VF p ( ) ( n ) VF VP 1 n 1 ( ) ( n ) VP = VF 1+ p n ln VF = VP ln1+ p pv = 1 pa pa Tasa peródca vencda Tasa peródca antcpada = pa 1 + pv pv 41

42 EJERCICIOS 1. Una persona dspone de $1 mllón y desea nvertrlo a un año. Las opcones son: 12% NMV (Nomnal Mensual Vencda) 12% NBV (Nomnal Bmensual Vencda) 12% NTV (Nomnal Trmestral Vencda) 12% NSV (Nomnal Semestre Vencda) 12% NV (Nomnal nual Vencda) Cuál es la mejor alternatva? Por qué? Tasa Nomnal p = N f VF=VP(1+p)^n 12%NMV 12%/12=1% p.m. VF=$ (1+0,01)^12 = $ % NBV 12% / 6 = 2% p.b. VF=$ (1+0,02)^6 = $ % NTV 12% / 4 = 3% p.t. VF=$ (1+0,03)^4 = $ % NSV 12% / 2 = 6% p.s VF=$ (1+0,06)^2 = $ % NV 12% / 1 = 12% E VF=$ (1+0,12)^1 = $

43 EJERCICIOS 2. Una persona tene las sguentes deudas: l banco le debe $5.000, con plazo de 6 meses l banco B le debe $ con plazo de 12 meses Por problemas de lqudez, la persona acuerda hacer un solo pago en el mes 20, reconocendo un rendmento del 2% p.m. Cuál es el valor del pago? Dagrama del Flujo de Caja (para el clente) Fecha focal Hoy meses $5000 $ n=20-12=8 meses VF = VP(1+p)^n n=20-6=14 meses VF = $X 43

44 Solucón ejercco 2 VF = VP(1+p)^n Se fja la fecha focal al fnal (mes 20) La suma de las deudas en la fecha focal = La suma de los pagos en la fecha focal Deuda 1: VF = 5.000(1+0,02)^14 = $6.597,39 => pesos del mes 20 Deuda 2: VF = (1+0,02)^8 = $11.716,59 => pesos del mes 20 Total a pagar $18.313,98 => pesos del mes 20 VF = = 5.000(1+0,02)^ (1+0,02)^8 = $ ,98 => pesos del mes 20 44

45 Cálculo de la Tasa de Interés En Fnanzas es muy común tomar decsones de nversón, ahorro y crédto, tomando como referente la tasa de nterés. sí por ejemplo, un nversonsta no estaría nteresado en colocar su captal en una opcón que le rente menos del 20% efectvo anual, por cuanto en todos sus negocos él está acostumbrado a ganar una tasa del 20% ó más. Supóngase que le nvtan a nvertr $ en un negoco y le prometen que recbrá $ dentro de 6 meses y $ dentro de 12 meses. Le convendrá al nversonsta depostar su dnero? Qué tasa de rentabldad tene ese negoco? El tema es entonces determnar la tasa de nterés a fn de tomar la mejor decsón. Ejemplo Una nversón hoy de $ devuelve $5.000 dentro de 5 meses y $ dentro de un año. Cuál es la tasa de rentabldad? 45

46 Solucón Dagrama del Flujo de Caja n=12 meses Ingresos n=5 meses $10000 Fecha focal $5000 t= 1 año Hoy 5 meses 12 meses Egresos $ Inversón ncal VP = VF n p ( ) 1+ ( ) ( ) ( n ) VP = VF 1+ p Se determna la fecha focal. (en este caso en el día de Hoy) 46

47 se plantea la ecuacón fundamental: La suma de las nversones en la fecha focal = La suma de los ngresos en la fecha focal $ = $5.000(+p)^(-5) + $10.000(1+p)^(-12) Pesos de hoy Pesos de hoy Pesos de hoy La ecuacón se guala a cero 0 = $5.000(1+p)^(-5) + $10.000(1+p)^(-12) - $ Con ello se ndca que: 0 = VP ngresos VP egresos Tasa Interna de Retorno (TIR) Es decr: El Valor Presente Neto (VPN) = 0 El Valor Presente sgnfca que el flujo de caja se expresa en pesos hoy. Neto ndca que de los ngresos se restan los egresos y el resultado es una cfra neta (postva o negatva) La Tasa Interna de Retorno (TIR) es la tasa de nterés que permte hacer (VPN) = 0 47

48 TEOREM: VPN (TIR) = 0 El Valor Presente Neto calculado con la Tasa Interna de Retorno sempre es gual a cero. Para determnar la TIR se hacen hpótess, toda vez que no se sabe cuál es el valor. Hpótess: se suponen valores para p y se calcula el VPN p VPN = $5.000(1+p)^(-5) + $10.000(1+p)^(-12) % $5.000(1+0,01)^(-5) + $10.000(1+0,01)^(-12) - $ = +3631,82 p1 4% $5.000(1+0,04)^(-5) + $10.000(1+0,04)^(-12) - $ = +355,60 VPN1 p2 5% $5.000(1+0,05)^(-5) + $10.000(1+0,05)^(-12) - $ = -514 VPN2 Con las p supuestas, el VPN no es gual a cero, luego la TIR no corresponde a nnguna de ellas. Cuando el VPN camba de postvo a negatvo, se entende que la TIR se encuentra entre estas dos p. En este momento se suspenden los supuestos y se aplca la sguente fórmula que permte determnar el verdadero valor de la TIR. TIR = VPN1* p1 ( ) p2 p1 ( VPN2 VPN1) 48

49 Reemplazando los valores respectvos obtendos en la tabla anteror TIR = 0,04 ( 0,04) ( ,60) 355,60* 0,05 TIR = 4, % pm (aprox) COMPROBNDO TENEMOS: VPN = $5.000/(1+0,044089)^5 + $10.000/(1+0,044089)^ VPN = 0 Por el manejo de los decmales no necesaramente da exacto. Con calculadoras fnanceras el cálculo s es exacto 49

50 EJERCICIO (TIR) El señor Pedro Pcapedra LE compró a ORBEL LTD un lote por valor de $ y se comprometó a pagarlo de la sguente forma: Una cuota ncal de $ ; un pago de $ dentro de 4 meses; un pago de $ dentro de 6 meses; y un pago de $ dentro de 12 meses. Calcular la TIR que le cobraron en la operacón. 50

51 NULIDDES o SERIES UNIFORMES Una anualdad es una sere unforme de pagos con las característcas: TODOS los pagos son guales Los pagos son hechos en guales ntervalo de tempo: mensual, trmestral, semestral, anual, etc. La tasa de nterés es la msma por perodo de pago. El número de pagos es gual al número de períodos. Su mportanca en fnanzas radca, entre otras razones, porque es el sstema de amortzacón más común en los crédtos comercales, bancaros y de vvenda. Este sstema de pagos permte que el fnancador, cada vez que recbe el pago de la cuota, recupere parte del captal prestado. Renta o pago: es el pago peródco y de gual valor. Período de renta: es el tempo que transcurre entre dos pagos. CLSES DE NULIDDES: dependendo en qué momento se realce el prmer pago -Vencdas ntcpada Dferda - Perpetua 51

52 Flujos de Caja de nualdades Vencda VP pn 0 n ntcpada VP 0 pn n 52

53 Flujos de Caja de nualdades Dferda VP 0 p n Período de graca -PG Perpetua VP 0 p 53

54 VP = ( ) + ( ) n 1+ FÓRMULS de nualdades (=anualdad. Tambén se puede representar por C) n 1 1 ( 1+ ) = VP n n ( 1+ ) 1 = p VP = 1 n ( 1+ ) = 1 VP * + n ( 1 ) n = log log log 1+ ( ( VP* ) VF = ( 1 ) + n 1 nualdad perpetua: VP = = VF * n ( 1+ ) 1 1 ( 1+ ) n ( 1 ) nualdad _ dferda: VP = + n = PG log VP* log 1+ log n= número de flujos PG= perodo de graca 54

55 nualdades Vencda VP = 1 n ( 1+ ) VP 0 pn n ntcpada VP 0 pn t ( ) n 1 1+ ( ) 1 = * 1 VP + n 55

56 nualdades Vencda VF = ( 1 ) + n 1 VP 0 pn VF n ntcpada VP VF 0 pn ( ) n 1+ 1 ( ) 1 = * 1 VF + n 56

57 Flujos de Caja de nualdades Dferda VP ( ) n = * 1 ( ) VP + PG 0 Período de graca -PG p n Perpetua VP VP = 0 p Ejerccos de nualdades Se sumnstra a los partcpantes un documento con ejerccos resueltos para su verfcacón y análss. 57

58 TBLS DE MORTIZCIÓN Una Tabla de mortzacón enseña la forma como evolucona una oblgacón, desde cuando se crea hasta cuando el compromso se cancela en su totaldad. Se debe tener en cuenta que cuando se realza un pago para cancelar la cuota de un perodo, ese valor se descompone en dos partes: ntereses que se pagan por el crédto y el abono a la deuda, o sea, el dnero que se devuelve a captal. Varables a tener en cuenta: El valor de la Cuota Ordnara: es lo prmero a calcular y ésta depende del sstema de amortzacón que se haya acordado. La tasa de nterés se debe conocer desde un comenzo. Cuota = nterés + bono Luego bono = Cuota Interés su vez, el nterés que se causa se determna aplcando la tasa de nterés al saldo pendente aún por pagar Interés = Saldo Insoluto * tasa peródca El Saldo nsoluto dsmnuye en la medda que se realzan abonos a la deuda. Saldo actual = Saldo anteror bono 58

59 TBL DE MORTIZCIÓN MES CUOT EXTRORDINRI CUOT ORDINRI INTERESES (2) BONO DEUD SLDO DE L DEUD p (1) (3) (4) (5) n 59

60 Ejemplo - TBLS DE MORTIZCIÓN Elaborar una Tabla de mortzacón para un préstamo de $1.000, con plazo de 3 meses y tasa de fnancacón del 1% peródca mensual. El sstema de amortzacón acordado es cuota fja (anualdad) SOLUCIÓN: Prmero que todo debemos Identfcar las varables VP=$1.000 n= 3 meses p = 1% p.m.v =? Segundo: calcular el valor de la cuota. Represéntese por o por C VP = 1 ( 1+ ) n ( ) reemplazam os. valores ,01 = ,01 Despejamos.. = $340,02 60

61 Ejemplo - TBLS DE MORTIZCIÓN -Contnuacón Tercero: se elabora la tabla y se hacen los regstros fla por fla con los valores conocdos y calculados. MES CUOT EXTR CUOT INTERESES BONO SLDO DE ORDINRI (2) DEUD L DEUD (1) (3) (4) p (5) (4) X (5) (1) (2) (4) (3) 0 $ % 1 $340 $10 $330 $670 2 $340 3 $340 61

62 TBLS DE CPITLIZCIÓN Captalzar sgnfca acumular, ahorrar. Como tal, el propósto es mostrar la forma como el dnero crece y permte cumplr el objetvo de alcanzar determnado monto. Varables a tener en cuenta: El valor de la Cuota ó valor del Depósto (ahorro) es lo prmero a calcular y éste depende del sstema de amortzacón que se haya acordado. La tasa de nterés se debe conocer desde un comenzo. (p) Interés Ganado = Saldo acumulado * tasa peródca. Crecmento de la cuenta de ahorro = Depósto + Interés. La cuenta reconoce ntereses los cuales sumados con el depósto, permte que la cuenta vaya crecendo. Saldo cumulado = Saldo acumulado anteror + Crecmento cuenta de ahorro. El Saldo cumulado aumenta en la medda que se crece la cuenta al efectuar depóstos y ganar ntereses. 62

63 TBL DE CPITLIZCIÓN MES DEPÓSITO EXTR DEPÓSITO FIJO INTERESES GNDOS CRECIMIENTO CUENT SLDO CUMULDO p (1) (2) (3) (4) (5) n 63

64 Ejemplo - TBL DE CPITLIZCIÓN Elaborar una Tabla para Captalzar $5.000 en tres meses, en una cuenta de ahorro que reconoce el 1% peródco mensual. El sstema de captalzacón es depóstos fjos (anualdad) SOLUCIÓN: Prmero: dentfcamos varables. VF = $5.000 n = 3 meses p = 1%p.m. =? Segundo: calculamos el valor de la anualdad (llámese o C) VF = ( ) 1 1 emplazamos. valores + n ( ) 1+ 0,01 Re $ = 0, Despejando. tenemos = $

65 Ejemplo - TBL DE CPITLIZCIÓN -Contnuacón Tercero: se elabora la tabla y se ngresan los valores conocdos y calculados fla por fla. (Ejercco: completar la tabla) MES DEPÓSITO DEPÓSITO INTERESES CRECIMIENTO SLDO EXTR FIJO GNDOS CUENT CUMULDO (1) (2) (3) (4) p (5) 0 (4) X (5) (1) + (2) (4) + (3) 1 $1.650 $0 $1.650 $ % 2 $1.650 $17 $

66 GRDIENTES - SERIES VRIBLES Un GRDIENTE es una sere de pagos no constante, es decr, pagos que se caracterzan por ser VRIBLES (crecentes o decrecentes). Son característcas de un Gradente: TODOS los pagos o son crecentes o son decrecentes. Los pagos crecen o decrecen en una msma cantdad monetara ò en un msmo porcentaje con respecto a la anteror. Los pagos son hechos en guales ntervalo de tempo. La tasa de nterés es la msma por perodo de pago. Los Gradentes se clasfcan en: Gradente Lneal o rtmétco=> s la varacón (L) es en PESOS. Gradente Geométrco => s la varacón (G) en un PORCENTJE. 66

67 GRDIENTES LINEL CRECIENTE Dagrama de flujo de caja Gradente Lneal Crecente p(%) L 0 1 HOY

68 68 GRDIENTES LINEL CRECIENTE Formulacón ( ) ( ) ( ) + = p n p p n p p p n n L VP = Prmer flujo L = Varacón del flujo L n n + = 1 1 ( ) ( ) + = + + n p p n p p p n L VF n = Para determnar el valor del enésmo pago p p L VP = S el gradente es nfnto

69 GRDIENTES GEOMÉTRICO CRECIENTE Dagrama de flujo de caja Gradente Geométrco Crecente p(%) 1 G(%) ( 1 ) 1 +G 1 ( 1 ) 1 +G 2 ( 1 ) +G n HOY VP 69

70 70 GRDIENTES GEOMÉTRICO CRECIENTE Formulacón ( ) ( ) ( ) + + = G G VP p p n n S (G) dferente de () + = p n n VF 1 1 * 1* ( ) ( ) + + = G G VF p p n n = VP p n 1 1 S (G) = () S (G) dferente de () S (G) = ()

71 LIQUIDCIÓN DE UN CDT TS FIJ CONDICIONES DE INVERSIÓN Captal: $ DTF = 5% E 0.05 E Plazo = 1 año n = 1 CONCEPTO FORMUL OPERCIÓN RESULTDO ( ) n 1 Valor Fnal: VF $ VF = VP * 1+ p VF = * + ( ) I (ganado) I = VF - VP $ RETEFUENTE (7%) Rfte = I * 7% * 0.07 $ VF (neto) a pagar VF neto = VF - Rfte $

72 LIQUIDCIÓN DE UN CDT TS VRIBLE CON IPC CONDICIONES DE INVERSIÓN Captal : $ IPC = 5% E 0.05 E Tasa de nterés real = 6% Plazo = 1 año n = 1 TS COMBIND Calculamos la tasa combnada así: = (1 + IPC)*(1 + tasa real) 1 = ( )*( ) 1 = 11.3%E E. CONCEPTO FORMUL OPERCIÓN RESULTDO ( ). Valor Fnal: VF VP * VF = *( ) 1 $ VF = 1+ p n I (ganado) I = VF - VP $ RETEFUENTE (7%) Rfte = I * 7% * 0.07 $ VF (neto) a pagar VF neto = VF - Rfte $

73 Operacón fnancera que consste en cobrar sobre el valor de un título o documento el valor de los ntereses en forma antcpada. Es frecuente cuando se tenen cuentas por cobrar o títulos valores y se necesta hacerlas efectvas antes de su fecha de vencmento. Descuento (D): corresponde a los Intereses cobrados por antcpado. Valor efectvo del pagaré o Valor de la Transaccón (VT): cantdad de dnero que se entrega. Valor nomnal o Valor Fnal del documento (VN o VF): es el monto que aparece en el pagaré. Se presentan dos stuacones con el VF: -Cuando en el pagaré aparece el valor del título y se ndca que ganará unos ntereses a una tasa determnada. Para este caso, se le aplcará al valor del título los ntereses smples durante todo el tempo hasta la fecha de vencmento. -Cuando se ndca que el VF es el valor a pagar en la fecha de vencmento. Dependendo de la forma como se aplque la tasa de descuento (d) sobre el VF, resultan dos tpos de descuento smple: -Descuento Comercal -Descuento Bancaro 73

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