El espacio de n-uplas Combinaciones lineales Independencia lineal

Transcripción

1 El espacio de n-uplas Combinaciones lineales Independencia lineal Ana González GAL IMERL 9 de marzo de 203

2 espacio de n-uplas espacio de n-uplas espacio de n-uplas llamamos espacio de n-uplas al conjunto K n = M n (K ) es decir, el conjunto de matrices de fila y n columnas: X = (x, x 2,..., x n ) con x i K

3 espacio de n-uplas espacio de n-uplas observación también llamaremos espacio de n-uplas al conjunto K n = M n (K) si bien no son exactamente el mismo conjunto uno es el de las tiras horizontales y el otro, el de las verticales

4 operaciones en K n operaciones en K n recordar en K n = M n (K) habíamos definido suma de n-uplas: X + Y = (x + y, x 2 + y 2,..., x n + y n ) producto por un escalar de una n-upla: αx = (αx, αx 2,..., αx n )

5 operaciones en K n propiedades de la suma recordar: propiedades de la suma conmutativa: X + Y = Y + X asociativa: (X + Y ) + Z = X + (Y + Z ) neutro de la suma: existe un O K n tal que X + O = X X K n existencia del opuesto: Para cada X K n existe X K n tal que X + ( X) = O

6 operaciones en K n propiedades del producto por un escalar recordar: propiedades del producto por un escalar asociativa: (αβ)x = α(βx) neutro del producto: Existe un K tal que X = X X K n distributiva respecto a la suma de escalares: (α + β)x = αx + βx distributiva respecto a la suma de vectores: α(x + Y ) = αx + αy

7 sistemas de ecuaciones lineales sistema de ecuaciones lineales sistema de ecuaciones lineales con estas operaciones el sistema a x + a 2 x a n x n = b. (S) a i x + a i2 x a in x n = b i. a m x + a m2 x a mn x n = b m

8 sistemas de ecuaciones lineales sistema de ecuaciones lineales sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como: a a j a 2 x. + + x a 2j j. + + x n a m a mj a n a 2n. a mn = b b 2. b m decimos que el vector columna (b, b 2,..., b m ) t es combinación lineal de los vectores columna a j a 2j. a mj

9 sistemas de ecuaciones lineales sistema de ecuaciones lineales sistema de ecuaciones lineales también podemos escribirlo así: x A + + x j A j + + x n A n = b b es combinación lineal de los vectores A,..., A n x,..., x n son los coeficientes de la combinación lineal

10 ejemplo ejemplo el sistema { x + x (S) 2 = x x 2 = se puede escribir como ( ) ( ) x + x 2 = ( )

11 ejemplo ejemplo cuando resolvemos y obtenemos S = {(, 0)} lo que quiere decir es que: ( ) ( + 0 ) = ( y además que esa es la única combinación lineal que hace valer esa ecuación )

12 ejemplo 2 ejemplo 2 en las primeras clases, vimos que el sistema de matriz ampliada: (A b) = tiene conjunto solución: S = {( 2x x 5, x 2, 2 x 5+, 2x 5, x 5, ) : x 2, x 5 R}

13 ejemplo 2 ejemplo 2 quiere decir que: 2x x 5 ) +x ( 2 x 5 + ) (+2x 5) x = 0 3 y que esas son las únicas combinaciones lineales que hacen cumplir la igualdad los coeficientes de la combinación lineal son las coordenadas del vector solución

14 definición formal combinación lineal llamamos combinación lineal de los vectores A,..., A n K m a cualquier expresión de la forma x A + x 2 A x n A n donde x, x 2,..., x n son números de K que se llaman coeficientes de la combinación lineal

15 combinación lineal combinación lineal si un vector b K m se escribe como: b = x A + x 2 A x n A n entonces decimos que b es combinación lineal de los vectores A, A 2,..., A n escribiremos n b = x i A i j= también indicaremos a veces b = C.L.(A, A 2,..., A n )

16 ejemplo 3 ejemplo 3 el vector b = (0, 6, 0) es combinación lineal de A = (, 2, ) y A 2 = (2, 2, 2)?

17 ejemplo 3 ejemplo 3 es decir, hay x, x 2 R que cumplan que: veamos: x (, 2, ) + x 2 (2, 2, 2) = (0, 6, 0)? (x + 2x 2, 2x 2x 2, x + 2x 2 ) = (0, 6, 0) nos queda el sistema: x + 2x 2 = 0 2x 2x 2 = 6 x + 2x 2 = 0

18 ejemplo 3 ejemplo 3 nos queda el sistema: x + 2x 2 = 0 2x 2x 2 = 6 x + 2x 2 = 0

19 ejemplo 3 ejemplo 3 escalerizamos: x + 2x 2 = 0 6x 2 = 6 F 2 2F x + 2x 2 = 0 F 3 F se obtiene: x 2 = x = 2

20 ejemplo 3 ejemplo 3 es decir que (0, 6, 0) es combinación lineal de (, 2, ) y (2, 2, 2) y además: ( ) = 0 6 0

21 ejemplo 4 ejemplo 4 determinar si el vector (0, 6, ) es combinación lineal de (, 2, ) y (2, 2, 2) mismo planteo: queda el sistema: x (, 2, ) + x 2 (2, 2, 2) = (0, 6, ) x + 2x 2 = 0 2x 2x 2 = 6 x + 2x 2 =

22 ejemplo 4 ejemplo 4 x + 2x 2 = 0 2x 2x 2 = 6 x + 2x 2 = escalerizamos x + 2x 2 = 0 6x 2 = 6 F 2 2F 0 = F 3 F INCOMPATIBLE (0, 6, 0) no es combinación lineal de (, 2, ) y (2, 2, 2)

23 conclusión conclusión el vector b es combinación lineal de los vectores columna de la matriz A con coeficientes x,..., x n (x,..., x n ) es solución del sistema que tiene como matriz ampliada a (A b)

24 por lo tanto por lo tanto el sistema es incompatible no hay C.L. compatible determinado hay única C.L. compatible indeterminado hay más de una C.L.

25 ejemplo 5 ejemplo 5 determinar si el vector (, 4) es combinación lineal de los vectores (, ) y (2, ) equivale a plantear: x (, ) + x 2 (2, ) = (, 4) equivale al sistema: { x + 2x 2 = x x 2 = 4

26 interpretación geométrica interpretación geométrica y 4 (, 4) 3 2 (, ) (2, ) + 3(, ) = (, 4) x (2, )

27 independencia lineal independencia lineal 0 como combinación lineal el problema de escribir el vector: 0 = (0, 0,..., 0) como combinación lineal de cualquier conjunto de vectores A, A 2,..., A n siempre tiene solución esto es porque el sistema asociado (A 0) es homogéneo, que vimos que siempre es compatible

28 independencia lineal independencia lineal 0 como combinación lineal Sin embargo, hay dos posibilidades para el sistema (A 0) : es compatible determinado 2 es compatible indeterminado en el primer caso, diremos que las columnas A,..., A n son linealmente independientes en el segundo, que A,..., A n son linealmente dependientes concretamente, definamos

29 independencia lineal independencia lineal independencia lineal decimos que los vectores A, A 2,..., A n son linealmente independientes si la única solución de la ecuación: es x = x 2 = = x n = 0 x A + x 2 A x n A n = 0

30 independencia lineal dependencia lineal dependencia lineal decimos que los vectores A, A 2,..., A n son linealmente dependientes si la ecuación: tiene más de una solución x A + x 2 A x n A n = 0

31 independencia lineal la clase que viene