MÉTODOS MATEMÁTICOS ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES LINEALES TEMA 4: OPERADORES LINEALES

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1 MÉTODOS MTEMÁTICOS ESPCIOS DE HILBERT Y OPERDORES LINELES Profesora: Mª Cruz Boscá TEM 4: OPERDORES LINELES Notacó: sea L ( L, ) y L ( L, ) dos espacos ormados; sea T u operador leal T : D( T ) < L L, de recorrdo R( T) < L ; sea L( L) el espaco leal costtudo por todos los operadores T co domo D( T ) = L y recorrdo R( T ) < L, y sea H u espaco de Hlbert Lema: D D = H se tee x, y = 0 y D x = 0 Lema: Dado T L ( L), L pre-hlbert, k =C ( T = 0 x, Tx = 0 x L ) Lema: Dados T L ( L), =,, L pre-hlbert, k =C T = T x, T x = x, T x x L plcacoes leales etre espacos leales Ua aplcacó T co domo D( T ) y recorrdo R( T ), T : D( T ) L R( T ) L, es aplcacó leal u operador leal del espaco leal L sobre el espaco leal L, ambos sobre el cuerpo comú Λ, s satsface: a) D( T ) < L b) T es uvaluada: x D( T )! y R( T ) : T ( x) = y (otacó: y = Tx ), c) x, y D( T ), α, β Λ : T ( α x β y) = αt ( x) βt ( y) Deomacó: aplcacó leal operador leal homomorfsmo Ua aplcacó T co domo D( T ) y recorrdo R( T ), T : D( T ) L R( T ) L, es aplcacó atleal u operador atleal del espaco leal L sobre el espaco leal L, ambos sobre el cuerpo comú Λ =C, s satsface: a) D( T ) < L b) T es uvaluada: x D( T )! y R( T ) : T ( x) = y (otacó: y = Tx ), c) x, y D( T ), α, β Λ : T ( α x β y) = α * T ( x) β * T ( y) MC Boscá, U de Graada

2 Propedades: Dada ua aplcacó leal T : D( T ) < L R( T ) L, se tee: a) R( T ) < L b) T (0) = 0 (0 es elemeto eutro de la ley ( ) e L, =, ) c) T ( x) = T ( x) x D( T ) d) { x D T Tx } kert= ( ) : = 0 < L (úcleo o kerel del operador) e) S D ( T ) = L y d m L es fta: dm D( T ) = dm kert dm R( T ), deomádose uldad de T a la dm kert y rago de T a la dm R( T ) Gráfco de u operador leal Dada ua aplcacó leal T : D( T ) L R( T ) L, se defe su gráfco Γ ( T ) como Γ ( T) = {( x, x) L L : x D( T), x = Tx R( T) } L L Γ ( T ) < L L Γ ( T ) < L L es gráfco L ((0, y) Γ y = 0) (esto Teorema del gráfco: U subespaco leal de algú operador leal etre L y es, s Γ corta al eje L, lo hace sólo e el orge) Igualdad etre operadores leales: Dados dos operadores leales T y T, so guales Γ ( T ) = Γ( T ) D( T ) = D( T ) = D( T ) y T x = T x x D( T ) Extesoes y restrccoes: Dados dos operadores leales T y T, tales que D( T ) D( T ) y T x = T x x D( T ), etoces T es ua extesó de T a D( T ), y T es ua restrccó de T a D( T ) Notacó: T T T»» T es ua extesó de T T»» T es ua restrccó de T Operador leal verso ( ) Dado u operador leal T : D( T ) < L R( T ) < L la relacó versa T se defe segú: ( ) ( ) ( ) T : D( T ) = R( T ) R( T ) = D( T ) tal que y D( T ( ) ) se tee T y = x co x D( T ) y Tx = y MC Boscá, U de Graada

3 E geeral, ser uvaluada) ( ) T o tee por qué ser u operador (e: o tee por qué Dado u operador leal T : D( T ) < L R( T ) < L la relacó versa es u operador leal ( ) T T : D( T ) = R( T ) < L R( T ) = D( T ) < L T es u operador yectvo [ ( Tx = Tx) x = x ] [ Tx = 0 x = 0 ], e: kert = { 0 } Dado u operador leal T : D( T ) < L R( T ) < L, T se defe como operador o sgular T operador leal Dado u operador leal T : D( T ) < L R( T ) < L o sgular T T I : D( T ) D( T ) / T Tx = x x D( T ) D TT I : R( T ) R( T ) / TT y = y y R( T ) R Dado u operador leal T : D( T ) < L R( T ) < L, T se defe como operador vertble D( T ) = R( T ) = L y T es o sgular operadores leales, y TT T T I = = T, T, Dados dos operadores leales T : D( T ) < L R( T ) < L, =,, tales que D( T ) D( T ) y T ( x) = T ( x) x D( T ), se dce que T es ua extesó de T a D( T ) y que T es ua restrccó de T a D( T ), smbolzádose T T Operadores leales acotados y cotuos Operador leal cotuo/acotado ( ) Dados dos espacos ormados L y L sobre el msmo cuerpo k, u operador leal : D( ) < L R( ) < L es cotuo e x D( ) ε > 0 δ ( x, ε ) > 0 / ( x) ( y) < ε y D( ) tal que x y < δ { x } D( ) se tee que x x ( x ) ( x) = U operador leal : D( ) < L L es cotuo s lo es x D( ) Dados dos espacos ormados L y L sobre el msmo cuerpo k, u operador leal : D( ) < L R( ) < L es acotado k R fto, k 0 / x k x x D( ) -Nota: Obsérvese que K x m = sup es el meor valor de k para el que se verfca x 0 x la ateror desgualdad para todo operador leal acotado MC Boscá, U de Graada 3

4 Dados dos espacos ormados L y L sobre el msmo cuerpo k, u operador leal T : D( T ) < L R( T ) < L es cotuo es cotuo e u puto de su domo (cualquera) es cotuo e x = 0 es acotado La suma, el producto por u escalar y la composcó de operadores leales cotuos da como resultado otro operador leal cotuo Norma de u operador leal acotado Defcó: Dados dos espacos ormados L y L sobre el msmo cuerpo k y u operador leal acotado : D( ) < L R( ) < L, se defe la orma del operador, R, 0, segú x = sup x 0 x x D ( ) x x x D( ) Teorema: Defcoes equvaletes para la orma de u operador ( leal acotado!): = f k R, k 0 / x k x x D( ) a) { } b) sup 0< x x D ( ) x c) Propedades sup x x D ( ), x 0 x x d) sup x = x D ( ) ( ( L, L ), ) es u espaco leal ormado (cuerpo k ) x L L co ( (, ), ) L espaco de Baach es u espaco de Baach ( L, L ) = L ( L, L ) L ( L, L ) C ( L, L) = L ( L, L) = L ( L, L) C ( ( L, L ), ) la suma (de elemetos de, esto es, de operadores leales E acotados), el producto por u escalar y el producto de operadores so també elemetos del espaco (o sea, operadores leales cotuos) -Por ejemplo:, B B, α α B B, α α, B B Dados ( L, L ) y ( L, L3 ), etoces es acotado, ; ( L, L3 ) y -Nota: la últma propedad permtrá que ( H ) = ( H, H ), H espaco de Hlbert (y, por tato, espaco completo), costtuya u álgebra de Baach MC Boscá, U de Graada 4

5 El espaco Baach ( H ) ( H, H ) co dm H > o es espaco euclídeo (e: la orma o cumple la ley del paralelogramo, o sea, o derva de u producto escalar) Teoremas del operador verso acotado: Dado u operador leal T : D( T ) < L R( T ) < L, L { 0 } T operador leal acotado k > 0 : Tx k x x D( T ), etoces Dado u operador leal acotado byectvo : L L, co L y L Baach, etoces Represetacó matrcal: y es operador leal acotado Todo operador leal acotado ( H ) co H espaco de Hlbert separable, admte represetacó como ua matrz cuadrada de elemetos e, e e, card I ℵ, ua base ortoormal umerable de =, sedo { } 0 j j I H y teédose x H, x = αe, que esto es, I Operadores cerrados Defcoes y teoremas x = e jα, j I j I ( x) jα j = U operador leal T : D( T ) < L L se defe como cerrado su j I gráfco ( ) {(, ) : ( ), } η T = x y L L x D T y = Tx < L L es cerrado (e: η( T ) = η( T ) L L ; recordar que L L de L y L, dode se ha defdo la orma es el espaco suma drecta extera ( x, y) = x y ; dado S < L L, S es gráfco de u operador leal T : D( T ) < L L ( (0, y) S y = 0); además, s L y L so Baach, etoces L L es Baach) U operador T : D( T ) < L L es cerrado { } ( x D ( T ), x x, Tx y ) ( x D ( T ), y = Tx ) = Dado u operador leal acotado : D( ) < L L, etoces S D( ) = D( ), etoces es cerrado, y S es cerrado y L es Baach, etoces D( ) = D( ) Dado u operador leal acotado ( D( ), H ), es cerrado D( ) = D( ) MC Boscá, U de Graada 5

6 Teorema del gráfco cerrado: Dados dos espacos Baach L, L y u operador leal T : D( T ) < L L, co D( T ) = D( T ), etoces (T es operador cerrado T es operador acotado) U operador leal T : D( T ) < L L se defe como cerrable o clausurable posee extesó c Text T cerrada c c c c (e: T : D( T ) < L L : D( T ) D( T ), T x = Tx x D( T ) y operador cerrado) ext ext ext ext c S T es cerrado, es cerrable (eg: T = T ) T es cerrable η ( T ) o posee putos (0, y ) co y 0 { } N { } ( ),, { } N { } ( ), y, { } [( x D( T), x 0, Tx y) y = 0] x D T x x Tx z z = z y D T N x Ty z ext c T ext es Dado T operador cerrado o acotado, y o sgular cerrado Clausura de u operador T es operador Dado u operador cerrado o cerrable T : D( T ) < L L, se defe su cerre o clausura T como su extesó cerrada mmal, e, la extesó cerrada del msmo tal que, dada cualquer otra extesó cerrada T de él, c se tee η( T ) η( T ext ) Dado T operador cerrado T = T Dado u operador leal T : D( T ) < L L, operador o cerrado pero clausurable, etoces T posee clausura T, η( T ) = η( T ), ( ) D( T ) D T D( T ) Nota: Exste operadores leales T : D( T ) < L L que so: Cerrados pero o acotados (eg: el operador dferecal, ver Vera p 9) cotados pero o cerrados (eg: el operador detdad I D, D L, ver Vera p 9) N cerrados acotados c ext MC Boscá, U de Graada 6

7 Extesó de operadores leales acotados Teorema de extesó de u operador leal acotado co recorrdo e u Baach: Dado u operador leal acotado : D( ) < L L, co L espaco de Baach, etoces! ext : D( ext ) = D( ) L L, operador leal acotado tal que:, e: x = x x D( ) y η( ) η( ) ext D( ) = D( ) ext ext x D( ) : ext x = lm x co { x} D( ) y x x ext = y ext = Todo operador leal acotado co domo de defcó deso e el correspodete espaco ormado y recorrdo e u Baach puede extederse a todo el espaco coservado su orma Dado : D( ) < H H, operador leal acotado co domo y recorrdo sobre u Hlbert, etoces exste uas extesoes acotadas de a D( ), : D( ) = D( ) H H, úca, y H de a todo el espaco, : D( ) = H H, o úca e geeral, tales que: H H, e: x = x x D( ) ; η( ) η( ) ; D( ) = D( ) D( ) y = co { x } D( ) x D( ) : x lm x H ext y x x, e: x = x x D( ) ; η( ) η( ) ; D( ) D( ) y, puesto que x H : x x x H H = co ( ), ( ( )) H x D x D, etoces x H \ D( ) : x = x x, sedo (( D( )), H ) (e: u operador leal acotado co domo D( ) ( ( )) = D ) H = ( H = = cuado = 0 ) Todo operador leal acotado co domo y recorrdo e u Hlbert puede extederse a todo el espaco; por tato, e el estudo de u operador cotuo sobre u H puede supoerse sempre que el operador ( H ) = ( H, H ) (auque su extesó, e geeral, o es úca s D( ) H ) H MC Boscá, U de Graada 7

8 Teorema de represetacó de Resz o de Resz-Fréchet: Dado u espaco de Hlbert H, etoces u fucoal leal * F H! g H / F( x) = g, x x H, teédose F = g ( g se deoma el vector geerador del fucoal F, djuto de u operador * H represeta el espaco dual del * H, véase tema 5) Dado u operador leal acotado ( H ) se defe su operador adjuto como el operador leal : H H tal que x, y = x, y x, y H ( H )! ( H ) (demostracó: requere el teorema de Resz) El cocepto de operador adjuto geeralza el de matrz adjuta, pues s, como vmos, todo operador leal acotado ( H ), co H espaco de Hlbert separable, admte represetacó como ua matrz cuadrada de elemetos e, e e, card I ℵ, ua base ortoormal =, sedo { } 0 j j I umerable de H, etoces se tee que la matrz asocada al operador adjuto es la traspuesta de la cojugada de la matrz de : = ( ) j j * Propedades:, ( H ), se tee ( H ) ( H ) = y es cerrado * = ; ( α ) = α α k ( ) = ; ( ) = = ; = = S es vertble, ( ) ( ) = ( H ) vertble, ( ) ( H ) ker = ( R( )) y ker = ( R( )) ; H = R( ) ker y Dado u operador leal T : D( T ) < H H, se deoma operador adjuto de T, símbolo T, al operador leal T : D( T ) < H H defdo: { } ) D( T ) = x H /! g H : x, Ty = g, y y D( T ), ) x T x = g x D( T ) T L( D( T ) < H, H ),! T L ( D( T ) < H, H ) D( T ) = H Propedades: Sea T L ( D( T ) < H, H ) co D( T ) = H (e partcular, ( H ) ), etoces:! T L ( D( T ) < H, H ) y es cerrado S T es cerrado D( T ) = H T = T D( T ) = H T es cerrable S D( T ) = H T = T MC Boscá, U de Graada 8

9 S T T = T y ( T ) = T S T co D( T ) H ( T ) y ( T ) ( T ) = = T x, y = x, Ty x D( T ), y D( T ) T L ( D( T ) < H, H ), D( T ) = H, =, * T T T T T T ( ) ; ( α ) = α α k T L ( D( T ) < H, H ), =,, co D( T ) = D( T T ) = H ( T T ) T T T L ( D( T ) < H, H ), =,, co D( T ) = D( TT ) = H ( TT ) T T Operadores hermítcos y autoadjutos Dado u operador leal T : D( T ) < H H co D( T ) = H, se defe como operador hermítco o smétrco Tx, y = x, Ty x, y D( T ) T T Todo T L ( D( T ) < H, H ) hermítco es cerrable T L ( D( T ) < H, H ) hermítco T T T Dado u operador leal T : D( T ) < H H co D( T ) = H, se defe como operador autoadjuto T = T Postulado II de la Mecáca Cuátca: Cada observable de u sstema físco se represeta e el formalsmo matemátco de la Mecáca Cuátca medate u operador leal autoadjuto que actúa e el espaco de Hlbert ( H complejo, k = C, y separable) del sstema físco cosderado Dado u operador leal T : D( T ) < H H hermítco ( D( T ) = H ), se defe como operador esecalmete autoadjuto cuado posee ua úca extesó autoadjuta T es autoadjuto T = T (T es autoadjuto) T = T Dado T L ( D( T ) < H, H ) hermítco ( D( T ) = H ): Puede poseer ua, gua o varas extesoes autoadjutas S T es esecalmete autoadjuto, admte extesó propa úca, T T, autoadjuta ext S T es autoadjuto, o admte extesó propa autoadjuta Dado T L ( D( T ) < H, H ) autoadjuto ( D( T ) = H ), etoces T ( D( T )), e, es cotuo D( T ) = H Dado T L ( D( T ) < H, H ) hermítco ( D( T ) = H ) co cerre autoadjuto, es esecalmete autoadjuto Dado T L ( D( T ) < H, H ) hermítco ( D( T ) = H ): T es autoadjuto R( T I) = R( T I ) = H T es esecalmete autoadjuto R( T I) H ± = ker( T I) { 0} ± = MC Boscá, U de Graada 9

10 T es autoadjuto ( T cerrado y ker( T I) { 0} ± = ) Bloque de propedades: Sea T L ( D( T ) < H, H ) co D( T ) = H, etoces: S T hermítco ( T es cerrable, T = T, T T T ) S T hermítco y T = T T T es cerrado y o es autoadjuto S T hermítco y T T = T T tee cerre autoadjuto (es esecalmete autoadjuto) y o es autoadjuto S T hermítco y cerrado T = T = T T S T hermítco y cerrado ( T = T T es hermítco) S T hermítco y cerrado T es autoadjuto S T hermítco y T = T = T T es autoadjuto y cerrado S T es autoadjuto T hermítco y cerrado (T hermítco co D( T ) = H T es acotado ) T autoadjuto S T es hermítco co D( T ) H y T es acotado T es esecalmete autoadjuto S T cerrado y T hermítco T autoadjuto S dm H < (T hermítco T autoadjuto) Lema: Dado T L ( H ), tal que x, Tx = 0 x H S k =R y T = T T = 0 S k =C T = 0 Dado T L ( D( T ) < H, H ), k =C S D( T ) = H y T es acotado (T es autoadjuto x, Tx R x H ) S T es hermítco ( D( T ) = H ) x, Tx R x D( T ) Nota: Cosderados los operadores leales T : D( T ) < H H, D( T ) = H : Exste operadores hermítcos o acotados o autoadjutos NO exste operadores autoadjutos o acotados co D( T ) = H Bloque de propedades (acotados): Sea ( D( ) < H, H ) co D( ) = H, etoces: S hermítco = S ( H ) (esto es, D( ) = H ) y es hermítco =, e, es autoadjuto S hermítco puede sempre extederse a D( ) = D( ) = H, de forma que se obtee u autoadjuto Dados ( D( )), =,, autoadjutos ( D( ) = H ) y α, α R, autoadjutos Dados ( D( ) < H, H ), =,, co D( ) = D( ) = H, autoadjutos ( autoadjuto = ) S autoadjuto co R( ) D( ), = 0,,, es autoadjuto MC Boscá, U de Graada 0

11 Dado ( D( ) < H, H ) hermítco ( D( ) = H ), etoces: S D( ) H, es esecalmete autoadjuto S D( ) = H, es autoadjuto Dado ( H ) co k =C; etoces:! expresó = r co r, ( H ) y autoadjutos r = ( ) ; = ( ) Es posble defr ua relacó de orde parcal (e: o todos los elemetos será ordeables) e el cojuto de los operadores acotados autoadjutos (tato para k =R como para k =C): = ( H ) / =, etoces: Sea { } Dados, B : B B x, x x, Bx x H S B C BC, B, C S B α α B α R, α 0, B Operadores postvos Dado u operador leal T : D( T ) < H H hermítco ( D( ) = H ), se defe como operador postvo x, Tx 0 x D( T ) Dados T y T operadores postvos T y T comuta Su producto o es, e geeral, u operador postvo Todo operador ( H ) postvo es 0 y autoadjuto Dado ( H ) y so acotados, autoadjutos y postvos Dado ( H ) postvo ( es autoadjuto) I es vertble! B = ( H ), operador raíz cuadrada de,, tal que B = ( H ) ; 0 y ( ) = Dado ( H ) se defe el operador módulo de,, como = ( ) 0 ; = ; ( =, = 0 -Nota: e geeral, B B, B B y B B ) MC Boscá, U de Graada

12 Proyectores ortogoales ( ) Proyectores ortogoales Defcó: Dados u espaco euclídeo L y dos subespacos leales M < L y M < L tales que L = M M, u proyector de L sobre M e la dreccó M de M, PM P : M L M, se dce que es u proyector ortogoal M M Dado P ( H ), se defe como u proyector ortogoal s P P P = = Dados u proyector ortogoal P y el operador detdad I e L el operador I P es proyector ortogoal co recorrdo R( I P) = ker P y úcleo ker ( I P) = R( P) Todo proyector ortogoal P M es cotuo, postvo, 0 P 0, posee orma udad Dado P proyector ortogoal e L ker P L y R( P) L ker P = ( R( P)) y R( P) = (ker ) P P, y, s { 0} M y Dados dos subespacos leales M < L y N < L tales que L = M N y M N, etoces! (exste u úco) proyector ortogoal P co R( P) = M y ker P = N = M -Nota: Obsérvese que, dado u M L, o está garatzado que exsta u proyector ortogoal P M, o sea, o sempre se tedrá L = M M (algo que sí ocurre cuado el espaco es completo, esto es, u Hlbert) Dado u operador leal P L ( H ), P es u proyector ortogoal x, Py = Px, y x, y H (esto es, s P es dempotete y autoadjuto) P = P y Dados P ( H ),proyectores ortogoales co recorrdo M = R( P ) H, =, : PP es proyector ortogoal sobre M M [ P P ], = 0 P P es proyector ortogoal sobre M M M M PP = P M M P P es proyector ortogoal sobre M M M M ( P P ) P = Dada la sucesó { } proyector ortogoal sobre M co Pm P s m < P P co P MC Boscá, U de Graada

13 Operadores ormales Dado u operador leal N : D( N) = H H co D( N) = H, se defe como operador ormal N N = NN (e: N, N = 0, o sea, comuta) Dado u operador leal T : D( T ) = H H co D( T ) = H, es operador ormal Tx = T x x H T es operador ormal Todo operador autoadjuto acotado es ormal Dado u operador leal acotado ( H ) co k =C, es operador r, =0, co r = ( ) y = ( ) Propedades: ormal [ ] Dado u operador ormal acotado N N = N Dado u operador leal T : D( T ) = H H, T operador autoadjuto T es ormal S N : D( N ) = H H, =,, ormales N N y α N, α k, ormales; NN ormal N, N = N, N = 0 N = Dada { }, sucesó de operadores N : D( N ) = H H, =,, ormales acotados, N T ormal Operadores sométrcos ( ), T operador acotado T operador Dado u operador leal T : D( T ) < L L co D( T) = L, se defe como operador sométrco Tx = x x D( T) Dado u operador leal T : D( T ) < L L co D( T) = L, es operador sométrco Tx, Ty = x, y x, y D( T) Dado u operador T leal e sométrco T es operador acotado, osgular y co T = Dado u operador leal T : D( T ) = H H co D( T ) = H, es operador sométrco T T = I D ( T ) (restrccó de la detdad a D( T ) ) MC Boscá, U de Graada 3

14 Operadores utaros ( ) Dado u operador leal acotado U ( H ), se defe como operador utaro es u somorfsmo sométrco es ua byeccó leal y Ux, Uy = x, y x, y H (se tee D( U ) = R( U ) = H ) Dado u operador leal acotado U ( H ), es utaro U es vertble y U = U U es vertble y U U = UU = I U es utaro U trasforma ua base ortoormal de H e otra base ortoormal de H Dados dos operadores utaros U, U ( H ) su producto es també u operador utaro UU ( H ) Dado T ( H ) co H de dmesó fta, s es operador sométrco, es utaro Todo operador utaro es ormal Dado T L ( D( T ) < H, H ) y defdo el operador utaro U ( H H ) : U ( x, y) = ( y, x) ( x, y) H H, tal que U = U, se tedría, supuesto que el operador poseyera adjuto, que: x D( T ) y D( T ) : T x, y = x, Ty ( x, T x), U ( y, Ty) = 0 η( T ) = ( U ( η( T ))), de forma que sempre que el complemeto ortogoal de la accó del operador U sobre el gráfco del operador T sea el gráfco de u operador leal, etoces puede defrse T, lo que ocurre para operadores co domo deso, D( T ) = H Dados dos operadores leales T : D( T ) < H H, =,, se defe como operadores utaramete equvaletes exste u operador utaro U ( H ) tal que U ( D( T )) = D( T ) y T = U TU La equvaleca utara es ua relacó de equvaleca e la clase de todos los operadores leales T : D( T ) < H H Dados operadores leales, uo : D( ) < H H acotado y otro T : D( T ) < H H, utaramete equvaletes T es acotado y T = Dados operadores leales, uo T : D( T ) < H H hermítco (o autoadjuto, o utaro) y otro T : D( T ) < H H, utaramete equvaletes T es hermítco (autoadjuto, utaro) Dados los operadores utaros,, B, B ( H ) B B B B tales que y MC Boscá, U de Graada 4

15 Mecáca Cuátca: El operador de evolucó temporal para u vector estado ψ ( t), e: ψ ( t) = U ( t, t0) ψ ( t0), es u operador leal utaro; para u sstema coservatvo, U ( t, t0) = exp[ ( t t0)e / ħ ] es el operador evolucó temporal para los estados estacoaros o estados propos de H co autovalor E (eergía), H ψ ( t ) = E ψ ( t ), dode H es el Hamltoao del sstema 0 0 Operador de Fourer-Placherel: -Se trata del operador utaro ( L ( R ) ) xy d e (F f )( y) = f ( x) dx cd π dy x xy d e (F g)( x) = g( y) dy cd π dx, y extesó a todo F tal que f, g L ( R) : L ( R) del operador que da la trasformacó de Fourer sobre las fucoes de la evolvete leal de la bo de L ( R) : { } f g e /, N xy xy (F f )( y) = e f ( x) dx y R, π (F g)( x) = e g( y) dy x R π (mplar: bellaas y Galdo, pp 88ss) Operadores compactos ( ; C ( H )< ( H )) Dado u operador leal T : D( T ) = L L co D( T) = L, se defe como operador compacto o completamete cotuo B = x L / x, se tee que T ( B ) es compacto dada la bola udad { } { } { } x B Tx T ( B ) = cotee algua subsucesó = covergete (e T ( B ) ) { x} L, sucesó acotada, { Tx} L = L ) subsucesó covergete (e cotee algua S L, subcojuto acotado, T ( S) es compacto trasforma sucesoes déblmete covergetes e sucesoes fuertemete covergetes (ota: ver tema 5 para estos dos coceptos) = Propedades: Todo operador compacto es acotado (ota: exste operadores acotados o compactos; eg: para L co dmesó o fta, el operador detdad I : L L o es compacto; e dmesó fta, u operador es leal es acotado es compacto) Todo operador acotado degeerado (e: de rago fto, dm R( T ) fta) es compacto MC Boscá, U de Graada 5

16 C operador compacto C compacto operador acotado y compacto compacto Dado C C ( H ) x D( C), co orma x =, tal que Cx C operador compacto C operador compacto = x P Sea C ( H ) el cojuto de los operadores C : D( C) = H H compactos Propedades: C ( H ) < ( H ) C C ( H ), ( H ) C C ( H ), C C ( H ) u { C} C ( H ), C C C C ( H ) { } ( H ), degeerado, u C ( H ) Sea m N T = λ P, N < = P s m Sea T, co P proyector ortogoal, λ P 0 y ; etoces T es compacto P es degeerado = λp, co = P proyector ortogoal, λp 0 y P Pm s m ; etoces T es compacto P es degeerado y lm λ = 0 Sea C C ( H ), C operador ormal N = C = λp, N <, co P proyector ortogoal degeerado, λp 0 y P Pm s m, o be C = λp co P proyector ortogoal degeerado, λp 0, P Pm = s m y lm λ = 0 e = Sea { } y { e } = dos bases ortoormales umerables del espaco H Lema: Dado ( H ) tal que e <, { e' } e = e' m, e = e' = e = e ', m, bo de H MC Boscá, U de Graada 6

17 Operadores de la clase Hlbert-Schmdt ( C < C ) Dado ( H ), se defe e = Dado ( H ), se defe como operador perteecete a la clase Hlbert-Schmdt, o de Hlbert-Schmdt, s Propedades: < ( H ) ( H ), = 0 =0 Sea C ( H ) el cojuto de los operadores C : D( C) = H H de la clase Hlbert-Schmdt Propedades: defe ua orma ec ( H ) (orma Hlbert-Schmdt) ( C ( H ), ) es Hlbert; C, B = Be, Ce, C, B C ( H ) C ( H ) < C ( H ) < ( H ) C C ( H ) C C ( H ) y C C ( H ) C C ( H ) e b o C = C C C ( H ), ( H ) C C ( H ), C C ( H ) C C ( H ), ( H ) C C, C C Operadores tegrales de Hlbert-Schmdt: ( ) Operador leal cotuo L ([ a, b] ) espaco y regla de actuacó b K, co domo todo el ( ) ( f ) ( x) = K K( x, y) f ( y) d y, co K ( x, y) L [ a, b] [ a, b] a K L R, co domo todo el espaco ( ) Operador leal cotuo ( ) y regla de actuacó ( f ) ( x) = K( x, y) f ( y) d y R K, co K( x, y) L ( R ) Propedad: K f K f, por lo que K K -Nota: estos operadores aparece e la teoría de ecuacoes tegrales MC Boscá, U de Graada 7

18 Operadores de la clase traza ( C < C ) Dado ( H ) se defe como operador de la clase traza C ( H ) o trazable s C ( H ) Dado ( H ), se defe Dado ( H ), C ( H ) < Propedades: e e e e b o tr = = = ( H ), C ( H ) C ( H ) =BC co B,C C ( H ) tr defe ua orma ec ( H ) (orma traza) ( C ( H ), ) es Baach C C ( H ) C C ( H ) y C ( H ) < C ( H ) < C ( H ) < ( H ) C C ( H ) C C C C = C C C ( H ), ( H ) C C ( H ), C C ( H ) C C ( H ), ( H ) C C, C C Dado C C ( H ), se defe su traza, tr C, como el escalar tr e, Ce b o C = La aplcacó tr : C ( H ) C satsface: ( tr C) * tr C = λ C tr ( λc) = λ tr C tr (CB) = tr C tr B C C ( H ), ( H ) tr C = tr C tr C tr C Operadores desdad ( C ) y estados e Mecáca Cuátca (cf bellaas y Galdo, pp -) Mecáca Cuátca: Los estados físcos de u sstema cuátco se defe como aplcacoes del cojuto P( H ) de los proyectores ortogoales e H (recuérdese: separable y complejo) sobre el tervalo [ 0, ], p : P( H ) [ 0,], de forma que p( P ) represeta la probabldad de que al medr el observable P e el estado p resulte el valor Estas aplcacoes debe cumplr: MC Boscá, U de Graada 8

19 a) p(0) = 0, p() = b) j : p( P) = p( P) sempre que P = = P j El teorema de Gleaso asegura que, s dm H 3 p ρ C ( H ), autoadjuto ( ρ = ρ) y postvo ( ρ 0), tal que tr ρ = y p( P) = tr ( ρp) P Estos operadores ρ, que represeta los estados del sstema físco, se deoma operadores desdad Dados dos operadores desdad, ρ y ρ toda combacó leal covexa, esto es, de la forma ρ = λρ λρ, λ, λ 0, λ λ =, represeta otro operador desdad Mecáca Cuátca: U operador desdad expresable como combacó leal covexa de otros dos, co ρ = λρ λρ, λ, λ 0, λ λ =, co λ λ, defe u estado mpuro o estado mezcla del sstema; s λ λ = 0 el 0 estado se defe como estado puro Todo operador compacto ormal C (e partcular, todo operador autoadjuto de clase traza) admte expresó C = λp, P Pm s m Todo operador desdad (que, por serlo, es postvo) admte expresó ρ = λ P, λ 0, P 0 y P P s m m Como tr ρ =, se tee Y, supuestos dos λ y λ o ulos, etoces: λ tr P = ( P, 0 de rago fto) λ P P λp ρ = λp λp = λtr P ( λtr P ), sedo λtrp 0, trp λtrp ya que λ 0 Luego el operador ρ es combacó leal covexa de los dos operadores P trp y ρ λp λ trp Cosecuetemete, ρ es puro ρ es u proyector udmesoal trρ = E este caso es frecuete detfcar el estado ρ co uo cualquera de los vectores de orma que egedra el subespaco de proyeccó de ρ MC Boscá, U de Graada 9