Capítulo 1. Propiedades de los fluidos y definiciones. - Problemas resueltos -

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1 Capítulo 1 Propiedades de los fluidos y definiciones - resueltos -

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3 Propiedades de los fluidos y definiciones Ejemplo 1.1: Densidad, gravedad específica y masa de aire en un cuarto. Determine la densidad, la gravedad específica y la masa del aire en un cuarto cuyas dimensiones son 4 m 5 m 6 m a 100 kpa y 5 C. Dimensiones de un cuarto y la presión y temperatura del aire ambiente. La densidad, la gravedad específica y la masa del aire en el cuarto. 4 m 6 m AIRE P = 100 kpa T = 5 C 5 m Propiedades: A las condiciones especificadas, el aire se puede tratar como un gas ideal. La constante del aire es R = 0,87 kpa.m /kg.k. La densidad del aire se determina con base en la relación del gas ideal P = ρ R T como: P RT 100 kpa ρ = = = 1,17kg/m ( 0,87 kpa.m /kg.k)( 5 + 7) Entonces la gravedad específica del aire es: K ρ 1,17 kg m s = = ρ 1000 kg m H O = 0,00117 Por último, el volumen y la masa del aire que se encuentra en el cuarto son: V = ( 4 m)( 5m)( 6m) = 10m ( 1,17 kg m )( 10m ) = 140kg m = ρ V = Comentarios: Nótese que la temperatura se debe expresar en K antes de usarla en la relación del gas ideal. J.M. Riesco A.

4 Mecánica de Fluidos Ejemplo 1.: Propiedades de un aceite a partir de su peso. Si,5 m de aceite pesan,95 kn, calcular su peso específico, densidad, volumen específico y densidad relativa (gravedad específica). Peso y volumen de una muestra de aceite. Peso específico, densidad, volumen específico y densidad relativa. ACEITE V =,5 m W =,95 kn Se puede considerar el valor de la aceleración gravitacional estándar de g = 9,807 m/s. El peso específico del aceite es: W,95 kn γ = = = 9,41 kn/m V,5m La densidad del aceite es: m V g g W V g γ g 9410 N m 9,807 m s ρ = = = = = 960,0 kg/m Por lo tanto, el volumen especifico del aceite es: 1 1 v = = = 0,001 m kg ρ 960,0 kg m Finalmente, la densidad relativa, o gravedad específica, del aceite es: ρ s = ρ H O 960kg m = 1000 kg m = 0,960 4

5 Propiedades de los fluidos y definiciones Ejemplo 1.: Masa de fluido en un recipiente. Un fluido llena un recipiente cilíndrico de 4,56 m de altura y,5 m de diámetro. Determine la masa total del fluido si éste es: (a) agua, (b) mercurio (s = 1,6). Comentarios: Dimensiones de un recipiente cilíndrico. Masa del fluido que llena el recipiente si éste es: (a) agua, (b) mercurio. Volumen del recipiente (y del fluido): π π V = D H = (,5 m) ( 4,56 m) =,8 m 4 4 (a) Si el fluido es agua (ρ = kg/m ): m H = OV = ( kg/m )(,8 m ) = 84 kg O ρ H (b) Si el fluido es mercurio (s = 1.6): mhg = shg ρ H OV = ( 1,6)( kg/m )(,8 m ) = kg Ya que el mercurio es 1,6 veces más denso que el agua, la masa de mercurio que llena el recipiente es 1,6 veces la del agua que llenaría el mismo recipiente. Ejemplo 1.4: Altura del líquido en un recipiente. Si el peso total del líquido que llena el recipiente del problema anterior es de 505 kn, determine la altura del líquido si éste es: (a) agua, (b) aceite (s = 0,85). Peso del líquido que llena un recipiente. La altura del recipiente si el líquido es: (a) agua, (b) aceite (s = 0,85). El volumen del recipiente que contiene al líquido se puede determinar mediante π W la relación V = D H =, donde W es el peso del fluido y γ su peso 4 γ específico. Despejando la altura del recipiente, H, de la ecuación anterior, 4 W H = π D γ Si el fluido es agua (γ = 9,81 kn/m): 4 ( 505 kn) H = = 10,49 m π,5 m 9,81 kn/m ( ) ( ) Si el fluido es aceite (s = 0,85): 4 ( 505 kn) H = π,5 m 0,85 9,81 kn/m = 1,4 m ( ) ( )( ) J.M. Riesco A. 5

6 Mecánica de Fluidos Ejemplo 1.5: Esfuerzo cortante en un fluido newtoniano. El espacio entre dos placas paralelas horizontales es de 5 mm y se llena con aceite crudo que tiene una viscosidad dinámica de,5 kg/m.s. Si la placa inferior es estacionaria y la placa superior se mueve con una velocidad de 1,75 m/s, determine el esfuerzo cortante sobre la placa inferior. Espacio entre dos placas paralelas lleno de aceite. La placa inferior es estacionaria y la superior se mueve con velocidad constante. El esfuerzo cortante sobre la palca inferior. 1) Ya que el espacio entre las dos placas es muy pequeño, se puede considerar que el perfil de velocidad en el aceite es lineal. ) El aceite se comporta como un fluido newtoniano. ) Condición de no deslizamiento (u = 0) en las superficies sólidas. 4) Flujo permanente. Para un fluido newtoniano: du τ xy = μ dy Puesto que u varía linealmente con y, du Δu U 0 U = = = dy Δy d 0 d Por lo tanto, du 1,75 m s ) = μ = (,5 kg m.s) = 875 N τ xy y= 0 dy 0,005 m m Comentarios: Note que el esfuerzo cortante sobre la palca superior, τ xy ), es igual en y= d magnitud al de la placa inferior pero en sentido contrario, negativo, ya que la superficie superior es una superficie y negativa. 6

7 Propiedades de los fluidos y definiciones Ejemplo 1.6: Esfuerzo cortante sobre una placa inclinada. Considere una película de líquido que desciende sobre una superficie inclinada. El líquido es un fluido newtoniano cuya viscosidad es μ. El perfil de velocidad está dado por la expresión: u ( y) = U y Y y Y donde U es una constante y Y es el espesor de la capa de líquido. Determine el esfuerzo cortante en la interfaz fluido-sólido (y = 0), en y = Y/ y en la superficie libre (y = Y). Perfil de velocidad en un fluido newtoniano descendiendo sobre una superfcie inclinada. El esfuerzo cortante en y = 0, y = Y/ y y = Y. 1) Fluido newtoniano. ) Condición de no deslizamiento. ) Flujo permanente. Para un fluido newtoniano: du τ xy = μ dy Sustituyendo la velocidad u, se tiene τ d y y = μu dy Y Y U = μ Y xy y Y Los esfuerzos cortantes en los diferentes sitios son: ) U τ xy = μ y=0 Y ) τ μ U = Y τ ) = 0 xy y= Y xy y=y Comentarios: El esfuerzo cortante cero en la superficie libre es una condición de frontera común para cualquier tipo de fluido, ya que el aire que está arriba de él ejerce una fuerza despreciable sobre el líquido. J.M. Riesco A. 7

8 Mecánica de Fluidos Ejemplo 1.7: Cilindro deslizándose dentro de un tubo Un cilindro de 50 mm de diámetro y 0,10 m de longitud se desliza verticalmente hacia abajo en un tubo de 5 mm de diámetro. El espacio entre el cilindro y el tubo está lleno de aceite (μ = 1,9 N.s/m ). Determine la velocidad de caída del cilindro si su peso es de 16 N. Cilindro pequeño deslizándose verticalmente hacia abajo en un tubo. Velocidad de caída del cilindro. R 1 = 5 mm R = 6 mm t = 1 mm L = 0,10 m μ = 1,9 N.s/m W = 16 N 1) Ya que el espacio entre los dos cilindros es muy pequeño, se puede considerar que el perfil de velocidad en el aceite es lineal. ) El aceite se comporta como un fluido newtoniano. ) Condición de no deslizamiento. 4) Flujo permanente. Para un fluido newtoniano: du τ = μ = dy F A donde F es la fuerza de arrastre sobre el cilindro y A = π R 1 L. Ya que el perfil de velocidad en el aceite es lineal, U F = π R 1 L μ t Suponiendo que el cilindro cae con velocidad constante, la fuerza de arrastre se equilibra con el peso del cilindro ( F = 0) ; por lo tanto, F = W y ( 16 N)( 0,001m) W t U = = = 0,54 m π R L μ π ( 0,05 m)( 0,10 m)( 1,9 N.s ) s 1 m 8

9 Propiedades de los fluidos y definiciones Ejemplo 1.8: Flecha girando en un cojinete. Una flecha horizontal gira en un cojinete. Se supone que la flecha es concéntrica a la chumacera. Una película de aceite de espesor t y viscosidad μ separa la flecha de la chumacera. Si la flecha gira a una velocidad de ω radianes por segundo y tiene un diámetro D, cuál es el par necesario para hacer girar la flecha y la potencia disipada? Desprecie los efectos centrífugos en los extremos del cojinete y suponga un perfil de velocidad lineal. Flecha girando con una velocidad angular ω en un cojinete. Par necesario para hacer girar la flecha y potencia disipada. Para el aceite: du τ = μ = dy F A 1) Perfil de velocidad en el aceite lineal. ) El aceite se comporta como un fluido newtoniano. ) Condición de no deslizamiento. 4) Flujo permanente. ; donde A = π D L y L es la longitud de la chumacera. Puesto que u varía linealmente con y, du Δu U 0 U ϖ R D = = ϖ = = = dy Δy t 0 t t t Por lo tanto, ϖ D F = π D L μ t y el par necesario para hacer girar la flecha será: D π μ L D ϖ T = R F = F = 4t Para el cálculo de la potencia disipada, se calcula primero el trabajo realizado por vuelta; esto es, W = F π R = π D ( ) F Por lo tanto, la potencia disipada será: W = π D F f, donde f son las vueltas (revoluciones) por segundo que da la flecha; esto es, rad f = ϖ s rev = π rad ϖ rev π s J.M. Riesco A. 9

10 Mecánica de Fluidos Con lo que la potencia es: ϖ = π D F f = π ( R) F = T ϖ π W Comentarios: El perfil de velocidad se puede considerar lineal sólo cuando los efectos de la curvatura son despreciables; esto es, cuando t/r << 1. Ejemplo 1.9: Viscosímetro de discos paralelos. Se propone usar un par de discos paralelos para medir la viscosidad de un líquido. El disco superior gira a una altura h sobre el disco inferior. La viscosidad del líquido en el claro se va a calcular a partir de mediciones del momento de torsión necesario para hacer girar el disco superior de manera permanente. Obtenga una expresión algebraica del momento de torsión necesario para rotar el disco. Condiciones de operación de un viscosímetro de discos paralelos. Expresión algebraica del momento de torsión necesario para hacer girar el disco. 1) Perfil de velocidad lineal en el líquido. ) El líquido es un fluido newtoniano. ) Condición de no deslizamiento. 4) Flujo permanente. Usando las coordenadas r, θ, z, como se muestra en el esquema, el esfuerzo cortante para el líquido es: dvθ τ zθ = μ dz y el momento torsional es: dt = r df = r τ da zθ La velocidad en cualquier punto radial sobre el disco giratorio es ya que el perfil de velocidad en el líquido es lineal, se tiene que τ dv = μ dz ΔV = μ Δz ( ϖr 0) ( h 0) h θ zθ = μ = μϖ r V θ = ϖ r, y 10

11 Propiedades de los fluidos y definiciones y ϖ r π μϖ r dt = r τ z θ da = r μ = h h Integrando, T = dt = 0 A R π μϖ r h ( π r dr) dr π μϖ r dr = h 4 R 0 T 4 π μϖ R = h Comentarios: Este dispositivo no se podría usar para medir la viscosidad de un fluido no newtoniano, ya que el esfuerzo cortante aplicado no es uniforme. Éste varía de cero en el centro del disco a μ ϖ R h en el extremo. Ejemplo 1.10: Compresión de dos líquidos en un tanque. Un tanque contiene aceite (A) y agua (B) sobre los cuales se varía la presión del aire. Las dimensiones mostradas en la figura corresponden a la presión atmosférica del aire. Si se agrega aire lentamente desde una bomba hasta alcanzar una presión manométrica de 1,0 MPa, cuál será el desplazamiento total hacia debajo de la superficie libre del aceite y el aire? Tome los valores promedio del módulo de elasticidad de los líquidos, para el rango de presión, de 050 MN/m para el aceite y 075 MN/m para el agua. Suponga que el recipiente no cambia de volumen. Desprecie las presiones hidrostáticas. Incremento de presión sobre dos líquidos contenidos en un recipiente. El desplazamiento de la superficie libre del aceite y aire. El recipiente no se deforma. Para los líquidos: V K = ΔP, de donde, ΔV ΔP Δ V = V K J.M. Riesco A. 11

12 Mecánica de Fluidos Para el aceite: ΔV ac = V ΔP K ac π = 4 1,0 MN ( 00 mm) ( 500 mm) 050 MN m m = 17 40,5 mm Para el agua: ΔV ag = V ΔP K ag π = 4 1,0 MN ( 00 mm) ( 800 mm) 075 MN m m = 7 5,4 mm Por lo tanto, el cambio total en el volumen será: ΔV = ΔV ac + ΔV ag = 17 40,5 mm 7 5,4 mm = mm Con lo que el desplazamiento, x, de la superficie libre será: π ΔV = 4 ( 00 mm) x ( 00 mm) ( mm ) 4 ΔV 4 x = = = 0,6 mm π π ( 00 mm) 1

13 Propiedades de los fluidos y definiciones Ejemplo 1.11: Ascenso capilar del queroseno en un tubo. Se introduce un tubo de 0,0 pulgadas de diámetro en queroseno a 68 F. El ángulo de contacto del queroseno con la superficie de vidrio es de 6. Determine el ascenso capilar del queroseno en el tubo. Diámetro de un tubo de vidrio que se introduce en queroseno a 68 F. El ascenso capilar del queroseno en el tubo. D = 0,0 pulg θ = 6 El experimento se realiza en aire atmosférico. Propiedades: La tensión superficial y la densidad del queroseno a 68 F son σ = 1,9 10 lbf pie y ρ = 51, lbm pie, respectivamente. El ascenso capilar se determina directamente de la ecuación: ( 10 lbf pie) 4 σ cosθ 4 1,9 cos 6 h = = γ D lbm pie 1 1 pulg 51,, 0,0 pulg pie s lbm pie 1 pie, s lbf h = 0,054 pie = 0,65 pulg J.M. Riesco A. 1

14 Mecánica de Fluidos PROBLEMAS PROPUESTOS 1.1 Cuál es la diferencia entre propiedades intensivas y extensivas? 1. En qué condiciones la hipótesis del gas ideal es adecuada para los gases reales? 1. El aire en un neumático de automóvil, cuyo volumen es de 0,5 ft está a 90 F y 0 psig (libras-fuerza por pulgada cuadrada, presión manométrica). Determine la cantidad de aire que debe agregarse para elevar la presión hasta el valor recomendado de 0 psig. Suponga que la presión atmosférica es de 14,6 psia (libras-fuerza por pulgada cuadrada, presión absoluta) y que la temperatura y el volumen permanecen constantes. 1.4 Si la densidad relativa de un fluido es 1,59, calcule su densidad de masa, peso específico y volumen específico. 1.5 Un matraz de 00 ml está lleno de un líquido desconocido. Una balanza electrónica indica que el líquido en cuestión tiene una masa de 176 g. Cuál es la gravedad específica del líquido? Puede decir de qué líquido se trata? 1.6 Dos placas horizontales se mantienen a 1,5 mm de separación y el espacio entre ellas se llena con aceite de 1,4 Pa.s de viscosidad dinámica. Si la placa superior se mueve con velocidad constante de,5 m/s, determine el esfuerzo cortante sobre la placa inferior. 1.7 Cuando un fluido real se mueve sobre una placa que se mantiene paralela al flujo, la distribución de velocidad cerca de la placa está dada por u U y = δ 1 y δ donde u = U cuando y = δ. Determine el esfuerzo cortante en y = 0 y cuando y/δ = 0, Un cuerpo cilíndrico de 75 mm de diámetro y 0,15 m de longitud, cae libremente en un tubo circular de 80 mm de diámetro que se mantiene verticalmente. Si el espacio entre el cuerpo cilíndrico y el tubo se llena con un aceite de viscosidad dinámica igual a 0,09 Pa.s, determine el peso del cuerpo cuando éste cae con una velocidad constante de 1,5 m/s. 1.9 Se debe mover un bloque de 50 cm 0 cm 0 cm que pesa 150 N a una velocidad constante de 0,8 m/s sobre una superficie inclinada con un coeficiente de fricción de 0,7. (a) Determine la fuerza F necesaria a aplicar en la dirección horizontal. (b) Si se aplica una película de aceite de 0,4 mm de espesor, con una viscosidad dinámica de 0,01 Pa.s entre el bloque y la superficie inclinada, determine el porcentaje de reducción en la fuerza necesaria. Figura P

15 Propiedades de los fluidos y definiciones 1.10 Un cilindro circular de radio R 1 y altura h, gira a N rpm en un contenedor cilíndrico de radio R, con sus ejes verticales coincidiendo. Si el espacio entre el fondo del contenedor cilíndrico y el cilindro es t, el cual es pequeño, y si el espacio entre el cilindro y el contenedor se llena con aceite de viscosidad dinámica μ, obtenga una expresión para el torque total T requerido para mantener el movimiento. Suponga que R es ligeramente mayor que R Para el flujo en un tubo u τ = μ y y el esfuerzo cortante en la pared τ 0 está relacionado con el esfuerzo cortante a una distancia y por la relación y τ = τ 0 1 R Determine la distribución de velocidad por integración de la ecuación para el esfuerzo cortante, suponiendo que u = u máx en el centro y u = 0 en la pared. R es el radio del tubo. 1.1 Qué representa el módulo de compresibilidad de un fluido y cuál es su diferencia con el coeficiente de compresibilidad? 1.1 Encuentre el incremento en la presión requerida para reducir el volumen del agua 0,8%, si su módulo de elasticidad es de,075 x 10 9 N/m Se comprime en forma isotérmica agua a la presión de 1 atm hasta una presión de 800 atm. Determine el incremento en la densidad del agua. Tome el coeficiente de compresibilidad del agua como 4, atm Cuál es el cambio en la presión requerido para comprimir una masa de gas a un tercio de su volumen bajo condiciones isotérmicas? 1.16 Qué es la tensión superficial? Qué la causa? Por qué la tensión superficial también recibe el nombre de energía superficial? 1.17 Considere una pompa de jabón. La presión dentro de la pompa es mayor o menor que la del exterior? 1.18 Qué es el efecto de capilaridad? Qué lo causa? Cómo lo afecta el ángulo de contacto? 1.19 Dos placas de vidrio paralelas, separadas una distancia t, están sumergidas parcialmente en un líquido de peso específico γ y una tensión superficial σ. Muestre que el aumento de capilaridad está dado por σ cosθ h = t 1.0 Determine el diámetro de una gota de agua en mm, si la presión dentro es mayor que la de afuera por 10 N/m. γ J.M. Riesco A. 15