MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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1 MATEMÁTICAS FINANCIERAS Asigatura Clave: CON015 Numero de créditos Teóricos: 4 Prácticos: 4 Asesor Resposable: M.C. Eduardo Suárez Mejia (correo electróico Asesor de Asistecia: Ig. Ecaració Apodaca Barreras (Correo electróico Ig. Pedro Neyoy Neyoy INSTRUCCIONES PARA OPERACIÓN ACADÉMICA: El Sumario represeta u reto, los coteidos so los ejes temáticos, los activos ua orietació iicial para resolverlo y la sítesis cocluyete, como Posibilidad de Itegració Coceptual correspoderá a lo factible de u puto de vista temático amplio,, La visió global de los asutos resueltos, como Titular Académico, te ofrecerá oportuidades de discusió que se eriquecerá e la medida que itesificas las lecturas, asistes a tu comuidad de estudio, te sirves de los asesores y aalizas la ciberiformació dispoible posicioádote de los escearios iformativos adecuados. Los periodos de evaluació so herramietas de apredizaje. La acreditació es u coseso de relació co el ivel de competecia. Maté iformado a tu tutor de tus avaces y estado de aimo. Seleccioa tus horarios de asesoria. Se recomieda al Titular Académico (estudiate) que al iiciar su actividad de dilucidació, lea cuidadosamete todo el texto guió de la asigatura. Para ua mejor facilitació, el documeto lo presetamos e tres ámbitos: 1.- Relació de las uidades, 2.- Relació de activos. 3.- Pricipia temática cosistete e iformació iicial para que desarrolles los temas. COMPETENCIA: Capacidad para coocer las diferetes formas e las que el diero se icremeta a través del tiempo, así como los tipos de descuetos, aualidades, depreciacioes, todo ello para resolver problemas prácticos. Así mismo será capaz de elaborar modelos matemáticos fiacieros que facilite la toma de decisioes. Será capaz de resolver los modelos matemáticos eligiedo las técicas cuatitativas apoyádose e herramietas computacioales para resolver las situacioes que se le presete. SUMARIO: Idetificar los elemetos básicos de las matemáticas así como compreder y aplicar el método y técica fiaciera que sea mas adecuado e la solució de problemas específicos que ivolucre ua multiplicidad de factores del área admiistrativa. CONTENIDO MATEMÁTICAS FINANCIERAS Uidad I Uidad II Uidad III Uidad IV Uidad V Iterés simple e iterés compuesto Aualidades. Amortizacioes Depreciacioes. Boos

2 ACTIVOS UNIDAD I Iterés simple e iterés compuesto I.1.- I.2.- I.3.- I.4.- I.5.- I.6.- I.7.- I.8.- I.9.- I.10.- I.11.- I.12.- I.13.- I.14.- I.15.- I.16.- I.17.- Iterés simple Relació etre el iterés comercial y el iterés real Moto de u capital a iterés simple Descueto Real, descueto Bacario Represetació grafica del iterés y del moto simple Moto a iterés compuesto Problemas de moto Problemas de capital o valor presete Valor futuro Problemas de tasas de iterés Problemas de tiempo Tiempo e que se multiplica u capital a iterés compuesto Descueto a iterés compuesto Crecimieto comparativo del moto a iterés simple co el moto a iterés compuesto. Capitalizació de itereses e fraccioes de año o tiempo fraccioario. iterese omial Relació etre tasa omial y tasa efectiva o real. Actividad: Resolució de problemas. UNIDAD II Aualidades II.18.- Itroducció II.19.- Aualidad ordiarias (ciertas simples-vecidas) II.20.- Aualidades aticipadas II.21.- Aualidades diferidas vecidas II.22.- Aualidades diferidas aticipadas II.23.- Aualidades geerales. Actividad: Resolució de problemas III.24.- Cocepto. III.25.- Tablas de amortizació. UNIDAD III Amortizació Actividad: Resolució de problemas IV.26.- Método de promedios. IV.27.- Método de porcetaje fijo. UNIDAD IV Depreciacioes

3 IV.28.- Método de líea recta. Actividad: Resolució de problemas UNIDAD V Boos V.29.- Geeralidades. V.30.- Tipos de Boos V.31.- Tasas de iterés y valor actual de los boos V.32.- Valor de los boos comprados a la fecha de pago de cupó. V.33.- Compra de boos co premio o, descueto. V.34.- Valor e libros y amortizació de prima. V.35.- Valor de los boos comprados etre fechas de pago de cupó. Actividad: Resolució de problemas ESCENARIOS INFORMATIVOS: Asesores locales Asesores exteros. Disposició e Iteret. Putualidad e itraet. Fuetes directas e idirectas. BIBLIOGRAFÍA Ayres Frak JR. 1993, Matemáticas Fiacieras, Editorial McGraw-Hill, México. pp. 230 Rivera Salcedo Jorge 1998 Matemáticas Fiacieras Editorial IPN,, México, pp. 201 Licoya Portus Govide 1999 Matemáticas Fiacieras Editorial McGraw-Hill, México. Cissel Cissel Flaspohler Matemáticas Fiacieras. Editorial CECSA, México. Díaz mata y Aguilera Gómez Matemáticas Fiacieras. Editorial.- McGraw-Hill, México. De la cueva, Bejamí Matemáticas Fiacieras. Editorial.- Porrúa, S. A. México. Media Serrao Atoio 1994 Las fucioes Fiacieras mas útiles llevadas al mudo empresarial Editorial Aaya Multimedia América, México, 225 pp.

4 PRINCIPIA TEMATICA MATEMÁTICAS FINANCIERAS I.1.- El iterés simple es ua modalidad de remueració empleada pricipalmete e las cuetas de ahorro a plazo. La remueració de u deposito a iterés simple cosiste e aboar periódicamete ua catidad de diero fija deomiada iterés, y que aboa e otra cueta distita, por ejemplo ua cueta corriete. la característica básica del iterés simple reside precisamete e la separació etre la catidad depositada pricipal y la catidad remuerada iterés. I.2.- Si hacemos Ic/Ir, calcularemos la relació existete etre ambos itereses. Esto es: Ic Ir Ci 100(360) 365Ci = =...( sacado.. quit a.. queda).. = Ci 360( Ci) 100(365) Etoces teemos que: 73 Ic = Ir... Y... Ir = Ic I.3.- Es la catidad que resulta de sumar el capital ivertido co los iterés geerados. Volviedo a uestra formula: I = M C, podemos obteer el moto simple, esto es: Si.. I = Ci,... y.. M = I + C... etoces.. M = Ci + C factorizado... M = C ( 1+ i) Ahora bie, al capital C se le cooce como valor presete o actual de ua deuda, ya que es aquel capital que co ua tasa de iterés determiada es aterior a su vecimieto. El moto es el valor calculado a la termiació de la deuda, por lo tato el valor presete estará dado por: M C = = tiempo (años), i = iterés. 1 + i

5 Calcular el moto a iterés simple para u capital de 10,000 a ua tasa de 10% e 5 años. (se deberá realizar e Excel). I.4.- Descueto: Si el que solicita u préstamo firma u formato de descueto simple o bacario, el prestamista deducirá el iterés del valor omial del documeto al pricipio, y el que solicita el préstamo recibirá el resto. Al fial del plazo del tiempo, aquel que solicito el préstamo pagara al prestamista el valor omial (catidad ates de hacerse deducible el iterés). Actualmete se tiee dos tipos de descueto; el descueto real o racioal y el descueto bacario o comercial. Descueto real o racioal (Dr) Si a ua catidad a liquidar a futuro le restamos su valor actual, determiamos u importe llamado descueto, o sea: Si... D = M C y.. teemos.. que.. M = C(1 + i) etoces... Dr = C + Ci C... Dr = Ci Nota: el descueto racioal es igual al iterés simple. (I = Dr) U clarificador firma u pagare por 20,000, el 15 de mayo de 2002, co vecimieto al 13 de agosto del mismo año y recibe solo 19, Calcular las tasas de descueto racioal y bacario, a las que fue descotado el pagaré

6 I.5.- Represetemos primero gráficamete y = mx Y y = mx + b Y Y b 0 X 0 X y = mx y = mx + b M = i + I Dode: M = y = x i = m (pediete de la recta) I = b I.6.- I.7.- Cuado u deposito se remuera a iterés compuesto, los iterés que se geera e cada período pasa a egrosar el pricipal (deposito). La cosecuecia imediata que se saca de este uevo plateamieto es que, a diferecia de lo que ocurría co el iterés simple, e u deposito remuerado a iterés compuesto los iterés que se geera e cada periodo va aumetado. Formula para obteer el moto a u iterés compuesto. Supogamos que se quiere saber cual es el moto al fial de años, si se tiee u capital de C pesos y ua tasa de iterés aual i. Capital iicial...c Iterés al fi de año...ci... Moto al fi de año...c + Ci Factorizado: C + Ci = C Capital al iiciar el 2º año... C Iterés al fi del 2º año...c i. Moto al fi del año...c + C i Factorizado: C = C 2 Capital al iiciar el 3º año... C 2 Iterés al fi del 3º año...c 2 i. Moto al fi del año...c 2 + C 2 i Factorizado: C 3 Y así sucesivamete, por lo tato el moto al eésimo año será M = C ( 1 + i )

7 Calcular el moto a iterés compuesto de u capital iicial de $ 15,000 a ua tasa de iterés aual del 5 % e u periodo de 4 años. I.8.- Si queremos hacer ua iversió que os geere ua catidad a cierto plazo, co ciertos itereses, estableciedo la catidad a la que queremos llegar (valor futuro), puedo obteer el valor actual, el cual es el capital ecesario que tego que ivertir para llegar a obteer la catidad deseada. Va = Vf (1 + i ) - Que catidad debe depositarse e u baco que aboa el 20% de iterés aual para que el saldo de la cueta al fi de 5 años sea de 2,000,

8 I.9.- Se deposita e u baco 5, 000,000 al 35% aual y se desea coocer el saldo al fial del cuarto año. I.10.- Problemas de tasas de iterés Si se abre ua cueta bacaria co u capital de ,000.00, y al fial de 5 años se obtiee u moto de , se desea saber cual es el valor de la tasa otorgada. FORMULA 1/ I = Cf 1 C I.11.- Problemas de tiempo E cuatos años u capital de 5 000, produce u moto de , si se aplica ua tasa del 40% aual. SOLUCION: M Si......(1+ i) = C Por lo tato, para despejar teemos que usar las propiedades de los logaritmos.

9 Recordado :... El..log A = log A...log AB = log A + log B A...log = log A log B B 1...log A = log A M log(1 + i) = log C log M logc log 75,000,000 log5,000,000 = = log log = = años = 8.. años dias. I.12.- Tiempo e que se multiplica u capital a iterés compuesto. Si de la formula M = C(1+ i) sustituimos el moto por dos veces el capital cosiderado que el moto e el caso que os ocupa a de ser el doble del capital, etoces teemos: Si... M = C(1 + i) y.. hacemos... M = 2C etoces...2c = C(1 + i) 2C... C = 2 = (1 + i ) log(1 + i) = log2 log2 = log Por,, lo..tato.. se. puede.. eteder.. facilmete.. que : log3 Para.. el.. triple... = log log4 Para.. el.. cuadruple :... = log y.. asi.. sucesivamete. Calcular el tiempo e que se duplica u capital cualquiera a ua tasa de 7% aual. SOLUCION: log = = = log( ) = 10.. años..2.. meses dias.

10 I.13.- Descueto a iterés compuesto Sabemos que el descueto esta dado D = M C, por lo tato, si es iterés compuesto podemos decir que: M Si... C = M Etoces... D = M D = M M D = M [ 1 (1 + I) ] Por u documeto co valor de 4 100, co vecimieto detro de cuatro años, os ha cocedido u descueto. Si la tasa de la operació es del 4% aual, cuál será el importe de dicho descueto? I.14.- Crecimieto comparativo del moto a iterés simple co el moto a iterés compuesto. Dibujemos las graficas correspodietes a u moto co u capital de a iterés simple y a iterés compuesto al 8% aual. PARA EL INTERES SIMPLE M = C(1+ i), Es ua progresió aritmética y su grafica es ua líea recta. PARA INTERES COMPUESTO. M = C(1+ i), Es ua progresió geométrica y su grafica es ua curva.

11 I.15.- Periodos de capitalizació iferiores a u año. Co frecuecia ocurre que el iterés se capitaliza varias veces al año. E el caso de las cuetas maestras por ejemplo, los itereses se liquida mesualmete. La expresió que os da el moto o el valor fial Cf de u capital C depositado durate y cuyos itereses se capitaliza q veces auales siedo el tipo de iterés omial aual i es: i Cf = Ca 1+ q * q I.16.- Tipo de iterese omial.-es el tipo de iterés aual que se aplica a ua operació. Depositamos $ remuerado al 8 % aual. Si la capitalizació ocurre mesualmete:

12 I.17.- Relació etre tasa omial y tasa efectiva o real.el mismo iterés omial puede producir distitos motos segú se capitalice mas o meos veces al año. E cosecuecia, el tipo de iterés real de la operació se calculará teiedo e cueta el iterés omial aual y el úmero de capitalizacioes auales. El capital fial o moto geerado e ua operació e la cual existe q capitalizacioes auales es : Cf = C i 1+ q * q Tipo de iterés real de la operació r será aquel que sea capaz de geerar el mismo moto Cr e ua sola composició: Cr = C * ( 1 + r ) Para averiguar la relació etre i y r (iterés omial y el real) igualamos las dos expresioes ateriores i * q C * 1+ q = C * ( 1 + r ) Co = 1 y despejado r obteemos : i q r = 1+ q - 1 Esta expresió os idica el tipo de iterés real correspodiete a u tipo omial aual que se capitaliza q veces auales. Como se puede apreciar el tipo de iterés real de ua operació depede solo del tipo omial de la operació i, y del úmero de capitalizacioes auales q.

13 Actividades 1.- Calcular el iterés simple que produce u capital de $50, e 3 años, 6 meses, 15 días al 20% aual. 2.- Calcular el iterés real y ordiario o comercial de 1 milló a ua tasa de iterés del 8%, para cobrar del 9 de julio al 1º de octubre del mismo año, a) Ambos e forma exacta. b) E forma aproximada. 3.- Ua persoa pago 2, por u pagare de 2, firmado el 10 de abril de 1993 co 4.5% de iterés simple. E cuatos días lo pagó? 4.- Determiar el valor presete de ua serie de boos cuyo moto alcaza 5, y que vece e dos meses, Cuál es el descueto racioal si se supuso ua iterés del 5%. 5.- Determiar el valor requerido o pago úico co fecha focal, a) al día de hoy, b) u año después. Co iterés simple del 6%; de ua persoa que firma u pagare de 10, que vece el día de hoy, 6 meses después se vecía otro de 20, co iterés del 7%, y ua año después se vecía otro pagare de 38, co u iterés de 9%. 6.- Ua persoa adquiere u préstamo de 9, que vece detro de 1.5 años; pero requiere pagarlos a los 2 años 1 mes y la tasa de iterés simple fue del 2% mesual, determiar el valor del uevo préstamo. 7.- Ua persoa abrió ua cueta bacaria co 200, y durate los 4 primeros años gao itereses del 10% covertible semestralmete, después de esos 4 años la tasa de iterés se elevo al 16% covertible semestralmete. Cuáto habrá e la cueta de esa persoa después de 8años de haber cambiado la tasa de iterés? 8.- El señor Galeaa teia plaeado formar u capital a 10 años, abriedo su cueta e el baco co 5 000, que le redituaría el 35% aual de itereses capitalizables semestralmete. Pero por ecesidades imprevistas tuvo que retirar 2 000, a los 6 años y medio. La señora quiere saber cuato obtedrá al fializar los 10 años que había plaeado origialmete. 9.-U señor otorga a su ieta de 8 años de edad 2 000, que deposita e el baco, co el objeto de que la jovecita al cumplir los 18 años pueda retirar el diero. Si la jovecita al cabo de cumplir los 18 años recibe , Cuál fue la tasa de capitalizació aual que gao? 10.- Ua persoa deposita 7, e ua cueta ahorros que paga el 20% â co capitalizació bimesual, e que tiempo tedrá u moto de 100,000.00? 11.- Calcular la catidad acumulada de 3 000, por 5 años y cuarto al 4% covertible mesualmete.

14 II.18.- Itroducció. Podemos defiir la aualidad como ua sucesió de pagos iguales, como lo so las retas, aboos, sueldos, etc. Las aualidades, se clasifica segú el tipo de pago e dos grupos ciertas o seguras y cotigetes. Las aualidades ciertas so aquellas e las que se cooce la fecha tato de iicio como de termiació; y las cotigetes so las aualidades e las que por algú motivo o se puede fijar algua de las dos fechas. Para su clasificació cosideramos tambié que las aualidades puede ser aticipadas o vecidas. E el primer caso es cuado el pago se hace al pricipio del periodo, y e el segudo caso es cuado se hace al fial. Represetemos e uas graficas las aualidades ciertas o seguras (que tambié recibe el ombre de aualidades a plazo). Existe además otros tipos de aualidades, etre aquellas está las perpetuidades, que dado el poco uso que estas tiee o tocaremos. ANUALIDAD VENCIDA GRAFICAS.- ANUALIDAD VENCIDA R R R ANUALIDAD ANTICIPADA R R R ANUALIDAD DIFERIDA VENCIDA R R R ANUALIDAD DIFERIDA ANTICIPADA R R R II.19.- Aualidad ordiarias (ciertas simples-vecidas). Por valor presete o actual de ua serie de aualidades se etiede el valor calculado e la época o fecha iicial de pagos de toda la serie (capital que impuesto a tasa y tiempo coocido, produce u moto determiado). ] a i = valor.. presete.. de.. ia.. serie.. de.. aualidades.. de.. u.. peso...( lease.. a.. sub.." ".. i) R = valor de la aualidad o reta. A ] i = valor.. presete.. de.. ua.. aualidad.. de.." R".. pesos. i = tasa.. de..it eres = umero.. de.. ejercicios..( tiempo V N = Valor presete de u peso e R periodos, o factor de descueto. M ] i = Moto de la aualidad. Deducció de la formula del valor presete de ua serie de aualidades cualquiera que sea el importe de sus pagos. Esta formula se puede deducir de dos maeras diferetes: a) Tomado como base ua serie de aualidades cuyo valor de los pagos asciede a la catidad de u peso.

15 De.. la.. formula.. M = C(1 + i) M despejamos.." C",... C = Ahora bie, si hacemos que M = 1, etoces, C = 1, por lo tato: de 1 1 = 1 = 1 Sustituyedo el valor de u peso por el valor presete de u peso e R periodos ( V ), os queda: V = El factor se llama factor de descueto y os permite calcular el valor presete u capital. Si el valor presete de ua serie de aualidades de u peso lo hemos llamado a ] y ese valor presete es igual a la suma de los valores presetes o actuales de u peso e cada ua de las aualidades o pagos de que se compoe la serie, podemos escribir la siguiete igualdad: a i ( 1) = La igualdad que os ocupa es ua progresió geométrica descediete cuya razó es -1, puesto que: (1 + i ) -1-1 = -2 (1 + i ) -2-1 = -3 * * * * * * * * * ( 1) -1 = ( 1)-1 = Si embargo, para mayor facilidad de calculo, podemos ivertir el orde de los sumados si alterar el valor de la igualdad y obteer ua progresió geométrica ascedete de razó 1, Esto es: a ] i ( 1) ( 2) 3 2 = (1 + i ) 1 Calculemos la suma de los térmios de esta progresió, haciedo uso de la formula respectiva. S = a( r 1) r 1 Efectuado las sustitucioes de acuerdo co los térmios de uestra igualdad, teemos:

16 a ] i 1 = i Si ahora cosideramos la posibilidad de que el valor de los pagos sea de R e sustitució de $ 1.00, etoces la formula geeral queda: Ra ] i 1 = R i Pero que A, es el valor presete de ua aualidad de R pesos. 1 Dode... A = R i o,.. bie... A...(1) ] = Ra ]...(2) i i Para la expresió (1), utilizaremos la calculadora Para la expresió (2), utilizaremos las tablas fiacieras. Ivestigar; Calculo del tiempo e fució del valor presete, Calculo de la reta, Calculo de la tasa de iterés, calculo del moto. EJEMPLO: Cual será el valor de u préstamo que os haría el día de hoy para pagar co 4 letras de 3, 500, cada ua, de vecimietos escaloados de u año y al fi de cada año trascurrido a la fecha de operació al 30 % aual? SOLUCION: DATOS i = 0.30 R = = 9 AÑOS A =? A = 3,500,000 9 [ 1 (1.30) ] = 10,566, II.20.- Aualidades aticipadas. Ua aualidad aticipada es aquella que se cubre al comiezo de cada periodo. Observemos el siguiete diagrama, e dode se puede apreciar co claridad la diferecia etre ua aualidad vecida co ua aualidad aticipada, y e el que se supoe el pago de alguas aualidades ordiarias, e comparació co alguas aualidades aticipadas: R R R R R R R ( 3) ( 2) ( 1) N Aual Ord. R R R R R R R Aual ati.

17 Se puede advertir que e la aualidad ordiaria, la primera aualidad se paga al fial del primer periodo, mietras que e las aticipadas se paga imediatamete al iiciarse el plazo, Esto trae por cosecuecia que el pago de la ultima aualidad ordiaria coicida co la termiació del tiempo, razó por la cual o devega itereses y que su iversió se haga solamete para completar el moto de la serie. E cambio cuado las aualidades so aticipadas, la ultima de ellas se paga al pricipio del ultimo periodo, por lo que esta si causa itereses. Así podemos establecer ua equivalecia etre ambas aualidades, ya que como se puede observar e la siguiete grafica, que el último pago de ua aualidad vecida para que coicida co el último pago de la aticipada se tedrá que iiciar e el periodo (- 1). (Vecida) R R R R R (Aticipada) R R R R R Obsérvese, que la fecha focal es ( 1) y o. Formula del valor presete: Cosideremos que suprimimos el primer pago R de ua aualidad aticipada, por lo que tedremos ua aualidad vecida y o aticipada, solo que durate ( 1) periodos, por lo tato su valor presete será: A = Ra 1] i Que es el equivalete a ua aualidad vecida pero que termia e ( 1) y o e. Ahora bie tomado como fecha focal la fecha iicial podemos otar que el primer p ago se hace efectivo puesto que es aticipado, por lo que podemos platear la siguiete equivalecia: A = Ra 1 ] + R i Dode la seguda R es, de hecho, el primer pago que se había suprimido. [ ] ] A = R a 1 +1 i Dode (a -1 i + 1) es el valor presete de ua serie de aualidades de u peso de ua aualidad aticipada- Tambié podemos hacer lo siguiete: ( 1) 1 A = R + 1 i Formula del moto. El moto de la ultima aualidad ordiaria es R, mietras que la ultima aualidad aticipada se covierte e u moto de: R. Es decir. El moto de las aualidades ordiarias es igual al valor actual e u periodo, del moto de las aualidades aticipadas. Tomado e cueta lo aterior: Moto de la aualidad ordiaria..m = Rm i Moto de la aualidad aticipada m = Rm i.

18 (1 + i) M = R i Si... = m+ 1 i i Por lo tato la formula aterior se puede escribir de la siguiete maera: M + 1 ( 1) = R M 1 i 1 1 De la formula del valor presete y del moto, despejamos el tiempo. a) Del valor presete: = R(1 + i) log R(1 + I) Ai log b) Del moto: Mi + R(1 + i) log R(1 i) + = log EJEMPLO: Ua persoa que hace su testameto, idica el seguro que imediatamete después de morir, le sea etregado a sus herederos la catidad de 25,000, mas 3 aualidades (ecesariamete por la misma catidad), mismas que les será etregadas al pricipio de cada año. Los beeficiarios quiere saber cuato recibirá si el diero se les etregara todo si esperar los 3 años que idica el testameto, y si la tasa de redimieto e ese mometo es de 15 % aual. II.21.- Aualidades diferidas vecidas. Aualidad diferida: Si ua aualidad vecida o aticipada se iicia cuado ha trascurrido algú tiempo, e el que o se efectúa igua codició e la aualidad, etoces decimos que su pago se ha diferido. E este tipo de aualidades aotaremos

19 dos tiempos, uo diferido K y oto de pago, mismos que hay que determiar co cuidado y co el auxilio de u diagrama para poder visualizar e dode se coloca el valor presete y las retas de la aualidad de que se trata. Valor presete Cuado el primer pago se efectúa al fial de K periodos, se observa que la aualidad se ha diferido (K 1) periodos. E el siguiete diagrama se muestra ua aualidad vecida diferida K periodos. Periodo diferido R R R R R K-1 K K+1 K+-1 K+ A A i Ahora bie, si cosideramos el valor presete (A) e la fecha iicial (0), etoces se capitaliza itereses al trasportar el valor presete (A) los K periodos, por lo cual podemos escribir. Dode: K es el itervalo N es el tiempo de pago a partir de K O sea que = (K + ) K A = F(1 + i) K A Podemos obteer ua formula equivalete a la aterior, pero desde otro puto de vista. Aprovechado el diagrama aterior, podemos calcular los valores presetes como ua diferecia etre dos aualidades o diferidas, esto es: Primero.- Si colocamos el valor presete e cero y tomamos a como K +, etoces: A ' = Ra K + ] i i Segudo.- Si colocamos el valor presete e cero y tomamos K periodos, etoces: A '' = Ra K ] i Tercero.- El valor presete será, como habíamos dicho: A = A A De dode A diferida K periodos es: A ( a ] Ra ]) = R k + i k i El motote las aualidades diferidas es igual al moto de las aualidades ordiarias, solo que hay que cosiderar el tiempo e que se aplaza el primer vecimieto. Trataremos de eteder este cocepto, a través del siguiete ejemplo.

20 EJEMPLO: E ua istitució de crédito que aboa el 2.5% mesual, se hace depósitos de 500, cada fi de mes durate 3 años. Calcular el moto que tedrá 5 años después de haber efectuado el ultimo depósito. Solució: Esta aualidad es vecida, así que el moto se calcula co la formula: ] i Rm ] i M = Pero obsérvese que dicho moto viee siedo el capital iicial después de K periodos, K = 60, por lo tato haremos lo siguiete: M = C(1 + i) dode.. = k..( fecha.. focal C = M ] = Rm ] i i k ] i M = Rm Luego.. etoces : K = 5(12) = = 3(12) = i = R = 500, Dode : M = 500,00m36 ] (1.025) De la TABLA II se tiee que: m = M = 500,000( )( ) M = 126,057, II.22.- Aualidades diferidas aticipadas. Valor presete: Para poder demostrar la formula del valor presete de ua aualidad aticipada diferida, os valdremos del siguiete diagrama. PERIODOS K - 1 K K + 1 K + 2 K +-2 K +-1 K + Reta R R R R R Valores actuales: R R R R R K (1+i) k+1 (1+i) k+2 (1 + I) K+-2 K+-1 Para mayor facilidad de cálculo ivertimos el orde de la progresió y sumamos. Esto es: A R R R = k + 1 k + 2 k + 1 R + k Esta progresió, como puede verse, es de orde creciete cuya razó es

21 1 (1 i) = (1 + ) i 1 + Así que, aplicado la formula de la suma e ua progresió geométrica, se tiee: MONTO: S S a( r 1) = r 1 R k + 1 = A = 1 1 A = R k i(1 + i) 1 [( 1+ i) 1]... simplificado... Cosiderado uevamete que durate el tiempo diferido o se efectúa igua codició e la aualidad, etoces el moto de la aualidad diferida aticipada es igual al moto de la aualidad o diferida o aticipada, así que para su calculo establecemos ua ecuació de equivalecia utilizado la fecha fial como fecha local. Esto es: Sea... M = C(1 + i) Dode... M + 1] i y... = K k Dode... M = y.. como.. M 1) + 1 i M + 1] i ] = R( M ] + 1 i Etoces.. se.. tiee.. M = R( M k + 1] 1)(1 + i) i EJEMPLO: Que capital habrá que depositar e ua istitució de crédito para dispoer de 10,000, pagaderos al pricipio de cada año durate 4 años a partir de 3 años de la fecha del depósito si dicha fiaciera aboa el 28% aual.

22 II.23.- Aualidades geerales. Se cosidera aualidades geerales aquellas e las que el periodo de capitalizació o coicide co el periodo de pago. Para resolver problemas de casos de aualidad geeral es ecesario modificar o hacer que coicida los pagos o los periodos de capitalizació, ajustádolos de maera que se pueda usar las formulas ya coocidas de aualidades secillas. Para poder covertir las aualidades geerales secillas podemos hacer lo siguiete: a) Covertir la tasa de iterés dada a ua tasa equivalete para que coicida el periodo de pago co el de capitalizació. b) Ecotrar el pago o reta equivalete para que coicida co la fecha de capitalizació. Aalicemos dos casos: 1) El periodo de pago es mas largo que el de capitalizació 2) El periodo de capitalizació es mas largo que el pago. Para el caso e el que el periodo de pago es mas largo que el de capitalizació, la tasa equivalete se calcula co: i = m / p [ 1+ j( m) ] 1 Para el caso e el que el periodo de capitalizació es mas largo que el periodo de pago, la tasa equivalete se calcula co: Dode: P = periodo de pago m = periodo de capitalizació. j( m) = Observació: El decir que el periodo de pagos es mas largo que el de capitalizació, o sigifica lo mismo que decir que p>m, ya que, puede suceder que p< m y el periodo de pagos seguir siedo mas largo que el de capitalizació. EJEMPLO: Obteer el moto de 100, e 6 pagos trimestrales, si el iterés es de 40% covertible mesualmete. Lo podemos resolver de dos maeras: a) Haciedo la tasa de iterés equivalete: b) Haciedo la reta equivalete: p / m 1

23 Actividades: 1) Hallar el moto de ua aualidad de 200, mesuales durate 2 años 3 meses al 30% covertible mesualmete. 2) Ua mujer de egocios evía a su hijo a otra ciudad, y le asiga u presupuesto mesual de 800, Para evitar frecuetes remesas de diero hace u solo depósito e ua cueta bacaria que devega itereses del 3% mesual. Cuáto deberá depositar para cubrir el presupuesto de u año, si el primer retiro lo hace su hijo al termio del primer mes. 3) El dueño de ua tieda de abarrotes piesa reuir 100 mil pesos para poder jubilarse, y quiere saber e cuato tiempo lograra tal catidad, si hace depósitos mesuales de $ e u baco que otorga u iterés de 3.5% mesual. 4) Ua persoa hereda , y los ivierte al 30% aual capitalizable semestralmete, coviiédose que recibirá 20 pagos semestrales iguales debiedo recibir el pago iicial detro de 5 años. Ecotrar a cuato asciede la aualidad. 5) Se pretede saber cual es el valor de las retas mesuales aticipadas que sustituiría a retas semestrales, tambié aticipadas de , Si se tiee ua tasa del 35% de iterés covertible semestralmete. III.24.- Amortizació. Podemos cosiderar que el termio amortizar es la extició gradual de ua deuda mediate pagos R periódicos, es decir realizados e itervalos de tiempos iguales que comprede el iterés y ua parte del capital total. Recordemos que la parte de la deuda o pagada e cierta fecha, se le cooce como capital isoluto. Dicho capital al iicio del plazo es la deuda origial. Ahora bie, para poder llevar u registro que idique tato el capital pagado, como los itereses y el saldo al pricipio de cada periodo, formularemos ua tabla llamada; Tabla de amortizació. Dicha tabla se podrá llear de la siguiete maera: a) Se ecuetra el úmero de pagos ecesarios para amortizar la deuda. b) Se calcula el valor de los pagos R, que costituye ua aualidad cuyo valor presete es el capital isoluto al iicio del plazo. c) Obteer el iterés sobre saldos ó capital isoluto. L diferecia de los pagos R co iterés vecido será el capital pagado al fial del periodo, que e cosecuecia dismiuirá tato la deuda como el iterés, y por ede, la catidad destiada para dismiuir la deuda aumeta e cada periodo. EJEMPLO: Ua deuda de , co iterés del 40% covertible semestralmete, se va a amortizar mediate pagos semestrales iguales e los próximos cuatro años, el primero co vecimieto al termio de 6 meses.

24 III.25.- Tablas de amortizació. CONSTRUCCION DE LA TABLA Podemos observar e la tabla que: Suma del pago periódico = suma del capital pagado + suma de itereses Ahora bie, si queremos calcular el capital isoluto al fializar u periodo determiado, lo podemos hacer co la siguiete formula. k ] i C = Ra Dode: es el tiempo e que se debe de amortizar la deuda. k es el tiempo al fializar el periodo coveido.

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