Funciones: Límites y continuidad.

Transcripción

1 Límites finitos de sucesiones. Funciones: límites y continuidad Matemáticas I Funciones: Límites y continuidad. + Decimos que una sucesión numérica ( ) n= tiene por límite r R y se escribe =r o de forma abreviada r cuando para cadúmero real ϵ> un número natural n tal que r <ϵ para cad n # Ejemplo.- La sucesión de término general = 2n n+ tiene por límite 2, ya que para cadúmero real ϵ> un número natural n tal que r <ϵ para cad n Por ejemplo, si tomamos ϵ=,, resolviendo la inecuación 2 n n+ 2 <ϵ n+ 2 <ϵ 2 n+ <ϵ n> 2 ϵ+ =999 Luego, para cualquier n > 999 se cumple la desigualdad r <, En la mayoría de las sucesiones de límites finitos, de forma intuitiva podemos calcular el límite de una sucesión estudiando su comportamiento mediante una tabla de valores. # Ejemplo, en la sucesión dada en el ejemplo, se cumplirá n + = 2n n+,88...,982, , # Ejemplo.- El límite de la sucesión c n = 3 +4 =, para ello basta con que hagamos una tabla de valores, de la cual se deduce que c n = n + c n = 2n n+,6,288,3,..., Si y b n son dos sucesiones de números reales tal que =P y b n =Q, entonces se cumplen las siguientes propiedades aritméticas de los límites: lím n ( +b n )=P+Q lím n ( b n )=P Q lím n (. b n )=P.Q

2 Funciones: límites y continuidad Matemáticas I 2 Si Q ;lím n( b n) = P Q Para el cálculo de límites de muchas sucesiones son útiles las propiedades aritméticas de los límites, que el el caso de que el término general sea una fracción algebraica de variable n, es decir de la forma = P(n) Q(n) n h ( h=mínimo( grado P, grado Q) ) ( P y Q polinomios ), dividiendo el numerador y el denominador por # Ejemplo.- Para calcular el límite de la sucesión = 4 n2 +n +, si dividimos por, el numerador y el denominador del término de la sucesión, utilizando las propiedades epuestas anteriormente, tenemos = 4 +n + 4 n 2 n + n 2 = + Limites más y menos infinitos de una sucesión definición 4+ n = + = =4 El límite de una sucesión, también puede ser + y, mediante la siguiente + Decimos que una sucesión numérica ( ) n= tiene por límite + y se escribe =+ o de forma abreviada + cuando para cadúmero real positivo K un número natural n tal que >K para cad n + Decimos que una sucesión numérica ( ) n= tiene por límite y se escribe = o de forma abreviada cuando para cadúmero real positivo K un número natural n tal que <K para cad n Sin embargo, como sucede con las sucesiones de límites finitos, en la mayoría de las sucesiones de límites infinitos, de forma intuitiva podemos calcular el límite de una sucesión estudiando su comportamiento mediante una tabla de valores. También, para el cálculo de límites son útiles las propiedades aritméticas de los límites.

3 Funciones: límites y continuidad Matemáticas I 3 # Ejemplo.- El límite de la sucesión =5. =+, para ello basta con que hagamos una tabla de valores, de la cual se deduce que = n + = # Ejemplo.- Para calcular el límite de la sucesión = 4n3 +n +, el numerador, tenemos, si dividimos por = 4 n 3 +n + 4 n 3 n + n 2 = + Límites finitos para un valor finito de una función 4n+ n = + = Si I es un intervalo de la recta real, tal que ni ni + sean etremos de I, c es un punto del intervalo I (o de sus etremos) y sea f : I R es una función real. Decimos que el límite de (finito), cuando tiende c, y se escribe lim c f ( )=L f tiene a L si para cualquier intervalo abierto (entorno) H f ( I ), eiste un intervalo (entorno) I, f ( ) f (I ) Utilizando notación matemática: J I, tal lim c f = L cuando tal que: f L c # Ejemplo.- Si f =2. 3 se cumple que lim 2 2 3= puesto tal que f = 2 3 = 2 4, como se cumplirá 2 +4<ϵ y 2 4<ϵ será 2 2 = definición Luego, si tomamos = 2, se cumple la

4 Funciones: límites y continuidad Matemáticas I 4 Sin embargo, en muchas ocasiones de forma intuitiva (dando valores a cercanos al punto c) podemos deducir el lim c f ( ) # Ejemplo.- El lim 2 2 =4, ya que, para ello basta con que hagamos una tabla de valores y tomemos valores de próimos a 2 ( deduce dicho límite por la izquierda y por la derecha ) de la cual se,9,99,999, ,6 3,96 3,996 3, , 2, 2, 2, ,4 4,4 4,4 4, La definición de límite se puede etender al infinito, si tomamos ó o si tomamos L= ó L=, y teniendo en cuenta que en el infinito los intervalos son de la forma (, r) o (r,+ ), podemos definir de forma general lim c f = L tal y como se resume en la siguiente tabla lim c f = L L= L R L= c= c R c= t R, s R / f t s t R, / f t c t R, s R /, s R / f L s, / f L c, s R / t R, s R / f t s t R, / f t c t R, s R / f t s f L s f t s # Ejemplo.- La función f = tiene lim =, puesto que tal que f = cumple la definición. =, será =s. Luego, si tomamos s= se

5 Funciones: límites y continuidad Matemáticas I 5 Sin embargo, al igual que pasa con los límites finitos, en muchas ocasiones de forma intuitiva podemos deducir el lim c f ( ) # Ejemplo.- El lim 2 =+, ya que si tomamos una tabla de valores y observamos su comportamiento cuando Luego, lim 2 =+ Otra posible definición, utilizando sucesiones es la siguiente Una función f tiene por límite L en =u, si para toda sucesión de valores n u, del dominio de f, que tenga por límite u, la sucesión de los valores correspondientes f n tiene por límite L. Teniendo en cuenta que u puede ser un número real, o, y también puede ser L un número real, o. Esta última definición, la podemos utilizar para calcular los límites laterales de f en un punto c, cuando nos aproimamos a c por la izquierda y por la derechas respectivamente, y que denominamos lim c - f y lim c + f # Ejemplo.- Dada la función f = 2, para calcular los límites laterales en =2, podemos definir las sucesiones que tienden a 2, por la izquierda y derecha respectivamente dadas por,9;,99;,999;,9999; 2,; 2,; 2,; 2, ; Y podemos obtener Límite por la izquierda Límite por la derecha,9,99,999, , 2, 2, 2,... f(),9 2,99 2,999 2, f(),9 2,99 2,999 2, Que se observa que en ambos caso f() tiende a 4, cuando tiende a 2 Si L=lim c f, se cumple lim c - f =L=lim c + f. Luego, este resultado lo podemos utilizar para ver que una función f, no tiene límite en un punto c, si encontramos dos límites laterales distintos.

6 Límites indeterminados. Decimos que lim c Funciones: límites y continuidad Matemáticas I 6 f es un límite indeterminado, si al intentar calcular el límite como operación o composición de límites obtenemos en términos de límites epresiones de la forma ; ;. ; ; ; ; En el caso de límites indeterminados si eisten, no se pueden calcular directamente, si no que se debe de transformar la epresión previamente. # Ejemplo.- Para que valores el límite de la función f = 4 2 indeterminado?. Calcula lim f. es un límite El límite es indeterminado para los valores en los que se anula el denominador, es decir para = y =, ya que en estos casos se obtiene un límite de la forma lim f =lim 4 2 =lim f =lim 4 2 = lim f =lim 4 2 =lim f =lim 4 2 =, por ser Sin embargo, a pesar de ser lim f para = un límite indeterminado, como Se cumple 4 2 = 2. 2 = 2 2 lim f =lim 4 2 =lim 2 = 2 =2 Límites polinomios, funciones racionales y funciones irracionales En el caso de los polinomios de la forma P ()= n + n + +a a +a para cualquier c R, se cumple lim c P( )= c n + c n + +a a c+a Si >, se cumplirá lim P( )= { si n es impar + si n es par } lim + P( )=+ Si <, se cumplirá lim P( )= { + si n es impar si n es par } lim + P( )=

7 Funciones: límites y continuidad Matemáticas I 7 # Ejemplo.- lim 2 3 +=2( ) 3 ( )+= En el caso de fracciones algebraicas de la forma polinomios de grado m y n respectivamente. f ()= P () Q( ) con P() y Q() dos Los puntos en los que se anule el denominador, serán puntos en los que no eiste el límite o puntos de indeterminación del límite, salvo que la fracción se pueda simplificar y se pueda calcular el límite. Y en el caso de límites de la forma, dividiendo el numerador y denominador por min(m,n) posiblemente indeterminación. (aplicando las propiedades algebraicas de los límites) desaparecerá la # Ejemplos.- Como lim es de la forma. Teniendo en cuenta que lim - lim = y lim + =+, no eiste Como lim f ( )=lim 4 2 es de la forma, pero como 4 2 = 2. 2 = 2, se cumple lim 2 f ( )=lim 2 += 2 +=2 Como lim f ( )=lim es de la forma + +, dividiendo el numerador y el denominador por 2, se cumple lim f ( )=lim =4 En el caso de funciones irracionales la forma f ()= P( ) con P() un polinomio, las indeterminaciones de la forma o, se suele multiplicar por la epresión radical conjugada, y en ocasiones desaparece la indeterminación.y en el caso de límites de la forma, en funciones de la forma f ()= P( ) Q( ) con grado P=m y gradoq=n, dividiendo el

8 numerador y denominador por los límites) desaparecerá la indeterminación. Funciones: límites y continuidad Matemáticas I 8 # Ejemplo lim + =lim + min ( m 2, n ) posiblemente (aplicando las propiedades algebraicas de = Funciones equivalentes. Límites de funciones trigonométricas. Teniendo en cuenta que las funciones trigonométricas son periódicas, epondremos algunos ejemplos de límites de funciones trigonométricas que nos pueden ser útiles para el cálculo de otros límites o de funciones derivadas sen # Ejemplo.- lim =, ya que teniendo en cuenta que en un entorno de, se cumple ( ver figura ) sen <<tg < sen < tg sen > sen >cos Y teniendo en cuenta que Se cumplirá lim cos = sen lim >lim >lim cos = Luego sen lim = Diremos que dos funciones f () y g() son equivalentes en un punto =u si lim f ( ) g ( ) = # Ejemplos.- sen sen y son equivalentes en =, ya que lim = Utilizando las funciones equivalentes en un punto podemos resolver algunas indeterminaciones, pues por ejemplo como sen 6 6 en =, se cumplirá lim =lim 6 6 =6 sen 6 y 6 son funciones equivalentes

9 # Ejemplo.- lim cos Continuidad en un punto Funciones: límites y continuidad Matemáticas I 9 2( 2 sen =lim 2) = 2 = lim sen( 2) ( 2) sen =lim 2( 2)( 2) = lim 2 Decimos que la función f es continua en un punto c, cuando eiste lim c f y se cumple lim c f = f c. = # Ejemplo.- La función f =, no es continua en =, ya que en este punto ni está definido f, ni eiste el límite. Continuidad lateral. Continuidad en un intervalo. Continuidad lateral. Decimos que la función f es continua por la izquierda en el punto c, cuando eiste lim c - f y se cumple. lim c - f = f c Decimos que la función f es continua por la derecha en el punto c, cuando eiste lim c + f y se cumple. lim c + f = f c # Ejemplo.- La función f =[ ] (parte entera de ), es continua por la derecha en =, pero discontinua por la izquierda, ya lim - f = f = lim + f = f =

10 Funciones: límites y continuidad Matemáticas I Continuidad en un intervalo. Decimos que la función f es continua en un intervalo a, b si lo es en cada uno de sus puntos. Y decimos que la función f es continua en un intervalo [a, b] si lo es en cada uno de sus puntos de a, b, y además, es continua por la derecha en a y por la izquierda en b. # Ejemplo.- Si observamos las gráficas de las funciones f = 2, g =, h=[ ], vemos que f es continua en cualquier intervalo real, g no es continua en [,], ya que g no está definida en =, y la función h tampoco es continua en el intervalo [,2], puesto que es discontinua en =. f g h Discontinuidades. Teniendo en cuenta, que si una función f está definida en el entorno simétrico de un punto c, entonces f es continua en =c lim c f = f c. Una función es discontinua en un punto =c cuando se cumple una de las dos condiciones siguientes lim c f f c o lim c - f lim c + f Discontinuidad evitable. Decimos que la función f tiene una discontinuidad evitable en =c, cuando eiste lim c f y lim c f f c. Al valor lim c f, lo denominamos valor verdadero de la función en =c. # Ejemplo.- La función f ={ 2 si tiene una discontinuidad evitable en si =} =, de valor verdadero lim f = Discontinuidad inevitable. Decimos que la función f tiene una discontinuidad inevitable en =c, cuando eisten lim c - f ;lim c + f y se cumple lim c - f lim c + f. Al valor

11 infinito. Funciones: límites y continuidad Matemáticas I lim c + f lim c - f se le denomina salto de la función f en el punto =c, y puede ser finito o si # Ejemplo.- La función f si = ={ si } inevitable en =. El salto de la función en = es 2. es una función de discontinuidad # Ejemplo.- La función es f = es una función de discontinuidad inevitable en =. El salto de la función = es.