Práctica nº 1. En esta práctica los alumnos deberán afianzar los conocimientos sobre el cálculo de errores.
|
|
- Javier Pérez Miranda
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Práctica nº 1 El objetivo de esta práctica es que los alumnos aprendan a utilizar los conceptos de teoría de errores adquiridos en el tema 2 relativos a medidas pesadas y ponderadas. En esta práctica los alumnos deberán afianzar los conocimientos sobre el cálculo de errores. Media ponderada y peso Como sabemos, la media es el valor más probable de una serie de medidas siempre que hayan sido realizadas con la misma precisión. Sin embargo, en el caso de que las medidas se realicen con distintas precisiones, a consecuencia de utilizar diferentes aparatos, habrá que aplicar la media ponderada. En el primer caso, el valor más probable será: Mientras que en el segundo es: VMP = ( m i ) / n VMP = ( p i mi) / p i Siendo p i el peso de cada valor m i, sabiendo que los pesos son inversamente proporcionales a los cuadrados de la desviación estándar de la media s m. Ejemplo 1 Calcular la media ponderada de un ángulo medido con diferentes aparatos sabiendo que los resultados obtenidos son los siguientes: Solución Aparato Medidas realizadas Valores obtenidos e m c = s A 5 144º 22 57,9 ± 2 B 4 144º 22 58,8 ± 4 C º 22 59,4 ± 3 La desviación estándar de la media y sus respectivos pesos serían: Aparato s m Peso Peso = 1* A 2 / (5) 0,5 = 0,894 1 / (s ma ) 2 = 5 / 4 4 (5 / 4) = 5** B 4 / (4) 0,5 = 2 1 / (s mb ) 2 = 1 / 4 4 (1 / 4) = 1 C 3 / (15) 0,5 = 0,775 1 / (s mc ) 2 = 5 / 3 4 (5 / 3) = 6,7*** Nota: * = Igualamos uno de los pesos a 1; ** = El aparato A es 5 veces más preciso que el B; *** = El aparato C es 6,7 veces más preciso que el B.
2 El valor pedido de la media ponderada correspondiente a los segundos de cada valor angular, a consecuencia de ser iguales los grados y los minutos, es: VMP = [{(57,9 5) + (58,8) 1 + (59,4) 6,7} / { ,7}] = 58,8 O lo que es lo mismo: VMP = 144º 22 58,8 Ejemplo 2 (ejercicio del examen final del primer parcial realizado el 02/07/2012) Mediante técnicas fotogramétricas, y sobre fotografías aéreas, se ha podido determinar la diferencia de altura entre picos de una cadena de montañas, obteniéndose los siguientes resultados: Diferencia de altura (m) Peso de la medida Desde Pico A al Pico B 43,2 1 Desde Pico B al Pico C 31,7 1 Desde Pico C al Pico D 25,9 1 Desde Pico D al Pico A -100,4 1 Desde Pico B al Pico D 56,8 2 Sabiendo que la altura real del Pico A es de 1.343,1 metros, calcular la altura de los restantes Picos que conforman la cadena de montañas si debe cumplirse que: Solución F = Peso i (residuo i ) 2 sea un mínimo; con i = 1, 2, 3, 4, 5. Analizando el enunciado observamos varias cosas interesantes. En primer lugar, en cuanto al número de variables se refiere, vemos que tenemos un total de dos, a saber, altura real (que indicaremos con letra mayúscula) y diferencia de altura (que denotaremos con letra minúscula). Según esto, y dado que nos dan como dato la altura real al punto A, así como la diferencia de altitud a éste u otro punto, podemos escribir: A = A + a que, a consecuencia de que la diferencia de altura de A a A es cero, queda como A = A. B = A + b // C = A + c // D = A + d // A = D d // D = B + c - b. En segundo lugar, y mediante la aplicación de la teoría de errores, sabemos que el residuo e i o r i es igual a la diferencia entre el valor más probable de la medida VMP i y el propio valor de la medida m i, esto es: e i = r i = VMP i - m i. Sin embargo observamos en la tabla de datos expuesta al principio del problema, que sólo tenemos una medida de diferencia de altura cada dos puntos, motivo éste que hace que tengamos que considerar cada uno de dichos valores como el VMP de cada uno de
3 los diferentes residuos existentes. Es por ello que el valor a calcular, en primera instancia, será el correspondiente al incremento de altitud (que coincide con el valor de m i de cada residuo). Dicho valor m i, con i = 1,.., 5 (ya que tengo cinco filas de datos), vendrá expresado de la siguiente forma: m 1 = b a como a = 0 m 1 = b. m 2 = c b // m 3 = d c // m 5 = d b. m 4 = a d como el incremento de altitud es negativo, y con el fin de que todos los valores calculados salgan positivos, es equivalente a decir m 4 = d a = d. De esta manera, en este tipo de ejercicios, bastará con plantear las ecuaciones de los residuos, las cuales quedarían como sigue teniendo presente lo indicado líneas arriba: r 1 = 43,2 b // r 2 = 31,7 (c b) // r 3 = 25,9 (d c) // r 4 = 100,4 d // r 5 = 56,8 (d b) Posteriormente, y con el fin de facilitar el cálculo, se realiza una simple tabla con los datos procedentes de las ecuaciones de residuos, así como con el peso correspondiente a cada valor de incremento de altitud: Peso b c d Término ind , , , , ,8 Llegados a este punto se obtienen las ecuaciones normales siguiendo los pasos especificados a continuación: 1) Para cada incógnita (b, c y d en nuestro caso) y siempre por filas, se multiplica el peso y el coeficiente de dicha incógnita por cada uno de los valores de la fila distintos de cero. En el presente ejercicio, la incógnita b aparece tres veces con valores no nulos, por lo que: 1 (-1) (-1) b + 1 (-1) 43,2 = 0 para la primera fila b (-1) c ,7 = 0 para la segunda fila b (-1) d ,8 = 0 para la tercera fila. 2) Se suman las ecuaciones obtenidas para la incógnita especificada, siendo el resultado del paso anterior, tras simplificar, el que sigue: 4b c 2d + 102,1 = 0 esta es la primera ecuación normal.
4 3) Se hace lo mismo para el resto de las incógnitas, obteniéndose las otras dos ecuaciones normales: - b + 2c d 5,8 = 0 esta es la segunda ecuación normal. -2b c + 4d 239,9 =0 esta es la tercera ecuación normal. Una vez obtenidas las ecuaciones normales, procederemos a resolver el sistema de ecuaciones: 1ª ecuación 4b c 2d + 102,1 = 0 2ª ecuación - b + 2c d 5,8 = 0 3ª ecuación -2b c + 4d 239,9 =0 Para su resolución, podemos despejar b de la 2ª ecuación: b = 2c d 5,8 Sustituyendo dicho término en la 1ª y 3ª ecuación obtenemos: 1ª ecuación 8c 4d - 23,2 c 2d + 102,1 = 0 = 7c 6d + 78,9 3ª ecuación -4c + 2d + 11,6 c + 4d 239,9 = 0 = -5c + 6d 228,3 Si restamos ambas ecuaciones nos queda: 0 = 2c 149,4 c = 74,7 m. Sustituyendo ahora dicho valor en la 1ª ecuación: 0 = 7c 6d + 78,9 0 = -6d + 601,8 d = 100,3 m. Y, por último, sustituyendo c y d en b = 2c d 5,8 : b = 149,4 100,3 5,8 b = 43,3 m. Según esto, las alturas reales de cada uno de los puntos serán, mediante la aplicación de las ecuaciones expuestas al principio del ejercicio, las siguientes: A = A = 1.343,1 m. (dato). B = A + b = 1.343,1 + 43,3 = 1.386,4 m. C = A + c = 1.343,1 + 74,7 = 1.417,8 m. RESULTADO D = A + d = 1.343, ,3 = 1.443,4 m. A = D d = 1.443,4 100,3 = 1.343,1 m. (dato). D = B + c b = 1.386,4 + 74,7 43,3 = 1.417,8 m.
5 Además, en este momento, y no antes (ya que teníamos que calcular el valor de cada diferencia de altitud), podemos calcular los residuos correspondientes a cada una de las cinco medidas realizadas, y que como podemos observar son, en este caso, distintos de cero: r 1 = 43,2 b = 43,2 43,3 = -0,1 m. r 2 = 31,7 (c b) = 31,7 (74,7 43,3) = 0,3 m. r 3 = 25,9 (d c) = 25,9 (100,3 74,7) = 0,3 m. r 4 = 100,4 d = 100,4 100,3 = 0,1 m. r 5 = 56,8 (d b) = 56,8 (100,3 43,3) = -0,2 m. Tras finalizar el ejercicio, y tal como se ha visto en clase de teoría, podemos llegar a las siguientes conclusiones: a) En topografía es muy difícil obtener el valor exacto de una medida a consecuencia de los errores presentes en los propios instrumentos topográficos. Lógicamente éstos se pueden ver incrementados por otros tipos de errores, motivo por lo que habrá que tomar las medidas oportunas para que la medición se realice en aquellas condiciones que los minimicen. b) A consecuencia de lo anterior podemos decir que el residuo de una medida no tiene por qué ser cero, pudiendo ser una barbaridad realizar tal consideración en función, entre otros motivos, del tipo de instrumento utilizado para medir. En el caso que nos ocupa, si se hubiese considerado que los residuos son nulos, sin tener además presente la precisión de la medida efectuada a través del peso, los resultados hubieran sido: r 1 = 43,2 b = 0 b = 43,2 m. B = A + b = 1.386,4 m. r 2 = 31,7 (c b) = 0 c = 74,9 m. C = A + c = m. r 3 = 25,9 (d c) = 0 d = 100,8 m. D = A + d = 1443,9 m. aparentemente correctos, pero lógicamente carentes de precisión (pudiéndose pensar incluso que se podido producir una manipulación de los datos), sobre todo si se nos encarga su cálculo de cara a la realización de grandes obras civiles. Las personas que hagan esta consideración bien no han comprendido la teoría de errores explicada en la clase de teoría, o bien no se la han leído. La diferencia entre precisión y exactitud, especificada en clase, es muy importante en el presente problema. Por último hay que especificar, y hacer especial hincapié, en la gran diferencia que existe entre éste tipo de ejercicios en los que tengo sólo una medida (VMP) procedente de un trabajo anterior, y para poder calcular el residuo necesito aplicar pesos en función de la precisión de cada una de las medidas efectuadas (a mayor precisión más peso) con el fin de obtener el valor propio de la medida, y, el tipo de ejercicio a realizar en la práctica nº 2, en donde, sin tener ninguna medida, se miden (de forma directa o indirecta) varias veces cada uno de los valores
6 pertenecientes a una misma alineación o ángulo, se calcula su VMP y, a posteriori, el residuo a través de la ecuación e i = r i = VMP i - m i. Bibliografía para saber más (ambos libros en biblioteca de la ETSIA) Chueca Pazos, M.; Herráez, J.; Verné Valero, J.L. (1996). Tratado de topografía. Tomo I: teoría de errores e instrumentación. Ediciones Paraninfo S.A. Wolf, P.R.; Ghilani, C.D. (2006). Elementary Surveying: An Introduction to Geomatics. Eleventh edition. Pearson Prentice Hall, New Jersey.
Universidad Tec Milenio: Profesional HG04002 Análisis de Decisiones I
Tema # 10 El método de las M s como solución de problemas de programación lineal 1 Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Resolver modelos de programación lineal mediante
Más detalles2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores).
Bloque 3. ECUACIONES Y SISTEMAS (En el libro Temas 4 y 5, páginas 63 y 81) 1. Ecuaciones: Definiciones. Reglas de equivalencia. 2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores).
Más detallesUNIDAD 10: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
UNIDAD 10: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. 10.1 Estudio elemental de la ecuación de segundo grado. Expresión general. 10.2 Resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas. 10.3 Planteamiento
Más detallesPRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE FORMACIÓN PROFESIONAL JUNIO 2015
CALIFICACIÓN: PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE FORMACIÓN PROFESIONAL JUNIO 201 Apellidos Nombre Centro de examen Instrucciones Generales PARTE COMÚN MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Ecuación lineal con n incógnitas Sistemas de ecuaciones lineales Es cualquier expresión del tipo: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... + a n x n = b, donde a i, b. Los valores a i se denominan coeficientes,
Más detalles27/01/2011 TRIGONOMETRÍA Página 1 de 7
β 27/01/2011 TRIGONOMETRÍA Página 1 de 7 Notación en un triángulo: En un triángulo cualquiera llamaremos a, b y c a sus lados y A, B y C a sus vértices de forma que A sea el vértice formado por los lados
Más detallesTEMA 6. Sistemas de dos Ecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas
TEMA 6 Sistemas de dos Ecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas 1. Ecuación de Primer grado con dos incógnitas Vamos a intentar resolver el siguiente problema: En una bolsa hay bolas azules y rojas,
Más detallesParciales Matemática CBC Parciales Resueltos - Exapuni.
Parciales Matemática CBC 2012 Parciales Resueltos - Exapuni www.exapuni.com.ar Compilado de primeros parciales del 2012 Parcial 1 1) Sea. Hallar todos los puntos de la forma, tales que la distancia entre
Más detallesPrácticas de Topografía Prof. Emilio Ramírez Juidías 2009
PRÁCTICA Nº 2 1.- Se desea calcular la superficie total de una parcela pentagonal mediante el uso de jalones y cinta métrica, para lo cual se ha procedido a medir dos veces cada una de las alineaciones,
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x
Más detalles1. dejar a una lado de la igualdad la expresión que contenga una raíz.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones reales: Solución x 1 + x = 0 ; 3 x = 3 ; ln(x 1) + 4 = ln 3 Ecuaciones con raíces: No todas las ecuaciones de este tipo son sencillas de resolver, pero podemos intentar
Más detallesCONVERSIONES DE COORDENADAS UTM A TOPOGRÁFICAS Y VICEVERSA
CONVERSIONES DE COORDENADAS UTM A TOPOGRÁFICAS Y VICEVERSA En Bolivia la cartografía topográfica oficial (Escalas 1: 250 000, 1: 100 000 y 1: 50 000) se edita en el sistema de proyección cartográfica UTM
Más detallesUnidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.
Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 1 Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. 1.- Factorización de polinomios. M. C. D y m.c.m de polinomios. Un número a es raíz de un polinomio es 0.
Más detallesTEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Más detallesECUACIONES.
. ECUACIONES... Introducción. Recordemos que el valor numérico de un polinomio (y, en general, de cualquier epresión algebraica) se calcula sustituyendo la/s variable/s por números (que, en principio,
Más detallesObserva que las figuras no están hechas a medida. Cuando dos lados son iguales se marcan con dos barras paralelas. x + 2m + 7x + 3p 2p
Ángulos a) Para cada uno de las siguientes figuras, utiliza las letras que dan las medidas de los ángulos y escribe una ecuación que los relacione, En cada caso, justifica la ecuación con las propiedades
Más detallesProblemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso de 1ºBachillerato - Hoja 02 - Todos resueltos
página /9 Problemas Tema Solución a problemas de Repaso de ºBachillerato - Hoja 02 - Todos resueltos Hoja 2. Problema. Sea f x )=a x 3 +b x 2 +c x+d un polinomio que cumple f )=0, f ' 0)=2, y tiene dos
Más detallesLogaritmos. Logaritmo en base b de un argumento x igual a n (exponente) si y solo si b elevado a n da como resultado a x.
Logaritmos Revisadas las potencias y los radicales podemos abordar los logaritmos, los cuales están relacionados con la exponenciación a través la siguiente función. log b x = n x = b n Logaritmo en base
Más detallesECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones ECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Una ecuación no polinómica es, en general, más difícil de resolver que una
Más detallesProductos notables. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
Productos notables Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones
Más detallesTEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 1. ECUACIONES. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las variables en este caso se denominan incógnitas. Las soluciones de una ecuación
Más detallesPRUEBA ESPECÍFICA PRUEBA 2011
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES PRUEBA ESPECÍFICA PRUEBA 011 PRUEBA SOLUCIONARIO Aclaraciones previas Tiempo de duración de la prueba: 1 hora Contesta cinco de los seis ejercicios propuestos.
Más detallesCAPITULO II ANÁLISIS DEL CRECIMIENTO POBLACIONAL Y CALCULO DE CAUDALES DE DISEÑO
9 CAPITULO II ANÁLISIS DEL CRECIMIENTO POBLACIONAL Y CALCULO DE CAUDALES DE DISEÑO 2.1 Criterios de diseño para el predimensionamiento de los sistemas de abastecimiento de agua 2.1.1 Período de diseño
Más detallesLección 12: Sistemas de ecuaciones lineales
LECCIÓN 1 Lección 1: Sistemas de ecuaciones lineales Resolución gráfica Hemos visto que las ecuaciones lineales de dos incógnitas nos permiten describir las situaciones planteadas en distintos problemas.
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Más detalleslog a A B = log a A + log a B
TEMA 5: LOGARITMOS Y EXPONENCIALES. ECUACIONES Y SISTEMAS 5.1 DEFINICIÓN Si a es un número real positivo y distinto de 1, el logaritmo en base a de un numero N es el exponente al que hay que elevar a la
Más detallesPROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL RESUELTO POR MÉTODO SIMPLEX
Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés Planteamiento del problema: PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL RESUELTO POR MÉTODO SIMPLEX Una compañía de manufactura se dedica a la fabricación de tres productos: A,
Más detallesCon miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, tenemos a continiacion un ejemplo:
Método Simplex. Este método fue creado en el año 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el objetivo de crear un algoritmo capaz de crear soluciones
Más detallesDEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECÁNICA
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECÁNICA INGENIERÍA INDUSTRIAL DISEÑO MECÁNICO PRÁCTICA Nº 1 CÁLCULO DE LA VIDA DE LOS RODAMIENTOS DE UNA CAJA DE CAMBIOS 2 Cálculo de la vida de los rodamientos de una caja
Más detallesUTN FRM MEDIDAS ELECTRÓNICAS 1 Página 1 de 5 ERRORES
UTN FRM MEDIDAS ELECTRÓNICAS 1 Página 1 de 5 ERRORES Medir es determinar cuantas veces una unidad de medida esta comprendida en la magnitud a medir. La cifra encontrada, multiplicada por la unidad de medida
Más detallesEjemplos y ejercicios de. Estadística Descriptiva. yanálisis de Datos. 2 Descripción estadística de una variable. Ejemplos y ejercicios.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS Ejemplos y ejercicios de Estadística Descriptiva yanálisis de Datos Diplomatura en Estadística Curso 007/08 Descripción estadística de una variable. Ejemplos
Más detallesFunción cuadrática. Ecuación de segundo grado completa
Función cuadrática Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto
Más detallesCálculo de bisección inversa mediante mínimos cuadrados
www.topoedu.es Los mejores recursos especializados en topografía y geodesia, nunca vistos hasta ahora. Hojas técnicas de cálculo: Cálculo de bisección inversa mediante mínimos cuadrados Versión 1. Febrero
Más detalles1.-LEY DE OHM: VOLTAJE, CORRIENTE Y RESISTENCIA
Área : Tecnología Asignatura : Tecnología e Informática Grado : 7 Nombre del docente: Jorge Enrique Giraldo Valencia 1.-LEY DE OHM: VOLTAJE, CORRIENTE Y RESISTENCIA La ley de Ohm expresa la relación que
Más detallesDenotamos a los elementos de la matriz A, de orden m x n, por su localización en la matriz de la
MATRICES Una matri es un arreglo rectangular de números. Los números están ordenados en filas y columnas. Nombramos a las matrices para distinguirlas con una letra del alfabeto en mayúscula. Veamos un
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]
Más detallesTema 3: Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales 1. Introducción Los sistemas de ecuaciones resuelven problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana que tiene que ver con las Ciencias Sociales. Nos
Más detallesa) Factoriza el monomio común. En este caso 6 se puede dividir de cada término:
Materia: Matemática de 5to Tema: Factorización y Resolución de ecuaciones 1) Factorización Marco Teórico Decimos que un polinomio está factorizado completamente cuando no podemos factorizarlo más. He aquí
Más detalles2. Cuál es el valor del cociente de la suma entre la diferencia de los senos de dos ángulos?
1. Qué relaciones ligan las razones trigonométricas de (45º-a) y (45º+a) 2. Cuál es el valor del cociente de la suma entre la diferencia de los senos de dos ángulos? 3. Demostrar la fórmula: 4. Expresar
Más detallesCurso º ESO. UNIDADES 6 Y 7: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES Departamento de Matemáticas IES Fray Bartolomé de las Casas de Morón
2º ESO UNIDADES 6 Y 7: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES Departamento de Matemáticas IES Fray Bartolomé de las Casas de Morón OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS Lenguaje algebraico. Normas y Traducción
Más detallesMEDICIONES ELECTRICAS I
Año:... Alumno:... Comisión:... MEDICIONES ELECTRICAS I Trabajo Práctico N 2 Tema: MEDICION DE RESISTENCIA. METODO DIRECTO METODO INDIRECTO Método Directo Vamos a centrar nuestro análisis en los sistemas
Más detallesJUNIO Opción A
Junio 010 (Prueba Específica) JUNIO 010 Opción A 1.- Discute y resuelve según los distintos valores del parámetro a el siguiente sistema de ecuaciones: a x + a y + az 1 x + a y + z 0.- Una panadería se
Más detallesUNIDAD 1 Estadimetría
UNIDAD 1 Estadimetría La estadimetría es un método que sirve para medir distancias y diferencias de elevación indirectamente, es rápido pero su precisión no es muy alta. Este procedimiento se emplea cuando
Más detallesCircuitería Básica, Leyes de Kirchhoff y Equivalente Thévenin
Circuitos de Corriente Continua Circuitería Básica, Leyes de Kirchhoff y Equivalente Thévenin 1. OBJETIVOS - Estudiar las asociaciones básicas de elementos resistivos en corriente continua: conexiones
Más detalles3. ASOCIACIÓN ENTRE DOS VARIABLES CUALITATIVAS
1. INTRODUCCIÓN Este tema se centra en el estudio conjunto de dos variables. Dos variables cualitativas - Tabla de datos - Tabla de contingencia - Diagrama de barras - Tabla de diferencias entre frecuencias
Más detallesUnidad 3: Razones trigonométricas.
Unidad 3: Razones trigonométricas 1 Unidad 3: Razones trigonométricas. 1.- Medida de ángulos: grados y radianes. Las unidades de medida de ángulos más usuales son el grado sexagesimal y el radián. Se define
Más detallesEcuaciones Diofánticas
2 Ecuaciones Diofánticas (c) 2011 leandromarin.com 1. Introducción Una ecuación diofántica es una ecuación con coeficientes enteros y de la que tenemos que calcular las soluciones enteras. En este tema
Más detallesInfinito más un número Infinito más infinito. Infinito por infinito. OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito. Productos con infinito
OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito Infinito más un número Infinito más infinito Infinito menos infinito Productos con infinito Infinito por un número Infinito por infinito Infinito por cero Cocientes
Más detallesRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO (0º a 90º) DEFINICIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO (0º a 90º) DEFINICIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ESTE TRIANGULO SERA EL MISMO PARA TODA LA EXPLICACIÓN RELACIÓN ENTRE LAS FUNCIONES
Más detallesde la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).
INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Más detallesVALORES EXACTOS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO)
VALORES EXACTOS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO) En trigonometría plana, es fácil de encontrar el valor exacto de la función seno y coseno de los ángulos de 30, 5 y 60, gracias a la ayuda de
Más detalles2.- Ecuaciones de primer grado
3º ESO E UNIDAD 8.- ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Generalidades Definición [Sistema de ecuaciones lineales] Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto de m igualdades
Más detallessobre un intervalo si para todo de se tiene que. Teorema 1 Sean y dos primitivas de la función en. Entonces,
Integral indefinida Primitiva e integral indefinida. Cálculo de primitivas: métodos de integración. Integración por cambio de variable e integración por partes. Integración de funciones racionales e irracionales.
Más detallesTEMA 4: TRIGONOMETRÍA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
IES IGNACIO ALDECOA 19 TEMA 4: TRIGONOMETRÍA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 4.1 Medida de ángulos. Equivalencias. Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas
Más detallesTema 7: Geometría Analítica. Rectas.
Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. En este tema nos centraremos en estudiar la geometría en el plano, así como los elementos que en este aparecen como son los puntos, segmentos, vectores y rectas. Estudiaremos
Más detallesBloque 1. Aritmética y Álgebra
Bloque 1. Aritmética y Álgebra 12. Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático
Más detallesTema 6: Trigonometría.
Tema 6: Trigonometría. Comenzamos un tema, para mi parecer, muy bonito, en el que estudiaremos algunos aspectos importantes de la geometría, como son los ángulos, las principales razones e identidades
Más detallesEn primer lugar voy a trasladar el enunciado a lenguaje matemático. Me fijo en lo que me preguntan: a una variable la llamo x y a otra y.
PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIO TIPO Una confitería se elaboran tartas de nata y de manzana. Cada tarta de nata requiere medio kilo de azúcar y 8 huevos; y una de manzana, 1 kg de azúcar y 6 huevos. En la
Más detallesDiplomatura en Ciencias Empresariales X Y 10 10000 100 1000 1000 100 10000 10
DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Diplomatura en Ciencias Empresariales ESTADÍSTICA II Relación Tema 10: Regresión y correlación simple. 1. Ajustar una función potencial a los siguientes
Más detallesTema: Excel Formulas, Funciones y Macros
1 Facultad Escuela Lugar de Ejecución : Ingeniería. : Biomédica : Laboratorio de Biomédica Tema: Excel Formulas, Funciones y Macros Objetivos Específicos Conocer los conceptos básicos en relación a la
Más detallesMatemáticas. Tercero ESO. Curso 2012-2013. Exámenes
Matemáticas. Tercero ESO. Curso 0-03. Exámenes . 9 de octubre de 0 Ejercicio. Calcular: 3 5 4 + 3 0 3 7 8 5 3 5 4 + 3 0 5 + 6 0 3 0 3 7 8 5 3 56 0 3 8 0 84 74 5 5 5 Ejercicio. Calcular: 5 6 [ ( 3 3 3 )]
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES
EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES 1. Resolver las inecuaciones: a) 3-8 - 7 b) 6-5 > 1-10 a) Para resolver la inecuación, se pasan los términos con al primer miembro y los independientes al segundo quedando
Más detallesSistem as de ecuaciones lineales
Sistem as de ecuaciones lineales. Concepto, clasificación y notación Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b a
Más detallesANEXO 1. CONCEPTOS BÁSICOS. Este anexo contiene información que complementa el entendimiento de la tesis presentada.
ANEXO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Este anexo contiene información que complementa el entendimiento de la tesis presentada. Aquí se exponen técnicas de cálculo que son utilizados en los procedimientos de los modelos
Más detallesEsta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )
Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder
Más detallesSistemas lineales con parámetros
4 Sistemas lineales con parámetros. Teorema de Rouché Piensa y calcula Dado el siguiente sistema en forma matricial, escribe sus ecuaciones: 3 0 y = 0 z + y 3z = 0 y = Aplica la teoría. Escribe los siguientes
Más detallesGPRNV003F2-A16V1. La Caída
GPRNV003F2-A16V1 La Caída ATENCIÓN DESTINAR LOS ÚLTIMOS 20 MINUTOS DE LA CLASE A RESOLVER DUDAS QUE PLANTEEN LOS ALUMNOS SOBRE CONTENIDOS QUE ESTÉN VIENDO EN SU COLEGIO. OBJETIVOS: Determinar las características
Más detallesGEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π
GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a
Más detallesESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA EL TURISMO
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA EL TURISMO RELACIÓN DE PROBLEMAS PROPUESTOS DE UNA VARIABLE Curso académico 2004-2005 DPTO. ECONOMÍA APLICADA I 1. Obtener las frecuencias acumuladas, las frecuencias relativas
Más detallesProblemas métricos. 1. Problemas afines y problemas métricos
. Problemas afines y problemas métricos Al trabajar en el espacio (o análogamente en el plano) se nos pueden presentar dos tipos de problemas con los elementos habituales (puntos, rectas y planos): Problemas
Más detallesLABORATORIO DE ELECTROMAGNETISMO SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
No 3 LABORATORIO DE ELECTROMAGNETISMO DEPARTAMENTO DE FISICA Y GEOLOGIA UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS Objetivos 1. Dibujar líneas de campo a través del mapeo de líneas equipotenciales.
Más detallesax 2 + bx + c = 0, con a 0
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Las ecuaciones de segundo grado son de la forma: a + bx + c = 0, con a 0 1. Identificación de coeficientes: Al empezar con las ecuaciones de segundo grado, resulta
Más detallesMatriz de Insumo - Producto
Matriz de Insumo - Producto Introducción En esta sección vamos a suponer que en la economía de un país hay sólo tres sectores: industria (todas las fábricas juntas), agricultura (todo lo relacionado a
Más detallesECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones ECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Las ecuaciones polinómicas son aquellas equivalentes a una ecuación cuyo primer
Más detallesSistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas tiene la siguiente forma Ax + By + C = 0 A x + B y + C (1) = 0 Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesTema 3: El Método Simplex. Algoritmo de las Dos Fases.
Tema 3: El Método Simplex Algoritmo de las Dos Fases 31 Motivación Gráfica del método Simplex 32 El método Simplex 33 El método Simplex en Formato Tabla 34 Casos especiales en la aplicación del algoritmo
Más detallesACTIVIDADES INCLUIDAS EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE REFUERZO
Pág. 1 ENUNCIADOS 1 Piensa, tantea y encuentra una solución para estas ecuaciones: a) 5 5 b) 5 1 c) 1 4 d) 1 e) 1 f ) 6 1 Despeja la incógnita y encuentra la solución: a) 6 b) 4 c) 7 d) 7 4 Resuelve las
Más detallesÁlgebra Lineal Ma1010
Álgebra Ma1010 Departamento de Matemáticas ITESM Álgebra - p. 1/31 En este apartado se introduce uno de los conceptos más importantes del curso: el de combinación lineal entre vectores. Se establece la
Más detallesÁngulos complementarios Un par de ángulos son complementarios si la suma resultante de sus medidas es.
Materia: Matemática de Séptimo Tema: Ángulos y pares de ángulos Objetivos de aprendizaje Entender e identificar ángulos complementarios. Entender e identificar ángulos suplementarios. Entender y utilizar
Más detallesInecuaciones: Actividades de recuperación.
Inecuaciones: Actividades de recuperación. 1.- Escribe la inecuación que corresponde a los siguientes enunciados: a) El perímetro de un triángulo equilátero es menor que 4. (x = lado del triángulo) b)
Más detallesPROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
1 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Planteamiento y resolución de los problemas de optimización Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de cm de larga por de ancha. Para ello
Más detallesTema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES
Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos
Más detallesy 2 Considere que el viento no sopla en la dirección AB sino que lo hace de forma que v r
P1. Anemometría sónica. Hoy en día, los Centros Meteorológicos disponen de aparatos muy sofisticados para medir la velocidad del viento que, además y simultáneamente, miden la temperatura del aire. El
Más detallesUD Trigonometría Ejercicios Resueltos y Propuestos Col La Presentación
En este documento se da una relación de los tipos de ejercicios que nos podemos encontrar en el tema de Trigonometría de º de Bachillerato. En todo el documento se sigue el mismo esquema: Enunciado tipo
Más detallesCAPITULO XII PUENTES DE CORRIENTE ALTERNA
CAPITULO XII PUENTES DE CORRIENTE ALTERNA 2. INTRODUCCION. En el Capítulo IX estudiamos el puente de Wheatstone como instrumento de medición de resistencias por el método de detección de cero. En este
Más detallesGuía para maestro. Área y volumen de paralelepípedos. Compartir Saberes
Guía para maestro Guía realizada por Bella Peralta C. Magister en educación matemática Master en Educación bellaperaltamath@gmail.com En los objetos tridimensionales el cálculo del área nos permite determinar
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesTRIGONOMETRÍA. MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Ciencias de la Salud y Tecnológico. 1.- Ángulos en la Circunferencia.
TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Ciencias de la Salud y Tecnológico 1.- Ángulos en la Circunferencia. 2.- Razones Trigonométricas de un Triángulo Rectángulo. 3.- Valores del Seno, Coseno y Tangente
Más detallesDISTRIBUCIÓN NORMAL CAPÍTULO 16
CAPÍTULO 6 DISTRIBUCIÓN NORMAL Cuando los datos están distribuidos con frecuencias ascendentes-descendentes aproimadamente simétricas, se le llama distribución normal. Cuando se trata de una variable discreta,
Más detallesTEMA 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TEM SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. Sistemas de ecuaciones lineales. Epresión matricial. Ejemplo Epresa en forma matricial los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 9 5, Solution is: 9, 9 Se trata
Más detallesAnálisis de Datos CAPITULO 3: MEDIDAS DE VARIABILIDAD Y ASIMETRÍA
1. INTRODUCCIÓN En el tema 1 veíamos que la distribución de frecuencias tiene tres propiedades: tendencia central, variabilidad y asimetría. Las medidas de tendencia central las hemos visto en el tema
Más detalles1. Caso no lineal: ajuste de una función potencial
1. Caso no lineal: ajuste de una función potencial La presión (P) y el volumen (V ) en un tipo de gas están ligados por una ecuación del tipo PV b = a, siendo a y b dos parámetros desconocidos. A partir
Más detallesDos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales
Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley
Más detallesCuando se enumeran todos los elementos que componen el conjunto. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
LOS NÚMEROS REALES TEMA 1 IDEAS SOBRE CONJUNTOS Partiremos de la idea natural de conjunto y del conocimiento de si un elemento pertenece (* ) o no pertenece (* ) a un conjunto. Los conjuntos se pueden
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA 6: Trigonometría
UNIDAD DIDÁCTICA 6: Trigonometría 1. ÍNDICE 1. Introducción 2. Ángulos 3. Sistemas de medición de ángulos 4. Funciones trigonométricas de un ángulo 5. Teorema de Pitágoras 6. Problemas sobre resolución
Más detallesPRÁCTICA Nº3 REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN
PRÁCTICA Nº3 REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN 1.- Equipamiento y montaje Componentes del equipo Los accesorios necesarios para la realización de la presente práctica se enumeran a continuación: 1. Caja de Almacenamiento
Más detallesEstadística Descriptiva. SESIÓN 11 Medidas de dispersión
Estadística Descriptiva SESIÓN 11 Medidas de dispersión Contextualización de la sesión 11 En la sesión anterior se explicaron los temas relacionados con la dispersión, una de las medidas de dispersión,
Más detallesA1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas.
A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y +z = 1 -x + y +z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. Para que el sistema tenga, al menos, dos soluciones distintas
Más detalles